La medición del tiempo, del espacio y el convencionalismo en geometría

Desde la antigüedad, el estudio de la geometría estuvo relacionado con la medición de distancias. Para que dicho estudio se desarrollara fueron necesarios tanto logros técnicos y materiales, como una paulatina y creciente abstracción del concepto de espacio: “To be sure, measurement leads eventually to generalization and ultimately to abstract thinking” (^{Jammer, 1993: 8}). Este proceso tuvo un punto culminante cerca del año 300 a. C., cuando Euclides (325 a. C.-265 a. C.) escribió un tratado de geometría: Elementos. Su sistema, hoy conocido como geometría euclidiana, resultó ser notablemente exitoso y se convirtió en una de las obras matemáticas más influyentes en la historia del pensamiento. Sin embargo, sólo funcionaba en contextos donde se cumplen los postulados en los que se basaba, los cuales parecen intuitivamente ciertos, excepto el quinto, que tiene la forma de una conclusión más elaborada: “las rectas paralelas no se cruzan”.

Durante mucho tiempo, diversos investigadores intentaron probar el quinto postulado a partir de los otros, sin embargo, esto se consideró imposible. Al inicio del siglo XIX, los estudios de Carl Friedrich Gauss (1777-1855),² Nikolai I. Lobachevsky (1793-1856) y Janos Bolyai (1802-1860) mostraron la posibilidad de construir sistemas geométricos alternativos al omitir el quinto postulado, derivando teoremas contrarios a los de Euclides, por ejemplo, que los ángulos interiores de un triángulo pueden sumar menos de 180°. Años después, Bernhard Riemann (1826-1866) generalizó la teoría de superficies de Gauss y utilizó el concepto de curvatura para concluir que, tanto la geometría de Euclides, como la de Lobachevski y Bolyai, eran casos de curvaturas particulares. Posteriormente, se conoció a estos sistemas como geometrías no euclidianas. Sin embargo, al inicio no hubo muchas aplicaciones para estas nuevas herramientas en las ciencias naturales. Durante esta época:

In contrast to the amount of publicity they received, applications of non-Euclidean geometry in physics by leading practitioners produced slim theoretical results, the value of which was outstripped by the technical intricacy of the methods deployed to obtain them. (^{Walter, 1999: 94})

Algunos investigadores debatían las posibles aplicaciones de la geometría no euclidiana, en particular, Poincaré consideraba que éstas pueden usarse en física tanto como la geometría euclidiana. La elección de una geometría, para su aplicación en física, sólo requiere convenciones adecuadas. Esta conclusión era consecuencia de una postura filosófica conocida como convencionalismo.

En el ensayo titulado La mesure du temps (La medición del tiempo), aparecen expuestos algunos aspectos importantes del convencionalismo. Poincaré indaga cómo determinamos que dos intervalos de tiempo son iguales. En la práctica, utilizamos instrumentos para determinar una duración, por ejemplo, consideramos que dos ciclos de un péndulo definen dos intervalos de tiempo iguales. Sin embargo, el movimiento de péndulos puede ser alterado por factores como el viento o la temperatura. Factores similares afectan a todos los relojes, por lo que, incluso el mejor, debe ser corregido de vez en cuando. Las correcciones son hechas con ayuda de observaciones astronómicas, de manera que la duración de una rotación de la Tierra constituye la unidad de tiempo. No obstante, los astrónomos consideran que la rotación de la Tierra está desacelerando. Poincaré indaga el significado de esta afirmación, pues si la rotación de la Tierra realmente definiera la unidad de medida del tiempo, no tendría sentido decir que ésta es cada vez más lenta. La conclusión de los científicos se debe a que la fricción de las mareas debe producir calor y, por conservación de la energía, la Tierra debe perder velocidad. Además, la desaceleración que la Luna debería presentar, de acuerdo con las leyes de Newton, es menor de la observada. Este aparente desfase también puede explicarse si consideramos que la Tierra se ha desacelerado. En otras palabras, para Poincaré hay dos alternativas para medir el tiempo: considerar que la unidad del tiempo no debe definirse a partir de la rotación de la Tierra o modificar las leyes de la física. La última opción implicaría complicar notablemente dichas leyes. Para Poincaré, los astrónomos definen el tiempo de tal manera que las leyes de Newton y la conservación de la energía sean formuladas de la manera más simple posible. Establecido lo anterior, Poincaré extiende sus comentarios para abarcar el concepto de simultaneidad de eventos: “The simultaneity of two events, [...] are to be so defined that the enunciation of the natural laws may be as simple as possible” (^{Poincaré, 1913: 234}, énfasis mío).

Poincaré continuó desarrollando sus ideas acerca de los aspectos convencionales del conocimiento científico en La science et l’hypothèse (Ciencia e hipótesis) publicado por primera vez en 1902. Lo más importante para mis propósitos es el análisis que presenta acerca del uso de la geometría en la física. Además de las consideraciones acerca de la medición del tiempo, Poincaré señala que la unidad de medición del espacio también requiere una convención por motivos similares. En otras palabras, para él, como en el caso de la medición del tiempo, era necesario definir los estándares de medición de distancias para que las leyes de la naturaleza tengan la forma más simple posible. El hecho de que sea posible decidir entre definiciones alternativas de estándares implica que la medición no puede ayudarnos a determinar si el espacio en el que vivimos es realmente euclidiano o no. “Experiments only teach us the relations of bodies to one another. They do not and cannot give us the relations of bodies and space, nor the mutual relations of the different parts of space” (^{Poincaré, 2011: 91}). Para argumentar este punto, se pregunta por la naturaleza de los axiomas de la geometría: ¿son intuiciones sintéticas a priori, como afirmaba Kant, o son verdades experimentales? En cuanto a la primera opción, Poincaré argumenta que, si éste fuera el caso, sería imposible concebir proposiciones contrarias, es decir, simplemente no podría haber geometrías no euclidianas.

Poincare takes synthetic a priori statements to be necessary, maintaining that we can neither conceive of a negation of a synthetic a priori truth, nor incorporate such a negation consistently into a coherent system of statements. It is this conception of the synthetic a priori that enables Poincare to conclude from the existence of incompatible geometries that neither of them is synthetic a priori. (^{Ben-Menahem, 2001: 476})

Por otro lado, la idea de que los axiomas sean verdades experimentales es incorrecta, pues no experimentamos con líneas o círculos ideales, sino con objetos materiales. Sólo se puede considerar que las figuras geométricas se comportan como sólidos y las rectas como la trayectoria de propagación de la luz. Esto no permitiría considerar a la geometría como el estudio del movimiento de sólidos y de la luz. Además, si la geometría fuera una ciencia experimental, estaría sujeta a revisión, pero no habría forma de probar los errores, porque no existen sólidos completamente rígidos e invariantes. Esto no corresponde con las prácticas matemáticas. Por lo anterior, Poincaré concluye que los axiomas de la geometría no son intuiciones sintéticas a priori ni hechos experimentales, sino convenciones. Aunque reconoce que escogemos determinada convención sobre otra guiándonos con hechos experimentales, la elección es libre y su único límite es la necesidad de evitar la contradicción: “One geometry cannot be more true than another; it can only be more convenient. Now, Euclidean geometry is, and will remain, the most convenient” (^{2011: 59}). La manera particular, en que se mueven los cuerpos sólidos y la luz, puede ser atribuida tanto a la geometría del espacio como a las leyes naturales. Para Poincaré, no hay manera de saber si los fenómenos percibidos se deben a las características del espacio o a las leyes de la naturaleza. Por lo tanto, sólo es posible decidir por medio de una convención que permita la descripción más simple de los fenómenos naturales.

I may conclude that no experiment will ever be in contradiction with Euclid’s postulate; but, on the other hand, no experiment will ever be in contradiction with Lobatschewsky’s postulate.

But it is not sufficient that the Euclidean (or non-Euclidean) geometry can ever be directly contradicted by experiment. Nor could it happen that it can only agree with experiment by a violation of the principle of sufficient reason, and of that of the relativity of space. (^{Poincaré, 2011: 86-87})

Esto es así porque, sea cual sea la geometría que utilicemos, el estado de los cuerpos y sus mutuas distancias no dependen de distancias absolutas iniciales ni de una orientación absoluta. “Further, as both Grünbaum and Zahar point out, the interconnections involve circularity: while geometry is articulated against a back-ground of physical theory, physical theory, in turn, is articulated against a geometric background” (^{Ben-Menahem, 2001: 486}).

Al final, la elección de una geometría u otra sólo puede hacerse por convención: “The freedom we enjoy in adopting a particular geometry makes geometry conventional, but non-arbitrary: a reasonable choice of convention is informed by both experience and methodological values” (^{Ben-Menahem, 2001: 492}). El valor metodológico que Poincaré señala como clave para escoger entre posibles convenciones es la simplicidad. Este concepto puede ser ambiguo en muchos contextos y, al respecto, Poincaré sólo comenta que la geometría euclidiana “is the simplest in itself, just as a polynomial of the first degree is simpler than a polynomial of the second degree” (^{2011: 59}). Es decir, parece que la simplicidad está relacionada con la eficiencia en el uso de las matemáticas para procesar información. De cualquier manera, Poincaré consideraba que la geometría euclidiana era la más simple y, ya que ningún experimento puede contradecirla, nunca podría ser remplazada.

La relatividad especial

Como mencioné, algunas de las reflexiones de Poincaré se relacionaban con las dificultades presentadas durante el siglo XIX al buscar un patrón adecuado para medir el tiempo. En parte, sus reflexiones acerca de la geometría parecen motivadas porque, durante la misma época, también había controversias en los estándares para medir distancias. En particular, el metro patrón fue definido como la proporción entre la distancia que designa y otras magnitudes astronómicas; sin embargo, había motivos para dudar de que la proporción hubiera sido establecida correctamente. Por ejemplo, los resultados de uno de los grandes logros experimentales de la época (la medición terrestre de la velocidad de la luz) producían valores que no coincidían con las mediciones astronómicas.

Michelson created his famous Michelson-Morley experiment as part of his efforts to obtain a better standard for measuring time and length that both physicists and astronomers could use. What did Michelson find from his work with Morley? Nothing. Did he find what caused the difference between the values found by astronomers and those preferred by physicists? No. (^{Canales, 2015: 108})

A pesar del impresionante logro técnico que supuso, los experimentos de Albert A. Michelson no resolvieron este tipo de controversias, pero parecían mostrar que la velocidad de la luz era constante en el vacío. Es decir, mientras se producían dudas sobre el metro y otras unidades físicas, como posible explicación de las discrepancias, se ganaba confianza acerca de la constancia de la velocidad de la luz. Debido a esto, muchos propusieron usar la velocidad de la luz para redefinir la logitud del metro en términos de longitudes de onda. De la misma manera podía usarse la frecuencia de onda para redefinir la medición del tiempo. Utilizando la frecuencia de la luz, los científicos podían obtener mejores estándares de medición tanto para la distancia y el tiempo: “The idea of using light waves as standards had been seriously considered by the eminent physicist James Clerk Maxwell, known as one of the founders of electromagnetism” (^{Canales, 2015: 105}). Sin embargo, para utilizar la velocidad de la luz como estándar de medición era necesario aclarar si el éter, el cual se pensaba que llena el espacio, podía introducir alteraciones y de qué manera. Además, el principio físico del éter causaba controversia, pues se había establecido que la luz es una onda electromagnética, y este principio debía mediar sus interacciones.³

En 1905, Albert Einstein publicó el famoso artículo donde propone la relatividad especial. El artículo, “Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento”, revisa la manera de entender el espacio y el tiempo a partir de la constancia de la velocidad de la luz, además haciendo innecesario al éter. Para hacer esto, Einstein tomó dos principios físicos que consideraba apoyados por observaciones y experimentos relacionados con la velocidad de la luz que se habían producido en ese momento. El primero era el principio de la velocidad de la luz, el cual expresaba que ésta es independiente de la fuente que la produce y de la dirección en la que se propaga.⁴ El segundo principio era el de relatividad, el cual postulaba que las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia inerciales.

Estos principios eran consecuencia de los fracasos por intentar detectar el movimiento de la Tierra en el éter a través de variaciones de la velocidad de la luz.⁵ Los científicos de la época no habían considerado esta conclusión porque parecía inconsistente. Si las leyes de la física, en particular de la óptica, son las mismas para todos los marcos de referencia inerciales, ¿cómo podrían dos observadores en movimiento, uno respecto al otro, medir el mismo valor para la velocidad de la luz? Por ejemplo, si camino en una dirección y veo un auto moverse en la misma dirección, el movimiento del auto será más lento juzgado por mí que por una persona quieta a mitad de la calle. Sin embargo, los dos postulados de Einstein implican que se mide el mismo valor para la velocidad de la luz independientemente de cómo se muevan los observadores. En las investigaciones experimentales no parecían haber variaciones en la velocidad de la luz, por lo que los datos apoyan los principios físicos de Einstein: el principio de la relatividad y el principio de la velocidad de la luz. Esto no evita que las conclusiones parezcan contradictorias:

Naturalmente, hoy nadie ignora que todos los intentos de aclarar satisfactoriamente esa paradoja estaban condenados al fracaso mientras el axioma del carácter absoluto del tiempo, o de la simultaneidad, siguiera anclado inadvertidamente en el inconsciente. (^{Einstein, 2003: 57})

Einstein resuelve la inconsistencia entre el principio de relatividad y de la constancia de la velocidad de la luz redefiniendo la simultaneidad de eventos y, en consecuencia, los conceptos de distancia y tiempo en diferentes marcos de referencia inerciales. Esta redefinición considera una sincronización de relojes a partir de señales de luz.

Supongamos que una señal de luz parte de A hacia B en el ‘tiempo A’ t_A, llega a B y se refleja de regreso hacia A en el ‘tiempo B’ t_B y finalmente arriba al punto A en el ‘tiempo A’ t’_A. De acuerdo a la definición, los dos relojes estarían sincronizados si: t_B - t_A = t’_A - t_B. (^{Einstein, 2005: 3})

Una consecuencia de esta definición es que la medición del espacio y del tiempo puede cambiar dependiendo del marco de referencia inercial considerado. Los cambios se producen de tal manera que, sin importar la velocidad de un observador, éste siempre mide el mismo valor para la velocidad de la luz. Esto, tendría como consecuencia que dos eventos podrían ser simultáneos para un observador, pero no para otro debido a los cambios en el tiempo que cada uno mide. La novedad consiste en que el espacio y el tiempo ya no son consideradas cualidades, sino relaciones definidas a partir de operaciones de medición.

Esto no significa que los conceptos de espacio y tiempo puedan ser agotados por las operaciones de medición, sino que esas operaciones permitían caracterizar sus aspectos relevantes para la discusión de fenómenos físicos. Dicha caracterización fue necesaria para hacer inteligible la interpretación de datos acerca de la óptica y la electrodinámica relacionados con marcos de referencia en movimiento. Sin embargo, ^{Harvey Brown (2005)} cuestiona que los efectos de la relatividad, como la contracción de distancias y tiempos, se puedan atribuir al espacio-tiempo y no a propiedades de la materia. Es decir, los efectos relativistas podrían explicarse porque las leyes de la dinámica, que rigen los cuerpos materiales, son consistentes con los principios de relatividad y de constancia de la velocidad de la luz. De acuerdo con Brown, esos efectos no necesariamente se explican a partir de consideraciones acerca de la estructura del espacio. Respecto de este debate concuerdo con ^{Wesley Von Camp (2011)}, para quien, señalar si la estructura del espacio explica que las leyes de la dinámica sean consistentes con los efectos relativistas, o si es al revés, hace que perdamos de vista el papel que juegan los principios de Einstein, los cuales proporcionan una definición clara y significativa del concepto de simultaneidad, algo no disponible en la física newtoniana: “These concepts serve as defining principles that can impose meaning on the concept of an inertial frame” (^{Camp, 2011: 1105}). En resumen, se puede dar una explicación de los fenómenos a partir de las leyes de la dinámica, pero hacerlo desde la estructura del espacio era necesario en el contexto de Einstein para clarificar conceptos como el de simultaneidad.

El principio de equivalencia, la paradoja de Ehrenfest y la insuficiencia de la geometría euclidiana

Después de sentar las bases de la relatividad especial, Einstein exploró algunas de sus implicaciones en “On the relativity principle and the conclusions drawn from it”. En este artículo, considera las condiciones en las cuales un sistema sometido a gravitación y otro a aceleración serían equivalentes, es decir, las condiciones en las que las leyes físicas no permitirían distinguir entre ambos. Esto sucedería si consideramos un sistema sometido a una aceleración constante γ y otro en reposo, pero sometido a un campo gravitacional que acelera a los objetos en caída con una magnitud -γ. Una manera de ver esta equivalencia es considerar una persona dentro de una cámara cerrada, la cual se encuentra en caída libre. La persona no podría saber si en efecto está en caída libre o flotando en un estado libre de gravedad. En ambos casos podría flotar igualmente dentro de la cámara. Por otro lado, si la cámara estuviera en reposo, pero sometida a gravitación, el observador tampoco podría distinguir si realmente está en reposo dentro de un campo gravitacional o está siendo acelerada hacia arriba sin que exista ningún campo gravitacional. En ambos casos se sentiría atraído hacia el suelo. A esta similitud entre un sistema acelerado y uno sometido a gravitación se le conoció como principio de equivalencia, al cual Einstein se refirió como la idea más feliz de su vida, pues tuvo una importante función heurística en la investigación de los años siguientes. En particular, permitió analizar el movimiento de objetos en sistemas acelerados, como los de rotación, y trasladar las conclusiones a casos, aparentemente, más misteriosos como los de la gravedad.

Esto ocurría en 1908. ¿Por qué hicieron falta otros siete años para establecer la teoría general de la relatividad? El motivo principal radica en que no es tan fácil liberarse de la idea de que las coordenadas deben poseer un significado métrico inmediato. (^{Einstein, 2003: 68}, énfasis mío)

En física, las coordenadas permiten identificar la posición y el movimiento de un objeto, pero dicha posición sólo puede obtenerse por medio de mediciones que, ahora, debían considerar la relatividad especial. En otras palabras, después de 1905, la relación entre coordenadas (geometría) y mediciones comenzaba a mostrarse poco clara. Por ejemplo, era difícil conservar el principio enunciado por Galileo referente a que todos los cuerpos soltados desde la misma altura llegan al suelo con igual velocidad. Para explicar este punto, ^{Jürgen Renn (2007)} propone el siguiente ejemplo: considérense dos objetos A y B que se dejan caer desde la misma altura, exactamente al mismo tiempo en un campo gravitacional, pero B lleva una velocidad horizontal además de la aceleración vertical que sufre debido a la gravedad. De acuerdo con la física clásica, ambos cuerpos deben tocar el suelo de manera simultánea, tanto si esto es juzgado por un observador que se mueve en dirección horizontal con la misma velocidad que B, como si permanece con una velocidad horizontal nula respecto de A. Sin embargo, en la relatividad especial eventos simultáneos en un marco de referencia no son simultáneos en otro. “Galileo’s principle, according to which all bodies fall with the same acceleration, can hence not be valid in both frames of references; it hence cannot be valid at all” (^{Renn, 2007: 55}). Si esto fuera poco, la misma relatividad especial, que no permite que algo viaje más rápido que la luz, parece difícil de conciliar con una instantánea acción a distancia, como la fuerza de gravedad newtoniana, incorporando el principio de equivalencia.⁶

Los efectos que la relatividad especial implicaba para un disco rotando a gran velocidad le mostraron a Einstein el camino a seguir. Este caso fue analizado por Paul Ehrenfest (en 1909) y llegó a una conclusión posteriormente conocida como paradoja de Ehrenfest. En escritos ulteriores (como en ^{The Meaning of Relativity, 1970: 34-35}), Einstein menciona la paradoja de Ehrenfest en el contexto de su interpretación del principio de equivalencia. La cuestión es la siguiente: considérese un disco de un material rígido⁷ en el que colocamos un gran número de pequeñas reglas rígidas a lo largo de la circunferencia y otras a lo largo del diámetro del disco con el fin de medir ambos. Si U es el número de reglas que caben en la circunferencia y D el número que caben en el diámetro, entonces la proporción U/D debe ser π (pí=3.1415…). Si hacemos que el disco rote a gran velocidad, de acuerdo con la relatividad especial, las reglas en la circunferencia sufrirán una contracción de su longitud en la dirección de su movimiento, medidas con respecto a un observador en reposo (contracción de Lorentz). Pero las reglas que se encuentran a lo largo del diámetro del disco no se han contraído a lo largo, puesto que no hay movimiento en la dirección del diámetro, sólo en dirección perpendicular. Así, se sigue que ahora la proporción U/D, medidas desde un marco de referencia en reposo, tendrá un valor distinto de π. Esto no ocurre en geometría euclidiana.

Una conclusión similar se puede deducir para el tiempo. Se puede colocar un reloj en la periferia del disco rotante y uno en el centro. De nuevo, para un observador en reposo, fuera del disco, el reloj en la periferia medirá que el tiempo transcurre más lentamente que el reloj en el centro. Lo mismo debe suceder si se juzga por un observador situado en el centro del disco. Ahora, por el principio de equivalencia, los mismos efectos para las mediciones de distancias y tiempos que ocurren en el disco rotante, también lo harán en campos gravitacionales.

We therefore arrive at the result: the gravitational field influences and even determines the metrical laws of the space-time continuum. If the laws of configuration of ideal rigid bodies are to be expressed geometrically, then in the presence of a gravitational field the geometry is not Euclidean. (^{Einstein, 1970: 34}, énfasis mío)

En otras palabras, el caso del disco rotante mostró a Einstein que los viejos modelos matemáticos eran demasiado limitados para capturar su nueva noción de espacio-tiempo.

La aplicación de la geometría no euclidiana en las ecuaciones de campo de la relatividad general

A pesar de que la geometría euclidiana no parecía completamente satisfactoria para el estudio de fenómenos gravitacionales, Einstein tardó en abandonarla. Al parecer, no estaba seguro de cómo proceder:

Describing the physical laws without reference to geometry is similar to describing our thought without words […] This problem was unsolved until 1912, when I hit upon the idea that the surface theory of Karl Friedrich Gauss might be the key to this mystery. (^{Einstein, 1982: 47})

Einstein tenía pocos conocimientos sobre geometrías no euclidianas antes de 1912. No muchos físicos estaban familiarizados con este tipo de conocimientos, pero la situación era diferente entre matemáticos: “by the first years of the twentieth century, non-Euclidean geometry had found a respectable place in the mathematics curriculum of several German universities” (^{Walter, 1999: 94}). A partir de 1912, Einstein comenzó su colaboración con un antiguo compañero de clase y, para entonces, profesor de matemáticas, Marcel Grossmann (1878-1936). Ambos trabajaron juntos en el desarrollo de la relatividad general hasta 1914. En noviembre de 1915, Einstein presentaría su solución final: las ecuaciones de campo gravitacional.

La investigación de Einstein se desarrolló utilizando cuatro principios físicos que había identificado para 1912: i) el principio de equivalencia identificado desde 1907, ii) el principio de relatividad generalizado,⁸iii) Einstein esperaba que sus conclusiones no violaran principios de conservación de energía y momento, y iv) el principio de correspondencia (ya que la gravitación newtoniana da cuenta de la mayor parte de los movimientos de los cuerpos celestes, una nueva explicación de la gravedad debía corresponder, al menos aproximadamente, con los resultados de la gravitación newtoniana). Estos principios podían funcionar, alternativamente, como bloques constitutivos y como criterios para aceptar o rechazar posibles soluciones.

La meta consistía en buscar un modelo matemático que capturara adecuadamente los cuatro principios, para esto, Einstein exploró dos procedimientos: “Two strategies can be discerned in this search. We have labeled them the ‘mathematical strategy’ and the ‘physical strategy’” (^{Janssen, Norton, Renn, Sauer y Stachel, 2007: 10}). En particular, ^{Jürgen Renn y Tilman Sauer (2007: 151-152)} las describen del siguiente modo: la estrategia física comenzaría con la física clásica, seleccionando ecuaciones de campo que rescataran el límite newtoniano, es decir, que en una primera aproximación llevaran a los mismos resultados de la física clásica, pues la estrategia consiste en partir de la física conocida, el segundo paso sería revisar que las ecuaciones seleccionadas no violaran principios de conservación. Esto podría sugerir modificaciones o comenzar de nuevo. Finalmente, si se encontraban algunas ecuaciones de campo que superaran estas pruebas, debía explorarse en qué casos cumplen el principio de relatividad generalizado, esto es, determinar bajo qué transformaciones de coordenadas las ecuaciones retienen su forma matemática. Si dichas ecuaciones no cumplían con el principio de relatividad generalizado en todos los casos, se esperaría que, al menos, cumplieran con el principio de equivalencia. En otras palabras, el requisito mínimo era que las ecuaciones mantuvieran su forma matemática al transformar coordenadas de algunos sistemas acelerados a otros.

Otra forma de proceder sería la estrategia matemática, la cual comienza a la inversa de la anterior. Se debía seleccionar ecuaciones covariantes (que mantuvieran sus propiedades bajo transformaciones de coordenadas). Los estudios previos que otros matemáticos habían llevado a cabo en geometrías no euclidianas podían ofrecer ejemplos. Sin embargo, se debía determinar el significado físico que dichas ecuaciones pudieran tener. Para ello, habría que revisar la posibilidad de recuperar el límite newtoniano: “The two strategies did not act as an algorithm for producing solutions but rather as different channels for filling the Lorentz model with concrete mathematical and physical content” (^{Renn y Sauer, 2007: 153}).

El primer resultado relevante de esta búsqueda fueron las ecuaciones de campo presentadas en un artículo titulado “Outline of a generalized theory of relativity and of a theory of gravitation”: “The Einstein-Grossmann paper, published in 1913, contains profound physical insight into the nature of measurement, some correct general relativistic equations, some faulty reasoning, and clumsy notation” (^{Pais, 2005: 216}, énfasis mío). Pero las ecuaciones presentadas por Einstein y Grossmann en este artículo no satisfacían los requisitos i) y ii). ^{Janssen y Renn (2007)} afirman que la estrategia física llevó a Einstein a presentar una solución más satisfactoria en 1915. Como esta estrategia partía de los principios de correspondencia, ya no había duda de que las ecuaciones sí cumplían este requisito heurístico de Einstein. Dichas ecuaciones utilizaban objetos matemáticos conocidos como tensores, los cuales permiten representar cantidades físicas independientemente del sistema de coordenadas que se utilice. La representación matemática utilizada para la relatividad general fue la siguiente:

El lado izquierdo es el famoso tensor de Ricci, el lado derecho muestra una constante k y T el tensor de energía-momento. El tensor de Ricci es una contracción del tensor de curvatura de Riemann. Dicho tensor representa la geometría del espacio-tiempo, es decir, expresa cuánto difiere el espacio que se estudia de uno euclidiano. Mientras tanto, el tensor de energía-momento expresa la distribución de energía. Además, ^{Einstein (1987c)} introdujo una modificación que no cambiaba el desarrollo matemático, pero permitía incorporar el principio de conservación de energía y momento:

Al lado izquierdo de la ecuación se le conoce como tensor de Einstein. Estas ecuaciones mantienen su forma bajo cambios de coordenadas en general e implican el principio de conservación sin hipótesis adicionales.⁹ Pero “What seems to have catalyzed this realization was his calculation of the orbit of Mercury” (^{Norton, 1984: 310}). La solución al movimiento de Mercurio, sin necesidad de hipótesis adicionales, reforzó la confianza de Einstein en sus nuevas conclusiones: “This discovery was, I believe, by far the strongest emotional experience in Einstein’s scientific life, perhaps in all his life” (^{Pais, 2005: 253}). Pocos años después, la corroboración de que la trayectoria de la luz era afectada por campos gravitacionales se presentó gracias a las observaciones astronómicas del eclipse de 1919, llevadas a cabo por Arthur Stanley Eddington (1882-1944). Este resultado permitió establecer a la relatividad general como una explicación exitosa de la gravedad y convirtió a Einstein en el primer científico mundialmente famoso.