5.1. Recuento de la interacción entre Andrew y PI

Habiendo representado la situación en la tableta, Andrew propone una relación; PI le dice que él está confundiendo dos notaciones y le indica la diferencia entre éstas. Tras dicha aclaración, Andrew propone otra relación que, aunque responde acertadamente la pregunta hecha en la tarea, desde la perspectiva del estudiante no es relativa a cualquier triángulo. Enseguida, la interacción entre Andrew y PI lo lleva a realizar una exploración empírica conducente a ver que la segunda relación encontrada no se cumple sólo para el primer caso considerado. Con el propósito de mediar semióticamente la producción del enunciado del hecho geométrico descubierto se da una interacción entre PI y Andrew en la que éste logra hacer un recuento, expresado en términos generales, de las acciones geométricas realizadas y la relación encontrada.

5.2. Descubrimiento y enunciación del hecho geométrico

El OR geométrico implícito en la primera tarea es el hecho Puntos medios en triángulo. Se pretende que el estudiante construya discursivamente dos aspectos de aquél: (i) la relación entre las medidas de longitud de un lado de un triángulo y del segmento cuyos extremos son los puntos medios de los otros dos lados; (ii) el enunciado condicional general que establece el hecho descubierto.

El signo vehículo, “una relación sería que ambos son segmentos”, que profiere Andrew como primera respuesta, es índice de que se ha enfocado en segmentos. Inferimos que, para Andrew, el término “relación” le significa asociación o conexión entre dos objetos, y que las dos notaciones ED- y ED refieren indistintamente al mismo objeto (i.e., el segmento ED); así lo corrobora su lectura del enunciado en voz alta: “punto medio del AB” y “relación especial entre DE y BC”. En el proceso de construcción de significado tenemos el primer objeto dinámico de Andrew: una conexión o asociación entre dos de los elementos de la figura que tiene en la pantalla es la de pertenecer a la misma clase, la de los segmentos (od ₁ ). Este objeto dinámico es poco consistente con el objeto inmediato pretendido cuyo foco es una relación entre las medidas de dos segmentos. Evidenciamos que la construcción del objeto pretendido con la mediación de la tarea le exige al estudiante poder interpretar adecuadamente tanto el término “relación”, como las notaciones geométricas para un segmento y la medida de su longitud.

Para mediar semióticamente el paso de od₁ a uno más consistente con el objeto inmediato pretendido, PI destaca explícitamente la diferencia entre las dos notaciones y precisa cómo se lee cada una de ellas; respecto a la notación ED, menciona dos maneras de leerla: (i)distancia entre los puntos E y D, y (ii)medida de la longitud del segmento ED. Posteriormente, se cerciora de que Andrew lea correctamente la notación BCde las dos maneras.

El signo vehículo de Andrew, “tomar las medidas [de DE- y BC-]”, proferido como plan para abordar la tarea, permite inferir que, de la explicación dada por PI, él advierte que su respuesta no es correcta, y que dar una respuesta pertinente requiere tener las medidas de los segmentos DE y BC.

El par de medidas obtenidas con GeoGebra -2.76 para DE- y 5.52 para BC- - entendido por Andrew como un signo vehículo que materializa la relación que está buscando, parece evocar en él una comparación⁵multiplicativa entre los números que le permite expresar uno como la mitad del otro. Así, Andrew produce el signo vehículo: “[La relación es que] DE es la mitad de BC”. A partir de éste, inferimos el segundo objeto dinámico de Andrew: la asociación o conexión entre las medidas de longitud de los segmentos DE y BC, de la figura construida, es la relación “ser la mitad de” (od₂ ).

Este objeto dinámico está en relativa consonancia con el objeto inmediato pretendido; sin embargo, debe evolucionar para trascender la especificidad: sólo concierne al triángulo que tiene en la pantalla. Inferimos esto ya que las únicas acciones visibles que precedieron a la determinación de la relación fueron la toma de medidas de interés en el triángulo construido y la observación de ellas; queda corroborado con la respuesta de Andrew en el siguiente intercambio verbal:

PI: Ok. ¿Será que lo que acabas de encontrar se cumple en este triángulo específico o… será que eso es una propiedad de cualquier triángulo?

Andrew: Eeee… Se cumple en este triángulo específico.

La falta de alineación entre od₂ y el objeto inmediato pretendido en lo que respecta a la especificidad versus la genericidad y la generalidad deseables puede explicarse como una diferencia en el significado atribuido a la petición “Representa cualquier triángulo […] busca una relación especial entre DE y BC”. Tal signo vehículo parece evocar en Andrew la instrucción de representar untriángulo arbitrario, pero no genérico. Así, una vez representado un triángulo arbitrario, éste queda bien determinado y, por tanto, la petición de buscar la relación especial refiere sólo a las dos medidas particulares, situación coherente con una de las características del primer nivel de razonamiento del modelo propuesto por los esposos van Hiele (^{Gutiérrez y Jaime, 1995}). Por el contrario, en el enunciado de la tarea, la expresión “cualquier triángulo” pretende sugerir un triángulo arbitrario y genérico, y la relación “especial entre DEy BC” refiere a una relación característica, compartida por todos los triángulos. Se evidencia entonces que la construcción del objeto pretendido con la mediación de la tarea también le exige al estudiante poder interpretar adecuadamente el término “cualquiera”.

Procurando mediar semióticamente el paso de od₂ a uno más consistente con el objeto inmediato pretendido, PI promueve una exploración empírica para verificar si la relación se cumple en otros triángulos. Al preguntarle a Andrew qué hacer para decidir si la relación se cumple para otros triángulos, él responde que tendría que hacer más triángulos. PI le sugiere entonces usar el arrastre. Así que, partiendo del triángulo construido (figura 2), Andrew arrastra continuamente el vértice Chasta tener el triángulo que se muestra en la figura 3.

Figura 2 Dos casos de la situación 

Figura 3 Dos casos de la situación 

Con el signo vehículo “¿este es un triángulo distinto al que acabas de hacer?”, PI constata que Andrew nota que el triángulo obtenido es diferente al que se tenía al inicio. Luego, ella promueve un intercambio centrado en determinar para cada triángulo de los cinco obtenidos por arrastre si se cumple la misma relación entre DE y BCdetectada en el triángulo inicial. Para responder, Andrew examina si, en cada caso, una de las medidas es el doble de la otra. En el primer triángulo examinado, las medidas son 12.05 y 6.02, y la respuesta de Andrew es negativa. A la pregunta de PI: “¿Por qué no?”, responde: “Por lo que aquí no debería ser un cinco sino un cuatro. […] Porque el doble de seis punto cero dos es doce punto cuatro” [sic]. PI comenta que es “un asunto de precisión debido a la cantidad de cifras decimales de las medidas” y le sugiere a Andrew que siga explorando. Él arrastra el vértice Bde manera continua y llega a un triángulo en el que las medidas de interés son 4.01 y 8.01. Andrew afirma que en ese caso “tampoco” se cumple la relación. PI es un poco más explícita en su explicación del resultado obtenido: “no se cumpliría. ¿Por qué? Por una diferencia en las centésimas y lo que pasa es que el problema no es en la propiedad del triángulo sino en la precisión que te da el programa en casos específicos. Si ajustáramos ese asunto en GeoGebra, estoy segura de que si aquí dijera cuatro punto cero uno, aquí sería ocho punto cero dos. Es cuestión de ajuste en el programa”. En los siguientes tres casos examinados, las medidas de interés son: 6.84 y 13.68, 2.58 y 5.16, y 6 y 12, situaciones en las que Andrew dice que la relación se cumple. Finalizada la experimentación, se da el siguiente intercambio verbal:

PI: (Tapando la pantalla con las manos) en este momento ¿cómo escribirías esa propiedad que encontraste? (… …) teniendo en cuenta que tú tomaste varios, varios triángulos.

Andrew: (Escribe) La relación que existe es que la medida DE es la mitad de BC(…)

PI: ¿Estabas pensando en escribir algo más?

Andrew: Y que BCes el doble de DE.

PI: ¿Eso es otra forma de decir lo mismo o es una idea diferente?

Andrew: Lo mismo.

El signo vehículo de Andrew, “La relación que existe es que la medida DE es la mitad de BC y que BCes el doble de DE”, coincide con el que dio lugar a od₂ . No obstante, las circunstancias en las cuales surge tal signo (i.e., exploración de varios triángulos, solicitud de escribir la propiedad teniendo en cuenta los varios triángulos explorados, escritura de ésta sin estar viendo el triángulo de la pantalla) nos permiten inferir un tercer objeto dinámico de Andrew en el que, en cierta medida, probablemente no del todo, está superada la particularidad de la relación descubierta en el triángulo construido inicialmente. Así, tenemos el tercer objeto dinámico: la asociación o conexión entre las medidas de longitud de los segmentos de y BC de un triángulo que representa a algunos de los triángulos explorados es la relación “ser la mitad de” (od₃ ).

Para impulsar la evolución de od₃ , PI involucra al estudiante en un ejercicio de relatar lo hecho y lo descubierto sin recurrir al uso de letras para especificar el triángulo y los elementos implicados en el hallazgo. Separamos en cuatro fragmentos la interacción ocurrida entre ellos durante el desarrollo del ejercicio.

PI: Ahora, imagina que la profesora que estuvo la semana pasada, Leonor, se encuentra contigo a la salida de esta clase y te pide que le cuentes qué descubriste en esta clase; no tienes la tableta a mano, ni papel. ¿Qué le contarías?

Andrew: Que lo que descubrimos fue la relación entre… las medidas de un triángulo, entre las medidas de… ¿qué? de… un segmento, ¿no?

PI: Sí, la medida de un segmento.

Andrew: Un segmento que es DE y otro segmento que es BC… La relación es que… DE es la mitad de BC.

PI: Ya. ¿Tú crees que con esa información así, Leonor podría imaginarse exactamente lo que es? (…) ¿o te faltaría precisarle un poquito más?

Andrew: Me faltaría precisar más.

El signo vehículo con el que PI formula el ejercicio presenta dos claves para la mediación semiótica que pretende llevar a cabo. Una de ellas es el destinatario del recuento. Es una persona que no estuvo presente en la clase y, por tanto, se requiere darle más información que la mera relación encontrada, si se quiere favorecer una comunicación exitosa. Además, como es una persona con un conocimiento suficiente del tema no se requiere entrar en explicaciones de detalles, situación que podría diferir si el destinatario fuera un estudiante de otro curso. La otra clave está constituida por la condición de no basar el relato en una representación específica, lo cual exige pasar de lo específico a lo genérico y general.

La respuesta de Andrew permite inferir que ha interpretado las dos claves de manera pertinente, aunque todavía no pueda expresar en su relato lo que ellas ponen en juego. Con su respuesta “[descubrimos] la relación entre… las medidas de un triángulo, entre las medidas de un segmento y […]” contextualiza en un triángulo el resultado descubierto. El inicio del alejamiento de lo específico consiste en el intento por referirse a los objetos involucrados en la relación mediante su descripción y no mediante su designación.

Andrew acepta que a su recuento le falta precisión. PI lo invita a que trate de nuevo, insistiéndole en que “como no están mirando una figura específica te va a tocar encontrar una manera distinta de decirlo”. Andrew manifiesta explícitamente que no sabe cómo proceder. El signo vehículo de PI, “Se tomó un triángulo”, le sugiere a Andrew hacer el recuento del proceso de construcción. Se da entonces el siguiente diálogo entre ellos (el texto en gris corresponde a las intervenciones de PI y el texto en negro, a las del estudiante):

Se tomó un triángulo Se tomó un triángulo y se buscó la ¿Se tomó un triángulo cualquiera o uno especial? Un triángulo… ABC No hablemos del triángulo ABC. Se tomó un triángulo cualquiera, no tenía condiciones especiales ¿o sí? Un triángulo cualquiera… ¿y? Se buscó la relación… se ubicaron los puntos medios Ajá. Se ubicaron los puntos medios… de dos de los lados de dos de los lados. Y luego se unieron, se hizo un segmento Se construyó el segmento de extremos esos puntos medios esos puntos medios y luego se buscó… eee, las… ay, se me olvidó la palabra ¿La relación? la relación entre ese segmento y el segmento… uno de los segmentos. ¿Uno de los segmentos o uno de los lados? Uno de los lados. ¿Cualquiera de los lados? No. ¿Cuál? El de abajo… Pero ¿tiene que estar abajo o podría estar de ladito a veces? Sí, puede estar de lado. Ah, entonces, no te sirve decir debajo o de lado porque… El lado BC. (…) Pero si no has dicho nada de letras…

Al examinar el diálogo se reconoce que PI interviene principalmente a partir de los aportes del estudiante y cuando éste parece requerir de la ayuda de su interlocutora. así, ella completa información dada por Andrew (e.g., los puntos medios “de dos de los lados”, se buscó “la relación”), parafrasea a Andrew pretendiendo expresar su idea en términos más apropiados (e.g., “se construyó el segmento de extremos esos puntos medios” para remplazar a “se unieron [los puntos medios], se hizo un segmento”), hace preguntas para que el estudiante precise la información haciendo el cambio pertinente (e.g., “¿uno de los segmentos o uno de los lados?”, “¿cualquiera de los lados?”, “¿tiene que estar abajo o podría estar de ladito a veces?”), pone objeciones invitando a Andrew a modificar lo que ha dicho (e.g., “Ah, entonces, no te sirve decir debajo o de lado porque…”, “Pero si no has dicho nada de letras”). Respecto a Andrew, es posible reconocer que pudo sostener el diálogo con PI y, algo muy importante, hacer buena parte de su relato sin recurrir a la designación. Aún le falta poder referirse al lado del triángulo implicado en la relación descubierta sin designarlo.

El signo vehículo, “en vez de decir el lado BCpodemos decir el lado opuesto al segmento que hicimos de… los puntos medios”, con que Andrew pretende no recurrir a letras, que fue mediado por la representación que tiene en la pantalla, nos lleva a inferir que el estudiante ha comenzado a ver que la descripción es una manera de referirse a un objeto, diferente a la designación; este avance será fundamental para la evolución de od₃ .

Con su signo vehículo, “de nuevo, ¿cómo podrías enunciar eso que descubriste?”, PI procura consolidar el avance de Andrew relativo al enunciado del hecho geométrico Puntos medios en triángulo. En el cuarto fragmento de la interacción se da el siguiente diálogo entre ellos.

Partimos ¿de qué? Partimos desde un triángulo Partimos de un triángulo cualquiera cualquiera, luego… buscamos los puntos medios… de dos de los lados… luego, eee... construimos el segmento de los puntos medios, después de haber hecho eso eee… utilizamos… ¿Qué encontraste? Una relación… entre el lado opuesto al segmento de los puntos medios o… tercer lado. ¿Cuál es esa relación? La relación era que el segmento de los puntos medios era la mitad de… del tercer lado, y también que el doble del segmento de los puntos medios era… la medida del tercer lado.

Al examinar el diálogo anterior se pueden distinguir claramente los papeles que cada quien desempeña. PI estructura la conversación, es decir, determina de qué se habla y en qué orden, lo cual aporta un formato a la conversación (de dónde se parte-qué se encuentra). Por su parte, Andrew llena de contenido ese formato. En este paso de la construcción discursiva del objeto de interés se puede ver que el estudiante ha incorporado a su discurso casi todas las precisiones hechas por PI en sus intercambios anteriores y, sobre todo, que expresa su hallazgo sin recurrir a la especificación. De este análisis inferimos como objeto dinámico de Andrew: la conexión o asociación entre las medidas de longitud del segmento cuyos extremos son los puntos medios de dos lados de un triángulo y el tercer lado del triángulo es la relación “ser la mitad de” (od₄ ).

La estructuración del recuento en un cierto formato puede interpretarse como el primer paso de un proceso cuya meta es la expresión del hecho geométrico descubierto como una proposición condicional en la que se exprese claramente la relación de dependencia. Así, el objeto dinámico de Andrew tiene todavía camino que recorrer. En la experiencia relatada llegamos hasta od₄ .

Viñeta 2

5.3. Recuento de la interacción entre Andrew y PI

La segunda tarea pregunta si existe un punto en el tercer lado del triángulo tal que el perímetro del triángulo cuyos vértices son los dos puntos ya determinados y el punto propuesto sea la mitad del perímetro del triángulo original, y pide justificar la respuesta. Andrew conoce la definición de perímetro de un triángulo dada en el enunciado. Luego de leer el enunciado de la tarea, Andrew enuncia una hipótesis y realiza un experimento en GeoGebra, por sugerencia de PI, que no lo lleva a obtener la relación numérica exacta para el caso considerado. Tras evaluar la hipótesis de Andrew como buena, PI le propone que justifique la relación entre los perímetros. La primera justificación de Andrew conecta la condición de que los vértices del triángulo pequeño son los puntos medios de los lados del triángulo grande con la posición del triángulo pequeño respecto al grande. Llegar a una justificación aceptable requirió volver a enunciar el hecho descubierto en la primera tarea y la sugerencia de usarlo para elaborar la justificación pedida.

5.4. Uso del hecho geométrico como garantía para justificar la relación entre los perímetros

Interpretar adecuadamente la pregunta de la segunda tarea requiere conectarla con la primera tarea para obtener como conjetura razonable una que enuncie algo como: “si los puntos medios de los lados de un triángulo son los vértices de otro triángulo, entonces el perímetro de…”. Dado que la principal intención didáctica de esta tarea no recae sobre la mencionada conjetura sino sobre su justificación teórica, esta última es el ORMque consideramos. El aspecto de este objeto cuya construcción de significado se pretende que el estudiante inicie es el hecho geométrico Puntos medios en triángulo en su calidad de garantía en la justificación de un hecho geométrico.

La mediación de PI en el proceso de justificación se centra en nombrar y guiar ciertas acciones que hacen parte del metadiscurso relacionado con el razonamiento científico. El signo vehículo con el que PI inicia la mediación semiótica del significado que Andrew le está dando a la solicitud “Justifica tu respuesta” es el siguiente:

Ahora tienes que explicar por qué el perímetro del triángulo DEF es la mitad del perímetro del triángulo ABC y para eso no vas a poder usar medidas, sino que debes basarte en hechos geométricos ya conocidos… específicamente, el hecho geométrico que acabas de descubrir. ¿Cómo puedes justificar la relación entre esos perímetros? (…) Decir algo como: “Ah, sí, tenía que ser así porque… (…) El perímetro del más pequeño tiene que ser la mitad del perímetro del triángulo más grande porque…”

La aclaración incluye varios elementos: en primer lugar, debe dar una razón y esta no puede basarse en algo empírico sino en algo teórico; en segundo lugar, se señala explícitamente cuál es el hecho geométrico que ha de usarse. Además, al proponer un tipo de frase como respuesta, se sugiere implícitamente la necesariedad ( i.e., “tenía que ser así”, “tiene que ser”) de la conclusión que se pide justificar. Cabe anotar que con su manera de referirse a los triángulos en su última verbalización -descripción por el tamaño relativo- también sugiere que es aceptable usarla, sugerencia que Andrew acoge.

El signo vehículo de Andrew, “el triángulo pequeño está formado con los puntos medios. (…) Los tres puntos [vértices del ∆DEF ] son puntos medios [de los lados del ∆ABC ] y… el triángulo… va a estar en la mitad… del grande. el pequeño está en la mitad del grande”, nos sugiere que podría estar gestando la idea de que describir con base en la representación de la pantalla puede servir para justificar. Inferimos entonces que el objeto dinámico es una descripción, con base en una representación gráfica, en la que intervienen, por un lado, la relación entre los puntos medios del ∆ABC y los que se constituyen posteriormente en vértices del ∆DEF y, por otro lado, la posición del triángulo generado respecto al triángulo inicial; probablemente, la segunda característica es consecuencia necesaria de la primera (“va a estar”) (od₅ ). este objeto dinámico tiene que evolucionar en tres sentidos: pasar de ser una descripción a ser un argumento deductivo; cambiar la garantía que sustenta la conclusión debe pasar de ser un hecho en el mundo empírico a uno del mundo teórico y, por ende, la conclusión necesaria tiene que ser la prevista en la garantía empleada y no una inventada.

La reacción de PI consiste en recordarle a Andrew que debe explicar por qué cuando los vértices son los puntos medios se da la mencionada relación entre los perímetros. Además de rechazar tácitamente la respuesta de Andrew, PI sugiere, por una parte, eliminar las medidas de la representación pues no las van a poder usar en la justificación y, por otra, no olvidar el hecho geométrico Puntos medios en triángulo.

En un esfuerzo por elaborar la justificación, Andrew inicia un intercambio con PI. Aceptando que la mediación de PI en ese intercambio se enfoca en animar a Andrew para que complete de manera clara el argumento cuya premisa es que se tienen los puntos medios de los lados del triángulo, podemos integrar en un sólo signo vehículo las intervenciones de Andrew:

¿Por qué? (… … …) Porque los puntos son puntos medios todos tres… [Pasa que] [p]ues es la mitad de la medida… del segmento. El Des punto medio de BA… entonces es la mitad… y como es punto medio, esta debe ser la misma medida que acá (señala AD- y DB-).

Inferimos que Andrew está comenzando a gestar la idea de que justificar tiene que ver con obtener una conclusión particular a partir de una información particular que se tiene, con base en alguna regla general aceptada; es decir, al parecer está comenzando a vislumbrar el razonamiento deductivo como forma de justificar. Asociado a ello, inferimos como objeto dinámico un argumento que conecta la condición de ser punto medio de un segmento con la condición necesaria( i.e., “ debe ser”) de la igualdad de medidas a la que alude la definición de punto medio (od₆ ). Aunque este objeto dinámico converge notoriamente al objeto inmediato pretendido por cuanto ha pasado de ser una descripción a ser un argumento, le falta evolucionar. El cambio que debe tener está relacionado con hacer un argumento cuya garantía teórica sea precisamente Puntos medios en triángulo.

PI no se detiene a considerar la respuesta de Andrew. Con su signo vehículo “Sí… sí, pero eso no es lo que descubrimos hoy” sugiere que hay algo aceptable en la respuesta del estudiante, pero dirige la conversación hacia el hecho geométrico Puntos medios en triángulo. En un intercambio dialógico, no del todo fluido, vuelven a enunciar el mencionado hecho geométrico así:

La relación que existe en el caso de un triángulo es que la medida de un segmento cuyos extremos son puntos medios de dos lados es la mitad del lado que se opone.

Inmediatamente después tiene lugar un intercambio verbal entre PI y Andrew:

Eso fue lo que descubriste. Úsalo acá (señala la representación que se tiene en la pantalla), eso te ayuda a justificar lo que queremos justificar. ¡Aaaah! (indicando que ha advertido algo). Al tomar la medida de esto (con el índice recorre el segmento DF) Síii, esto es el segmento… DF, se tiene la mitad de uno de los lados que sería… AC. Muy bien. ¿Qué más? Lo mismo, EF sería la mitad de uno de los lados… AB La medida EF es la mitad de AB, y el segmento de es igual a la mitad de BC. Ajá.

En su signo vehículo, el estudiante explicita las relaciones entre las medidas de los lados de los dos triángulos involucrados en la situación en respuesta a la sugerencia que le hace PI de usar el hecho geométrico Puntos medios en triángulo. Inferimos que Andrew puede estar ratificando la idea de que justificar tiene que ver con obtener conclusiones deductivamente, y además puede estar gestando la idea de que los hechos geométricos permiten obtener conclusiones. Asociado a esta interpretación, proponemos como objeto dinámico el hecho geométrico Puntos medios en triángulo en su calidad de garantía (od₇ ), que está en consonancia con el objeto inmediato pretendido. No obstante, el objeto dinámico puede y debe evolucionar con otras experiencias de uso, de manera que el significado del hecho geométrico incluya “las situaciones o contextos donde se puede utilizar” (^{Molina, 2014, p. 22}).

El signo vehículo de PI permite afirmar que su papel en el intercambio tuvo dos tendencias: por una parte, encauzar la actividad de Andrew hacia el uso del hecho geométrico; por otra, hacer comentarios breves con el propósito de apoyar la comunicación exitosa de Andrew.

El último intercambio verbal de PI y Andrew en el caso que nos ocupa es el siguiente:

Y entonces, en total…En total, al sumar todos los lados del triángulo pequeño (con el índice recorre el triángulo DEF) debe dar la suma total del triángulo grande. (… …) ¿O sea que el perímetro del chiquito es igualito al perímetro del grande?No… es la mitad del grande. Exacto. (… … …)O sea, al sumarlos y al multiplicarlos Al sumarlos ¿cuáles?Los lados del triángulo pequeño y al multiplicarlos… la suma por dos, se obtiene el perímetro del triángulo grande. Ya… y lo que has usado para argumentar eso, para justificar eso es… (… …)El hecho geométrico… que descubrimos antes ¿sí? Sí, es ese hecho geométrico.

En su signo vehículo, Andrew completa, sin entrar en detalles, la justificación solicitada en la tarea. Se refiere a la suma de las medidas de los lados del triángulo pequeño, relacionándola con la suma de las medidas de los lados del triángulo grande; queda expresada como conclusión la relación entre los perímetros de los triángulos involucrados en la situación. Finalmente, explicita que en la justificación ha usado el hecho geométrico Puntos medios en triángulo.