1. Introdução

A formação de professores de Matemática, de acordo com as necessidades educacionais requeridas para o desempenho profissional, exige do(s) professor(es) formador(es) a proposta de atividades, que permitam aos futuros professores, que, neste momento, são alunos em formação inicial, o estudo, a discussão, a investigação e a reflexão sobre as perspectivas educacionais. Nesse viés, destaca-se o design de problemas abertos e que abordam temas de relevância social com o uso de tecnologias digitais, para propiciar as atividades de (re)formulação¹ e resolução de problemas com o uso desses recursos, por ser uma perspectiva metodológica que associa outras, como os problemas do tipo abertos, a (re)formulação, a resolução de problemas e o uso de tecnologias digitais, e possibilita, aos futuros professores, o exercício dos papéis de designer e professor, ao proporem tais problemas a alunos da Educação Básica, de modo que essas experiências possam incidir na produção de conhecimentos e no desenvolvimento de competências e habilidades docentes (^{Figueiredo & Groenwald, 2018}).

O estudo teórico-prático sobre a (re)formulação e resolução de problemas com o uso de tecnologias digitais, quando ocorridos no processo formativo de futuros professores de Matemática, se configuram como meios, tal como afirma ^{Imbernón (2011)}, para a construção do conhecimento básico especializado. Para o autor, as metodologias utilizadas pelo(s) professor(es) formador(es), com seus alunos em formação inicial, devem fomentar os processos reflexivos acerca da Educação e realidade social, proporcionando-lhes diferentes experiências, que valorizem as formas de cooperação e trabalho em equipe, assim como o desenvolvimento de competências, sendo elas a tomada de decisões e as atitudes investigativas, interativas e dialéticas, que ajudem-nos a configurar e refletir sobre as suas próprias opções pedagógicas.

Devido às potencialidades, que podem emergir a partir dessa perspectiva, entende-se que a incorporação e integração de tais metodologias e o uso desses recursos, no seu planejamento pedagógico, quando vierem a atuar profissionalmente, requer que os alunos, em formação inicial, sejam preparados para a sua utilização, por meio das experiências de designer e professor, que contribuam para a formação do perfil de professor de Matemática (^{Figueiredo, 2017}). Com isso, poderão produzir conhecimentos relativos aos aspectos matemáticos, metodológicos, tecnológicos e acerca da abordagem de temas de relevância social, que os tornem aptos a realizarem outros designs de problemas, conforme as necessidades educacionais, e mediando o processo de ensino e aprendizagem de seus futuros alunos, através da (re)formulação e resolução desses problemas com o uso de tecnologias digitais.

Destaca-se, também, que, entre as competências e habilidades, que podem ser aprimoradas e/ou desenvolvidas, por meio de tais experiências: a criatividade, para propor problemas na prática docente; a inovação e a tomada de decisões pedagógicas, adquirindo confiança na utilização dessas metodologias associadas e dos recursos didáticos; a reflexão sobre as escolhas feitas como docente, que favorecem a produção de conhecimentos matemáticos, por parte dos alunos da Educação Básica; o reforço da competência de resolução de problemas com o uso de tecnologias digitais; e a integração das tecnologias digitais no planejamento pedagógico (^{Figueiredo, 2017}).

Dessa forma, neste artigo, apresentam-se os aportes teóricos construídos e os resultados obtidos com uma investigação, realizada no âmbito do Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática (PPGECIM) e do grupo de pesquisa de Estudos Curriculares em Educação Matemática (GECEM), na Universidade Luterana do Brasil (ULBRA), Canoas, Rio Grande do Sul, Brasil, no ano de 2019. Participaram, além das pesquisadoras, três alunas, que estavam matriculadas no quarto semestre do curso de Licenciatura em Matemática, do total de oito semestres de formação docente, que o referido curso está composto. A investigação consistiu no design de um problema aberto e que abordou um tema de relevância social, sob o enfoque da (re)formulação e resolução de problemas com o uso das tecnologias digitais. Tal problema foi utilizado pelas futuras professoras, em um planejamento pedagógico, para uma turma de alunos de um terceiro ano do Ensino Médio, que, na sua execução, em sala de aula, puderam observar os resultados na prática. Essas atividades foram realizadas no decorrer do curso de extensão, intitulado Design de problemas com a utilização das tecnologias digitais, sob o enfoque da (re)formulação na Educação Matemática, ofertado na investigação realizada, na mesma Instituição.

Com a realização da investigação, buscou -se responder à questão diretriz: Como ocorre o design de problemas abertos e o planejamento e realização de práticas pedagógicas, para proposta de (re)formulação e resolução desses problemas, com o uso de tecnologias digitais, na formação inicial de professores de Matemática? Ademais, pretendia-se atingir o objetivo geral: investigar quais são os conhecimentos produzidos por futuros professores de Matemática, nos aspectos matemáticos, metodológicos, tecnológicos e acerca da abordagem de temas de relevância social, por meio do design, (re)formulação e resolução de problemas abertos e do planejamento e realização de práticas pedagógicas, em que tais problemas são propostos.

2. Referencial teórico

O design de problemas abertos e que abordam temas de relevância social com o uso de tecnologias digitais é, conforme ^{Figueiredo (2017)}, uma perspectiva metodológica a ser empregada na formação inicial de professores, com os alunos de Licenciatura(s) em Matemática, pois os experimentos de design de enunciados e planejamento pedagógico favorecem a criação de novos enunciados de problemas e consonantes com as necessidades educacionais. Para ^{Figueiredo & Groenwald (2018)}, esses experimentos devem ser realizados a partir do enfoque da (re)formulação e resolução de problemas com o uso de tecnologias digitais, de modo que possam estudar, discutir, investigar e refletir, no seu processo formativo, sobre como podem ser desenvolvidos os conceitos matemáticos, utilizadas as tecnologias digitais e abordados os temas de relevância social, preparando-os para a sua integração ao seu fazer pedagógico de sala de aula, na disciplina de Matemática.

Para atingir os objetivos de formação inicial, entre eles, a preparação para o desempenho da profissão docente, a produção de conhecimentos matemáticos, metodológicos, tecnológicos e relativos à abordagem de temas de relevância social e o desenvolvimento de competências e habilidades profissionais, podem ser executadas as etapas propostas por ^{Figueiredo (2017)}, que foram identificadas a partir das que são mencionadas por ^{Filatro (2008)} para o Design de Sistemas Instrucionais ou ISD² (análise da necessidade, projeto, desenvolvimento e implementação da solução e avaliação da mesma): formação do grupo de trabalho (designers); análise das necessidades ; projeto / planejamento, desenvolvimento e implementação ; avaliação da primeira versão do problema; discussão e reflexão por parte dos designers; e realização de modificações ou do re-design, para obter a segunda versão do problema. Nesse processo, pode ser utilizado o recurso storyboard, “[...] na fase de pré-produção, [...] [que] funciona como uma série de esquetes (cenas) e anotações que mostram visualmente como a sequência (sic) de ações deve se desenrolar” (^{Filatro, 2008, p. 60}).

Ainda, para complementar tais etapas, podem ser acrescentadas outras: planejamento da prática pedagógica; realização da prática pedagógica; e discussão e reflexão por parte dos resolvedores e do(s) designer(s) (^{Figueiredo, 2017}). Ao propor os problemas produzidos a alunos da Educação Básica, em uma prática pedagógica, os futuros professores têm a oportunidade de verificar os resultados e isso ocasionará discussões e reflexões, que os auxiliem no processo de depuração das informações observadas e na (re)construção de suas concepções quanto à prática, denominada como os processos de conhecer-na-ação e de reflexão-na-ação, que ocasionam na produção de novos conhecimentos, necessários ao desempenho profissional como educador matemático, ou seja, o conhecimento-na- ação (^{Schön, 2000}). Esses processos complementam, simultaneamente, à ação de design, com fins instrucionais.

Na formação inicial, tais possibilidades podem proporcionar, tal como preconiza ^{Imbernón (2011, p. 63)}, a aquisição “[…] de uma bagagem sólida nos âmbitos científico, cultural, contextual, psicopedagógico e pessoal [e][…] capacitá-lo a assumir a tarefa educativa em toda sua complexidade, atuando reflexivamente com a flexibilidade e o rigor necessários […]”. Para tanto, devem ter a oportunidade para a criação de estratégias e métodos de intervenção, de cooperação, de análise e de reflexão, por meio da observação, de debates, de reflexões, da análise crítica da realidade social e da aprendizagem.

Ao realizá-los, o(s) designer(s) (aluno(s) de Licenciatura(s) em Matemática, sob as orientações do(s) professor(es) formador(es)), pode(m) levar em consideração as tecnologias digitais que são disponibilizadas pelas instituições de ensino, para que os alunos aprendam à utilizá-las na solução dos problemas, bem como os seus interesses, conhecimentos prévios e níveis de desenvolvimento cognitivo (^{Figueiredo, 2017}). Entende-se que, a escolha e abordagem de um tema de relevância social, que trate de situações que se assemelham as que vivenciam no seu cotidiano e/ou que atraiam a sua atenção para o estudo do mesmo, podem favorecer tanto o design de enunciados, de acordo com tais intencionalidades, como o planejamento pedagógico, em que é previsto o modo como os problemas serão propostos e (re)formulados e resolvidos, a fim de que empreguem ou produzam novos conhecimentos.

Ainda, no que diz respeito aos temas de relevância social, destaca-se os que podem contextualizar os problemas, que são os “Temas Contemporâneos Transversais (TCTs)”: Ciência e Tecnologia, Meio Ambiente, Multiculturalismo, Economia, Saúde, Cidadania e Civismo (^{Brasil, 2019}). Esses temas podem contribuir para o desenvolvimento das habilidades de elaboração e resolução de problemas, que são mencionadas na Base Nacional Comum Curricular (BNCC), para a Educação Básica do país (^{Brasil, 2018}).

No que se refere ao Ensino Médio, segunda etapa da Educação Básica, ^{Olgin (2015)} menciona que podem ser estudados os temas: Contemporaneidade, Político-Social, Cultura, Meio Ambiente, Conhecimento Tecnológico, Saúde, Temas Locais e os que envolvem os Conhecimentos Intramatemáticos; sendo que a Educação Matemática Financeira pode ser associada a um ou mais deles. Pela proposta do Comitê Nacional de Educação Financeira (CONEF):

A Educação Financeira nas escolas se apresenta como uma estratégia fundamental para ajudar as pessoas a enfrentar seus desafios cotidianos e a realizar seus sonhos individuais e coletivos. Discentes e docentes financeiramente educados são mais autônomos em relação a suas finanças e menos suscetíveis a dívidas descontroladas, fraudes e situações comprometedoras que prejudiquem não só a própria qualidade de vida como a de outras pessoas (^{Brasil, 2013, p.1}).

Além disso, salienta-se que, no design de enunciados, podem ser atribuídos características e aspectos, que, com o uso de tecnologias digitais, são potencializados no processo de resolução dos problemas, tais como: a visualização, por meio de imagens; a simulação, ao propor vivenciar experiências, que sejam semelhantes às que ocorrem no cotidiano; a investigação, na produção de frases e questionamentos que necessitem a busca de informações que auxiliem o processo de resolução; a reflexão crítica, relativa ao tema social abordado (que é entendida, também, como uma característica ou aspecto a ser atribuído); a comunicação oral e escrita, nas discussões e reflexões, no registro do processo e na apresentação de uma solução; os aspectos estéticos, referentes às cores, imagens, sons, etc.; entre outros (^{Figueiredo, 2017}). Entre esses, destaca- se as características dos problemas dos abertos e a (re)formulação, devido que o resultado do design é um enunciado, que precisa apresentar um ou mais problemas abertos, que propiciem a (re)formulação e resolução dos problemas com o uso de tecnologias digitais.

Os problemas abertos, conforme ^{Allevato (2008)}, possibilitam a exploração dos conteúdos matemáticos, são oferecidas as opções de escolhas e os alunos podem valorizar e expor as suas ideias. O trabalho dos alunos é, em parte, direcionado, visto que “são questões com um enunciado que delimitam um contexto, e o estudante é convidado a explorar aquela situação. O problema aberto [...] o deixa livre para perceber quaisquer relações matemáticas naquele contexto” (^{Paterlini, 2010, p. 2}). Contudo, esses problemas admitem distintos pontos de partida e processos de resolução, que valorizam os conceitos matemáticos e as estratégias mentais, e, inclusive, as necessidades dos alunos que se apresentam, em uma mesma sala de aula (^{Van de Walle, 2009}).

Ademais, ^{Pehkonen, Näveri & Laine (2013)} enfatizam que, por ser um dos objetivos do ensino Matemática, o desenvolvimento da compreensão e do pensamento matemático, esse pode ser atingido com a proposta de problemas abertos, que são um tipo de abordagem metodológica, baseada na visão construtivista da aprendizagem. Ao propô-los, em sala de aula, o professor pode promover o ensino através de problemas, centrado em ambientes ideais de aprendizado, em que os alunos participam ativamente do processo, aumentando claramente a sua capacidade de comunicação e o entendimento dos princípios e conceitos estudados. Esse tipo de proposta ou tarefa, também é uma oportunidade para serem resolvidos problemas reais, em que os respondem e aprendem em situações naturais, por meio de investigações independentes e da busca de soluções.

No que se refere à (re)formulação, pode articulada aos demais, de forma que favoreça que os alunos sejam protagonistas e o professor mediador do processo, para que ocorra a retomada de conceitos matemáticos e a revisão ou produção de novos conhecimentos matemáticos, tecnológicos e sobre temas de relevância social. Na resolução de problemas, pode contribuir para o emprego de competências e habilidades, como, por exemplos, a interpretação, tomada de decisões e escolha ou elaboração de estratégias, que permitam a obtenção de uma ou mais soluções (^{Figueiredo, 2017}).

Para ^{Silver (1994)}, a (re)formulação pode ser definida como a elaboração de outros problemas ou a reformulação de um problema proposto, no processo de sua resolução. A abordagem desse aspecto ou enfoque pode ocorrer antes, durante ou após a solução de um problema. O autor, ainda, declara que, quando há a (re)formulação no processo de resolução, há um planejamento de como obter uma nova versão para o mesmo problema, em que o aluno o personifica, (re)cria e determina as metas que serão atingidas com a solução.

^{Kilpatrick (2017)}, salienta que a (re)formulação exige dos alunos a busca pelo entendimento das dimensões de um problema, de como são construídos e podem ser resolvidos. Todavia, sugere que sejam do tipo não rotineiros, que permitam o desenvolvimento da criatividade e originalidade, se constituindo como objetivo e um meio para o ensino da Matemática.

^{Vale, Pimentel & Barbosa (2015)}, ressaltam que o professor pode utilizar estratégias que encorajem os alunos a (re)formularem problemas nas aulas de Matemática, que aprofundem os conceitos matemáticos e contribuam para que ampliem a compreensão dos processos envolvidos na resolução. No entanto, essas estratégias dependem dos conteúdos matemáticos, do tipo de raciocínio que deverão ser desenvolvidos e do método de avaliação, bem como do nível de conhecimento dos alunos. Os autores, ainda, destacam que a (re)formulação de problemas pode suscitar a criatividade, que favorece o desenvolvimento de outras capacidades, entre elas a percepção dos conhecimentos matemáticos subjacentes, o pensamento crítico e capacidade de expor as ideias envolvidas na resolução do problema. Nesse intuito, é preciso proporcionar:

Contextos em que os alunos tenham a oportunidade de resolver problemas, usando diferentes estratégias, mas também [de] formular problemas, permite que se envolvam diretamente nos processos, aumentem os níveis de motivação, sendo encorajados a investigar, tomar decisões, procurar padrões, estabelecer conexões, generalizar, comunicar, discutir ideias e identificar alternativas (^{Vale, Pimentel & Barbosa, 2015, p. 47}).

^{Jurado (2017)}, aponta que a (re)formulação pode favorecer o desenvolvimento de competências e habilidades nos alunos, ao qual se destinam as situações problemas planejadas, como: capacidade de analisar situações problemáticas, de identificar ou criar problemas, de resolver problemas, de elaborar questionamentos, buscar respostas e de refletir criticamente sobre a realidade. Mas para que tais capacidades se apresentem e/ou sejam desenvolvidas, o autor sugere, também, que as situações propostas devem apresentar um ou mais elementos fundamentais de um problema, ou seja: as informações, que seriam os dados relevantes e/ou quantitativos apresentados no enunciado; as exigências, que são as solicitações requeridas, como encontrar, examinar ou concluir a resolução do problema, quantitativa ou qualitativamente (exemplo: gráficos e demonstrações); o contexto intra (situação dada ou criada pelo aluno) ou extra (situações que ocorrem no dia a dia) matemático; e o ambiente matemático, que envolve a estrutura e os conceitos matemáticos que podem intervir na resolução e na solução do problema.

^{Abramovich (2015)} salienta que, nessa atividade, os recursos tecnológicos podem contribuir para a representação das condições e dos dados numéricos ou algébricos de um problema e para a obtenção de uma ou várias soluções e a(s) sua(s) análise(s) . Esses recursos, na (re)formulação e na resolução de problemas, podem instigar a reflexão sobre os procedimentos empregados e os conceitos matemáticos envolvidos. Para isso, menciona que os professores precisam ter a oportunidade de discutir e refletir criticamente, para que compreendam didaticamente como os problemas matemáticos, com o uso desses recursos, podem ser propostos e os resultados que esses geram com o uso desses recursos.

Por outro lado, e além do estudo, da discussão, investigação e reflexão sobre o design de enunciados de problemas abertos com o uso de tecnologias digitais, se faz necessário, também, na formação inicial de Matemática, para a (re)formulação de problemas, a ser proporcionada aos alunos da Educação Básica, por meio da resolução desses problemas. Segundo ^{Crespo (2003)}, são necessários processos formativos que desafiem e ampliem as ideias docentes, bem como permitam a escolha, adaptação, elaboração e proposta de problemas, sob tal enfoque, nas instituições de ensino. As experiências de selecionar ou criar problemas e de propor esses problemas, para constar os resultados na prática pedagógica, podem ser estratégias para (re)pensar como os problemas matemáticos são apresentados aos alunos e gerar novos planejamentos, que a produção de conhecimentos.

Nesse viés, acredita-se a aquisição das experiências de designer e professor pode ser melhor compreendida, em termos pedagógicos, a partir das concepções de ^{O’Dell (2001)}, quando esse se refere à necessidade de desenvolver a criatividade e instigar a inovação no processo de resolução. O autor, embora utilize exemplos de resolução de problemas, em diferentes contextos e áreas, que não o de formação inicial de professores de Matemática, menciona aspectos formativos, em que a criatividade é destacada, por ser um meio da implementação de novas ideias e para a inovação. Quando essas são aplicadas na prática, podem ser desenvolvidas pelos aspectos do modelo 4P+F (Figura 1).

Figura 1 Modelo 4P+F (^{O’Dell, 2001}) 

Nesse modelo, os quatro Ps representam os atributos, que podem ajudar na descrição desses aspectos. Esses atributos seriam:

A letra F, de ferramentas, significa que os recursos e métodos são utilizados para associar os quatro Ps, sendo essas, capazes de associar os processos divergente (produção de um conjunto de opções) e convergente (avaliação e julgamento dessas opções).

Com o propósito de contribuir para resolução criativa de problemas e a tomada de decisões para a inovação, ^{O’Dell (2001)} apresenta exemplos de ferramentas e propõe que esse modelo seja utilizado em um ou por um grupo de pessoas, de modo que contribua para o entendimento da diversidade de ideias e perfis e para que incida na obtenção de um resultado em comum. No P de processo, pode ser realizada a ferramenta denominada Quatro Diamantes, que envolve: a análise do problema, a definição do problema, a geração de ideias e o planejamento de ações ou de implementação (Figura 2).

Figura 2 Etapas do processo “Quatro diamantes” (^{O’Dell, 2001}) 

Desse modo, compreende-se que o design de problemas abertos e que abordam temas de relevância social com o uso de tecnologias digitais, com o objetivo de propiciar a (re)formulação e resolução desses problemas, utilizando os recursos tecnológicos, é uma perspectiva metodológica que pode possibilitar as experiências de designer e professor, aos futuros professores de Matemática, visto que permite que produzam conhecimentos, referentes a aspectos matemáticos, metodológicos, tecnológicos e acerca da abordagem de temas de relevância social (^{Figueiredo, 2017}), que contribuam para a aquisição de conhecimento básico especializado (^{Imbernón, 2011}), tornando-os preparados para a realização desses designs e os utilizarem os problemas em seus planejamentos e na realização de práticas pedagógicas. Ademais, pode favorecer o desenvolvimento de competências e habilidades profissionais, como a tomada de decisões pedagógicas, a escolha e o uso de tecnologias digitais, a criatividade e a inovação, a identificação de características e aspectos que devem atribuídos ao design para que instigue a (re)formulação o processo de resolução, a discussão, investigação e reflexão sobre as práticas de design e pedagógica em que esses problemas são propostos, entre outras.

3. Percurso metodológico

Com a intencionalidade de atingir o objetivo de investigar quais são os conhecimentos produzidos por futuros professores de Matemática, nos aspectos matemáticos, metodológicos, tecnológicos e acerca da abordagem de temas de relevância social, por meio do design, (re)formulação e resolução de problemas abertos e do planejamento e realização de práticas pedagógicas, em que tais problemas são propostos, determinou-se: os participantes e contextos, os instrumentos de coletar os dados, as atividades propostas e como pretendia-se analisar os resultados obtidos.

4. Os resultados da investigação

Do quinto ao oitavo encontros do curso de extensão, foram propostas atividades com a finalidade que os alunos, do curso de extensão, realizassem o design de problemas abertos, abordando um tema de relevância social e utilizando as tecnologias digitais, para que pudesse ocorrer a (re)formulação e resolução dos problemas, assim como para que discutissem e refletissem sobre a experiência adquirida, como designers. Nesses encontros, identificou-se a ocorrência das etapas de formação do grupo de trabalho (designers); análise das necessidades; projeto / planejamento, desenvolvimento e implementação; avaliação da primeira versão do problema; discussão e reflexão por parte dos designers; e realização de modificações ou do re-design, para obter a segunda versão do problema (^{Figueiredo, 2017}).

As alunas D, E e F decidiram formar um grupo de trabalho, para realizar o design do problema e propô-lo a alunos de um terceiro ano do Ensino Médio, em que a aluna E era a sua professora de Matemática. No storyboard, realizado em um documento de Word, as alunas optaram por abordar um tema que pudesse favorecer a Educação Matemática Financeira (^{Brasil, 2013}), um tema da Contemporaneidade (^{Olgin, 2015}) e ligado à Economia (^{Brasil, 2019}). Elas pretendiam que houvesse, no processo de (re)formulação e resolução, o planejamento da compra fictícia de móveis, para mobiliar a residência do personagem, observando o orçamento e as formas de pagamento para ele determinados. De acordo com as gravações de áudio e vídeo, a aluna E alegou que o tema vinha ao encontro dos possíveis interesses e das expectativas futuras dos seus alunos, que poderiam almejar a sua independência, residindo em uma casa própria. Dessa forma, esse foi escolhido para simular uma situação problemática, sem haver a preocupação se seria realmente do interesse dos alunos de um terceiro ano do Ensino Médio.

Ademais, o tema favoreceu o reconhecimento, por parte das alunas, que poderiam ser empregados ou aprendidos novos conhecimentos matemáticos na (re)formulação e resolução do problema, relativos as quatro operações com os números racionais, à Matemática Financeira (valores monetários, porcentagem, juros, entre outros), às medidas de comprimento, largura e altura e à Geometria (figuras planas e espaciais e cálculos de áreas). Para escolher os móveis, nas Lojas online (que os alunos do terceiro ano teriam acesso), seriam necessários o planejamento financeiro do personagem, para verificar o que esse poderia ou não comprar, o que requer a resolução de cálculos que envolvem as quatro operações com os números racionais, valores monetários, porcentagem, juros, entre outros que possam ser necessários e que não foram destacados pelas alunas, bem como verificar as medidas de comprimento, largura e altura dos móveis.

Em relação ao uso de tecnologias digitais, pesquisaram na Internet, as imagens de plantas baixas de residências de um, dois e três dormitórios, com as medidas em metros (^{Turola, 2018}). Essas imagens foram utilizadas para produzir uma história em quadrinhos, no site Toondoo (<http://www.toondoo.com>), que seria apresentada na forma de um book online e em duas opções (uma com o personagem principal sendo uma mulher e outra um homem), que se diferem apenas pelo personagem. Essas tecnologias, segundo as alunas, poderiam atingir os objetivos e instigar o processo de (re)formulação e resolução, utilizando essas e outras tecnologias digitais, disponibilizadas por elas ou escolhidas pelos alunos.

A primeira versão obtida foi analisada pelas pesquisadoras, que sugeriram o aprimoramento dos aspectos estéticos, a revisão da ortografia e a alteração das imagens das plantas baixas, para que ficassem legíveis. A seguir, pode ser observado o enunciado do problema “Mobiliando a casa - versão feminina” (<http://www.toondoo.com/ViewBook.toon?bookid=696308>), nas Figuras 3 e 4.

Figura 3 Páginas 1 a 5 do problema “Mobiliando a casa” (feminino) 

Figura 4 Páginas 6 a 10 do problema “Mobiliando a casa” (feminino) 

No enunciado, observa-se que, da página 1 a 4, são expostas informações sobre a personagem, mas é solicitado que seja nomeado o personagem (página 2) e há um questionamento que instiga a escolha de uma das plantas baixas das residências (página 4). Nas páginas 5 a 7, foram utilizadas as imagens das plantas baixas das residências pesquisadas, de um (página 5), dois (página 6) e três (página 7) dormitórios, respectivamente, que representam como os móveis são dispostos nos cômodos, que podem ou não interferir nas decisões dos alunos. Nas páginas 8 e 9, há informações quanto às condições financeiras e de pagamento que o personagem possui e, ainda, pode ser determinado o nome de outro personagem que irá ajudar ou não nesse pagamento. Na página 10 e última, são feitos questionamentos que suscitam a busca por uma solução para o problema, já que será necessário responder se o personagem poderá efetuar as compras em um mês ou mais.

No que concerne às características e aspectos atribuídos ao enunciado, que podem ser evidenciados com o uso de tecnologias digitais na resolução, destaca-se que o problema é aberto e pode propiciar a (re)formulação. Esses aspectos metodológicos podem contribuir para a ocorrência: da exploração, na busca de estratégias de resolução; da visualização, por meio das imagens apresentadas e das plantas baixas, da investigação de informações, na Internet, e na avaliação do processo de resolução para obter uma solução satisfatória; da simulação, pois apresenta um contexto fictício, que possibilita a reflexão sobre as decisões tomadas; a comunicação oral e escrita, na solicitação dos registros do processo e de uma solução; da valorização dos aspectos estéticos, já que o enunciado é apresentado na forma de uma história em quadrinhos, cuja leitura e interpretação instigam a busca por uma solução; entre outros (^{Figueiredo, 2017}).

O problema pode ser considerado, tal como destaca ^{Kilpatrick (2017)}, como não rotineiro, já que possui a potencialidade de desenvolver a criatividade e originalidade dos alunos do terceiro ano do Ensino Médio, assim como ser um meio para o ensino da Matemática, por meio da (re)formulação e resolução. Também, por ser aberto, nota- se que o enunciado delimita um contexto (^{Paterlini, 2010}), que pode promover o ensino da Matemática através de problemas, em um ambientes de aprendizado que os alunos participam ativamente do processo (^{Pehkonen, Näveri & Laine, 2013}), que admite distintos pontos de partida (^{Van de Walle, 2009}) e apresentam opções de escolhas (^{Allevato, 2008}), que podem atender as necessidades educacionais de cada aluno.

No Fórum “Refletindo sobre o design dos problemas com o uso de tecnologias digitais”, cuja pretensão era a discussão, investigação e reflexão sobre o design e resultado obtido, ou seja, processo que originou o enunciado do problema, as alunas D e F escreveram que a experiência como designers lhes permitiu a aprendizagem de uma perspectiva metodológica diferenciada e enriquecedora, visto que puderam refletir sobre como deve ser produzido o enunciado de um problema para que ocorra a autonomia dos alunos na tomada de decisões e na aprendizagem de conhecimentos matemáticos através da sua (re)formulação e resolução. A aluna D também destacou as características e capacidades que podem ser desenvolvidas através da resolução do problema que produziram: “[...] tem diferentes caminhos para obter a solução e, ao formulá-lo, fomos capazes de identificarmos como reagiriam os alunos quanto às suas escolhas [...]. Assim o aluno poderá desenvolver as capacidades de tentar, supor, testar e provar o que é proposto [...]”.

A aluna E mencionou que “[...] o design de problema é uma metodologia [...], que possibilita trabalhar com inúmeras situações com os alunos e, a partir dessas [...], torná-los mais críticos e independentes na tomada de suas decisões”. Pela resposta, a aluna compreendeu que a perspectiva evidenciada pode favorecer a abordagem de temas e viabilizar o desenvolvimento das competências e habilidades de reflexão crítica, tomada de decisões e elaboração e resolução de problemas, tal como destacam ^{Figueiredo (2017)}, ^{Jurado (2017)} e ^{Brasil (2018)}.

Dessa forma, depreende -se que as alunas D, E e F identificaram as possibilidades, as características e os aspectos que podem ou devem ser atribuídos ao design de problemas com o uso de das tecnologias digitais, para a (re)formulação e resolução de problemas, com esses recursos. Também, a experiência adquirida propiciou, tal como apontam ^{Vale, Pimentel & Barbosa (2015)}, a identificação de que contextos, como o que pode ser proporcionado pelo problema que produziram, são capazes de envolver os alunos no decorrer desse processo.

Do nono ao décimo segundo encontros do curso, foram propostas atividades que pudessem contribuir para a aprendizagem de como planejar e realizar uma prática pedagógica, para propor problemas, como o que produziram, e para que os alunos os (re)formulem no processo de resolução com o uso de tecnologias digitais. Também, a aquisição dessa experiência visava a discussão, investigação e reflexão sobre as potencialidades e/ou limitações que podem proporcionar à Educação Matemática. Nesses encontros, ocorreram as demais etapas do design de problemas, que são destacadas por ^{Figueiredo (2017)}: planejamento da prática pedagógica; realização da prática pedagógica; e discussão e reflexão por parte dos resolvedores e do(s) designer(s).

Para realizar a prática pedagógica, em que o problema seria resolvido pelos alunos do terceiro ano do Ensino Médio, as alunas D, E e F foram orientadas pelas pesquisadoras a elaborarem o plano de aula, pois, segundo ^{Vasconcellos (2007, p. 148)}, esse facilita o trabalho e “corresponde ao nível de maior detalhamento e objetividade do processo de planejamento didático”. Na sua elaboração, escolheram os elementos que são apresentados pelo autor e podem ser verificados na Figura 5.

Figura 5 Plano de aula elaborado pelas alunas D, E e F 

No plano de aula, verifica-se que as alunas D, E e F salientaram que o tema seria abordado para proporcionar a sua compreensão e a aprendizagem de novos conhecimentos sobre o mesmo, o que as fez determinarem o objetivo a ser atingido e os conhecimentos matemáticos que seriam trabalhados ou utilizados pelos alunos no processo de resolução. Na metodologia, constata-se que mencionaram que o problema é do tipo aberto e, por isso, os alunos poderão tomar decisões pelo personagem, escolher a planta baixa da residência que for mais adequada às necessidades e suas condições financeiras. No que se refere ao tempo previsto para a duração, recursos e avaliação, esses são condizentes aos demais elementos do plano.

Ainda, sobre o plano de aula, nota-se que as alunas consideraram os elementos fundamentais para propor um problema, que, em conformidade com ^{Jurado (2017)}, são: as informações, apresentadas no enunciado; as exigências, que são mencionadas na metodologia do plano de aula; o contexto intra, pois produziram o enunciado do problema, e extra matemático, visto que trata-se de uma situação problemática que possui um contexto fictício, que se assemelha às situações vivenciadas no cotidiano; e o ambiente matemático, ao apontarem as necessidades, o objetivo e os conteúdos que poderiam ser trabalhados, que são consoantes a metodologia que seria ser empregada e os demais itens do plano.

Além disso, escreveram que pretendiam promover, também, a Educação Matemática Financeira dos alunos. Nesse sentido, o plano de aula de aula veio ao encontro da proposta de Educação Financeira para o Ensino Médio, do CONEF, no que diz respeito que essa é uma estratégia capaz de ajudar no enfrentamento dos desafios cotidianos, que envolvam o planejamento das finanças e a realização de sonhos pessoais ou familiares e a identificação que a autonomia em suas decisões, requer a observação do orçamento, para não excedê-lo.

Na realização da prática pedagógica, as alunas D, E e F desempenharam a função de professoras, sem que houvesse a participação das pesquisadoras, mas foram orientadas, previamente, quanto ao papel de mediadora que exerceriam e da necessidade de fazer observações e registrá-las, por escrito. Nesses registros, reconheceu-se que a aluna H depreendeu que o tema de relevância social abordado “contribuiu para a tomada de decisões e reflexões que favoreceram a Educação Financeira, pois alguns alunos utilizaram como estratégia economizar, escolhendo assim, a planta baixa de um ou dois dormitórios e os móveis mais baratos, em sites como o Mercado Livre”. Da mesma forma, verificou-se, também, tais indícios no excerto a seguir, que foi obtido por meio da realização da entrevista semiestrutura, em que foram feitos questionamentos que visavam a discussão, a investigação e a reflexão sobre a prática pedagógica. Entre os questionamentos, citam-se os que uma das pesquisadoras fez quanto se havia ocorrido ou não a (re)formulação:

Desse modo, conforme os registros das observações e excerto, entende-se que houve a (re)formulação e resolução do problema com o uso de tecnologias digitais, posto que as alunas D, E e F declararam que cada uma das duplas o reformulou, ao tomarem decisões consoantes com a planta baixa da residência que escolheram e para que o personagem conseguisse efetuar o pagamento. Também na análise de suas observações, verificou-se que, devido às decisões que os alunos tomaram, os conhecimentos referentes às quatro operações com os números racionais, à Matemática Financeira (principalmente valores monetários, porcentagem e juros, que seriam os básicos) e às medidas de comprimento, que haviam nas plantas baixas, foram os mais evidenciados no processo, do que aqueles relacionados às medidas de largura e altura e às figuras geométricas planas e espaciais e o cálculos de áreas.

Nesses, reconheceu-se que os alunos do terceiro ano demonstraram e/ou desenvolveram as competências e habilidades: a discussão e reflexão, a tomada de decisões, a elaboração de estratégias de resolução e a escolha e o uso de sites de venda de móveis (^{Figueiredo, 2017}). Tais resultados vieram ao encontro do que menciona ^{Silver (1994)}, quanto às potencialidades da (re)formulação no decorrer no processo de resolução, visto que os alunos personificaram o problema, determinaram as suas metas e o (re)criaram a fim de encontrar uma solução. Além disso, o contexto do problema proporcionou que os alunos pensassem criticamente, expusessem as suas ideias, identificassem as melhores alternativas e utilizassem os conhecimentos matemáticos, que poderiam contribuir para a solução do problema (^{Vale, Pimentel & Barbosa, 2015}).

Outra atividade proposta foi a participação no Fórum “Realização da prática pedagógica”, que tinha como propósito que os futuros professores trocassem ideias sobre a experiência adquirida, com a realização da prática pedagógica. Nele, as alunas D e E, escreveram que a experiência adquirida como professoras lhes possibilitou o reconhecimento de potencialidades, como a apresentação e/ou desenvolvimento das competências e habilidades de discussão, de reflexão e de tomar decisões no processo de (re)formulação e resolução com o uso de tecnologias digitais, uma vez que cada aluno pode resolver “[...] no seu ritmo, colocando suas preferências na atividade, ou seja, a autonomia dos alunos foi valorizada [...]” (Aluna E).

Sobre o papel de professora, a aluna H destacou que “[...] a mais relevante contribuição é a mediação, onde o professor auxilia [...], provocando o aluno a aprender a partir de seus próprios questionamentos, escolhendo seu próprio caminho para a resolução do problema dado”. Para ela, a experiência adquirida lhe permitiu a verificação de como deve ser mediado o processo de (re)formulação e resolução de problemas com o uso de tecnologias digitais e valorizada a formulação de questionamentos e a busca por respostas.

Desse modo, o design e a proposta de (re)formulação e resolução do problema com o uso de tecnologias digitais, em uma prática pedagógica, foram, como destaca ^{Crespo (2003)}, estratégias formativas, que desafiaram e proporcionaram o (re)pensar acerca da maneira como os problemas matemáticos podem ser propostos nas aulas de Matemática. Também, contribuíram para que as alunas D, E e F desenvolvessem a criatividade e a inovação, pois, segundo o modelo 4P+F (^{O’Dell, 2001}), compreende-se, pedagogicamente, que puderam avaliaram as suas preferências no design do problema e para planejar a prática pedagógica, de acordo a perspectiva evidenciada no curso (P de pessoa); tiveram que planejar e desenvolver, em um storyboard, como seria o enunciado e observando as necessidades requeridas, para então implementá-lo e, posteriormente, aprimorá-lo, bem como precisaram elaborar o plano de aula, de modo que o metodologia abrangesse o assunto/tema a ser abordado, as necessidades, o objetivo, os conteúdos, os recursos, o tempo para realizá-la e a avaliação (P de processo); realizaram o design do problema, se apropriando do planejamento e desenvolvimento elaborados no storyboard, para obter as opções definitivas (segunda versão do problema) e para essas serem utilizadas no planejamento e a realização da prática pedagógica (P de Produto) e das alterações requeridas e sugeridas pelas pesquisadoras (P de pressão). Dessa forma, o design de problemas, sob o enfoque evidenciado, pode ser considerado como um tipo de ferramenta, tal como sugere o autor (F de ferramentas), pois, há indícios que houve, também, a ocorrência do processo quatro diamantes (Quadro 2).

Quadro 2 Compreensão pedagógica do processo quatro diamantes (^{O’Dell, 2001}) 

FASES DIVERGENTES	PROCESSO	FASES CONVERGENTES
Discussões iniciais sobre as necessidades educacionais, para produzir um enunciado que pudesse ser utilizado em uma prática.	Análise do problema	Definição do tema a ser tratado, das tecnologias digitais que seriam usadas, dos conteúdos matemáticos e das características e aspectos que seriam valorizados através do design.
Discussões sobre como planejar e desenvolver o enunciado do problema, utilizando, para isso, o storyboard.	Definição do problema	Decisão de produzir o enunciado do problema, como se fosse uma história em quadrinhos.
Discussão sobre como seria cada parte da história em quadrinhos, do que seria escrito e as imagens essa teria, considerando as necesidades requeridas.	Geração de ideias	Definição das informações que seriam apresentadas no enunciado. Pesquisa, na Internet, de imagens de plantas baixas de residências para serem utilizadas na história em quadrinhos. Decisões de utilizar o site Toondoo, para implementar a história em quadrinhos, e de fazer duas opções (uma feminina e outra masculina).
Discussões acerca de como adequar o planejamento do enunciado, feito no storyboard, aos recursos oferecidos pelo site Toondoo. Discussão e reflexão, posteriores, ao design da primeira versão, para aprimorar o enunciado do problema e obter a segunda versão. Discussão e reflexão quanto a realização da prática pedagógica, em que o problema seria proposto, (re)formulado e resolvido pelos alunos do terceiro ano, com o uso de tecnologias digitais.	Planejamento de ações	Planejamento, desenvolvimento e implementação do design do problema (primeira versão) e, posteriormente, das modificações para aprimorá-lo (obtenção da segunda versão). Elaboração do plano de aula, em que o problema seria proposto, (re)formulado e resolvido com o uso de tecnologias digitais. Realização da prática pedagógica, de acordo com o plano de aula elaborado.
	Problema obtido e utilizado na prática pedagógica

Diante do exposto, depreende-se que as atividades propostas contribuíram para que as alunas D, E e F adquirissem experiências docentes e produzissem o conhecimento básico especializado (^{Imbernón, 2011}). Isso foi possível na medida que puderam trabalhar em equipe e discutiram, tomaram decisões, planejaram, investigaram e refletiram, ao realizarem o processo que resultaria no enunciado do problema almejado e na elaboração do plano de aula, bem como quanto aos resultados que obtiveram com as atividades realizadas.

Compreende-se, também, que as alunas D, E e F puderam reconstruir às suas concepções quanto às perspectivas metodológicas de problemas abertos, da (re)formulação, da resolução de problemas e do uso de tecnologias digitais, quando correlacionadas em um design instrucional, através dos processos de conhecer-na-ação e de reflexão-na-ação, que ocasionaram na produção de conhecimentos docentes (o conhecimento -na-ação), que podem ser utilizados no planejamento e na realização de práticas pedagógicas (^{Schön, 2000}), para a Educação Matemática. As suas ações oportunizaram a produção de conhecimentos metodológicos, relativos ao design de enunciados de problemas matemáticos do tipo aberto, em que são abordados temas de relevância social e utilizadas as tecnologias digitais, para que possam ocasionar a (re)formulação e resolução com o uso desses recursos, e atingir os objetivos educacionais pretendidos, no que se refere ao processo de ensino e a aprendizagem dos conhecimentos matemáticos, que devem ser identificados a partir do tema evidenciado.

5. Considerações finais

A investigação realizada possibilitou a obtenção de uma resposta para à questão diretriz: Como ocorre o design de problemas abertos e o planejamento e realização de práticas pedagógicas, para proposta de (re)formulação e resolução desses problemas, com o uso de tecnologias digitais, na formação inicial de professores de Matemática? De acordo com os resultados obtidos, as experiências de designer e professor, possibilitam a aprendizagem de como realizar o design de problemas abertos e que abordam temas de relevância social com o uso de tecnologias digitais, para a (re)formulação e resolução de problemas com o uso desses recursos e como utilizar tais problemas na elaboração do planejamentos e na realização de práticas pedagógicas. Para tanto, os futuros professores precisam ser orientados pelo(s) professor(es) formador(es), para que ocorra a identificação dos conhecimentos matemáticos que podem ser valorizados, empregados e/ou ensinados e aprendidos pelos alunos/resolvedores através da (re)formulação e resolução desses problemas. Também, precisam ser direcionados para que o tema de relevância social e as tecnologias digitais sejam escolhidas e utilizadas no design e em sala de aula, de forma a atender os objetivos almejados, bem como para que promovam a Educação Matemática e a Educação Financeira, de acordo com o ano e nível de ensino dos alunos e suas particularidades.

Ao levar-se em consideração o objetivo almejado, que era investigar quais são os conhecimentos produzidos por futuros professores de Matemática, nos aspectos matemáticos, metodológicos, tecnológicos e acerca da abordagem de temas de relevância social, por meio do design, (re)formulação e resolução de problemas abertos e do planejamento e realização de práticas pedagógicas, em que tais problemas são propostos, reafirma- se que as atividades de design de enunciados de problemas abertos e que abordam temas de relevância social com o uso de tecnologias digitais e de planejamento e realização de práticas pedagógicas, em que esses problemas serão propostos, (re)formulados e resolvidos utilizando esses recursos, pelos alunos da Educação Básica, sobretudo do Ensino Médio, são oportunidades para que os futuros professores de Matemática possam reconhecer as características e aspectos que podem ser atribuídos ao enunciados de problemas, em conformidade com as características de problemas abertos, que são pré-determinados, e a (re)formulação de problemas, que pode ser associada a resolução com o uso de tecnologias digitais: a exploração, visualização, investigação, simulação, comunicação, aspectos estéticos, entre outras.

As etapas propostas por ^{Figueiredo (2017)}, para o design de problemas com o uso de tecnologias digitais, na formação inicial de professores de Matemática, contribuem para que os futuros professores não apenas reconheçam as necessidades educacionais, escolham o tema e as tecnologias digitais, mas identifiquem os conhecimentos matemáticos que podem ser trabalhados e, até mesmo associados, para criar meios que esses possam ser aprimorados ou aprendidos pelos alunos. Essa experiência se constitui como um espaço para que, em grupo, discutam e reflitam sobre como criar problemas abertos e complexos, procurando inovar, ao inventarem e produzirem imagens, cenários, questionamentos, frases ou informações incompletas, entre outros meios, que instiguem aos alunos a (re)formularem e a resolverem, utilizando as tecnologias digitais, também, de forma criativa, ao tomar decisões, discutindo, refletindo, elaborando estratégias, questionamentos e outros problemas que possibilitem encontrar uma solução. Além disso, a elaboração de um plano de aula, utilizando o enunciado produzido, possibilita o planejamento docente que analise, de forma aprofundada, as necessidades educacionais e das possibilidades que podem emergir da (re)formulação e resolução, em que tecnologias digitais são utilizadas.

No entanto, é com a realização da prática pedagógica, planejada previamente, que ocorre o aprofundamento desses entendimentos pelos futuros professores (^{Crespo, 2003}; ^{Imbernón, 2011}; ^{Figueiredo, 2017}). Nela há o reconhecimento se os objetivos de ensino e aprendizagem foram atingidos, se suas ações e dos alunos foram válidas no decorrer do processo, do que poderia ser aprimorado ou vir a ser alterado ou como outros enunciados podem ser produzidos e daquilo que servirá de base para novas práticas, sob essa perspectiva, e pelos futuros professores implementadas. Ademais, podem constatar como os alunos criam a sua própria versão para o problema proposto, como eles completam as lacunas do enunciado, determinam seus próprios questionamentos e buscam respostas, tomam decisões e utilizam os seus conhecimentos prévios sobre o tema abordado, matemáticos e tecnológicos para (re)formular e resolvê-lo e aprender novos conhecimentos.

Ainda, conforme as concepções de ^{Figueiredo (2017)} e ^{O’Dell (2001)}, as experiências de designer e de professor, adquiridas pelos futuros professores, favorecem o aprimoramento e/ou o desenvolvimento das competências e habilidades. Entre elas, menciona-se as que são necessárias ao exercício profissional docente: trabalhar colaborativamente, tomar decisões, utilizar as tecnologias digitais, identificar as necessidades educacionais, planejar, desenvolver e implementar o design do problema e avaliá-lo, escolher temas para uma Educação Matemática e Financeira, planejar e realizar a prática pedagógica em que o problema seria proposto e discutir, investigar e refletir no decorrer e após as práticas, de design e pedagógica.