3.1.1. La noción de ingeniería didáctica

La ingeniería didáctica constituye un método para organizar la confrontación de las propuestas teóricas en la clase. Además de permitirnos a acceder al control y a la observación de determinados fenómenos específicos, nos permite dar cuenta de nuestras situaciones problemas.

Como metodología de investigación, la ingeniería didáctica se diferencia de otras metodologías con validación externa basadas en la confrontación estadística entre grupos experimental y de control. Muy por el contrario, su esquema de experimentación está más próximo al estudio de casos. Su método de validación es interno y está basado en la confrontación entre el análisis a priori en el cual se encuentran comprometidas las hipótesis, y un análisis a posteriori que se apoya en los datos surgidos de la realización práctica efectiva (^{Artigue, 2002}).

Es importante observar que los fundamentos de esta metodología provienen de sus relaciones con la Teoría de las Situaciones Didácticas, donde sus vínculos se expresan especialmente en la concepción y en el análisis a priori de la ingeniería. Sin embargo, estas ambiciones se vuelven más difíciles de satisfacer en el desarrollo de la investigación en niveles de enseñanza superior (^{Artigue, 2002}; ^{Barquero & Bosch, 2015}). Sobre todo, cuando se trata de enseñar conceptos que unifican y generalizan diferentes métodos, herramientas y objetos, mismos que existen previamente en una variedad de escenarios. Es difícil de encontrar situaciones fundamentales enseñables, esta hipótesis ha sido presentada y discutida por Dorier, Robert, Robinet, Rogalski, Siepinska, etc. (^{Dorier, 2000a}) y ^{Bloch (2006)} para su análisis.

3.1.2. Situación 1: En busca de un modelo ( Anexo B )

De acuerdo con las conclusiones de Markovits et al. (1985) y evocados en ^{Sfard (1991)} se puede esperar que los estudiantes tienden a asociar una tabla de valores con funciones lineales a partir de la regla “a mayor cantidad de kilogramos, mayor precio”. Esta distribución es respetada en la tabla de precios de la situación 1. Sin embargo, la comparación de los valores produce las complejidades. Así, por ejemplo, si 2 kg cuestan $ 470 entonces 4 kg deberían costar el doble, pero en la tabla está asignado un precio de $ 850. Comparación asociada a una regla de proporcionalidad (directa) que no es el caso acá, pues la elección de los valores que hemos realizado hace imposible un recurso de la regla de tres para que dé cuenta de un coeficiente de proporcionalidad uniforme a todos estos valores.

Está entonces la tendencia de colocar los valores en relación proporcional utilizando combinaciones lineales. Luego, en consideración de los diferentes valores, para el precio de 10 kg, los estudiantes están obligados a establecer un valor promedio como una manera coherente y eficaz de un precio único. Es posible que realicen una representación gráfica de los valores para pronunciarse respecto de la colinealidad con el origen (0,0) y para justificar el resultado “por no llevar tomates, no se debe pagar”. Este resultado, “dejar fijo al vector cero” es una consecuencia de estructura lineal de una TL. Un modelo por tramos poligonales puede responder a este resultado simplemente por imposición.

Hay que generar entonces un procedimiento general que se corresponda con los valores de la tabla. En este desafío, los estudiantes consideran modelos no lineales de variable continua que incluyan los valores discretos de la tabla. Sus estrategias se centran en un modelo lineal afín (ajuste lineal) o por tramos poligonales para satisfacer el requerimiento del precio de 14 kg y 24 kg. Aunque la adecuación del modelo a la tabla de valores que se estudia no se satisface con la relación “si el precio de x y x´ es p y p´ respectivamente entonces el precio de x+x´ debería ser p+p´”, el examen comparativo que hace de en el momento de proporcionar un precio único y coherente aporta la lección de lo que definiría una abstracción del método. Por su estabilización de precios y la articulación de los registros numéricos y gráficos, accede a la aparición intuitiva de métodos y procedimientos lineales.

3.1.3. Situación 2: Rotación del plano ( Anexo B )

Este tipo de situación es conocida por los estudiantes como una actividad de cambio de coordenadas en el plano afín R². Es fácil para ellos aplicar identidades trigonométricas para determinar una expresión algebraica de las coordenadas del punto Q=R_θ (P) pues se trata de contenidos anteriores de geometría analítica y trigonometría. Por el contrario, podemos esperar que tengan grandes dificultades respecto a las propiedades lineales intrínsecas a la rotación, debido a una representación falsa de “rotado” que es vinculada a un uso físico. De hecho, la concepción de la rotación como una aplicación del plano afín R² o vectorialmente del espacio vectorial euclidiano subyacente R², no es completamente comprendido por los estudiantes, más aún por el tratamiento a nivel de las coordenadas de los puntos del plano afín. En efecto, los estudiantes tienen dificultades en lograr establecer una demostración de la relación que vincula linealmente R_θ (P) con R_θ (A) y R_θ (B) para todos los puntos P(x,y). Las dificultades previas como la distinción entre punto y vector geométrico y el concepto de combinación lineal, producen desorientaciones para una visión general sobre la rotación como parte de un concepto más abstracto. Podemos pensar entonces que los estudiantes tendrán los siguientes comportamientos:

Para acercar a los estudiantes a la estructura vectorial y en especial a las relaciones lineales invariantes por la rotación, hemos elegido una base de R² en particular la base canónica por su simplicidad en el cálculo vectorial. Cuando los estudiantes establezcan la combinación lineal entre A, B y C con C(1,1) (relación de Chasles), existen muchas posibilidades que conjeturen la relación lineal análoga entre las imágenes. Además, el cálculo de R_θ (xA+yB) como combinación lineal de R_θ (A) y R_θ (B) los lleva a constatar la simplificación de las expresiones algebraicas, la estructura vectorial sobre los coeficientes x e y de xA+yB que permanecen invariantes por R_θ , valorando la economía del modelo lineal para los siguientes cálculos.

Pero también, por las identidades trigonométricas se podría esperar que los estudiantes calculen R_θ (xA+yB) sin la estructura vectorial de R², por ejemplo, con el método geométrico-trigonométrico pueden muy bien evitar las expresiones de combinación lineal para determinar la posición de R_θ (G) en términos de coordenadas.

Como la escritura en combinación lineal refleja más funcionalmente el carácter lineal de la rotación el cual es invariante por un cambio de base, posiblemente, el estudiante lo asocie a un cambio de coordenadas (lineales) en el plano afín, haciendo lo que Euler, Lagrange, Gauss, entre otros, llamaban sustituciones lineales. Este método sitúa a la rotación como parte de un concepto más general y abstracto.

3.1.4. Situación 3: Cizalladura ( Anexo B )

Esta modelización es dada, para llevar a los estudiantes a formalizar la idea intuitiva que tienen de la linealidad, no necesariamente con una herramienta geométrica o un listado de valores proporcionales, si no también, con una herramienta física. Por ejemplo, en física, el esfuerzo en la deformación producida por la acción de una fuerza tangencial en un cuerpo, como el caso de un cuerpo paralelepípedo y la fuerza tangencial aplicada sobre la cara superior, se produce un deslizamiento de esta cara que deja fija la cara inferior deformando el paralelepípedo. Este esfuerzo se llama cizalladura horizontal, y su acción se matematiza sobre dos componentes vectoriales; una, perpendicular a la superficie de incidencia y la otra, paralela (tangencial) a la superficie. Estas dos componentes forman el sistema ortogonal (base ortogonal u, u⊥) de la cizalladura y el estudiante debe advertir que la cizalladura está únicamente determinada por su acción en los vectores de la base u, u⊥. A diferencia de la rotación, donde el estudiante tiene la opción de un método alternativo (geométrico-trigonométrico) para ejercer la acción sobre vectores no basales y validar sus resultados, la cizalladura le obliga el uso de las propiedades lineales. En ese sentido el estudiante se encuentra en un escenario más formal y abstracto que exige el dominio de las propiedades de un espacio vectorial.

El cálculo de la cizalladura sobre los vectores v, i, j está propuesto para dar cuenta de una comprensión intuitiva que ellos tienen de la cizalladura sobre el plano vectorial y dar ideas para las demostraciones de su invariancia lineal, y comparar la acción respecto a ambas bases: la canónica {i, j} (plano vectorial euclidiano) cuyo comportamiento es más familiar para los estudiantes y la base que exige la definición de cizalladura.

Sabemos que resolver ecuaciones matriciales respecto a una base dada los estudiantes tienen muchas dificultades en su interpretación. Ellos resuelven ecuaciones lineales, usan bases, etc., sin percibir demasiado el significado del trabajo en un espacio vectorial (^{Dorier, Robert, Robinet, & Rogalski, 2000}). Debido a que la acción de la matriz da directamente ecuaciones cartesianas, pero no otorga una comprensión intuitiva de la transformación lineal. Lo que nos lleva a generar un cambio de sistema ortogonal (de la base ortogonal de la cizalladura a la base canónica) que contribuya a formar la idea de la deformación con una cizalladura horizontal conforme ahora a la base canónica. Luego, para que el estudiante realice esta acción debe asegurar la invariancia de la ortogonalidad, es decir, utilizar una rotación que es la transformación lineal más adecuada para conservar esta propiedad; similar a la búsqueda de Lagrange (1773)³ con sustituciones lineales de dejar invariantes algunas propiedades de la forma cuadrática inicial.

Para las representaciones en términos de coordenadas, la cizalladura tiene su propio sistema ortogonal donde su acción es simple ya sea como función o matriz asociada. La alternativa es el sistema canónico que es más familiar al estudiante, sin embargo, la simplicidad de la acción de la cizalladura y su representación matricial puede ser más compleja en la base canónica.

Además, el formalismo vectorial en que se plantea la situación sabemos que producirá dificultades y obstáculos, por ejemplo, el uso de combinaciones lineales para el cálculo de la cizalladura en cualquier vector. Pero, al mismo tiempo, este nuevo formalismo permitirá renovar los conceptos ya trabajados en las dos situaciones anteriores, en particular la rotación. El estudiante podrá así adaptar los conocimientos aprendidos y trabajar en el nuevo sistema ortogonal.

3.1.5. Situación 4: Área entre curvas ( Anexo B )

Esta situación está destinada para saber cuáles son las competencias de los estudiantes cuando ellos manejan la definición formal de la noción transformación lineal. La explicitación formal es impuesta por el cálculo de integrales definidas cuyas primitivas no pueden ser expresadas como funciones elementales y por el cálculo de áreas de regiones acotadas.

Sabemos que los resultados por aproximaciones de figuras simples no serán excelentes en la determinación de áreas de regiones. En efecto, hay una dificultad formal en el tratamiento del principio de superposición de la integral, esta dificultad ha sido localizada con el uso de los métodos habituales de integración, y una mera presentación de las integrales de Riemann contribuyen a inducir esta dificultad (^{Artigue, 2003}).

En el problema 1c), se solicita interpretar la expresión I de integrales en base a la figura, pero no se precisa las relaciones, luego el rescurso a la figura será solo para estimar el cáculo del área, pero sin precisión numérica. Se puede prever que mayoritariamente el comportamiento de los estudiantes será la utilización de la integral en el sentido de Riemann-Darboux, y es posible que asuman que “la integral es un área…”. Para responder a la pregunta de asociar el área por una figura geométrica sencilla es posible que los estudiantes se den la tarea de calcular el valor numérico del área mediante el cálculo de las primitivas. Pero, de las expresiones de las funciones es posible que renuncien a ese cálculo. Por la propiedad de simetría de la integral y linealidad, el estudiante debería reunir la expresión de I en una sola integral y constatar que, en esta nueva presentación de I el cálculo se simplifica. Visualizar estas propiedades lineales en el contexto geométrico, es posible que tenga dificultades.

Similarmente, hemos agregado una situación de comparación para la interpretación de una integral y el área de una región, integral que, aplicando propiedades de linealidad, el cálculo se simplifica. Distinguiendo y aplicando correctamente estas propiedades puede inducir al estudiante a validar sus resultados que, en principio, podría ser erróneos, esto por el hecho de asumir que “la integral es un área…”. En particular, resultados numéricos negativos derivados del cálculo integral en el contexto del área que responden más bien a sus propias adaptaciones: “como es área, no puede ser negativa, entonces se cambia el signo”

Esta utilización intenta conciliar el marco geométrico y el marco analítico (^{Douady, 1986}; ¹⁹⁹³⁾ en el sentido en que el cálculo del área deberá ser consecuente con la estructura lineal que plantea, esencialmente para predecir o estimar el área de regiones limitadas por curvas simples.

3.2.1. Caracterización de los estudiantes

Procurando distribuir los sujetos en el plano Pensamiento Práctico-Teórico de las nociones matemáticas, retuvimos participantes representativos del curso interesándonos en el estudio de casos particulares. Para hacerlo, tomamos en cuenta los elementos de análisis del cuestionario (intereses matemáticos expresados, cursos preferidos, formación que reciben) y del análisis a priori en el avance de la secuencia (los conocimientos y habilidades matemáticas mostradas) que se había trabajado hasta ese momento. Lo que nos encaminó en la elección de los sujetos para el análisis a posteriori agregando a los datos recogidos un análisis didáctico de las producciones con la entrevista de explicitación.

Procedimos entonces a hacer tres reagrupaciones posibles (según nivel de explicitación o según el tipo de competencia, o, según las tendencias) (^{De Serres & Groleau, 1997}) de los sujetos que íbamos a entrevistar. Primeramente, privilegiamos el equipo con mayor esfuerzo en la ejecución de las tareas, que hemos llamado el equipo típico. Ellos son sensibles a la cohesión de las matemáticas, les gusta descubrirla tanto por la aplicación en otras disciplinas como por un método general aplicable a todos los casos. Según ellos, conocen las posibilidades de aplicación en los cursos de Cálculo I y II como una sucesión de problemas para hacer comprender la teoría, y atribuyen a estos cursos un encadenamiento progresivo de conceptos, del más simple al más complejo. Luego elegimos el equipo con más dificultades, aquellos que les gusta simplificar expresiones mediante manipulaciones algebraicas y confirmar el resultado por un método matemático ya enseñado. Describen el curso favorito como el de los conceptos, teoremas y demostraciones proporcionadas por el profesor. Y finalmente concluimos con el equipo atípico con relación a los otros, a los que les gusta reutilizar los métodos matemáticos, aprecian la forma de estudio estructural en la compresión de un nuevo concepto y se resisten al aprendizaje de fórmulas y métodos sin vínculos con la teoría.

Realizamos la puesta en relación de las producciones de los estudiantes con las competencias matemáticas requeridas para referirnos a los niveles de explicitación de los equipos que acuden en la noción de la TL. A partir del análisis a priori construimos una matriz de las competencias de modelización por niveles de explicitación en el aprendizaje de la TL.

Daremos algunos ejemplos de los procedimientos observados en confrontación con los procedimientos previstos del análisis a priori para ilustrar algunos de los resultados obtenidos.

3.2.2. Situación 1: En busca de un modelo

Los equipos ensayan formas de combinaciones apoyados en un modelo de tipo proporcional y dejan entrever implícitamente un sentido lineal de la correspondencia “peso-precio”. Podemos observar que hacen formas de “combinar los paquetes” y no de combinar el “peso de los paquetes.

Figura 2 Combina métodos y/o cálculos particulares (equipo típico) 

“Ese fenómeno difícil sería explicarlo, tiene que ver con las combinaciones lineales, eso sería yo creo, que hay distintas combinaciones lineales para un valor de 10 kilogramos”

El propio fenómeno da una idea general de la actividad: un modelo que organice y ponga en proporción los valores de la tabla:

“Después en la b) dice que establezca un modelo, entonces como 10 kilogramos son $ 2.500, un 1 kilogramo iba a ser $ 250, entonces del valor más alto que da el de 24 kilogramos $ 5.300 que iba decreciendo a una razón de $ 250, entonces hasta al llegar al valor de 10 kilogramos que me dio $ 1.800, no corresponde al valor que me había dado anterior que era de $ 2.500. Lo que quiere decir que no va variando en una razón, no tiene una tasa de cambio ascendente o descendente que sea la misma. Después comprobé si es que el valor de 10 kilogramos, con esa razón de cambio, era lo mismo que sumar 2 paquetes más pequeños que sumaran 10 kilogramos, y volví a sumar el de 4 con el de 6 y sus valores $ 800 y $ 300 sumaban $ 1.100. Y no era lo mismo que el del paquete de 10 kilogramos entonces no, al mantener fijos esos valores de 14 kg y 24 kg, o a lo menos uno de ellos, no hay una tasa de cambio que diera valores exactos y que después al combinarlos diera otro de uno mayor”

Reconocen que no se corresponden a una situación de proporcionalidad; no hay un sistema de variación de la naturaleza del coeficiente (precio unitario). Enseguida, trazan los segmentos que unen los puntos, lo que permitió extender la gráfica pasando por el punto (0,0), y establecen como hipótesis la propiedad “por 0 kg, un costo 0”, que es una característica intrínseca de la TL.

Figura 3 Estima un resultado expresando representaciones gráficas, numéricas (equipo típico) 

“Es que, si no vende no cobra, la función, o sea, que la gráfica fue dada por una función, esta función al evaluarla en 0 daría 0, por así decirlo, como gráfica”

Proponen entonces un modelo definido por recurrencia de tipo aritmético que consiste en una parte (discreta) del modelo afín ɡ(x) =250x−700.

Figura 4 Interpreta enunciados (equipo típico) 

“En esta función que modele en el cambio de 250, el valor de 0 kilogramos me daba negativo porque en 3 kilogramos desde el de 24 restando 250, en 3 kilogramos era $ 50 entonces de ahí hacia abajo iban a ser negativos y no puede ser así”

Podemos observar que el equipo típico organiza y valida los diferentes modelos (por recurrencia, afín,) con relación a la proporcionalidad, pasan de un marco a otro comparan una parte respecto a un todo (pasaje por la unidad) o bien una parte respecto de otra (precios y cantidades).

3.2.3. Situación 2: Rotación del plano

“…calculé la rotación de C con la fórmula que había despejado antes [modelo geométrico - trigonométrico] y me dio esa expresión de sus coordenadas ahí, entonces… la rotación de C era la suma de la rotación de A más rotación de B”

En la rotación comienzan a trabajar con coordenadas explícitas como pares ordenados, recurren a los procedimientos que ya conocen de geometría analítica. En el caso del problema general para P(x,y), demuestran la igualdad de la relación vectorial por la ley del paralelogramo aplicando el mismo principio anterior:

“… el P vendría siendo igual como el rotado de C lo único que en C ya sabíamos el valor inicial que tenía antes de ser rotado, pero el de P no, y como se llama… ehh… si esos dos cumplen que son igual combinación lineal, también se tiene que cumplir para el punto P rotado, también tienen que ser igual combinación lineal”

“…luego, la rotación de un vector que estaba compuesto por otros vectores [vectores basales] era lo mismo que rotar esos otros dos…”

Figura 5 Conservación de la combinación lineal (equipo típico) 

Habla de “rotado” sin hacer referencia a la base del sistema que modeliza, es decir, sin prestar atención en torno a que se gira y en qué dirección se gira.

Figura 6 Establece y justifica una propiedad o un resultado (equipo típico) 

Tratan de explicitar R_θ (x,y)=xR_θ (1,0)+yR_θ (0,1), lo que parece intuir la propiedad lineal, pero no hay un vínculo directo con la rotación R_θ (x(1,0)+y(0,1)) para expresar la igualdad de la lineal aditiva, no se sabe realmente si utilizan la maestría de la TL en esa relación.

“…pensé que la rotación de P era lo mismo que rotar solo las componentes de P, o sea, la rotación de A y la rotación de B estaban multiplicadas por un escalar que hacían como un caso general de la rotación de las componentes canónicas. Entonces alfa veces la rotación de A más beta veces la rotación de B iba a ser la rotación del punto P, porque P era combinación lineal de alfa veces A y beta veces B.”

Sin embargo, el mismo equipo calcula R_θ (G) aplicando la propiedad multiplicativa para ganar en potencia de ejecución, más adecuado para una distancia 98×10²⁰⁰ del origen, y gana a la vez en economía del hecho que controla mejor sus cálculos.

Figura 7 Reconoce la economía del modelo vectorial (equipo típico) 

“Es que, si se está en un plano y se tiene un vector, poder separarlos en sus componentes y hacer operatorias con esas componentes es más fácil, que la operatoria sobre un vector”

Identifican las características lineales esenciales que definen el modelo abstracto de la TL, pero no son explícitos en la definición.

Por otro lado, comprobamos sin sorpresa el enfoque procesal del equipo con dificultad que se limita en su trabajo a la búsqueda fórmulas conocidas para aplicar a nivel de las coordenadas, evitando así las combinaciones lineales vectoriales.

Figura 8 Define un concepto recurriendo a la fórmula que permite asociarle un valor (equipo con dificultad) 

“Pero para sacar eso [R_θ (G)] se supone que necesitaba un ángulo que era el 60° y puedo reemplazarlo ahí, y ya con el seno de 60° y el coseno de 60° ya ahí se pueden encontrar valores numéricos”

Dan sentido al concepto utilizando la formulación analítica sobre el plano cartesiano R².

En el otro extremo está el equipo atípico que resuelve R_θ (G) expresan un lenguaje y un enfoque general en sus formulaciones:

Figura 9 Utiliza la linealidad de la rotación como método de resolución económico (equipo atípico) 

Conjeturan la relación lineal análoga entre A, B y C con C(1,1) de R_θ (xA+yB) como combinación lineal de R_θ (A) y R_θ (B), lo que los lleva a constatar la simplificación con las expresiones algebraicas.

Estructuran sobre el procedimiento de las coordenadas más bien que sobre la técnica de la TL, se podría pensar en las mismas influencias asociadas a la forma de la técnica. Se observa un falso sentimiento de prueba, que no se da cuenta que eso hubiera funcionado con cualquier matriz.

“No, sino, que… las mismas transformaciones que se aplicaban sobre algo podían aplicarse por separado, podían aplicarse de distintas formas y siempre la transformación general iba a ser lo mismo”

Figura 10 Establece la acción de la rotación como el producto matricial MX (equipo con dificultad) 

3.2.4. Situación 3: Cizalladura

¿En qué me sentí más perdido?

“En la lectura del ejercicio en la definición de cizalladura, ahí me perdí… al ser algo desconocido y al no tener ejemplos como concretos…”

Figura 11 Aplicación de la TL por efecto del contrato (equipo con dificultad) 

El nivel de formalismo (el simbolismo asociado) que caracteriza la aplicación como combinación lineal constituye en sí un obstáculo para poner en funcionamiento el modelo lineal, ya que privilegian trabajar a nivel de coordenadas para dar sentido a la transformación.

Otros reformulan la cizalladura identificando los elementos necesarios (base ortogonal u, u⊥ ) para aplicar las propiedades lineales en las imágenes de los vectores v→,i→yj→:

“Es que rotar 3u→u sería lo mismo que rotar, o sea, no. Hacer esa transformación en u→, en 3u→ sería lo mismo que hacerlo en u→ y, paréntesis, 3 veces”

Aplican la transformación de factor 2 en la dirección u→=i→+j→ como una idea de movimiento de “rotación local” en el sentido procedural de ^{Sfard (1991)} que tienen de la cizalladura. Hacen coincidir la imagen del vector perpendicular u→⊥ a nivel de las coordenadas (−1,1) con el punto (0,1).

Figura 12 Utiliza los conceptos en estudio como puntos de apoyo (equipo típico) 

“Si le aplico una cizalladura así… lo único que va a variar va a ser el (1, 1) que es el valor de B que va a variar en un ángulo [el de la rotación] y le va a dar nuevas coordenadas para B y C, los puntos en la base se van a mantener iguales”

Se resiste a cambiar su resultado geométrico. De esta manera se percibe una falta de coordinación entre representaciones gráfica y algebraica, dificultad que puede ser vista en un nivel de dificultad al cual no habían sido acostumbrados, pues, la cizalladura no es una isometría.

Figura 13 No concilia su trabajo con la cizalladura (equipo típico). 

Redefinen una estrategia de resolución combinando métodos y propiedades lineales, pero sin respetar las condiciones algebraicas de la cizalladura.

El equipo atípico procede en un trabajo de estructuración y simplificación:

Figura 14 Articula entre el marco geométrico y algebraico (equipo atípico). 

Y verifican las respuestas aplicando las dos matrices respecto de las bases canónicas y ortogonal de la cizalladura al vector v→=3u→+4u→⊥

Figura 15 Verificación de la representación matricial (equipo atípico) 

Establecen las representaciones matriciales de las transformaciones geométricas y comprueba que el resultado es la misma representación matricial que la cizalladura original.

3.2.5. Situación 4: Área entre curvas

En el análisis del resultado de la integral I ellos reúnen la expresión de I en una sola integral. Constatan que en esta nueva presentación de I el cálculo se simplifica. Como asumen que la integral es un área, no validan el resultado con el área de un rectángulo de base π y altura 12 para ver por sí mismos la solución correcta. Recurren más bien a contenidos que constituyen un contrato claro de los procedimientos de áreas por aplicaciones de las sumas de Darboux-Riemann, asociando al rectángulo solo la figura que ven entre las curvas:

Figura 16 Utiliza una rotación para producir la cizalladura horizontal (equipo atípico) 

“Es que, en la definición de la integral siempre nos dijeron que era el área bajo esa curva y como aquí tengo otra, bajo esa..., entonces el área limitada por esas dos curvas sería la que estaba entremedio y como se calcula esa..., era con alguna figura geométrica que cayera ahí y que pudiéramos calcular su área lo más fácil posible. Entonces el rectángulo era una de las figuras más fáciles con su base y altura”

Calculan el valor numérico del área de la región mediante primitivas utilizando propiedades lineales de la integral en el sentido de Riemann-Darboux.

Figura 17 Simplificación de la integral I (equipo típico) 

La propiedad lineal de la integral es conocida por los estudiantes así que el sistema presentado esta previamente estudiado. Entonces descomponen en una suma de integrales más simples y explicitan sus propiedades.

Figura 18 Explicita la propiedad lineal que hace el cálculo (equipo típico) 

“La integral de la función la separé por propiedad lineal, eso más eso ahí está, y también lo separé por intervalos, entonces llamé ɡ(x) a esa función y h(x) a esa función y en el gráfico están así, y esa era la original ƒ(x) antes de separarlas. Entonces, al como buscar la relación que había entre las que separé y la original [Ω], esa que entre ciertos intervalos ambas áreas, que ya habíamos calculado, se sumaban para completar eso, y acá también”

Los conocimientos previos se revelan necesarios, pero no suficientes para estimar el área de Ω. Se percibe incoherencia lineal para resolver geométricamente el cálculo del área por el método analítico que disponen. De las gráficas de la figura aparecen resultados numéricos negativos derivados del cálculo integral que más bien responde al siguiente teorema en acto: “como es área, no puede ser negativa, entonces se cambia el signo”

Figura 19 Ausencia del modelo lineal en el sistema geométrico (equipo típico) 

“Se resta a toda... esta complicada... se le resta esta parte y da eso. Es lo mismo que sumarla esa [ɡ(x)], como esta negativa al sumarla esa que está negativa, se resta”

Observamos en su expresión integral un “signo menos” que contradice la acción lineal de la integral, deciden anteponer un signo menos a ɡ(x) porque es negativo.

La propiedad lineal aditiva en el marco geométrico fue percibida por el equipo atípico; de los gráficos de las curvas y de las regiones acotadas observamos su modelización gráfica:

Figura 20 Visualiza la propiedad lineal en el contexto geométrico (equipo atípico) 

Sobre el aspecto unificador del saber se refieren a una forma diferente de resolver los problemas que ya conocían; más simple de operar y resolver los mismos problemas que ya conocian:

“Por ejemplo en Física, cuando trabajamos con poleas móviles, había que cambiar el ángulo en que ejercía la fuerza de la tensión, entonces ese cambio de ángulo era una rotación, lo que nos explicaba la profesora, pero no nos explicó, no entró a detallar, cómo se calculaba, porque era mucho más fácil trabajar las componentes separadas. Hacía esos cambios y luego al final las juntaba, porque eran varias operaciones, a una sola. Entonces, si lo separaba eran operaciones por coordenadas que era mucho más fácil, tal vez era mucho más largo, pero más fácil que calcularlas así … como un todo”