1. Introducción y antecedentes

En educación matemática se ha subrayado la necesidad de incrementar el uso de elementos visuales como parte de la enseñanza y el interés por diseñar técnicas de enseñanza apropiadas para favorecer el uso de la visualización (^{Arcavi, 2003}; ^{Bishop, 1980}; ^{Gutiérrez, 1996}; ^{Hershkowitz, 1990}). Los instrumentos visuales tienen valor para la enseñanza de las matemáticas y como heurísticos para los descubrimientos matemáticos; se reconoce la importancia de la visualización en el quehacer matemático como un componente clave del razonamiento, la resolución de problemas y las demostraciones. Los alumnos con alta capacidad espacial destacan por su habilidad para entender y recordar las relaciones espaciales entre objetos; facilidad para manipular imágenes en el espacio; capacidad para visualizar cómo separar y relacionar partes de un complejo sistema físico en el espacio; gran capacidad para percibir, modificar y transformar imágenes; grandes capacidades espaciales combinadas con una excelente visualización para aprender (^{Ferrándiz, Prieto, Fernández, Soto, Ferrando y Badía, 2010}). Al ser nuestra percepción prioritariamente visual, lo visual está presente en las tareas de matematización (^{De Guzmán, 1996}). La visualización aparece de modo natural en el pensamiento matemático, favorece el descubrimiento de nuevas relaciones entre objetos matemáticos y establece conexiones entre diversas formas de representar la situación matemática (^{Guillén, 2010}; ^{Treffers, 1987}).

Sin embargo, a pesar de la obvia importancia de las imágenes visuales en las actividades cognitivas humanas, se reconoce el papel secundario que la representación visual parece desempeñar en la teoría y práctica de los matemáticos (^{Arcavi, 2003}; ^{Presmeg, 2006}). En una completa revisión de los trabajos presentados en los congresos de PME (The International Group for the Psychology of Mathematics Education) relativos a visualización, ^{Presmeg (2006)} afirma que quizás el asunto más apremiante de investigación en este periodo es encontrar una enseñanza eficaz para aumentar el uso y poder de la visualización en la educación matemática. La vigencia de este interés en la visualización como objeto de estudio en la investigación en educación matemática queda recogida en textos monográficos y revisiones (^{Battista, 2007}; ^{Rivera, 2011}; ^{Rivera, Steinbring & Arcavi, 2014}) y líneas de trabajo en los encuentros internacionales como ICME12, CERME8 y PME38 (^{Kinach & Coulson, 2014}). Las distintas perspectivas adoptadas por los investigadores en educación matemática manifiestan la falta de consenso sobre el papel de la visualización en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (^{Nardi, 2014}).

Una posible explicación de estas aparentes contradicciones sobre la importancia y el escaso uso de la visualización en la enseñanza se apoya en las dificultades del uso de la visualización en las tareas matemáticas (^{Eisenberg & Dreyfus, 1991}; ^{Hanna y Sidoli, 2007}; ^{Presmeg, 1991}). Además de dificultades culturales o sociológicas, las dificultades cognitivas se deben a que la demanda en el uso de la visualización es alta (^{Arcavi, 2003}) y requiere coordinar diversos procesos cognitivos de visualización y razonamiento (^{Torregrosa y Quesada, 2007}; ^{Prior y Torregrosa, 2013}).

En este sentido, la investigación del uso de la visualización en alumnos con talento matemático adquiere un interesante matiz. Estos alumnos afrontan con mayor éxito la realización de tareas matemáticas y presentan mayor riqueza en el manejo de los conceptos matemáticos implicados, las técnicas de argumentación, estrategias de resolución y otras características de un nivel superior de competencia matemática (^{Greenes, 1981}; ^{Miller, 1990}; ^{Freiman, 2006}). Diversos estudios han relacionado positivamente este mayor rendimiento en la resolución de tareas matemáticas con la visualización (^{Gruessing, 2011}; ^{Rabab´h & Veloo, 2015}; ^{Rivera, 2011}, ^{Van Garderen, 2006}; ^{Van Garderen & Montague, 2003}). En cambio, numerosas investigaciones han mostrado que los alumnos con talento matemático manifiestan poca disposición a utilizar métodos visuales y presentan dificultades en el uso de la visualización (^{Krutetskii, 1976}; ^{Lee, Ko & Song, 2007}; ^{Neria & Amit; 2010}; ^{Presmeg, 1986}; ^{Ryu, Chong & Song, 2007}).

Aportar información sobre los aspectos pedagógicos que evidencien las dificultades en el uso de la visualización es una de las líneas que ^{Presmeg (2006)} marcó como retos en su completa revisión de trabajos sobre visualización, y es una problemática que sigue considerándose de interés para la investigación (^{David & Tomaz, 2012}; ^{Presmeg, 2014}). En este trabajo se pretende avanzar en la comprensión de estas dificultades en el caso particular de los alumnos con talento matemático en quienes las limitaciones en la resolución de tareas que requieran visualización no debieran derivarse de un déficit en la comprensión y el manejo de contenidos matemáticos. La identificación, organización y comprensión de los errores cometidos por estos estudiantes proporciona al profesor una base cognitiva para tomar decisiones e intervenir en el aula (^{Arteaga, Batanero, Contreras y Cañadas, 2016}; ^{Battista & Clements, 1996}; ^{Rico, 1993}).

Diversas investigaciones consideran que la instrucción puede tener un efecto positivo en el uso de la visualización en la resolución de tareas matemáticas (^{Gruessing, 2011}; ^{Kliapis & Tzekaki, 2011}; ^{Mann, 2006}; ^{Tzekaki & Ikonomou, 2009}). Particularmente las tareas que requieren realizar deducciones a partir de imágenes (argumentación visual) presentan un interesante potencial para detectar las dificultades en el uso de la visualización (^{Battista, 2007}; ^{Biza, Nardi & Zachariades, 2009}; ^{Gal & Linchevski, 2010}; ^{Hanna & Sidoli, 2007}; ^{Pittalis & Christou, 2011}). ^{De Guzmán (1996)} distingue varios niveles en la forma de introducir la visualización en las argumentaciones: incorporar representaciones visuales como complementos de la justificación, introducirlas como partes esenciales de la prueba y, finalmente, hacer demostraciones visuales en sí mismas.

La dificultad en la argumentación visual está fuertemente condicionada por la complejidad intrínseca de la argumentación matemática. La revisión bibliográfica de los errores detectados al visualizar permite organizarlos en dos grupos: errores específicos de la argumentación visual y errores relativos a contenidos y elementos de razonamiento matemático.

Respecto a la argumentación visual, en investigaciones realizadas con alumnos con talento matemático se han detectado errores al establecer falsas analogías entre las propiedades del plano y del espacio, como aplicar a un tetraedro propiedades similares a la suma de los ángulos de un triángulo (^{Lee, Kim, Na, Han & Song, 2007}) o de relleno del plano (^{Ramírez-Uclés, Flores y Castro, 2010}) [E1]. Los errores visuales que predominan son los relativos a la generalización. Argumentar limitándose a ejemplos concretos puede convertirse en un obstáculo para que el alumno razone sobre el caso general (^{Bishop, 1989}; ^{Presmeg, 1999}; ^{Wheatley, 1998}), llevarlo a una resolución incorrecta por usar una imagen prototípica (^{Zodik & Zaslavsky, 2007}) o a concluir intuiciones falsas a partir de un caso particular (^{Lee et al., 2007}; ^{Sheffet & Bassan-Cincinatus, 2009}) [E3]. En la consideración de todos los casos posibles para abstraer propiedades generales se detectan errores al relacionar los casos particulares y la organización de los mismos (^{Stacey, 1989}) y se llega a desestimar la necesidad de verificación por el poder persuasivo de una imagen (^{Biza et al., 2009}) [E2].

Diversas investigaciones han detectado errores propios de contenidos y procedimientos matemáticos. En el ámbito de la resolución de problemas, los alumnos con talento cometen errores como conmutar los datos, cambiar de estructura, invertir la operación, omitir una operación, cambiar el significado de una relación y emplear incorrectamente una estimación (^{Benavides, 2008}). En relación con los conceptos geométricos y relaciones espaciales, se han localizado errores en la comprensión de conceptos (^{Dickson, Brown & Gibson, 1991}; ^{Lee & Pang, 2007}), el reconocimiento de propiedades de las figuras (^{Cohen, 2003}; ^{Ryu et al., 2007}) y en los procedimientos de resolución de tareas (^{Jaime y Gutiérrez, 1996}) [E5]. Los errores derivados de los elementos de razonamiento matemático van asociados con el conocimiento que tiene el estudiante sobre técnicas de argumentación matemática: conflictos entre teorema y contraejemplo (^{Seo, 2007}; ^{Yim, Song & Kim, 2008}), conformarse con conjeturar a partir de aspectos visuales (^{Meavilla, 2005}; ^{Torregrosa, Quesada y Penalva, 2010}) y la concepción que tienen sobre prueba matemática (^{Kageyama, 2009}; ^{Kwon y Song, 2007}; ^{Park, Ko, Lee & Lee, 2011}) [E4].

En actuales revisiones de investigaciones recientes sobre enseñanza de la geometría se ha señalado como un tema de considerable interés en educación matemática aportar información sobre la integración de procesos visuales en la argumentación geométrica (^{Jones & Tzekaki, 2016}). Estas tareas presentan una complejidad cognitiva incluso para los estudiantes con talento matemático, sin haber un consenso en las investigaciones que relacionan su mayor competencia matemática con el uso de la visualización. Este trabajo pretende contribuir al campo de la educación matemática al aportar información sobre las dificultades que manifiestan estos estudiantes en la resolución de tareas que necesitan argumentación visual. La identificación de estas dificultades, además de indagar en la relación entre talento matemático y visualización, permite establecer pautas para diseñar tareas que favorezcan un uso eficaz de la visualización en la educación matemática (^{Presmeg, 2006}).

El objetivo de este trabajo es analizar los errores cometidos por un grupo de estudiantes con talento matemático en tres sesiones de enriquecimiento curricular focalizadas en la argumentación visual en tareas geométricas. Tras la revisión de antecedentes, podemos plantearnos cuestiones como: ¿cometen menos errores en tareas visuales los estudiantes con puntuación mayor en test visuales?, ¿qué errores comenten?, ¿son independientes?, ¿cómo influye el tipo de instrucción recibida en los errores que cometen? Para aportar información a estas preguntas, haremos lo siguiente: a) identificar los errores cometidos en el uso de la visualización; b) estudiar las relaciones entre los errores y la capacidad visual e intelectual de los estudiantes registrada mediante test psicométricos, y c) estudiar la evolución de los errores a lo largo de las tres sesiones de enriquecimiento curricular.

2. Marco teórico

Estructuraremos el marco teórico presentando los diferentes matices de la definición de visualización desde las matemáticas, la psicología y la educación matemática. Contextualizada la investigación en el ámbito geométrico se presenta el marco teórico elegido (^{Gutiérrez, 2006}) y se describen las habilidades de visualización como principales elementos de la visualización a considerar en este trabajo. Finalmente se describe la categorización de errores organizados a partir de los antecedentes del apartado anterior.

Para el diccionario de la Real Academia, visualizar tiene tres acepciones: representar mediante imágenes ópticas fenómenos de otro carácter; formar en la mente una imagen visual de un concepto abstracto, e imaginar con rasgos visibles algo que no se tiene a la vista. Desde el punto de vista psicológico, la visualización envuelve pensamiento figurativo (patrones estáticos y figuras) y operacional (patrones en movimiento de objetos y manipulación de objetos visuales). Desde el punto de vista matemático, la visualización supone la habilidad para interpretar y comprender la información proveniente de figuras usadas, principalmente en el trabajo geométrico, y la habilidad para contextualizar y trasladar las relaciones abstractas y la información no figural en términos visuales (^{Ben-Chaim & Lappan, 1989}; ^{Bishop, 1983}).

En educación matemática, ^{Arcavi (2003)} define:

Visualización es la capacidad, el proceso y el producto de la creación, interpretación, uso y reflexión sobre figuras, imágenes, diagramas, en nuestra mente, sobre el papel o con herramientas tecnológicas, de representar y comunicar información, pensar y desarrollar ideas y avanzar en la comprensión (p. 217).

La geometría es el contenido matemático en el que tiene más razón de ser la visualización en matemáticas (^{Guillén, 2010}; ^{Gutiérrez, 1998}). En este ámbito geométrico, el marco teórico presentado por Gutiérrez en la conferencia plenaria del PME 19 (^{Gutiérrez, 1996}) es uno de los más reconocidos entre los investigadores, pues unifica muchos de los desarrollos teóricos elaborados hasta el momento (^{Presmeg, 2006}). En este marco, se considera la visualización en educación geométrica integrada por cuatro elementos principales (^{Gutiérrez, 1996}):

^{Gutiérrez (1996)} sintetiza que la visualización es el conjunto de tipos de imágenes, procesos y habilidades necesarios para que los estudiantes de geometría puedan producir, analizar, transformar y comunicar información visual relativa a objetos, modelos y conceptos geométricos. En este trabajo nos centraremos en el análisis de las habilidades de visualización que adquieren un papel relevante en la resolución de tareas geométricas e intervienen en los procesos de creación y manipulación de las imágenes y en la relación con las representaciones externas (^{Bishop, 1980}; ^{Gutiérrez, 1996}; ^{Hershkowitz, 1990}). ^{Del Grande (1987}, ¹⁹⁹⁰) recopila a partir de varios autores siete habilidades psicológicas de visualización que considera relevantes en el proceso formativo del estudiante (Tabla I).

La coordinación ojo-motor y la memoria visual no han sido consideradas en este trabajo puesto que iban asociadas con aspectos psicomotrices de dibujo y técnicas de recuerdo que no consideramos relevantes en las tareas planteadas en este estudio.

^{Del Grande (1990)} asocia estrechamente la utilización de estas habilidades con tareas específicas que favorecen su desarrollo. Como la intención del trabajo es localizar los errores cometidos, a partir de la revisión bibliográfica mostrada anteriormente, determinamos a priori cinco categorías de errores en el uso de las habilidades de visualización, las tres primeras relacionadas con la visualización y las dos últimas que atañen al uso erróneo de contenidos y elementos de razonamiento matemático. Mostramos ejemplos de errores de cada una de las categorías localizadas en las respuestas de los estudiantes de esta investigación:

E1 o Error al establecer una falsa analogía entre plano y espacio. Los estudiantes aplican propiedades de las figuras en el plano a las correspondientes en el espacio o viceversa. Se detectan en expresiones del tipo “si los triángulos rellenan el plano, los tetraedros rellenan el espacio”.

E2 o Error al extraer conclusiones al examinar sólo algunos casos de todos los posibles. El estudiante se conforma con algunas apreciaciones obtenidas para sacar conclusiones sobre el caso general y deja de lado situaciones que no ha considerado, como cuando señala “como en la sección de un cubo por un plano únicamente se obtienen triángulos y cuadriláteros, podemos deducir que siempre se obtienen menos de cinco lados…”.

E3 o Error al razonar a partir de ejemplos concretos limitados. Apoya las argumentaciones en características de una solución particular que el alumno ha obtenido en la actividad sin preocuparse por si son representativas del caso general. “Se ve en el dibujo que las alturas de un triángulo siempre son menores que todos sus lados”.

E4 o Error al utilizar los elementos matemáticos implicados en el razonamiento. El estudiante usa técnicas de argumentación falaces como implicaciones inversas, procesos inductivos incompletos o deductivos poco justificados, usa conjeturas que toma como verdaderas, o contraejemplos que no lo son, etc. “Si dos rectas son paralelas, están contenidas en dos planos que son paralelos. Por lo tanto si no son paralelas, no puede haber dos planos paralelos que las contengan”.

E5 o Error en el manejo de contenidos y procedimientos matemáticos. Cometen algún error relativo a los contenidos, la terminología o a las propiedades matemáticas que están utilizando. Por ejemplo, emplear o no identificar la terminología adecuada, utilizar un lenguaje impreciso, cometer errores de cálculo o de medida, etc. “Las caras del tetraedro regular son triángulos isósceles, podemos hallar la longitud de uno de sus lados a partir de los otros dos usando Pitágoras”.

Estos errores no son mutuamente excluyentes. Los tres primeros son específicos de la argumentación visual. En E1 se establecen conexiones incorrectas entre propiedades del plano y el espacio. Tanto E2 como E3 son errores cometidos al generalizar propiedades a partir de imágenes concretas. En E2 el estudiante afirma propiedades generales a partir de varios ejemplos particulares sin ser exhaustivo en la organización de los mismos. En cambio, en E3 el estudiante se limita a inducir propiedades generales únicamente a partir de un ejemplo concreto. Los dos últimos errores, E4 y E5, son propios de los contenidos matemáticos y de la estructura lógica de los argumentos utilizados.

Para identificar los errores descritos en un proceso de enseñanza, compararlos con las puntuaciones obtenidas en test visuales y de inteligencia general y poder analizar la evolución a lo largo de tres sesiones, es necesario describir el proceso formativo.

3. Metodología

3.2. Instrumentos y variables de estudio

Para registrar las capacidades visuales y la intelectual se seleccionaron los siguientes instrumentos:

• - Factor espacial (E) del Test de Aptitudes Primarias (PMA) (^{Thurstone y Thurstone, 1976}). La batería global PMA permite la evaluación de los factores básicos de la inteligencia: Espacial (e), Razonamiento (r), Numérico (n) y Fluidez Verbal (f). La versión original pertenece a ^{Thurstone y Thurstone (1941)} y la adaptación española es llevada a cabo por la Sección de Estudio de Test de Tea Ediciones en 1987. Para el trabajo se seleccionó la prueba correspondiente al Factor E de concepción espacial definido como la “aptitud para interpretar y reconocer objetos que cambian de posición en el espacio, manteniendo su estructura interna”. Se ha obtenido un índice de fiabilidad de .93 para el factor espacial (^{Secadas, 1961}).

• - Factor relaciones espaciales (sr) de la Batería de Aptitudes diferencias (DAT-5) (^{Bennett, Seashore & Wesman, 2000}). La 5º versión del DAT incluye test que evalúan ocho aptitudes: razonamiento verbal, razonamiento numérico, razonamiento abstracto, rapidez y exactitud perceptiva, razonamiento mecánico, relaciones espaciales, ortografía y uso del lenguaje. La adaptación española de la versión original se lleva a cabo por el Departamento I+D de tea en el año 2000. En nuestro estudio se seleccionó el Nivel 1 de la escala de aptitud espacial (sr) que mide la habilidad para visualizar un objeto en tres dimensiones a partir de un modelo bidimensional e imaginar cómo aparecería este objeto si sufriera una rotación espacial. Los índices de fiabilidad para los diferentes grupos que incluye el Nivel 1 en la escala sr oscilan entre .86 y .93.

• - Matrices progresivas de Raven (^{Raven, Court & Raven, 1993}). El test proporciona una medida de la capacidad de deducción de relaciones, uno de los componentes principales de la inteligencia general y del factor “g”. En el estudio se ha utilizado la versión adaptada por tea en el año 2003. Considerando las características de la muestra del estudio, se les administró versión avanzada de la escala (APM). Los ítems de la prueba consisten en completar un dibujo al que le falta un trozo con una de las ocho piezas que aparecen como alternativas. La Escala Superior ofrece índices test-retest de fiabilidad de distinta magnitud, que alcanzan el valor de .91, y de consistencia interna “dos mitades”, con valores entre .83 y .87.

La recogida de datos se lleva a cabo en tres sesiones del proyecto ESTALMAT impartidas los sábados por la mañana y con una duración de tres horas cada una. El enriquecimiento curricular se focaliza en la argumentación visual y propone tareas que promueven la puesta en juego de destrezas visualizadoras, profundizan en contenidos que los estudiantes no han tratado en el currículo y abordan los conceptos matemáticos y la visualización desde una perspectiva funcional (^{Ramírez, 2012}). El enriquecimiento afecta tanto a los contenidos como a las estrategias de argumentación. Se profundiza en los contenidos matemáticos relativos a movimientos y plantea tareas extracurriculares para descubrir las propiedades de las figuras con curvatura constante o el modelo de relleno del espacio con pirámides y tetraedros. Se abordan los movimientos en el plano de manera funcional, ya que los estudiantes descubren las propiedades de las isometrías para clasificar las soluciones de un problema (Tabla II). Para enriquecer estrategias, se plantean tareas para que los estudiantes localicen sus errores, analicen el papel y la estructura de sus argumentaciones, formulen las funciones de las mismas (explicación, descubrimiento, convicción o verificación, reto intelectual, sistematización, comunicación) y ellos mismos progresen en su habilidad para hacer demostraciones (^{Gutiérrez, 2006}).

La consideración de los errores detectados en la revisión bibliográfica es un elemento importante para la planificación de un proceso de enseñanza (^{Rico et al., 1997}). Inicialmente se seleccionan tareas que permitan detectar los errores localizados en la revisión bibliográfica y proponen estrategias de enseñanza para que el alumno sea consciente de los errores y conozca pautas para corregirlos. La relación entre los errores y la instrucción relativa a los contenidos matemáticos y de argumentación previstos en cada sesión aparece resumida en la Tabla II.

Tabla II Errores previstos asociados con los contenidos y elementos de argumentación de cada una de las sesiones. 

Sesión	Contenido matemático	Argumentación matemática	Argumentación visual
1	Movimientos en el plano (E5)	Definición Deducción / Inducción Contraejemplos (E4)	Razonar sobre la solución particular (E3) Exhaustividad en la distinción de casos (E2)
2	Relleno del espacio (E5)	Propiedades Condiciones necesarias y suficientes (E4)	Relación de propiedades triángulo-tetraedro (E1)
3	Curvatura constante Concepto de dimensión (E5)	Condiciones necesarias y suficientes. Resolución (E4)	Relación desarrollo plano-objeto 3D (E1)

Cada sesión se planifica para contribuir a desarrollar habilidades de visualización, teniendo en cuenta los errores cometidos por los estudiantes en la anterior. En la primera sesión se plantea una tarea para obtener una estructura mínima mediante unas fichas, tratando de que aparezcan los movimientos como instrumentos para simplificar la tarea y procurando que expliquen las definiciones y sistematicen los procesos de resolución que proponen, además de distinguir entre procesos inductivos y deductivos. Se plantean tareas para que barran sistemáticamente todos los casos posibles y procesos en los que aumenta progresivamente el número de casos y se aprecien propiedades de la solución final a partir de las particulares. Al apreciarse errores relativos a la generalización a partir de casos particulares, en la segunda sesión se plantean tareas para que deduzcan propiedades del relleno del espacio a partir de casos conocidos. Los procesos de razonamiento se focalizan en la verificación de condiciones necesarias y suficientes de relleno del espacio, abstrayendo propiedades generales a partir de soluciones particulares. En esta sesión se aprecian errores al establecer falsas analogías plano-espacio, por lo que en la tercera sesión se plantean principalmente tareas tridimensionales de explicación para que analicen qué propiedades del plano se verifican en el espacio y viceversa (^{Ramírez, 2012}).

Describimos, a modo de ejemplo, alguna de las tareas de la primera sesión. Se focalizan los objetivos de enseñanza en que los alumnos argumenten visualmente y utilizan los movimientos en el plano de un modo funcional. Para ello se presentan tareas en las que tienen que definir cuándo dos estructuras son iguales al determinar el criterio de equivalencia. A partir de casos sencillos, deben enunciar y demostrar teoremas a la vez que diferencian entre la deducción y la inducción. La utilización de contraejemplos se presenta como una estrategia para comprobar que una propiedad no es cierta.

En la argumentación de la validez de los teoremas se incide en la exhaustividad para considerar todas las construcciones posibles y la necesidad de contrastar las propiedades de los casos particulares frente a la solución general.

Tarea de la sesión 1: Las siguientes fichas están formadas por tres círculos y por dos segmentos (Figura 1):

Figura 1: Ficha para las actividades de la sesión 1. 

Se forman estructuras al colocar las fichas en un geoplano cuadrado 12 x 12, en el que se puedan solapar únicamente círculos de fichas diferentes. No pueden solaparse los segmentos (Figura 2).

Figura 2: Ejemplo de estructura formada por tres fichas en un fragmento del tablero cuadrado.  

1. Construye todas las estructuras posibles formadas por tres fichas

2. Determina un criterio para considerar dos estructuras iguales. Define la igualdad entre estructuras.

3. Una estructura es mínima cuando tiene el menor número posible de círculos visibles. Enuncia y demuestra el siguiente teorema: para estructuras de tres fichas, en el tablero cuadrado, el número de círculos visibles de las estructuras mínimas es ___. Además hay _____ estructuras mínimas diferentes

4. Enuncia y demuestra el teorema anterior para el tablero isométrico

5. Enuncia y demuestra el teorema anterior para seis fichas en ambos tableros.

Para un número pequeño de fichas, el estudio de todos los casos posibles es una estrategia que permite resolver el problema, si bien el uso de la visualización es imprescindible para discriminar estructuras iguales salvo movimientos en el plano. Al aumentar el número de fichas se requieren otros argumentos más complejos ya que no es posible inducir la solución para el caso n+1 a partir del caso n. De especial interés es el caso con seis fichas para el que existe una única solución (muy intuitiva) pero cuya justificación requiere un elevado grado de exhaustividad en la consideración de casos y abstracción de propiedades generales a partir de la solución intuitiva.

Los estudiantes resuelven la tarea individualmente, luego ponen en común sus respuestas en un pequeño grupo y finalmente se debate en un gran grupo sobre las soluciones propuestas. Las sesiones son impartidas por dos de los investigadores que moderan la puesta en común y aportan información para salvar las dificultades encontradas, especialmente haciendo hincapié en las estrategias de argumentación correctas.

Para el análisis de los datos se dispone de los siguientes registros: respuestas de los alumnos entregadas en las actividades escritas de las sesiones de enriquecimiento, grabaciones de audio de cada sesión y sus transcripciones. Para operativizar la identificación de los errores se realiza un análisis de contenido (^{Krippendorf, 1990}) de los registros escritos de cada estudiante correspondientes a las actividades escritas y a la transcripción de sus intervenciones en las tres sesiones. Como unidades de análisis se utilizan los fragmentos de los textos en los que se alude a alguna de las habilidades de visualización. Como ejemplo, presentamos la fragmentación del texto de una intervención de un alumno correspondiente a una respuesta escrita. Aparecen subrayadas las dos unidades de análisis correspondientes a las manifestaciones de las habilidades de Percepción de las relaciones espaciales (posición relativa entre dos objetos) y Percepción de la figura-contexto (identificación de elementos dentro de una estructura mayor). En esta intervención manifiesta el error E3 al argumentar sobre las propiedades de la solución para la estructura con seis fichas y alude únicamente a la solución particular que él ha encontrado.

Estudiante: “No se puede con un número menor de fichas porque no la podemos poner en diagonal, y no podemos ocupar dos puntos con la última ficha de la figura, el máximo de puntos que podemos ocupar de la figura anterior sería uno”.

Para cada unidad de análisis se registran en una tabla los errores cometidos por el estudiante cuando no manifestaba correctamente las correspondientes habilidades de visualización, no obstante se podían contabilizar varios errores en la misma unidad de análisis.

En una primera organización de los errores observados, se describen y se asocian a tareas concretas. Por ejemplo, el error E2 en la tarea de la sesión 1 descrita anteriormente queda reflejado cuando el estudiante sólo considera algunos casos en la construcción de las posibles estructuras del juego, no manifiesta criterios suficientes para estar seguro de abarcar todos los casos posibles, se limita a examinar sólo algunos movimientos para definir la igualdad entre estructuras o no tiene en cuenta todas las soluciones del caso n para razonar sobre el n+1.

A partir de esta recopilación, en el análisis retrospectivo de los datos, se establecen categorías a posteriori de los errores a partir de las repuestas (^{Ramírez, 2012}), y se obtiene que todos los errores observados pertenecen a alguna de las categorías delimitadas a priori. Mostramos en la Tabla III las categorías correspondientes a los errores en las tres sesiones:

Tabla III Categorías a posteriori de la manifestación de errores 

Sesión 1	Sesión 2	Sesión 3
E1
No esperables (tareas únicamente en el plano).	Analogías incorrectas entre relleno del plano y del espacio. Analogías incorrectas entre propiedades del triángulo y del tetraedro.	Analogías incorrectas entre polígonos y prismas. Analogías incorrectas entre rectas en el plano y en el espacio.
E2
Faltan estructuras al argumentar sobre el caso general. Faltan movimientos al argumentar sobre el caso general. Concluir afirmaciones generales sin considerar todos los casos.	Faltan transformaciones al argumentar sobre el caso general. Concluir afirmaciones generales sin considerar todos los casos.	No distinguir todas las posibilidades de construcción. Concluir afirmaciones generales sin considerar todos los casos.
E3
Inducir propiedades particulares para el caso general. Razonar sobre un caso particular limitado.
E4
Usar incorrectamente las implicaciones. Usar incorrectamente la inducción. Usar incorrectamente los procesos deductivos.	Usar incorrectamente las implicaciones. Usar incorrectamente los procesos deductivos.	Usar incorrectamente los procesos deductivos.
E5
Utilizar incorrectamente conceptos, terminología, propiedades y procedimientos de cálculo y/o de medida.

Utilizando este procedimiento se elabora una ficha que recoge la cantidad de errores cometidos por cada alumno en cada una de sus intervenciones. Se consideran intervenciones las respuestas a las preguntas escritas y las intervenciones orales, entre las que se contabilizan 272 intervenciones en la primera sesión; 432 en la segunda, y 707 en la tercera. Para normalizar que un estudiante haya cometido más errores por tener más intervenciones, se divide el número de errores cometido entre el número de intervenciones del estudiante, y se obtiene así un indicador en porcentaje que aporta información sobre la frecuencia con la que un estudiante manifiesta cada error (Tabla IV).

TABLA IV Ejemplo de registro de errores (porcentaje) para un alumno 

Alumno	Intervenciones	E1	E2	E3	E4	E5
Sesión 1	10	0	.30	.20	.10	0
Sesión 2	22	0	.09	.05	0	.18
Sesión 3	25	0	0	.04	.08	.24

Es decir, este alumno cometió el error E2 en 30% de las intervenciones recogidas en la primera sesión, 9% en la segunda y en ninguna de la tercera. Con esta cuantificación se dispone, para cada alumno, de un vector de 15 coordenadas con valores entre 0 y 1 que aportan información sobre la frecuencia con la que ha cometido cada error. Para los test PMA, DAT 5 y Raven se dispone de un vector de tres coordenadas correspondientes a las puntuaciones normalizadas que considera los valores de media y la desviación típica incluidos en los correspondientes baremos de los distintos cuestionarios. En una investigación más general de la que forma parte este estudio, hemos analizado los resultados de los test y apreciado que los estudiantes con talento obtienen puntuaciones más altas que los estudiantes de un grupo control tanto en su capacidad intelectual como visual (^{Ramírez-Uclés, Ramírez-Uclés, Flores y Castro, 2013}).

4. Resultados

Describimos los resultados obtenidos en cuanto a la identificación, relación y evolución de los errores.

4.3. Evolución de los errores a lo largo de las tres sesiones

Para analizar la evolución de los diferentes errores a lo largo de las tres sesiones se han efectuado cinco ANOVAS de medidas repetidas independientes. La posible violación del supuesto de homogeneidad de varianzas error se pone a prueba mediante el test W de Mauchly y, en caso de violación de dicho supuesto, se aplican las correcciones oportunas mediante la corrección en los grados de libertad de Greenhouse-Geisser (factor de corrección épsilon, ε). También se incluyen los tamaños de los efectos calculados mediante el coeficiente eta cuadrado parcial (η ² _p ) que permite calcular el tamaño de los efectos o valorar la magnitud de las diferencias halladas.

Los resultados de los ANOVAS de medidas repetidas indican que en todos los casos existe una evolución significativa de los errores a través de las diferentes sesiones: E1 [F(1.41, 34.02) = 10.70, p = .001, η ² _p = .31], E2 [F(1.19, 28.60) = 86.13, p = .000, η ² _p = .78], E3 [F(1.31, 31.45) = 100.48, p = .000, η ² _p = .81], E4 [F(2, 48) = 35.94, p = .000, η ² _p = .60] y E5 [F(2, 48) = 49.65, p = .000, η ² _p = .67].

Los análisis de tendencias posteriores indican que en todos los casos resultan significativos los componentes lineal y cuadrático: E1, lineal [F(1, 24) = 16.00, p = .001, η ² _p = .40], cuadrático [F(1, 24) = 9.28, p= .006, η ² _p = .30]; E2, lineal [F(1, 24)= 110.73, p = .000, η ² _p = .82], cuadrático [F(1, 24) = 27.76, p = .000, η ² _p = .54]; E3, lineal [F(1, 24) = 132.60, p = .000, η ² _p = .85], cuadrático [F(1, 24) = 38.41, p = .000, η ² _p = .62]; E5, lineal [F(1, 24) = 26.66, p = .000, η ² _p = .53], cuadrático [F(1, 24) = 67.31, p = .000, η ² _p = .74], excepto en el E4 que únicamente resulta significativo el componente cuadrático [F(1, 24) = 88.91, p= .000, η ² _p =.79]. La Figura 3 muestra la evolución de los errores a través de las diferentes sesiones.

Figura 3: Evolución de los errores a través de las sesiones. 

En todos los casos, para el análisis estadístico de los datos se utiliza el paquete Statistical Package for Social Sciences (SPSS) versión 22.0.

De esta evolución se destaca:

E1: En la sesión 1, centrada en situaciones en el plano, no aparece. Disminuye de la sesión 2 a la 3 tanto en número de alumnos que lo cometen como en la frecuencia con la que se comete.

E2 y E3: Disminuyen progresivamente a lo largo de las tres sesiones tanto en el número de alumnos como en la frecuencia con la que se comete.

E4: Disminuye de la sesión 1 a la sesión 2 y aumenta de la sesión 2 a la 3, tanto en el número de alumnos como en la frecuencia con la que se comete.

E5: Aumenta de la sesión 1 a la sesión 2 tanto en el número de alumnos como en la frecuencia con la que se comete. De la sesión 2 a la 3 se mantiene el porcentaje de alumnos que lo cometen (todos) y disminuye la frecuencia con la que se comete.

Para interpretar la evolución de los errores tenemos que diferenciar los dos tipos de errores. Para los específicos del uso de la argumentación visual (E1, E2 y E3), como el diseño de cada una de las sesiones se realiza a partir de los errores (Tabla II) cometidos en la previa, que dichos errores disminuyan progresivamente en las sesiones podría ser consecuencia del tipo de instrucción recibida, puesto que en las sesiones los estudiantes localizaban sus errores y se hacían puestas en común para apreciarlos. En cambio, los errores E4 y E5 van asociados con la complejidad de los contenidos matemáticos y de argumentación matemática trabajados en cada sesión, por lo que la evolución puede estar condicionada por la cantidad de procesos que los involucran en cada una de ellas. El contenido matemático del relleno del espacio fue el que motivó más errores asociados con procedimientos matemáticos (E5). En la sesión inicial, la instrucción recibida en relación con el uso de contraejemplos y procesos deductivos hace que disminuya E4 en la sesión 2. En la tercera sesión los estudiantes cometen menos errores relativos a la comprensión de las condiciones necesarias y suficientes, aunque E4 aumenta en esta sesión lo que puede asociarse con las argumentaciones matemáticas utilizadas en la resolución de las tareas relativas a curvatura constante.

5. Conclusiones

Los resultados descritos en este trabajo aportan información sobre la problemática planteada por ^{Presmeg (2006)} en relación con los aspectos pedagógicos que evidencien las dificultades en el uso de la visualización. Las tareas que requieren argumentación visual han resultado de utilidad para evidenciar los errores cometidos por los estudiantes (^{Battista, 2007}; ^{Gal & Linchevski, 2010}; ^{Pittalis & Christou, 2011}, entre otros). Las tareas propuestas en este trabajo han puesto de manifiesto que los estudiantes analizados comenten errores en el uso de las habilidades de visualización, pese a tener talento matemático y obtener puntuaciones superiores al estándar en los test de capacidad visual e intelectual (^{Ramírez-Uclés et al., 2013}).

En relación con los objetivos propuestos de identificación y evolución, los errores descritos en la revisión bibliográfica del marco teórico han sido localizados y clasificados en cinco tipos, de lo que resultó esta organización operativa para analizar los errores que de manera empírica han cometido los estudiantes. Para interpretar la evolución de los errores, consideramos necesario diferenciar entre los dos tipos. Por un lado, los errores relativos a la argumentación visual (E1, E2 y E3) han sido más sensibles al proceso de instrucción, especialmente a las discusiones en grupo en las que se detectaban y se establecían técnicas para salvarlos. Este hecho se ha reflejado en la disminución de la frecuencia de estos errores a lo largo de las tres sesiones pese a la mayor complejidad de las tareas propuestas. Sin embargo, la presencia de errores derivados del uso incorrecto de elementos de razonamiento, contenidos y procedimientos matemáticos ha estado más relacionada por la actividad matemática requerida en las tareas propuestas y se ha visto influenciada por la propia naturaleza, complejidad y novedad de los contenidos matemáticos presentados. Esta evolución desigual queda reflejada al considerar cada uno de los errores atendiendo a la influencia del proceso instructivo y de la actividad matemática:

En cuanto al objetivo propuesto sobre estudio de relaciones, estos errores han resultado ser independientes entre sí y destaca que las correlaciones encontradas son puntuales en una determinada sesión sin mantenerse en las restantes. Que no exista correlación de manera estable en las tres sesiones, tanto en los específicos de la argumentación visual (E1, E2 y E3) como en los relativos a la argumentación y contenidos matemáticos (E4 y E5), nos lleva a proponer planificar procesos de enseñanza específicos para salvar las dificultades encontradas en cada uno de ellos.

Esta ausencia de correlación también se ha manifestado entre los errores y las puntuaciones en los test, lo que nos lleva a concluir que las dificultades manifestadas en el proceso de argumentación visual no pueden ser explicadas únicamente a partir de la capacidad visual e intelectual. Otros factores como el proceso de instrucción en técnicas de argumentación matemática y la complejidad de las tareas propuestas han influido en la frecuencia de los errores cometidos por los estudiantes. Aun en el caso de estudiantes con talento, el razonamiento visual ha resultado ser un proceso complejo para el alumno (^{Arcavi, 2003}; ^{Eisenberg & Dreyfus, 1991}; ^{Presmeg, 1986}), no sólo por la ausencia de rutinas seguras (como las que encuentran en las resoluciones formales simbólicas) sino por la dificultad tanto en la comunicación de las ideas como del proceso de razonamiento al usar las habilidades de visualización (^{Ryu et al., 2007}).

Somos conscientes de que los resultados obtenidos vienen limitados por el tamaño de la muestra y las tareas específicas utilizadas, pero coinciden con las investigaciones que señalan mejoras en el razonamiento visual de los estudiantes tras determinados procesos de instrucción (^{Assouline & Lupkowski-Shoplik, 2003}; ^{Ben-Chaim, Lappan & Houang, 1989}; ^{Lee, 2005}; ^{Tzekaki & Ikonomou, 2009}, entre otros), concluimos que el proceso de enseñanza basado en el enriquecimiento curricular de técnicas específicas de argumentación visual y tareas diseñadas que considera los errores cometidos, ha favorecido que los estudiantes analizados mejoren algunos aspectos del uso de la visualización. Los estudiantes están poco familiarizados con los procesos de generalización a partir de casos particulares, las técnicas para ser exhaustivos en la distinción de todos los casos posibles y con el reconocimiento de diferencias entre propiedades análogas en el plano y el espacio. Como se ha observado a partir de los errores localizados, incluso los estudiantes con talento matemático tienen dificultades cuando aplican a tareas complejas los elementos de razonamiento (^{Kim, Lee, Ko, Park & Park, 2009}; ^{Seo, 2007}; ^{Yim et al., 2008}).

Estos resultados, además de aportar información sobre el conocimiento de las habilidades de los estudiantes con talento matemático que se manifiestan en tareas de argumentación visual, establecen pautas para el diseño de procesos de enseñanza. Lo estudiantes con talento matemático, pese a su mayor competencia matemática, han manifestado dificultades en tareas de argumentación visual. Los errores cometidos han sido independientes de la capacidad visual registrada por test psicométricos, lo que resalta el papel de la instrucción para que estos estudiantes hagan un uso efectivo de la visualización al resolver tareas geométricas (^{Presmeg, 2006}). Los errores detectados en técnicas de argumentación y su persistencia en las diferentes sesiones evidencian que las tareas de argumentación en contextos visuales resultan complejas para estudiantes con talento matemático, incluso en aquellos casos que además iban acompañados de una alta capacidad visual registrada por los test. En cambio, el proceso instructivo ha favorecido la disminución de los errores específicos de la argumentación visual, por lo que consideramos que el enriquecimiento de técnicas de argumentación, tanto generales como específicas de la visualización (búsqueda de todos los casos posibles, diferenciación entre un caso particular y general, distinción de implicaciones y condiciones necesarias y suficientes, uso de conjeturas y contraejemplos, entre otros), puede hacer progresar la formación matemática de estos alumnos (^{Battista, 2007}; ^{Gutiérrez, 2006}; ^{Sriraman, 2004}) y por tanto contribuir al desarrollo de su talento matemático.