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ECOCAM, un sistema computacional adaptable al contexto para promover estrategias de cálculo mental: características de su diseño y resultados preliminares

 

ECOCAM, a context sensitive computational system to promote mental calculation strategies: design characteristics and preliminary results

 

Paul Leger*, Grecia Gálvez**, Milton Inostroza***, Lino Cubillos****, Gina Luci***, Éric Tanter***, Diego Cosmelli*****, Jorge Soto-Andrade***

 

*Universidad Católica del Norte, Chile. pleger@ucn.cl

**Sociedad Educacional Compumat S.A, Chile. ggalvez@compumat.cl

***Universidad de Chile, Chile. minostro@dcc.uchile.cl, ginaluci@u.uchile.cl, etanter@dcc.uchile.cl, sotoandrade@u.uchile.cl

****Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile. lcubillo@uchile.cl

*****Pontificia Universidad Católica de Chile. Chile. dcosmelli@gmail.com

 

Recepción: Agosto 31, 2011
Aceptación: Febrero 7, 2013.

 

Resumen

Basado en nuestro trabajo previo sobre estrategias cognitivas para el cálculo mental, presentamos el diseño de un sistema computacional adaptable al contexto, denominado ECOCAM, que apunta a promover estrategias de cálculo mental en alumnos de educación básica. Realizamos un primer testeo de nuestra propuesta a través de la implementación concreta de ECOCAM para promover una estrategia de sumas, a saber la de "trasvasije", mediante un experimento piloto y estudio de casos, con niñas y niños en varios niveles de educación básica. Discutimos los resultados y las implicaciones para un desarrollo futuro e implementación de ECOCAM.

Palabras clave: Cálculo mental, Estrategias cognitivas, Sistema computacional adaptable al contexto, Metáforas, Tiempo de respuesta.

 

Abstract

Based on our previous work on cognitive strategies for mental calculation, we present the design of a context sensitive computational system called ECOCAM, which aims to promote strategies for mental calculation in primary school students. We carry out a first test of our proposal through a specific implementation of the ECOCAM for an addition strategy task, that is to say the "transfer" strategy, in a pilot experiment and study case with boys and girls from different grades in basic education. We discussed the results and its implications for a future development and implementation of the ECOCAM.

Key words: Mental calculation, Cognitive strategies, A context sensitive computational system, Metaphors, Response time.

 

Resumo

Baseado em nosso trabalho prévio sobre estratégias cognitivas para o cálculo mental, apresentamos o projeto de um sistema computacional adaptável ao contexto, denominado ECOCAM, que procura promover estratégias de cálculo mental em adaptável ao contexto alunos de educação básica. Realizamos um primeiro teste de nossa proposta através da implementação concreta de ECOCAM para promover uma estratégia de somas, a saber: a de "trasvasije", mediante um experimento piloto e estudo de casos, com meninos e meninas em vários níveis de educação básica. Discutimos os resultados e as implicações para um desenvolvimento futuro e implementação de ECOCAM.

Palavras chave: Cálculo mental, Estratégias cognitivas, Sistema computacional adaptável ao contexto, Metáforas, Tempo de resposta.

 

Résumé

Sur la base de notre travail précédant sur les stratégies cognitives pour le calcul mental, on présente ici la conception d'un système informatique sensible au contexte qu'on appelle ECOCAM, visant à promouvoir des stratégies de calcul mental au contexte chez les élèves de l'école primaire. On a réalisé un premier test de ce système à travers l'implémentation concrète du système ECOCAM pour promouvoir une stratégie des opérations d'addition, à savoir celle de « transfert », par le moyen d'une expérience pilote et des études de cas avec des élèves de l'école primaire dans plusieurs niveaux. On discute les résultats et les implications pour un développement futur et l'implémentation du système ECOCAM.

Mots clés: Calcul mental, Stratégies cognitives, Système informatique sensible au contexte, Métaphores, Temps de réponse.

 

1. INTRODUCCIÓN

La introducción de la aritmética en la escuela tuvo como uno de sus objetivos primordiales el que los estudiantes adquirieran una destreza en el cálculo, exacto y rápido, de las operaciones numéricas básicas que les sería útiles en la vida adulta, particularmente en las actividades de compraventa (Taton, 1953; Lethielleux, 2005). Para ello se enseñaba procedimientos estandarizados, aplicables a cualquier par de números (conocidos actualmente como "algoritmos convencionales" o "universales"), con el apoyo de diversos instrumentos, según la cultura de la sociedad en que estaba inserta la escuela, ábaco en algunas, papel y lápiz en otras (Brissiaud, 2003; Sun, 2008). La memorización de algunos resultados (por ejemplo, complementos a 10, sumas, productos) agilizaba este proceso de cálculo. Esta memorización de datos recibió originalmente el nombre de Cálculo Mental (CM) (Taton, 1953; Pochon, 1997; Lethielleux, 2005).

La evolución de los instrumentos de cálculo disponibles a nivel masivo en la población (calculadora de bolsillo, luego teléfono celular) y la evolución del debate social sobre la importancia de adquirir destreza en el cálculo aritmético en la formación matemática de los estudiantes de educación general básica, han puesto en evidencia que el CM tiene hoy un rol cognitivo y didáctico más relevante que su rol utilitario de antaño. Se habla así de "CM reflexivo" o "pensado" (Butlen & Pezard, 1992; Beishuizen, 1993; Parra, 1993; Pochon, 1997; Ortega & Ortiz, 2002; Brissiaud, 2003; Butlen, 2007; Williamson, 2008; Gálvez, 2009), sin menospreciar su componente "automatizado" (Lethielleux, 2005; Anselmo, Evesque-Sagnard, Fenoy, Planchette & Zuchetta, 2008).

En esta concepción, la comprensión de los números y su operatoria por parte de los alumnos se manifiesta notablemente en el repertorio de estrategias, tanto idiosincrásicas como aprendidas, que emplean al abordar una tarea de CM (Houlihan & Ginsburg, 1981; Carpenter & Moser, 1982; Siegler & Shrager, 1984; Baroody, 1987; Siegler & Campbell, 1989; Siegler & Jenkins, 1989; Christensen & Cooper, 1991; Beishuizen, 1993; Kamii, Lewis & Livingston, 1993, Klein & Beishuizen, 1994; Reys, Reys, Nohda & Emori, 1995; Braten, 1998; Kamii & Dominick, 1998; Shrager & Siegler, 1998; Heirdsfield, 2000; Postlewait, Adams & Shih, 2003; Ebbutt, Mosley & Skinner, 2005; Sun, 2008).

En Chile, el espectro de estrategias observadas en Gálvez y otros (2011) revela una ausencia casi total de representaciones concretas, visualizaciones icónicas o metáforas, incluso en el caso de niños que han sido previamente expuestos a éstas en su escuela.

Constatamos así los efectos dañinos del énfasis en los algoritmos únicos y estandarizados de CM (Kamii & Dominick, 1998; Heirdsfield, 2000), ya que los docentes de la escuela básica habitualmente enseñan un procedimiento estándar único, paso a paso, para cada operación, aunque resulte a veces engorroso y susceptible a errores. Un ejemplo típico: para calcular 2000 x 35, la mayoría de los escolares en Chile multiplicará 5 por cada cifra de 2000 y luego hará lo mismo con 3, para finalizar sumando ambos subproductos, en vez de ver el ejercicio globalmente y aplicar propiedades que harían más breve y sencilla la operación, como: 2000 x 35 = 2 x 35 x 1000 = 70 x 1000 = 70000. Por otra parte, cuando se llega a mostrar representaciones o metáforas (como la recta numérica) en la escuela, son utilizadas en actividades anecdóticas o como simples ilustraciones de un algoritmo, en lugar de hacerlas jugar un rol propiamente enactivo¹ (Masciotra, Roth & Morel, 2007) que incide en el proceso cognitivo del alumno y en su construcción de conceptos. Se genera así una ruptura cognitiva y didáctica entre su experiencia previa concreta y un CM que aparece como un juego aritmético esotérico y disociado de ésta.

Se juzga necesario entonces promover Estrategias de Cálculo Mental (ECMs) que suministren mecanismos sencillos, equivalentes a los algoritmos convencionales, pero que utilicen de manera flexible y "oportunista" propiedades del sistema de numeración y de las operaciones aritméticas.

Para este fin presentamos ECOCAM: un sistema computacional sensible al contexto que ayuda a los estudiantes a identificar y tomar conciencia de sus propias ECMs. Para lograr lo anterior, ECOCAM articula señales provenientes de dispositivos denominados sensores, con respuestas que genera para alcanzar cierto propósito definido previamente. En esta versión de prueba se contempla aplicar una secuencia de 32 ejercicios organizados en cuatro categorías o tipos según su estructura y dificultad operatoria, como se describe en la sección 4 más adelante.

A continuación, recapitulamos nuestro marco teórico referente a las ECMs, su relación con las metáforas conceptuales y su rol en Chile (sección 2), recordamos qué son los sistemas computacionales sensibles al contexto (sección 3), describimos nuestro sistema ECOCAM (sección 4), nuestras hipótesis de trabajo y metodología de investigación (sección 5), nuestra experiencia piloto y estudio de casos (sección 6), para terminar con una discusión de éstos y conclusiones (sección 7).

 

2. ESTRATEGIAS DE CM (ECMS)

2.1. Marco teórico de base: Las metáforas en nuestra cognición

Nuestro marco teórico (Gálvez et al., 2011) se apoya en la hipótesis fundamental que nuestra actividad cognitiva opera con base en metáforas, desde lo más concreto a lo más abstracto (Johnson & Lakoff, 2003; Gallese & Lakoff, 2005; Radford & André, 2009). La propia matemática aparece así como una construcción de nuestra "mente corporizada", íntimamente ligada a nuestro funcionamiento sensoriomotor (Varela, Thomson & Rosch, 1991; Gallese & Lakoff, 2005), gracias a una permanente actividad metafórica, desde los niveles más elementales a los más sofisticados (Sfard, 1994, 1997; English, 1997; Presmeg, 1997; Lakoff & Núñez, 2000). Las metáforas (conceptuales) tienen un rol didáctico fundamental además de cognitivo, suministrando tanto medios de aprender y construir nuevos conceptos, como herramientas amigables para resolver eficazmente situaciones problemáticas complejas (Presmeg, 1997; Lakoff & Núñez, 2000; Soto-Andrade, 2006, 2007a, 2007b, 2008). Toma cuerpo así otra forma de enseñar y aprender matemáticas, si asumimos el hecho que conocemos moviéndonos e interactuando con el entorno inmediato (Varela et al., 1991; Gallese & Lakoff, 2005; Masciotra et al., 2007; Stewart, Gapenne & Di Paolo, 2010).

Suscribimos así a la concepción multimodal de la cognición y el pensamiento (Gallese & Lakoff, 2005; Radford & André, 2009), que sustenta la hipótesis que el uso y práctica de metáforas sensoriomotrices es relevante al aprender matemáticas. Ahora bien, las metáforas (conceptuales) más impactantes y significativas para nuestros procesos cognitivos conllevan habitualmente un tránsito entre distintos modos de representación (Bruner, 1996) o registros (Duval, 1995). En la terminología de Bruner, nuestra multimodalidad cognitiva queda descrita por tres modos de representación: enactivo (basado en la acción y la motricidad), icónico (basado en imágenes) y simbólico (basado en símbolos y lenguajes), llamados también: concrete, pictorial, abstract, en el exitoso modelo didáctico de Singapur (Yeap, 2005).

Durante su desarrollo cognitivo el niño transita desde lo enactivo a lo simbólico, pasando por lo icónico, pero no es éste un progreso unidireccional: la resolución de diversos problemas se hace posible gracias a un tránsito "descendente" de lo simbólico a lo icónico o a lo enactivo, correspondiente a la activación de metáforas sensoriomotrices (Soto-Andrade, 2007a, 2007b, 2008). Esto se aplica especialmente a la práctica del CM y a la interacción de los niños con ECOCAM.

2.2. Metáforas y ECMs

El CM aparece entonces como un dominio en el que el uso de metáforas como forma de "re-presentar" o de "imaginarse" un problema, deviene no solo explícito sino que necesario. Si al calcular mentalmente, no nos reducimos a visualizar la suma o resta algorítmica vertical, que se escribe naturalmente en papel, emergen naturalmente metáforas para la suma como juntar, añadir, llenar, avanzar, etc., cuya activación pone en juego capacidades sensoriomotrices relevantes para el CM.

Por ejemplo: para restar 51 – 18, podemos visualizar la operación algorítmica vertical (Figura 1) o podemos vernos yendo de la cuadra 18 a la 51 de una larga avenida, caminando primero hasta la cuadra 20, donde tomamos el bus expreso, que se detiene solo cada 10 cuadras, del que descendemos en la cuadra 50, para caminar una cuadra hasta nuestro destino. En total 2 + 30 + 1 = 30 + (2 +1) = 30 + 3 = 33. Vemos así como en lugar de la aplicación mecánica de un algoritmo memorizado (resta con reserva), el niño puede recurrir a una ECM, en forma de una "visualización numérica", ligada a una activación idiosincrásica de la metáfora de la pista numérica, bajo la forma "sumar es avanzar, restar es retroceder", o también "restar es recorrer lo que falta" (Lakoff & Núñez, 2000; Soto-Andrade, 2006, 2007a, 2007b, 2008). Esta posible activación depende sin embargo de la experiencia previa del niño, de su modo cognitivo predominante, de sus interacciones sociales, del contrato didáctico vigente en el aula, entre otros. Así entonces las ECMs emergen gracias a la activación de metáforas, usualmente sensoriomotrices y eventualmente inconscientes (Gálvez et al., 2011). Hallazgos recientes en neurociencia cognitiva avalan nuestra postura (Knops, Thirion, Hubbard, Michel & Dehaene, 2009).

2.3. ECMs versus algoritmos universales

Las ECMs son más que simples procedimientos y tienen la virtud de estar "situadas" en lo cognitivo. Son "oportunistas", en el sentido de ser adaptativas y depender de cómo vea el sujeto la situación específica involucrada en la tarea propuesta de CM, en particular la naturaleza de los números involucrados.

Se contraponen así a los algoritmos convencionales, o universales, que son "burocráticos", en el sentido de tratar a todos los números por igual y aplicarse de manera independiente de la situación específica considerada.

Notar que describimos aquí icónico -simbólicamente estas estrategias (Figura 2), lo cual es algo equívoco pues en realidad, en nuestros estudios de casos se las ve emerger en los alumnos mediante un lenguaje enactivo gestual que involucra su psicomotricidad. En lugar de recitar "descompongo aditivamente el 15 como 13 + 2 y utilizo la propiedad asociativa de la suma", como preconizan algunos textos escolares en Chile, los niños dicen: "Paso 2 unidades del 15 al 8, para completar 1Ø" visualizando más bien un trasvasije de cantidades, que se apoya en la metáfora "los números son cantidades de objetos" y "sumar es juntar".

Una de nuestras hipótesis es que la práctica de estas estrategias contribuye a desarrollar capacidades cognitivas superiores en los alumnos, cuyo alcance para su vida futura va mucho más allá de averiguar rápidamente cuánto vale 15 + 8. Por ejemplo, la capacidad de visualizar, de guardar registros de memoria simultáneos, a los que se accede en seguida secuencialmente, etc.

No se trata por lo demás de establecer "la mejor estrategia" para cada situación, sino más bien de "tener a la vista", como hacen los profesores japoneses en el método de estudio de clases (Isoda, Arcavi & Mena, 2008), una variedad de estrategias, propuestas por los propios alumnos, cada una con ventajas y desventajas. Esto no invalida el hecho importante, que los alumnos puedan tener preferencias afectivas por una u otra estrategia.

2.4. Las ECMs en Chile

Como descrito en Gálvez et al. (2011), el Ministerio de Educación chileno (MINEDUC) benefició entre 1990 y comienzos del 2000 de asesorías de la Cooperación Francesa y de Michael Askew, promotor de la campaña "Numeracy" en Inglaterra (Askew, 2004; Askew, Ebbutt & Mosley, 2006), que recomendaban la promoción un cálculo mental pensado, desenfatizando los algoritmos. Estas orientaciones fueron acogidas por el equipo de matemática del Programa de las 900 Escuelas de MINEDUC que apuntaba a la capacitación de los profesores del primer ciclo básico (primero a cuarto año). Se publicó material escrito con propuestas de actividades para las clases de matemática (Riveros, Gálvez, Navarro & Zanocco, 1996) así como traducciones de textos de apoyo para la enseñanza de estrategias de CM (Ebbutt et al., 2005; Askew et al., 2006) y fueron organizados concursos de CM para alumnos de tercero y cuarto año a lo largo de todo el país. Posteriormente se incluyó el CM como área de interés destacado en los programas oficiales de estudio de primer ciclo reformulados en 2002.

Sin embargo, la evidencia de aula indica que el CM no es una práctica generalizada en las escuelas chilenas. La enseñanza habitual de hecho no solo no lo fomenta, sino que tiende a desincentivar en los niños la búsqueda de estrategias alternativas de abordaje a problemas y privilegia la reproducción memorística y generalista de procedimientos estandarizados para calcular, que manejan en forma precaria, con gran riesgo de cometer errores o de olvidar pasos de la secuencia prescrita. Así, aunque hayan manipulado material concreto e icónico al aprender los números en la educación preescolar y en primer y segundo año básico, aparece una clara ruptura cognitiva entre esa manipulación concreta y el ulterior aprendizaje mecánico y simbólico de algoritmos (Gálvez et al., 2011; Radford & André, 2009).

2.5. Un ejemplo paradigmático de ECM

La estrategia de "trasvasije" es una ECM que asocia dos metáforas fundamentales:

1) Los números son cantidades de objetos o de substancias y

2) Sumar es juntar.

Imaginemos que tenemos dos grupos de bloques cúbicos dispuestos en forma de torres y deseamos saber cuántos bloques tenemos en total, sabiendo cuántos bloques constituyen cada torre. Podríamos juntar los bloques de ambas torres y luego contarlos o bien contar sucesivamente los bloques de una torre a partir de la cantidad de bloques de la otra. Pero también podemos "trasvasijar" algunos bloques de una torre a otra, antes de juntarlas. Esto claramente no cambia el número total de bloques pero puede producir una torre con un número de bloques muy fácil de manipular, una cantidad exacta de decenas, por ejemplo.

Concretamente, la estrategia de cálculo mental de "trasvasije" consiste en trasladar una porción del segundo sumando al primer sumando o viceversa, antes de efectuar la adición. Por ejemplo, los sumandos involucrados en la operación 29 + 7 pueden ser convertidos por trasvasije de 1, en 30 + 6, para poder sumarlos (juntarlos) más fácilmente y obtener el resultado final que es 36. La última adición es simple de resolver ya que el alumno no necesita utilizar la técnica tradicional del "acarreo" o reserva.

 

3. SISTEMAS ADAPTABLES AL CONTEXTO

Los sistemas computacionales están cada día más presentes en el quehacer humano. Debido a esto, se han desarrollado sistemas computacionales llamados Sistemas Sensibles al Contexto (SSCs) (Abowd, 1999; Hirschfeld, Costanza & Nierstrasz, 2008), que adaptan su comportamiento de acuerdo al contexto que reconocen. Informalmente, se podría decir que además de cumplir con la tarea para la que fueron diseñados, estos sistemas observan el entorno donde se están ejecutando y cuando identifican cierto contexto en el entorno, cambian su funcionamiento. Por ejemplo, en Cook (2006), los autores crearon una casa inteligente para el cuidado de ancianos. Ésta era controlada por un SSC que cambiaba su conducta de acuerdo a las necesidades de los ancianos; por ejemplo, llamaba a una ambulancia,

a) Cuando un anciano estaba sin moverse durante mucho tiempo, o

b) Cuando éste cambiaba su rutina diaria.

Un sistema que permita implementar la adaptación al contexto debe realizar los siguientes pasos:

Obtener información del entorno: Los SSCs introducen sensores en el sistema computacional para registrar los eventos que suceden en el entorno o en el interior del mismo SSC. Estos registros de eventos representan la historia del entorno o del sistema mismo, expresada en una secuencia de eventos.

Analizar la información recibida: A medida que los eventos son registrados, los SSCs analizan estas secuencias de eventos registradas para inferir si algún contexto está activo o no (por ejemplo, anciano sin moverse durante mucho tiempo). Reconocer un contexto no es una tarea sencilla, pues no todos los contextos siguen una secuencia prefijada y precisa de eventos (por ejemplo, cocinar).

Adaptar su conducta: Cuando un contexto es reconocido, el SSC debe adaptar su conducta (por ejemplo, llamar a una ambulancia). En ocasiones, el cambio de conducta no es una tarea sencilla, porque este cambio implica modificar transversalmente gran parte del sistema computacional.

Desafortunadamente, si queremos que un sistema permita la adaptación al contexto, este sistema debe ser modificado de manera ad hoc y transversal,

a) para registrar cada evento que sucede dentro/fuera del sistema y

b) para implementar la adaptación de la conducta (Figura 3a).

Estos dos puntos llevan al problema de habérselas con SCCs no escalables ni extensibles a otras adaptaciones o propósitos. Afortunadamente, en la ciencia de la computación, hay mecanismos tales como tracematches (Allan et al., 2005) y Open Trace - based Mechanisms (OTM) (Leger & Tanter, 2010) que de manera modular (es decir, sin modificar transversalmente el sistema) registran y analizan secuencias de eventos, para luego adaptar el comportamiento de un programa si ocurre un patrón de eventos, que representa un contexto (ver Figura 3b). Sin embargo, solamente OTM es lo suficientemente expresivo para reconocer contextos complejos.

 

4. ECOCAM

Como mencionamos anteriormente, creemos que en las aulas no se promueven realmente las ECMs, a pesar de la importancia de la diversidad de destrezas presentes en los alumnos, debido al énfasis reinante en la enseñanza de procedimientos estandarizados, únicos y universales (Heirdsfield, 2000; Fernández, 2005; Gálvez et al., 2011). Los actuales sistemas computacionales personalizados no constituyen tampoco una solución porque no pueden reconocer con precisión (como lo haría un profesor) la destreza del alumno que los está usando. Por estas dos razones, proponemos ECOCAM (Ecocam, 2010), un SSC que reconoce la destreza del alumno (contexto) y se adapta para promover ECMs, en este caso, ECM de trasvasije. Para permitir que ECOCAM pueda ser extendido para promover otras ECMs (Figura 4), desarrollamos ECOCAM usando el mecanismo OTM, mencionado anteriormente. En esta sección describimos los desafíos para desarrollar este SSC y mostramos un ejemplo de uso de este sistema.

Desafíos de ECOCAM:

Reconocer la destreza de un alumno implica reconocer el algoritmo o procedimiento usado por éste para resolver un ejercicio. Para un SSC, reconocer la destreza particular de un alumno conlleva los siguientes desafíos:

a) Reconocer los pasos del procedimiento mental que un alumno usó para resolver un ejercicio. Cuando un alumno resuelve un ejercicio mentalmente aplica una serie de pasos para lograr su objetivo. Averiguar los pasos que un alumno realizó es una tarea compleja, debido a que toda esta información se genera en su cerebro. A pesar de lo anterior, ECOCAM es capaz de reconocer la destreza del alumno registrando cada paso del procedimiento que éste realiza, de manera no intrusiva (sin solicitarle información alguna).

b) Asociar a una ECM el procedimiento empleado. Si la destreza es representada por un procedimiento y éste es definido por una compleja secuencia de pasos, entonces el sistema computacional debe reconocer secuencias específicas de pasos. Asociar el procedimiento a una ECM, implica que el SSC debe usar un mecanismo como OTM para asociar estas complejas secuencias de eventos a ECMs.

Un tour por ECOCAM

ECOCAM ofrece una adaptación a dos niveles de granularidad. En el primer nivel, ECOCAM intercambia la interfaz de usuario dependiendo de las respuestas del alumno.

La figura 5 muestra la interfaz de usuario simple de ECOCAM. La componente 1 muestra el ejercicio, 19 + 27 en este caso, y la componente 2 muestra un cuadro de texto que permite al alumno escribir el resultado. Si éste responde satisfactoriamente varios ejercicios, ECOCAM genera ejercicios como 18 + 23, que son más difíciles de resolver debido que no existe un operando terminado en 9 que sugiera cómo deducir rápidamente la respuesta. En cambio, si el alumno muestra un comportamiento erróneo reiteradas veces, ECOCAM detecta ese comportamiento y le ofrece una segunda interfaz de usuario, que es una interfaz gráfica extendida (Figura 6).

La figura 6 muestra la interfaz gráfica de usuario extendida de ECOCAM. Como se puede observar, esta interfaz agrega dos nuevas componentes: la componente 3 consta de los soportes donde el número está representado de manera icónica y la componente 4 muestra el botón de vaciado que permite al alumno vaciar los dos soportes en uno común en el momento que tenga solamente decenas (rectángulos amarillos) en uno de los dos soportes. El objetivo de esta interfaz es permitir al alumno aplicar la ECM del "trasvasije" intercambiando unidades (cuadrados rojos) y quinquenas (rectángulos azules) entre los soportes. Es importante mencionar que cada soporte está compuesto por un número y su correspondiente representación icónica.

El segundo nivel de granularidad de adaptación que ofrece ECOCAM, está relacionado con promover estrategias de CM. Por ejemplo, en la figura 6, se muestra al alumno trasladando un rectángulo rojo del segundo soporte hacia el primero con el objetivo de completar una decena. La figura 7 muestra el resultado después de presionar el botón de vaciado. Para realizar esta transición de la figura 6 a la figura 7 el alumno debe realizar los siguientes pasos:

a) arrastrar una unidad (cuadrado rojo) del segundo soporte al primero y

b) pulsar el botón de vaciado.

Esto significa que el alumno usó el algoritmo o procedimiento del trasvasije (Sección 2), que es óptimo porque ejecuta el mínimo número de movimientos para permitir pulsar el botón de vaciado. ECOCAM al identificar esta secuencia de pasos, crea ejercicios más complejos (por ejemplo, 68+23), donde el algoritmo óptimo es el trasvasije.

Concretamente, ECOCAM ejercita con el alumno un conjunto de 32 ejercicios elegidos al azar desde http://www.pleger.cl/ecocam/experimento.doc, los cuales pueden ser clasificados en cuatros tipos:

Tipo 1: Se traslada una unidad (cuadrado rojo) para completar 10 donde hay 9.

Tipo 2: Se traslada dos unidades para completar 10 donde hay 8.

Tipo 3: Se traslada tres unidades para completar 10 donde hay 7.

Tipo 4: Se traslada una quinquena (rectángulo azul) de 5 unidades para completar 10 donde hay sólo 5.

ECOCAM presenta 8 ejercicios de cada tipo, desde el tipo 1 al 4. Dentro de cada tipo, se reconoce si el alumno está usando la ECM de trasvasije.

Disponibilidad. El software ECOCAM es una aplicación Web que, por ahora, solamente soporta el navegador Web Firefox 6 (o más reciente). Debe ser instalado en un servidor para que todos los alumnos de un curso o colegio puedan acceder a él mediante una dirección Web. En general no existe ninguna restricción de hardware o sistema operativo: ECOCAM puede ser utilizado tanto en un sistema operativo Windows, OS X o Linux con el navegador Firefox.

 

5. HIPÓTESIS DE TRABAJO Y METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

El diseño de ECOCAM está motivado por un conjunto de hipótesis establecidas por nosotros. He aquí las más importantes:

1. Un trabajo previo de activación e incorporación de metáforas sensoriomotrices facilitaría tránsitos cognitivos en los alumnos, que resultarían en la emergencia de estrategias no convencionales y situadas que mejorarían su desempeño en CM.

2. En ausencia de un tal trabajo previo, para resolver tareas de CM, los alumnos emplean un repertorio diverso de estrategias, tanto convencionales como no convencionales, eventualmente idiosincrásicas desarrolladas por ellos mismos. No todas son igualmente eficaces para resolver un ejercicio en particular. Creemos que mediante la interacción con un SSC como ECOCAM, que reconozca la destreza del alumno y se adapte a ella, es posible promover la ECM más apropiada al ejercicio abordado.

3. Los alumnos que no han sido expuestos demasiado tiempo a un algoritmo convencional o universal, son más propensos a aprender espontáneamente ECMs. Por esa razón, ECOCAM es probado con niños de primer ciclo básico.

4. La interfaz gráfica de ECOCAM nos permite capturar de manera no intrusiva el procedimiento que el alumno desarrolla para resolver un ejercicio. Además, la interfaz gráfica que invita a completar unidades mayores es apropiada para promover ECMs como la de trasvasije para tareas de adición.

La metodología contempló el siguiente protocolo de aplicación a la muestra de alumnos descrita en 6.2 y a los casos estudiados en 6.3.

Una profesora guía presentaba el software a los alumnos a observar, y en seguida les preguntaba "¿Te gusta la matemática, sumar y restar?" Agregaba: "Te invito a mirar y probar un programa que es como un juego y te presentará algunos ejercicios; los vas haciendo de acuerdo aparezcan y con el método que quieras." Les preguntaba si tenían problemas en ser filmados. Nadie se negó y todos fueron filmados.

Se observó según tres modalidades:

- En casa de algunos de los niños

- En casa de los profesores guías

- En el laboratorio computacional de los dos colegios que aceptaron nuestra solicitud de aplicación de ECOCAM.

En cada modalidad, la profesora guía sentaba a los niños frente a los equipos, les daba una instrucción general de ingreso mediante un enlace, nombre y contraseña. Al aparecer la interfaz, preguntaba:

"¿Qué te pareció? ¿Se hace más fácil calcular así?,

¿Cómo calculas tú? ¿Se parece a como apareció en el computador? ¿Te gustó?" y registraba manualmente las respuestas. Las respuestas digitadas por los niños fueron automáticamente procesadas por el software, que entregó el porcentaje de correctas e incorrectas, de activaciones de la interfaz gráfica, de respuestas correctas con y sin interfaz gráfica, además de los tiempos de respuesta.

Interesaba particularmente tratar de constatar la incidencia de la interfaz gráfica en el porcentaje de éxito de los niños y averiguar cómo reaccionarían frente a ella.

En términos generales, nuestra metodología de investigación integra principalmente los paradigmas interpretativos y socio-críticos en el sentido de Godino (1993). En efecto, desde una visión interpretacionista, intentamos entender los procesos cognitivos y didácticos subyacentes a las ECMs "oportunistas" y "situadas" de CM, que se desarrollan típicamente a partir de las capacidades psicomotrices básicas de los niños, vía metáforas y representaciones que involucran tránsitos cognitivos. Pero además, queremos promover ECMs específicas, como la del trasvasije, con ayuda de un esquema computacional sensible al contexto, que interactúa adaptativamente con el alumno, apuntando a su mejor desempeño en CM y en el desarrollo de capacidades cognitivas superiores relevantes en su vida ulterior.

 

6. EXPERIENCIA PILOTO Y ESTUDIO DE CASOS

6.1. ECOCAM: un software en estado de prueba y ajuste

Como se ha explicado previamente, ECOCAM enfrenta a los estudiantes, a través del computador, a una secuencia de adiciones de dos sumandos que son resueltas mediante las estrategias que idiosincrásicamente cada estudiante posee. Cada ejercicio ocupa una pantalla que se mantiene en espera, cronometrando el tiempo de reacción hasta que el estudiante escriba su respuesta. En caso de tener un comportamiento erróneo en ejercicios consecutivos, se activa a partir de ese momento, en la parte inferior de la pantalla, una representación visual de la operación planteada. Esta interfaz gráfica de apoyo visual muestra mediante bloques de distinto tamaño y color la representación de unidades, quinquenas y decenas de cada sumando y apela a la intuición visual del alumno para que reordene los bloques de una manera conveniente que permita un conteo de unidades y decenas más sencillo. Tal manipulación gráfica constituye, en sí misma, un recurso didáctico que sugiere visualmente una estrategia de cálculo, o "atajo", que permitiría alcanzar el resultado correcto de manera más sencilla y rápida.

El software está en etapa de construcción y los experimentos piloto realizados permiten ajustar su desempeño para cumplir su objetivo final: ayudar a los estudiantes a descubrir y aplicar nuevas y más eficientes estrategias de CM, que basadas en las propiedades de los números involucrados, les permitan mejorar su desempeño matemático, expresado en el incremento de la proporción de respuestas correctas así como en la reducción del tiempo promedio de respuesta.

6.2. Una primera experiencia piloto

Para probar estas ideas se aplicó una versión de prueba del software a 17 alumnos de 4^o año básico, de nueve y diez años, provenientes de dos colegios vulnerables de Santiago de bajo rendimiento académico. Cada uno se vio enfrentado a 32 adiciones de cuatro tipos diferentes. Esto generó un total de 544 respuestas de las cuales 433 fueron correctas (79,6%) y 111 incorrectas (20,4%). Cabe señalar que de las 544 respuestas obtenidas sólo en 13 de ellas (2,4%) se activó la interfaz gráfica y que en esos casos se obtuvo un 100% de respuestas correctas. De las 531 respuestas restantes, las que no contaron con interfaz gráfica, 420 fueron acertadas y 111 erróneas, es decir, un 79,1% de éxito.

En cuanto a la velocidad de respuesta, se obtuvo, como era de esperar, un tiempo bastante mayor (182,6 segundos) cuando los estudiantes respondieron apoyados por la interfaz gráfica que cuando respondieron sin dicho apoyo (21,4 segundos). Se espera que una vez descubierta la nueva estrategia, dicho tiempo se reduzca de manera significativa.

Parece recomendable ajustar el momento en que se activa la interfaz gráfica, de modo de aumentar el tiempo de exposición del estudiante a ella, para acelerar el tránsito de la estrategia previa a la propuesta, que el software apunta a inducir.

Cuando se les pregunta cómo lo hicieron, la mayoría de los niños de la muestra responden dibujando en el aire la visualización del algoritmo vertical de suma (como en Gálvez et al., 2011).

Se observa además una polarización entre "renuentes" (aprox. un 60%) y "conversos" (aprox. un 40%) frente a la interfaz gráfica. Los primeros se resisten al cambio de registro y prefieren sus estrategias aprendidas o idiosincrásicas, típicamente la visualización del algoritmo de suma vertical. Los segundos encuentran más amigable y entretenida la interfaz gráfica y se dan cuenta que les permite visualizar la transferencia de unidades de un sumando a otro.

Constatamos sin embargo que después de usar exitosamente la interfaz gráfica, la gran mayoría de los niños, al enfrentarse a una suma simbólicamente escrita, vuelven a la estrategia inicial de visualización del algoritmo vertical.

Esto sugiere una desvinculación entre el trabajo en el registro icónico y el simbólico (Bruner, 1996).

Algunos niños emplean metáforas monetarias para transitar de lo simbólico a lo icónico: los rectángulos amarillos son monedas de 10 pesos (o "valen" 10 pesos), los azules, de 5 pesos, y los rojos, de un peso.

6.3. Algunos estudios de casos

Emilia (5 años, Kindergarten, promedio 6.7 sobre 7 en matemáticas):

No sabe cómo calcular 19 + 27, por ejemplo, pero reconoce los números en la interfaz gráfica, manipula los bloques para completar, obtiene el resultado en forma icónica y es capaz de leerlo: «treinta y seis». No tiene gran dificultad para pasar de lo icónico a lo simbólico. Para el tránsito inverso, se apoya en metáforas monetarias (manipula dinero con familiaridad en la vida cotidiana): ¿Cómo entero 27 pesos con monedas? ¡Con dos monedas de 10, una de 5 y dos de 2 pesos!

Amanda (7 años, 2º Básico, promedio 6.8 sobre 7 en matemáticas):

Calcula mentalmente 27 + 19 sumando 7 + 9, como 8 + 8 = 16, "reservando" 1 y luego sumando 2 + 1 = 3, más 1, igual 4, es decir: 46.

Cuando comete errores de cálculo y le aparece la interfaz gráfica, lo hace bien, con economía de movimientos.

Sin embargo, cuando usó la interfaz gráfica, al retornar a la interfaz simbólica, vuelve a su estrategia previa de visualizar el algoritmo vertical. No hace espontáneamente el vínculo entre la manipulación icónica y el cálculo de 27 + 19. Si el experimentador le sugiere que trate de visualizar las manipulaciones que hizo recién, comienza a verlo y dice: "le quito uno al 27 para completar el 19".

Comienza a aburrirse de hacer los ejercicios mentalmente (con su método) sin la interfaz gráfica y pregunta "¿cuándo va a aparecer ésta?". Cuando se cansa de su gimnasia mental de visualizar el algoritmo vertical, comienza a tratar de hacer las sumas "al achunte"(es decir, "al bulto"), con posiblemente estimulada por la manipulación de los iconos de la interfaz gráfica. Para ella, es "achunte", no es el algoritmo aprendido en la escuela.

Miranda (9 años, 4º básico, promedio 6.5 sobre 7 en matemáticas).

Usa espontáneamente una estrategia idiosincrásica de doble redondeo compensado:

Para calcular 44 + 29, por ejemplo, dice: "4Ø + 3Ø = 7Ø, más 4 es 74, menos 1 es 73".

Después de haber usado la interfaz gráfica vuelve a su estrategia propia al ejercicio siguiente.

Sin embargo, aprecia la manipulación icónica de la interfaz gráfica y dice preferirla a la suya.

Logra visualizar trasvasije de uno, pero no toda la interfaz gráfica con la manipulación de bloques de 5 unidades.

Cuando los números son del tipo 26 + 15, donde su estrategia idiosincrásica es menos cómoda, visualiza el algoritmo vertical, o bien dice que deja el 6 "a un lado" y calcula 2Ø + 15 = 35 y luego "trae de vuelta" el 6. Algunas veces, para calcular, por ejemplo, en un paso intermedio, 4Ø + 46, en lugar de decir rápidamente 86, gracias a la estrategia anterior, dice: "4Ø + 5Ø = 9Ø, menos 4 igual a 86".

Cuando se le sugiere que podría visualizar cuadrados para calcular una suma escrita simbólicamente, comienza a tratar de pasar mentalmente unidades de un sumando para otro, en 37 + 24 por ejemplo. Al comienzo las pasa de a una, obteniendo: 38 + 23, 39 + 22, 4Ø + 21, que calcula como (4Ø+2Ø)+1 = 6Ø + 1 = 61; pero luego dice: "mejor de a tres, más fácil: 37 + 24 = 4Ø + 21, etc."

No visualiza espontáneamente los números escritos en forma decimal como reuniones de rectángulos amarillos, rectángulos azules y cuadrado rojos, después de haber empleado la interfaz gráfica. Al serle sugerido, logra hacerlo, pero tiene dificultades para pasar bloques azules de un lado a otro, para formar bloques amarillos.

No visualiza espontáneamente los números escritos en forma decimal como reuniones de rectángulos amarillos, rectángulos azules y cuadrado rojos, después de haber empleado la interfaz gráfica. Al serle sugerido, logra hacerlo, pero tiene dificultades para pasar bloques azules de un lado a otro, para formar bloques amarillos.

Contrariamente a Oscar, del mismo nivel etario y escolar (ver más abajo), en Miranda no prima el registro decimal sobre el icónico. Cuando pasa al icónico en la interfaz gráfica, se zambulle totalmente en él y "olvida" el decimal. Si se lo sugiere, sin embargo, logra mantener activo el registro decimal, y dice "al 38 le paso 2 cuadrados", al hacer el arrastre de dos unidades. Más adelante rescata que para calcular 38 + 27 se puede pasar dos cuadrados rojos de derecha a izquierda. Para obtener 4Ø + 25, "deja de lado" el 5, por un momento, para sumar 4Ø y 2Ø primero, otras veces lo hace como (4Ø + 3Ø) - 5.

Pareciera elegir a veces la manera más complicada de proceder, pero lo hace siguiendo estrategias propias y variadas, en lugar de aplicar una sola regla eficaz.

Espontáneamente dice que visualizar mentalmente el método de las figuritas es muy largo y retiene solamente las "completaciones" de 38 a 4Ø o los "descensos" de 41 a 4Ø, por ejemplo.

En su caso, tiene una estrategia propia de doble redondeo y compensación, que maneja con bastante éxito, llevando dos registros de memoria paralelos. Parece ser que la interfaz gráfica no le facilita directamente la estrategia de trasvasije, debido a la necesidad de trasladar bloques azules en ambos sentidos.

Oscar (10 años, 4° básico, promedio 6,7 en matemáticas):

Ocupa como estrategia general el completar el sumando más cercano a un número entero de decenas "para que quede exacto", quitándole al otro. Se trata de una estrategia aprendida en la escuela. No necesitó interfaz gráfica, porque no cometió nunca tres errores seguidos.

Cuándo tuvo la oportunidad de practicar con la interfaz gráfica, en voz alta decía el número que estaba manipulando: "al 38 le añado 2", etc. Esto sugiere que estaba funcionando en ambos registros a la vez, el icónico y el simbólico, cosa poco habitual.

Declara preferir la interfaz gráfica. Dice: ¡Así es más fácil!

 

7. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

En nuestras experiencias piloto y estudio de casos, hemos constatado que ECOCAM es amigable y cercano para los niños. Incluso una niña de Kindergarten, que no sabe sumar números de dos dígitos simbólicamente, logra realizar icónicamente la adición y luego "traducir" diligentemente al registro simbólico.

Por otra parte, los niños de 2º y 4º básico que logran hacer las adiciones simbólicamente, algunos usando estrategias idiosincrásicas, aprecian la interfaz gráfica de ECOCAM, la hallan más entretenida y "más fácil". Algunos preguntan incluso "cuando van a aparecer los monitos". Una niña de 2º básico, cuando escuchó que la interfaz gráfica aparecía sólo si uno se equivoca, comenzó a equivocarse deliberadamente para forzar su aparición. En la experiencia piloto sin embargo notamos una polarización de la muestra entre "renuentes" (60%) y "conversos" (40%) al "cálculo icónico."

Observamos además un efecto de desvinculación, no previsto, pues si bien hay niños que permanecen en el registro simbólico aunque manipulen icónicamente, la gran mayoría se sumerge completamente en el registro icónico al manipular los bloques de la interfaz gráfica de ECOCAM. Se puede observar que incluso adultos entrenados requieren un cierto esfuerzo cognitivo para mantener un pie en el registro simbólico (numérico decimal en este caso) mientras manipulan icónicamente para completar bloques amarillos y azules.

La manipulación de bloques azules de 5 unidades (quinquenas) es amigable en la manipulación icónica, pero no tanto en la visualización puramente mental.

La Figura 8b sugiere modificar la interfaz gráfica de modo que facilite de una forma más directa la estrategia de trasvasije, además de desarrollar una versión ulterior de ECOCAM que ayude al alumno a mantener contacto con lo simbólico al pasar a lo icónico, además de transitar fluidamente entre ambos registros. Nuestra experimentación nos ha hecho descubrir así el interés de estimular el trabajo simultáneo sobre lo icónico y lo simbólico desde temprana edad.

Notamos al pasar la presencia de un contrato didáctico (tácito) que induce a muchos niños a usar el "oficial" algoritmo vertical para la suma, porque las otras estrategias, como compensación o trasvasije "no valen".

El presente artículo, generado en el contexto de esta investigación, ha tenido como primer objetivo presentar los resultados preliminares de la primera etapa de prueba de ECOCAM. Sería necesaria una investigación ulterior para detectar en qué momento el niño incorpora realmente la estrategia de trasvasije, como para ser capaz de utilizarla espontáneamente en adiciones propuestas simbólicamente.

Asimismo, interesaría investigar posibles efectos implícitos de la interfaz gráfica sobre las estrategias de los niños (como el caso de la estrategia de "achunte" de Amanda, más arriba), que favorezcan la emergencia en los niños de una intuición y visualización geométrica en el ámbito numérico elemental ("17 debe ensamblar a simple vista con 23 para dar 40"). Sería éste un interesante ejemplo de cognición multimodal (Gallese & Lakoff, 2005; Radford & André, 2009).

Hemos presentado además en forma incipiente una segunda etapa de aplicación de ECOCAM, que podría incidir en la optimización del tiempo de respuesta que cada niño tome para resolver un ejercicio de cálculo mental, además de mejorar su porcentaje de aciertos. En efecto, al realizar la primera experimentación, pudimos detectar la relevancia de comparar los lapsos de respuesta de los niños que utilizan algoritmos clásicos (aprendidos) con aquellos que utilizan ECMs. Por ello, sería interesante emprender una experimentación masiva para estudiar el comportamiento de los tiempos de respuesta y porcentajes de errores de los niños luego de una exposición pronta a la interfaz gráfica.

 

AGRADECIMIENTOS

Este proyecto de investigación ha sido subvencionado por el Centro de Investigación Avanzada en Educación (proyecto PBCT CIE-05, año 2010).

Agradecemos a los colegios Santa Rita de Casia y CEMLAP por las facilidades y apoyo logístico otorgados para la aplicación de nuestro prototipo ECOCAM, así como a M. L. Varas por sus pertinentes observaciones a la primera versión de este trabajo.

 

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Nota

1 Generador de conocimiento mediante la acción del sujeto en el mundo.