Sobre las lógicas a fusionar

En aras de la simplicidad, supondré que el lector está familiarizado con las lógicas aléticas, epistémicas, doxásticas y temporales normales, las cuales difieren en sus lenguajes sólo por los operadores modales que consideran y en sus semánticas por los conjuntos en que se basan. Puesto en una tabla, consideramos lo siguiente:

Sea [O] un operador modal universal y ⟨O⟩ su dual particular, por ejemplo, [K] y ⟨K⟩. La gramática de cualquier lenguaje considera un conjunto, P, de parámetros proposicionales, p, q, r, …, las conectivas funcionales de verdad ¬ y Ʌ, un operador modal universal, [O], y paréntesis auxiliares ( y ). Sean A, B y C fórmulas bien formadas arbitrarias. La gramática de cualquier lenguaje se rige por las siguientes reglas de formación:

Normalmente los paréntesis se omiten cuando no hay riesgo de ambigüedad.

En todos los lenguajes, ∨, ⊃, ≡, T, ⊥ y ⟨O⟩ se definen como es usual.

Cada lógica tiene algunas definiciones distintivas, propiamente:

Nótese que ∇p ≡ ¬ Δp, \K/p ≡ ¬/K \p, \B/≡¬ /B\p y [T] p ≡¬ ⟨T⟩ ¬p.¹ Los lenguajes de las lógicas usualmente se interpretan con modelos de Kripke -aunque hay otras opciones, como las semánticas de vecindades (cfr. ^{Pacuit, 2017})-. En el caso alético, una interpretación es ⟨W, R, v⟩, donde W es un conjunto no vacío de mundos posibles, R es una relación binaria de accesibilidad, R ⊆ W × W, y v es una función valuadora, v: W × P ↦ {1,0}, tal que v_W (p)=1 quiere decir que p es verdadera en w. Las condiciones de verdad de los conectivos se relativizan a mundos y las de los operadores modales dependen de las relaciones de accesibilidad:

Sea Σ un conjunto arbitrario de fórmulas bien formadas. La validez semántica se define en términoal ques de la preservación de la verdad a través de mundos.

Σ ⊨ A sii para todo modelo, ⟨W, R, ν⟩, y para todo w ∈ W, si para toda B ∈ Σ, ν_w (B)=1, entonces ν_w (A)=1

⊨ A sii ∅⊨ A, i. e., para todo modelo, ⟨W, R ,ν⟩, y para todo w ∈ W, ν_w (A)=1

Las demás lógicas tienen la misma noción semántica de verdad mutatis mutandis.

Ahora bien, cuando se trabaja con lógicas temporales, es usual modificar ligeramente la interpretación de un modelo de Kripke. En lugar de mundos, W, se usan tiempos, T; y en lugar de una relación de accesibilidad, R, se usa una de sucesión, <. La intuición detrás de esto es: los momentos que conforman al tiempo son distintos a los mundos, aun si entre ambos hay algunas similitudes en sus comportamientos. Cuando pasamos a las lógicas epistémicas, doxásticas y epistémico-doxásticas, normalmente no se hace ese cambio; en esos casos, se sigue usando W y R. A mi consideración, podemos modificar esta práctica utilizando un conjunto E de estados epistémicos y una relación de accesibilidad entre ellos, Ψ^K para lo epistémico y Ψ^B para lo doxástico. En el siguiente apartado, presento cómo esta distinción filosófica traerá algunos resultados técnicos para las lógicas alético-epistémicas que a su vez suscitan nuevas perspectivas filosóficas con sus problemas concomitantes.

Sistema axiomático de (T/T/KD*) y sus semánticas

La lógica básica que consideraré en este artículo puede plantearse axiomáticamente de la siguiente forma:

Al trabajar las versiones normales, se acepta a la regla de necesariedad (necessitation) en sus versiones alética, epistémica y doxástica; si A es una verdad lógica, A es necesaria y nuestro agente tanto la sabe como la cree. (NK) y (NB) suelen negarse en la literatura porque hacen que un agente sea omnisciente de la lógica clásica; aunque las lógicas multimodales proveen un nuevo marco conceptual para criticar este problema, por cuestiones de espacio no podré analizarlo aquí.² Se aceptan también los principios de cerradura alética, epistémica y doxástica en sus versiones materiales, las críticas a sus versiones estrictas vendrán en el apartado 5. Adicionalmente, acepto los axiomas T alético, lo necesario es verdadero; T epistémico, el conocimiento es verdadero; D doxástico, las creencias de un agente son consistentes; y, para hacer justicia al análisis tradicional del conocimiento (cfr. ^{Ichikawa y Steup, 2018: sec. 1}), el conocimiento implica a la creencia. No consideraré ningún principio de introspección, aunque en el apartado 5 veré sistemas basados en S5. El sistema propuesto puede llamarse T/T/KD*.

Las semánticas que propongo para el lenguaje de T/T/KD*, L_□∪ L_K∪ L_B, son ⟨W, E, R_e, ΨK_w, ΨB_w, ν⟩.

W y E son conjuntos no vacíos de mundos posibles y estados epistémicos respectivamente.

R_e es una relación trinaria entre mundos posibles y estados epistémicos, R_e ⊆W × E× W, e indica que los mundos posibles se relacionan en ciertos estados epistémicos específicos. De esta forma, wiRexwj significa que ‘en e_x, w_i accede a (se relaciona con) w_j’. Para tener a (T□), R_e es relativamente reflexiva:

Para todo wi∈W y exE,wiRexwi

ΨK _w es una relación trinaria, ΨK_w ⊆E × W × E, e indica que una relación epistémica sucede en un mundo posible específico. Así pues, exΨKwiey quiere decir ‘en w_i, e_x accede epistémicamente a e_y’. Para tener a (TK), ΨK_w es relativamente reflexiva:

Para todo wi∈W y ex∈E, exΨKwiex

ΨB_w es similar a ΨK_w mutatis mutandis. Para tener a (DB), ΨB_w es relativamente serial:

Para todo, ex∈E y wi∈W hay un ey tal que ΨBwiey

Para tener (KB), aceptamos que:

v es una función valuadora, ν: W × E × P ↦ {1,0}, tal que vwi/exp=1 quiere decir que ‘en w_i de ex, p es verdadera’.

Las condiciones de verdad de las conectivas proposicionales se relativizan a tuplas w/e:

Las condiciones de los operadores aléticos, epistémicos y doxásticos se relativizan a mundos y estados epistémicos:

Las condiciones para, ◊ ⟨K⟩ y ⟨B⟩ cambian ‘todo’ por ‘algún’. Debido a que las condiciones sólo están relativizadas, [O]A≡¬⟨O⟩¬A.

La validez semántica se define por la preservación de la verdad a través de mundos y estados epistémicos:

La relativización de las condiciones de verdad no afecta en nada a la validez de los elementos del sistema axiomático. T/T/KD*es una extensión propia de todos los sistemas que lo componen. Una interpretación de T alética es una de T/T/KD* en la que E ={e ₀}; una interpretación de T/KD*es una de T/T/KD*en la que W={w ₀}.El hecho anterior sugiere que en general se ve a la lógica alética impersonalmente y que a las epistémico-doxásticas no se les consideran más allá de una circunstancia.

El lenguaje de T/T/KD* es más expresivo que los de las lógicas que lo componen y permite revisar a la par tanto actitudes epistémico-doxásticas hacia la lógica alética como las condiciones aléticas de nuestros conocimientos y creencias. En los siguientes apartados, se revisarán algunos ejemplos de aplicación.

Antes de continuar, haré algunos comentarios sobre las semánticas de fusión para T/T/KD*.³ La idea de desarrollar las semánticas de un sistema alético-epistémico-doxástico surgió como el desarrollo de una analogía con respecto a las semánticas del sistema alético-temporal MT, cuyo lenguaje es L _□ ∪L_PF (cfr. ^{Sánchez, 2022}). Una interpretación para éste es una tupla ⟨W, T, R_t, <_w,v⟩, donde T es un conjunto de tiempos y los demás detalles técnicos son similares a los de un modelo para T/T/KD*. R_t indica que las relaciones aléticas cambian con el tiempo, su motivación son las oraciones como: “En 1932, a Inglaterra le era posible evitar la guerra con Alemania, pero le fue imposible para 1937”. <_w indica que cada mundo tiene su propio orden temporal. Una característica importante de MT es que invalida

Aún si en este mundo no hay un final para el tiempo, puede que haya un mundo en el que sí (Correia y Rosenkranz, 2019: 7).

Análogamente, en una lógica alético-epistémico-doxástica, las relaciones entre mundos deberían variar entre estados epistémicos, R_e, y la accesibilidad de los estados epistémicos debería variar entre mundos, ΨK_w y ΨB_w. Esta analogía lleva a la, quizá, más importante propiedad de estas semánticas. De manera usual la discusión sobre la ontología de los mundos posibles se divide entre los realistas modales -o platónicos modales, como prefiere ^{Stephen Read (1994)} -, quienes afirman que los mundos posibles son tan reales como el nuestro, y los actualistas, quienes creen que los mundos posibles sólo son entidades mentales distintas al mundo real, sean conjuntos consistentes o reorganizaciones del mismo (cfr. ^{Menzel, 2016}).⁴ Al trabajar con R simpliciter, uno puede optar por la posición de su preferencia dadas sus razones filosóficas, la cuestión es externa a la lógica, pero con R y v relativizadas a E, uno se ve obligado a aceptar un actualismo, las semánticas de mundos posibles sólo tienen sentido dentro de la mente de un agente. Discutiré esto último en el apartado 4.

Ahora bien, hay sistemas que no requieren a E para distinguir entre modalidades aléticas y epistémicas. ^{Daniel Rönnedal (2021)}, por ejemplo, ha desarrollado un sistema temporal, alético, volitivo y doxástico, que sólo requiere de W y T; los mundos aléticos se distinguen de los doxásticos sólo por las relaciones de accesibilidad, así como en una lógica epistémico-doxástica distinguimos entre los estados epistémicos y doxásticos por Ψ^K y Ψ^B. Técnicamente hablando, no requerimos de E para montar una lógica alético-epistémico-doxástica, pero podría preguntarse por qué sólo se requeriría de . Cuando trabajamos con lógicas alético-temporales, distinguimos con claridad entre W y T, pues sería raro no hacerlo. Lo más natural es distinguir entre los miembros de W y E, aun si no es fácil decir qué son cada uno, por ello, desde mi punto de vista, la interpretación actualista es un motivo importante para considerar que son distintos.

Árboles de T/T/KD*

Aunado al sistema axiomático de T/T/KD*, se puede desarrollar un sistema de árboles para tener otra noción de validez sintáctica. Los árboles de T/T/KD* tienen cuatro tipos de nodos: A, w_i /e_x quiere decir que A es verdadera en w_i del e_x; w_i R_ex w_j, que en e_x, w_i accede a w_j; exΨKwiey, que en w _i, e_x accede epistémicamente a e_y; exΨBwiey, que en w_i, e_x accede doxásticamente a e_y. Una lista inicial consta de un nodo B, w₀ /e₀ para cada premisa (si hay alguna) y ¬ A, w₀/e₀ para la conclusión. Una rama de un árbol se cierra, ×, si en ella aparecen A, w_i /e_x y ¬A, w_i /e_x.

Las reglas de árboles para las conectivas proposicionales son las mismas que las de los árboles proposicionales excepto porque llevan un índice de mundos y estados. Éstas son las reglas de ∧ y de ∨:

Para los operadores hay dos tipos de reglas. Primero, las de equivalencia:

Segundo, las reglas de inferencias:

En la regla de □, w_iRexw_j debe estar en la rama independientemente del orden; en la regla de ♢, j es un número de mundo nuevo en la rama. Comentarios similares se aplican a las reglas de [K] y [B]; en reglas las de ⟨K⟩ y ⟨B⟩, es un número de estado mental nuevo en la rama. Nótese que en las reglas inferiores se corresponden las letras de operadores y de relaciones, por ejemplo, [K] requiere líneas de Ψ^K. En todas las reglas, siempre se mantiene un índice igual: en las de □ y ♢, e_x; en las de operadores epistémicos y doxásticos, w_i.

Un consejo para la introducción de líneas de relaciones es primero escribir la relación principal, luego el subíndice y luego, si se trata de un operador epistémico o doxástico, el índice, teniendo cuidado en cada paso de poner lo correspondiente:

Para cualesquiera operadores, O, las reglas para contingencia y no contingencia son las siguientes:

Las primeras dos reglas son equivalencias, en las otras dos, sólo hay que tener cuidado de poner el operador correspondiente, por ejemplo, si se tiene ♢A, las ramas son ♢A y ♢¬A.

Por mor a la simplicidad, primero desarrollo las reglas que no generan bifurcaciones.

Para las restricciones a las relaciones, requerimos las siguientes reglas:

Las primeras dos reglas se aplican a cada i y x en la rama; es recomendable hacerlo tan pronto aparezca un número nuevo en la rama y apenas comienza un árbol se pueden aplicar inmediatamente a w ₀ y a e₀. La tercera se aplica a cada e_x y w_i en la rama, lo recomendable es hacerlo cuando ya no se pueda con ninguna otra regla porque puede generar ramas infinitas. La cuarta regla se aplica a cada línea exΨBwiey, prefiero introducir siempre una línea exΨKwiey cada vez que ha aparecido una nueva de exΨBwiey. Por facilidad y economía de espacio, apunto más de una línea en un solo renglón.

Un árbol está completo si todas las reglas que han podido aplicarse fueron empleadas; o, aunque tenga una rama infinita, digamos, se sabe que aplicar una regla ya no tiene efecto en la clausura.

Como un ejemplo sencillo, pero importante, consideremos la siguiente inferencia descubierta por Von ^{Wright (1983: 68)} como la reformula ^{Costa-Leite (2016: 527)}:

Aquí está el árbol que lo demuestra:

La rama de la derecha se cierra debido a que [K]p, w₀/e₀ ya está en la rama, pero aún si se le siguieran aplicando reglas, se cerraría.

En su momento, Von Wright demostró a (2) axiomáticamente. Lo que sigue es una reconstrucción propia (la numeración romana es para no interferir con el resto del artículo):

Se puede apuntar que ♢p sobra en (2) a comparación de (XII), pero no hay problema porque:

Esto resulta de un silogismo hipotético entre las líneas (I) y (VIII) en la reconstrucción.

Un debate contemporáneo sobre la lógica epistémica es en qué consiste que algo sea una posibilidad epistémica y si puede coincidir con la posibilidad metafísica (cfr. ^{Egan y Weatherson, 2011}, que es una compilación de escritos al respecto). Si esto se formula así:

entonces es inválida en T/T/KD*. Aquí está el árbol:

El árbol se vuelve infinito por la regla para la serialidad de ΨB_w, pero es completo porque, no importa cuántas veces se aplique la regla, no se cierra.

Los contramodelos para una inferencia pueden obtenerse a partir de una rama abierta. Para cada w₁ y e_x en la rama, w_i ∈W y e_x ∈E. R_ex ={⟨w_i,w_j ⟩:e_x Rw_i w_j aparece en la rama}. ΨK_w y ΨB_w se determinan similarmente. Si p, w_i /e_x aparece en la rama, vwi/exp=1; si ¬p,w_i /e_x aparece vwi/exp=0; si no aparece ninguno, vwi/exp puede ser arbitraria.

El contramodelo del árbol de (4) es infinito; no obstante, a prueba y error puede encontrarse un contramodelo finito. Un par de técnicas generalmente buenas para lograr esto son o permitir que, para algún e_x en wi,exΨBwiex, esto es hacer reflexiva una relación serial, o permitir que ΨK_w =ΨK_w para algún w, aunque esto hace válidas a [K]p≡[B]p y ⟨K⟩p≡⟨ B⟩ p en ese w. Suponiendo que ΨKw ₀= ΨKw₀, un contramodelo finito para (4) es el siguiente: W={w₀ }; E={e0}; Re0)=w0w0; Re1)=w0w0; Ψk/w₀ = Ψk/w₀={e₀ e₀,e₀ e₁,e₁ e₁ }; vw0/e0p=0 y vw0/e1p=1. Éste puede ilustrarse de la siguiente forma (con cajas por motivos tipográficos y omitiendo las flechas para ΨKw0):

↷↷e0e1↷w0¬p↷w0p

Considerando que e₀ representa al estado real de las cosas, como es usual, puede ser el caso de que p sea necesariamente falsa, aun si se puede concebir un estado donde se crea que sí es verdadera. Es distinto lo que sucede en el mundo real a lo que uno maquina en su cabeza.

El sistema de árboles mostrado en esta sección es correcto y completo respecto a las semánticas de T/T/KD*. La prueba es una simple modificación de aquella en ^{Sánchez (2022: sec. 6)}.⁵

Algunas afirmaciones spinozianas

Es bien sabido que en la historia de la filosofía Baruch Spinoza (1632-1670) afirmaba que todo es metafísicamente necesario, él decía:⁶

En la naturaleza no se da nada contingente, sino que todas las cosas son determinadas a existir y a operar de un cierto modo en virtud de la necesidad de la naturaleza divina. (E1/29; ^{Spinoza, 2020: 79})

Las cosas no han podido ser producidas por Dios de otro modo ni según otro orden que como han sido producidas. (E1/33; ^{Spinoza, 2020: 84})

La razón obvia es que, si sólo hay una sustancia -un único mundo posible-, entonces las cosas existentes en ella sólo pueden ser de una forma y no de otra. El punto de vista según el cual todo es necesario se conoce como necesitarismo.⁷ Para los comentaristas, Spinoza es un necesitarista, aunque difieren en cómo afirma la necesidad regente en la realidad, pues no es tan obvio qué significa que algo sea contingente, debatiendo así el grado de su afirmación (^{Newlands, 2018}: Introducción). Independientemente de cuál sea el estatus ontológico de la contingencia para Spinoza (a mi parecer nulo),⁸ él responde qué es, no desde la metafísica, sino desde la epistemología:

Se dice necesaria una cosa, o bien en razón de su esencia, o bien en razón de su causa. Pues la existencia de una cosa cualquiera se sigue necesariamente o bien de su misma esencia y definición, o bien de una causa eficiente dada. Y además, por esto mismo se dice una cosa imposible, o bien porque su esencia, o sea, su definición, implica contradicción, o bien porque no se da ninguna causa externa determinada a producir tal cosa. Pero una cosa no se dice contingente por ninguna otra causa, a no ser por un defecto de nuestro conocimiento. Pues una cosa de cuya esencia ignoramos implica contradicción, o de la que sabemos bien que no implica ninguna contradicción, pero de la que tampoco podemos afirmar nada cierto acerca de su existencia por ocultársenos el orden de las causas, esa cosa nosotros no podemos verla nunca ni como necesaria ni como imposible. Y por eso la llamamos o contingente o posible. (E1/33e1; ^{Spinoza, 2020: 84-85}; énfasis mío)

El entendido de necesidad de Spinoza se parece al nuestro. Esto es más claro si empezamos con la imposibilidad (de hecho, en el Tratado de la reforma del entendimiento, §52, éste es el término modal básico). Para Spinoza, todo lo que sea una contradicción por su sola definición es imposible; de cierta forma, esto se parece a (N□): ⊢ ¬A, entoces ⊢ □¬A. Su ejemplo favorito era considerar un círculo cuadrado: al ser éste una contradicción por su sola definición es imposible que exista. Con respecto a lo necesario, él consideraba posible demostrar la existencia de Dios; si la demostración es válida, es una contradicción que Dios no exista, y, por equivalencia, ello vuelve no sólo verdadera su existencia, sino necesaria. Valga considerar que las tres demostraciones para “Dios […] existe necesariamente” (E1/11; ^{Spinoza, 2020 52}) son reducciones al absurdo.⁹

Con respecto a los modos finitos de Dios -las cosas contingentes como nosotros, los animales, las estrellas-, éstos no son necesarios ni imposibles como se ha dicho hasta ahora. Digamos, mi existencia no es una contradicción en sí misma (de hecho, existo), pero tampoco es una verdad demostrable lógicamente.¹⁰ De nueva cuenta, Spinoza sigue pareciéndose a nosotros, ∇p ≡ (¬□p ∧ ¬□¬p), aunque difiere en lo siguiente: aún si algo es contingente por definición, si existe, ello se debe a una causa por la que es necesario que exista, y si no existe, es imposible que lo haga porque no se dieron las causas para ello. Digamos, no es meramente posible que yo exista, es necesario dada una serie causal; a su vez, es imposible que exista un hermano biológico menor a mí por cinco años porque no se dieron las causas apropiadas para ello. Que sólo haya una sustancia y una sola cadena causal le parece suficiente a Spinoza para afirmar que todo es necesario, incluso lo aparentemente contingente. Si conociéramos las determinaciones de la naturaleza y la serie causal por la cual sucede todo, dejaríamos de pensar en las cosas como posibles o contingentes y sólo nos quedaríamos con lo necesario para aquello que es verdadero y lo imposible para lo que es falso.

En honor a las ideas de Spinoza, introduciré la siguiente definición:

Una fórmula es una modalidad spinoziana sii se cierra bajo una implicación y la creencia o conocimiento de una modalidad alética implica la negación o de un conocimiento o de una creencia.

Todas las inferencias en este apartado serán modalidades spinozianas. Por lo que se ha expuesto, parece que Spinoza aceptaría:

Este árbol muestra que no es una verdad lógica:

Cualquiera de las ramas se extiende ad infinitum y los contramodelos también. Con base en la rama izquierda, uno puede ilustrar un contramodelo así:

Las flechas punteadas son ΨB/W, mientras que ΨK/W y R_e son las flechas normales. Se puede encontrar un contramodelo finito a prueba y error, aquí hay uno para la misma inferencia:

En este contramodelo, no sólo [B]∇p, sino que [K]∇p; también [K]p, siendo así que /K\p, por lo cual (5) es inválido. Ambos modelos validan [B]∇p sin ir en contra de (DB), [B]p ⊃ ¬[B]¬p; un agente no puede creer que p y ¬p, pero sí que ♢p y ♢¬p sin caer en contradicción. Considero que ésta es una de las características más atractivas de T/T/KD*: permite creencias consistentes sobre contingencias.

Si Spinoza viera esto, de seguro diría que esto no sucede porque sólo hay un mundo posible. Si fuera el caso de que W = {w ₀}, la inferencia sería válida, pero también trivializaría a la lógica alética, pues p ≡ □ p y p ≡ ♢p. Si así respondiera, uno puede preguntar ¿por qué deberíamos aceptar que sólo hay un mundo posible? A lo cual, Spinoza o un spinozista podría preguntar de vuelta ¿por qué deberíamos aceptar que hay más de uno? A favor de que sólo hay uno, los monistas, como los materialistas, tienen por motivo dar cuenta de la cuenta de la causalidad (cfr. ^{Papineau, 2020: secc. 1.1-2}). Si hubiera dos ámbitos completamente distintos, nada de lo que pasara en uno podría afectar al otro. La interacción es imposible. Ésta era una consideración importante de los estoicos y epicúreos para negar el platonismo (^{Sharples, 2009: 51}), y parece que nosotros podemos aplicarla al realismo modal ¿cómo tenemos conocimiento de algo con lo que no podemos interactuar? En la obra de Spinoza, hay un esfuerzo constante por disolver aparentes oposiciones, como infinito-finito, humano-naturaleza, humano-divino, Dios-Naturaleza (o mundo) (^{Pineda, 2009: 36}), y quizá la más interesante para los comentaristas sea la de mente-cuerpo, pues Spinoza creía que ontológicamente son una misma cosa, pero conceptualmente no son reducibles el uno al otro (cfr. ^{Schmidt, 2009}).

Ahora bien, aun si se acepta que sólo hay un mundo posible ¿de ello se sigue que no es provechoso estudiar la modalidad? Aunque es debatible, parece que Spinoza no considerabaincompatibles el necesitarismo metafísico y el pensamiento modal.¹¹ En una de sus cartas escribió: “En la vida diaria, nos vemos obligados a seguir lo más verosímil, pero en la especulación, la verdad” (^{Ep56; 1988: 329}). En sentido estricto, si las cosas pueden ser realmente contingentes o si existe más de un mundo posible, Spinoza diría que hay razones para creer que no; sin embargo, aun si sólo hay un mundo posible, éste no es el único que concibe nuestra mente, en la vida diaria nos vemos obligados a seguir posibilidades verosímiles. Spinoza no concebía la modalidad como algo a evitar en nuestra vida, sino que incluso habría que conocerla para guiarnos lo mejor posible. El arrepentimiento es una tristeza por lo que pudo haber sido; la esperanza, una alegría inconstante sobre lo que puede suceder; la soberbia, un resultado de pensar más favorablemente sobre nosotros y, el menosprecio, un odio que surge al imaginar lo peor posible de los otros. Se debe conocer el pensamiento modal para usarlo a nuestro favor, en última instancia, Spinoza consideraba que “[e]n la medida en que la mente entiende todas las cosas como necesarias, en esa medida tiene una mayor potencia sobre los afectos, o sea, menos padece por ellos” (^{E5/6; 2020: 390}).¹² Éstas son consideraciones prácticas, pero ello no resta valor a una formulación epistémica a su base; de hecho, en el orden de la Ética, la metafísica y la epistemología anteceden a la ética.

Para concluir esta sección, consideremos otras modalidades spinozianas. Como Spinoza afirma que todo es necesario o imposible, i. e., no contingente, es plausible modificar (5) para tener:

Esta inferencia también es inválida, pero hay una fórmula parecida que sí es válida

aunque es más intuitiva su contraposición.

Comprobar que éstas son válidas, ya sea axiomáticamente o por medio de árboles, es fácil y se deja al lector. A modo de conclusión, (7) sugiere que la intuición de Spinoza no estaba del todo errada, hay creencias sobre modalidades aléticas que implican un desconocimiento.

Sobre el principio de cerradura estricta

Como en el caso de la lógica proposicional a la lógica modal, que un axioma o teorema sea válido con ⇒ -implicación material- no conlleva que sea válido con ⇒ -implicación estricta-. Es fácil comprobar que en T/T/KD* son válidos:

No obstante, son inválidos los principios de cerradura para la creencia y el conocimiento:

Aun con todo, (CK+) sí es válido si la base tanto para la lógica alética como para la epistémica es S5. Hay dos formas de probar esto, una por medio de árboles y otra axiomáticamente.

Al trabajar con base en S5, R _e, es una relación de equivalencia en W para todo e ϵ E, lo denotamos como ~R/e, y lo mismo mutatis mutandis para ΨK_w, ~K_w, por lo que las condiciones de verdad de los operadores aléticos y epistémicos pueden plantearse de la siguiente forma:

Dadas estas condiciones, podemos omitir las líneas sobre las relaciones en los árboles. Las reglas para operadores particulares introducen nuevos mundos/ estados epistémicos y las de operadores universales se aplican a todos los mundos/ estados epistémicos en la rama:¹³

En las reglas de ◊ y ⟨K⟩ , j y y son números nuevos de mundos/estados epistémicos en la rama; en las reglas de □ y [K], k y z son cualquier número de mundo/estado epistémico en la rama respectivamente (incluidos i y x).

Comprobar que (CK+) es válido por medio de árboles se deja al lector. A modo de ejemplo, desarrollaré el árbol de S5/S5/KD para la equivalencia formada por las siguientes fórmulas:

En una lógica alético-temporal, cuando una proposición es verdadera en todos los mundos y en todo momento, se dice que es absolutamente necesaria, □[T]p, a diferencia de cuando sólo es verdadera/ en un determinado momento, lo cual se llama necesidad histórica, □p o ⟨T⟩□p. Por analogía, cuando un agente sabe una proposición en todas las circunstancias posibles, ⟨K⟩□p, puede decirse que tiene un conocimiento absoluto (con el perdón de Hegel), a diferencia del conocimiento relativo, que se da en una situación determinada, [K]p, ◊[K]p o ∇ [K]p. (SH) afirma entonces que el conocimiento de algo necesario implica su conocimiento absoluto y (SHC) que el conocimiento absoluto de algo implica conocerlo como necesario.¹⁴

Teniendo (SH), es muy fácil demostrar axiomáticamente (CK+).

Ahora bien, (CK) normalmente es llamando el principio de cerradura para el conocimiento, e indica que, si se conoce una implicación, el conocimiento del antecedente implica el del consecuente. Una de las críticas más reconocidas a (CK) fue elaborada por ^{Fred Dretske (1970)}. Aun si se acepta que una proposición implica necesariamente a otra, que es (C□), esto no sucede con el conocimiento; la implicación no es así de penetrante en estos casos. La diferencia es clara en el siguiente ejemplo. Los axiomas y definiciones en Los elementos implican necesariamente a sus teoremas (y más); pero conocer las primeras páginas de Los elementos no significa saber todo lo que se sigue de los axiomas y definiciones según Euclides (y más). Dada la falla de (CK+), por la falla de (SH), las semánticas de T/T/KD* pueden hacer sustanciales las ideas de Dretske al mostrar que el principio falla cuando consideramos circunstancias a donde no llega la afirmación.¹⁵ Comentarios análogos se aplican a (CB+) para lo doxástico.

Cuanto concierne a la cerradura alética, hay dos posibilidades. En tanto que p ⇒ q = _def □(p ⊃ q), el principio de cerradura puede afirmarse como

Esta versión sólo es válida si acepta que R_e sea relativamente transitiva, i. e., para todo w_i, w_j y w_k en todo e_x, si wiRexwj y wiRexwk, entonces wiRexwk. La regla de árbol para esta restricción es:

Si se insiste en que el principio de cerradura estricta cambie todas las implicaciones materiales en (C□) por estrictas, i. e.:

Entonces el principio de cerradura estricta para la necesidad es válido incluso en K. En cualquiera de los dos casos, validar la cerradura alética no conlleva afirmar la cerradura estricta para el conocimiento o la creencia.

Si Dretske aceptara que ⇒ es mejor candidato que ⊃ para modelar al si de los lenguajes naturales, cualquier sistema con una base alética tanto o más fuerte que K (o S4, si se opta por (C□+)), cuya base epistémica sea más débil que S5, es idóneo para sus intuiciones; el principio de cerradura estricta es válido para la necesidad, pero no para el conocimiento. Lo mismo aplica mutatis mutandis respecto de la lógica doxástica con (CB+).