Una de las primeras interpretaciones (semánticas) de los sistemas formales para la lógica intuicionista fue ofrecida por Heyting (1934), siguiendo la idea de explicar el significado de los conectivos lógicos en términos de pruebas constructivas. Por ejemplo, la verdad de (A>>B) se hace equivalente a establecer una prueba constructiva que convierte cualquier prueba constructiva de A en una prueba constructiva de B. Se han ofrecido otro tipo de interpretaciones tales como las topológicas (Tarski, 1956; Rasiowa y Sikorski, 1963 y Goldblatt, 1984) y las semánticas (Beth, 1956; Kripke, 1965 y Van Dalen, 2002).

No todas las interpretaciones anteriores tienen buenas motivaciones intuicionistas, pero una que sí lo hace es la de Saul Kripke (1965). En esta interpretación se pide imaginar a un matemático idealizado, quien lleva a cabo una investigación matemática y cuya actividad procede en etapas. El conjunto de todas las etapas posibles relevantes está parcialmente ordenado por la relación después. En general, se puede continuar cada etapa de investigación en varias direcciones. El significado de los conectivos lógicos puede ser explicado en términos de la investigación y sus etapas. Se asume que el matemático en cada etapa establece hechos atómicos y de estos deduce enunciados más complicados a través de ciertas reglas.

El escenario intuitivo anterior puede ser formalmente expresado en un sistema semántico teórico–conjuntista. En el caso de la semántica para la lógica proposicional intuicionista, uno puede definir un modelo como un triple ordenado<S,≤, I>, tal que el conjunto S está parcialmente ordenado por ≤ e I es una asignación de conjuntos de fórmulas atómicas a elementos de S tales que I(i) ⊆ (es decir, I (i) es un subconjunto de I(j)), si i≤j, I (k) representa el conjunto de fórmulas establecidas en el estado K. Donde '' ∈ '' representa membrecía en un conjunto, la asignación I es extendida a todas las fórmulas de la siguiente manera:

La noción de validez lógica, producto de la semántica anterior, puede ser agrupada por uno de los sistemas formales de Heyting, esto es, cada verdad lógica y cada argumento lógicamente válido respecto a la semántica anterior es respectivamente un teorema y un argumento derivable dentro de cierto sistema formal de Heyting.

Debe notarse que para otras interpretaciones (semánticas), filosóficamente motivadas desde un punto de vista intuicionista, ha sido probado que los principios y reglas que son lógicamente válidas, de acuerdo con la interpretación, son teoremas y reglas de cierto sistema formal de lógica intuicionista. Sin embargo, esas pruebas no cumplen los parámetros propios de los intuicionistas y no podrían ser aceptadas por ellos.

Los intuicionistas han sido capaces de desarrollar teorías matemáticas, incluyendo una teoría del continuo y una de conjuntos que emplean conceptos y hacen distinciones no contempladas en las matemáticas clásicas. Respecto a los conjuntos es importante apuntar que no son concebidos como colecciones ya hechas, sino más bien como leyes por medio de las cuales los elementos del conjunto pueden ser construidos paso a paso.

Conceptualismo y Universales

Uno de los problemas antiguos, más importantes en la historia de la filosofía, se relaciona con la predicación. El problema se enfoca en las bases semánticas de un juicio singular de la forma sujeto–predicado y exige una investigación respecto de la naturaleza ontológica de tal base. éste puede ser expresado de la siguiente forma: ¿cuándo un juicio es un caso del esquema b es P (donde b es un término singular y P uno general) como el enunciado ''La casa presidencial de Argentina es rosa'', cuál es la naturaleza ontológica de la entidad que estamos predicando de b, en particular de la casa presidencial de Argentina? Si nuestra respuesta es que estamos predicando una propiedad, y (en el caso particular) la propiedad de ser rosa, ofrecemos una respuesta realista. En este sentido, se asume que las propiedades son entidades ontológicamente independientes (para formas contemporáneas de realismo, véanse Grossmann, 1983; Russell, 1938; Strawson, 1959; Donagan, 1963; Wolterstorff, 1973; Loux, 1978 y Armstrong, 1989). Por otro lado, si se asegura que sólo las expresiones predicativas (es decir, entidades lingüísticas) son predicadas, como en nuestro ejemplo el predicado ''rosa'' es la única entidad atribuida, se está dando al problema una solución nominalista. Como se apuntó, la perspectiva nominalista se enfoca principalmente en el lenguaje para resolver problemas filosóficos. Diferentes versiones del nominalismo son posibles dependiendo de las razones dadas para atribuir una expresión predicativa (véanse Carnap, 1969; Campbell, 1990; Rodríguez–Pereira, 2002; Quine, 1954; Quinton, 1973; Sellars, 1963 y Williams, 1953). Finalmente, si la respuesta al problema es que la predicación debe ser encontrada en conceptos, nos hallamos en un marco conceptualista. La solución conceptualista, respecto a nuestro ejemplo, consistiría en sostener la equivalencia de la predicación con la aseveración de que el objeto que es la casa presidencial de Argentina cae bajo el concepto de ser rosa y, en general, que una aseveración de la forma a es P sólo expresa que b cae bajo un concepto, por ejemplo, el concepto que P representa.

Es importante notar que el problema de los universales ha sido enunciado en una forma más metafísica. Supongase que tenemos dos personas A y B. Claramente A y B son humanos. Pregunto ahora si la humanidad en A es o no la misma que en B. Una solución realista mantendría que tanto A como B son humanos porque ellos comparten la misma propiedad, la propiedad de ser humanos, y así ambas humanidades son la misma. La afirmación de que A y B son humanos es verdadera porque ambos comparten la propiedad de ser humanos. Pero también podemos decir que ambas humanidades son distintas, es decir, que la humanidad de A es su humanidad particular y la humanidad de B es su humanidad particular. Consecuentemente, A y B no comparten una entidad común en su composición metafísica. En este caso podemos mantener que la única cosa que ellos comparten cuando los llamamos humanos es el término humano. El primer enfoque metafísico es esencialmente realista y el último nominalista. El conceptualismo ofrece un terreno intermedio en el cual no hay un compromiso necesario con ninguno de los dos enfoques: A y B son humanos porque los dos caen en el concepto de ser humano, el concepto de humanidad. Para el conceptualismo, los términos generales representan conceptos y no propiedades o clases. Así, cuando se hace una aseveración singular de la forma sujeto–predicado, las bases semánticas de la aseveración son conceptos y, con esto, no estamos obligados a adoptar una teoría realista o nominalista para explicar las bases de la aseveración.

Una forma inicial de conceptualismo como una teoría de los universales puede remontarse, al menos, a Pedro Abelardo (1994). Este filósofo medieval rechazó rotundamente el realismo ontológico de los universales. Esto es, si G es un término general tal como hombre, G no representa una entidad real ontológicamente independiente, la cual pueda ser predicada de todas las G's. Así, si A y B son hombres no hay una cosa real individual y no lingüística que pueda ser predicado de ambos para que sean hombres. Sin embargo, también mantuvo que hay algo en lo que concuerdan y que constituye la base para llamar a ambos hombres. A esto lo denominó el estatus. En nuestro ejemplo, A y B concuerdan en ser un hombre y este es el estatus, pero éste no es ni una cosa real individual que ellos compartan ni una entidad que pueda ser predicada de ambos. El estatus no puede ser predicado en absoluto. Pero ningún concepto fidedigno del estatus puede ser formado tampoco, ya que nosotros, como humanos, no tenemos acceso epistémico a este a través de los sentidos. El estatus no es una cualidad sensible. Sin embargo, nosotros tratamos de construir un concepto de este objeto a partir de lo que recolectamos a través de nuestros sentidos; en nuestro ejemplo, construimos el concepto de hombre en general de las cualidades sensibles de los hombres. Los conceptos que hemos tratado de formar de los diferentes estatus son aquellos a los que los términos generales serán asociados y nos guiarán en la aplicación de esos términos.

La teoría de Abelardo muestra claramente rasgos de un enfoque conceptualista al tema de los universales. Rechaza el realismo, esto es, propiedades universales no son en esta teoría la base para la predicación ni son las entidades representadas por los términos generales. Por otro lado, aunque Abelardo adscribe universalidad sólo a términos generales, esto es, ellos son los únicos que pueden ser predicados de muchos (acordando en este punto con el nominalismo), los términos generales no son la única base para la predicación. Más bien, los conceptos (del estatus) asociados con ellos son, al fin y al cabo, la base para la predicación. (Para detalles y discusión de la teoría de Abelardo, véanse por ejemplo, Spade, 1985; Gracia, 1984 y Tweedale, 1976.)

En las teorías empiristas clásicas se encuentran ejemplos históricamente importantes del conceptualismo en relación con los términos generales. Por ejemplo, John Locke (1959) dice que los términos generales representan ideas (y no entidades reales) y estas últimas son obtenidas de objetos particulares por un proceso conceptual de eliminación de lo que es particular a ellos. La idea de una casa, por ejemplo, es formada dejando de lado las características que son peculiares a esta o a esa casa y manteniendo lo que es común a todas las casas. Esta idea es lo que el término casa representaría. Ahora bien, algunas de las cosas que Locke dice relativas al producto de ese proceso de abstracción dan la impresión de que hay una ambigüedad en su concepción de una idea general. A veces sugiere que una idea es un tipo de imagen mental general y abstracta; pero también parece entender una idea como lo que nosotros pensaríamos ahora es un concepto. Por cierto, es en el primer sentido que Locke ha sido el blanco de ataque de diferentes filósofos tales como George Berkeley (1999), ya que no puede ser completamente entendido lo que sería una imagen mental general abstracta. (Para discusiones recientes de la concepción de Locke de lo que es una idea abstracta véanse Chapell, 1994 y Guyer, 1994.)

Enfoques conceptualistas contemporáneos al problema de los universales son escasos. El más reciente intento de desarrollar el conceptualismo como una teoría de los universales es el de Nino Cocchiarella (2007).

El conceptualismo, como una teoría de universales, tiene sus críticos. Por ejemplo, David M. Armstrong (1978) planteó los siguientes problemas:

a)  El conceptualismo debe explicar el escenario intuitivo en el cual aseveraríamos que hay cosas que son F aunque el concepto de ser un F no haya sido formado. Por ejemplo, podríamos concebir una situación en la cual existieran cosas blancas sin que el concepto de blancura hubiese sido formado.

b)  El conceptualismo debe mostrar cómo evitar el siguiente posible regreso al infinito: de acuerdo con el conceptualismo a y b son cosas blancas si y sólo si ellas caen bajo el mismo concepto de ser blancas. Pero para que dos objetos a y b sean juzgados blancos, los conceptos bajo los cuales ellos caen para ser juzgados blancos deben ser instancias del mismo concepto de ser un concepto de blancura. Pero esto requiere que cada instancia del concepto de ser un concepto de blancura caiga bajo el mismo concepto de ser un concepto de ser un concepto de blancura y así sucesivamente. Razones similares pueden ser aplicadas al concepto de caer bajo. Este regreso al infinito es vicioso, porque la mismidad de diferentes objetos respecto a cierto rasgo, tal como la blancura, supuestamente es explicado de acuerdo con el conceptualismo por un recurso a conceptos. Sin embargo, esta explicación requiere explicación por el uso de más y más conceptos al infinito. De este modo, nunca alcanzamos una explicación metafísica completa de por qué los objetos son blancos.

c)  Esto está conectado con el inciso a). Los conceptos, al ser entidades mentales, no podrían formar una clase lo suficientemente grande para explicar el número de conceptos necesarios para cubrir todas las clases naturales de objetos. De esta manera, el conceptualismo tendría que recurrir a conceptos posibles no reales, lo cual podría contradecir, no la letra, pero sí el espíritu del conceptualismo.

d)  Hay un orden causal en la naturaleza que es independiente de nuestra mente y de nuestra conceptualización. Asimismo, las propiedades en la naturaleza dependen de este orden causal. Pero en contradicción con estas opiniones, el conceptualismo mantiene que la mismidad de objetos (tales como los provistos por las propiedades que determinan una clase natural) dependen de su relación con nuestras mentes.

Hasta ahora, ningún intento ha sido hecho para desarrollar soluciones a los problemas mencionados en favor del enfoque conceptualista.

Conceptualismo y Lógica formal

Como se mostró en la primera sección, una orientación conceptualista a un tópico filosófico podría tener implicaciones para la lógica formal, en el sentido de que el desarrollo de un cierto sistema lógico formal podría encontrar en aquél su justificación. En la misma sección, presentamos un ejemplo de cómo la teoría intuicionista de la onto logía y epistemología de las matemáticas guía la construcción de ciertos sistemas lógicos. Ahora, ofreceré ejemplos de sistemas lógicos desarrollados como una reacción a soluciones de problemas en filosofía de la lógica. Esos ejemplos son los de las lógicas de segundo orden conceptualistas y las lógicas sortales conceptualistas. éstas son resultados de una solución conceptualista al problema de los universales.

En general, una solución al problema de los universales implica un compromiso a cierta lógica de la predicación, basada en la naturaleza de los universales, la cual se ofrece como respuesta a ese problema. Esto es porque una cierta concepción de los universales determinará la naturaleza de la predicación y esto, al mismo tiempo, determinará las condiciones lógicas de la predicación. Por ejemplo, una solución conceptualista al problema de los universales explicará la predicación como la subsunción bajo un concepto y la lógica de la predicación constituirá, de este modo, la teoría de las condiciones lógicas de lo que es caer bajo un concepto.

La lógica correspondiente a una opinión de los universales puede ser capturada por (o expresada en) una teoría lógico formal de la predicación, esto es, un sistema formal (junto con una semántica) para una lógica de la predicación. Como he indicado en la segunda sección, un sistema formal está constituido por un lenguaje formal y un conjunto de axiomas y reglas. Asimismo he indicado que los lenguajes formales generalmente se entienden como aquellos cuya caracterización no requiere necesariamente el uso de la noción de significado y observé que el conjunto de axiomas del sistema formal es sólo un subconjunto de todas las expresiones del lenguaje, las cuales fueron estipuladas como bien–formadas de acuerdo con las reglas que caracterizan al sistema formal: las reglas del sistema formal son aquellas cuya aplicación transformará expresiones bien–formadas del lenguaje en otras expresiones bien–formadas del mismo lenguaje.

La semántica para un lenguaje formal es provista de un modo o bien formal o intuitivo (informal). Una semántica informal o intuitiva, generalmente, asigna significado a la expresión del lenguaje formal por medio de una teoría informal no–matemática o por una asociación de algún tipo con expresiones del lenguaje ordinario. En el último caso, por medio de cierto procedimiento, las expresiones del lenguaje formal son correlacionadas con expresiones del lenguaje natural de un modo tal que la correlación, por su naturaleza, proporcione una interpretación del lenguaje formal. Una semántica formal, por otro lado, hace uso de una cierta teoría matemática, tal como la teoría de conjuntos, para proveer significados. En el caso de los lenguajes de la lógica proposicional o enunciativa (un ejemplo de lenguaje formal que ofrecí en la primera sección), la semántica intuitiva para este lenguaje de la lógica enunciativa es proporcionada mediante la asignación de enunciados declarativos de un lenguaje natural (tal como el español) a las variables proposicionales y por la correlación de operadores proposicionales a ciertas expresiones del lenguaje natural. Una semántica formal es dada a través de la asignación de ciertas funciones veritativo–funcionales a los operadores y ciertos valores (verdadero–falso, por ejemplo) a las variables proposicionales.

Cuando un sistema formal es asociado con una semántica, es decir, con un sistema que dota de significado al lenguaje formal (o sistema formal), lo que obtenemos es una teoría formal. Una teoría formal de la predicación para una teoría (filosófica) de los universales es sólo una teoría formal en la cual se ofrece una explicación de la naturaleza lógica de la predicación para la teoría filosófica. Esto es, una explicación en términos de una teoría formal de las condiciones lógicas bajo las cuales la atribución de un universal es correcta. Así, una teoría lógica formal de la predicación, para el conceptualismo, expresa en términos de axiomas y reglas las condiciones lógicas de la predicación de un concepto; para el realismo, las condiciones lógicas de predicación de una propiedad o relación; y finalmente, para el nominalismo las condiciones lógicas de la predicación de una expresión predicativa. Por cierto, la teoría de los universales con los que está asociada la teoría lógico formal de la predicación provee la semántica intuitiva o informal para esta teoría formal, ya que la teoría de los universales determina la naturaleza de las entidades representadas por los predicados y explica también la naturaleza de la predicación. La semántica informal puede también ser formalmente expresada en una semántica teórico–conjuntista para el lenguaje. En este caso, la semántica formal captura los principales elementos de la teoría de los universales de modo riguroso. Entre los elementos recolectados, deberían estar las intuiciones de verdad lógica y consecuencia lógica de acuerdo con los elementos de la teoría de los universales en cuestión. La semántica teórico–conjuntista que expresa estas intuiciones se vuelve, asimismo, una herramienta para mostrar que la teoría formal de la predicación incluye (o nunca incluirá en principio) todas y sólo todas las verdades y reglas lógicas de los universales correspondientes a esta teoría.

Lógica de segundo orden

Diferentes teorías lógico formales de la predicación han sido desarrolladas para las tres principales teorías de los universales. Ya que el tema aquí es el conceptualismo, me enfocaré sólo en aquellas teorías asociadas con este enfoque filosófico (para detalles de teorías formales realistas o nominalistas de la predicación, véanse Cocchiarella, 1986 y 1989). Las teorías lógico formales conceptualistas que han sido construidas son teorías lógicas cuyos medios de expresión no sólo permiten referirnos a todos o algunos de los individuos, sino también a todos o a algunos de los conceptos (bajo los cuales los individuos podrían caer). Debido a este rasgo, esas teorías son consideradas como lógicas de segundo orden (ya que los individuos son la referencia del primer orden). Debo señalar que las lógicas realistas o nominalistas de segundo orden también han sido desarrolladas y en estos casos sus medios de expresión permiten referirnos a todas o algunas de las expresiones predicativas (en el caso del nominalismo) y a todas o algunas de las propiedades y relaciones (en el caso del realismo). Este rasgo de capacidad expresiva de segundo orden de la expresión, de una teoría lógico–formal de la predicación de segundo orden, sea realista, nominalista o conceptualista, hace posible formular, en la teoría formal misma, las condiciones lógicas de existencia de universales de la teoría de los universales asociada con la teoría formal.

Las principales teorías formales conceptualistas de la predicación pueden ser encontradas en Cocchiarella (1980, 1986 y 1989). Estos trabajos contienen sistemas tanto intensionales como extensionales, pero aquí sólo presentaré los últimos, esto es, las teorías formales conceptualistas de la predicación que no contienen operadores intensionales tales como los de necesidad o posibilidad. El lector interesado en teorías formales conceptualistas de segundo orden intensionales de la predicación puede consultar los trabajos antes mencionados.

Las diferentes teorías formales conceptualistas de segundo orden de la predicación corresponden a ciertas variantes del conceptualismo, en el sentido en que la adhesión a cualquiera de esas variantes justifica la adopción de una de esas teorías formales, como una lógica viable para la predicación de un concepto, esto es, como una teoría formal que incluya las verdades y esquemas de inferencias lógicamente válidas que involucran la predicación o atribución de un concepto. Estas variantes proveen las bases de la semántica informal para estas teorías formales y bajo esta semántica las teorías formales sistematizan los principios lógicos y reglas de predicación de un concepto de acuerdo con la variante asumida de conceptualismo.

Ahora bien, un rasgo común a todas las versiones mencionadas de conceptualismo es la idea de que los conceptos son capacidades cognitivas o estructuras cognitivas basadas sobre tales capacidades, así como una concepción general de cómo estos conceptos pueden ser construidos. De acuerdo con esta concepción, la formación de conceptos supuestamente procede a través de fases de desarrollo de complejidad creciente. Cada una de esas fases implica la reorganización de conceptos de acuerdo con ciertas leyes de su formación que son características de la fase en cuestión. Dos perspectivas principales de formación de conceptos han sido contempladas y las construcciones lógicas seguidas en esas construcciones pueden ser expresadas en la forma de esquemas de comprensión. Indicaré los rasgos generales de esos esquemas y luego presentaré los esquemas asociados con cada una de estas perspectivas. Pero antes necesito referirme a los lenguajes formales de las teorías lógicas formales conceptualistas de la predicación, ya que la formulación de estos esquemas presupone un lenguaje formal.

Todos los lenguajes formales de las teorías formales de segundo orden conceptualistas incluyen, en su sintaxis lógica, símbolos que deben estar (semánticamente) ligados con las nociones lógicas de negación (por ejemplo, ''no es el caso que ...''), implicación (es decir, ''si ... entonces ...''), identidad (''... es el mismo que ...''), paréntesis izquierdo, paréntesis derecho, cuantificación universal (''cada''), el cuantificador existencial (''algún'') y la equivalencia material (''... si y sólo si...''). Los lenguajes en cuestión también incluyen símbolos que representan expresiones predicativas, variables de expresiones predicativas e individuales (es decir, variables cuyo rango de aplicación son individuos). Usaremos P, G, F con o sin subíndices numéricos para referirnos a variables predicativas y x con o sin subíndices numéricos para referirnos a variables individuales. Algunos símbolos correspondientes a algunas nociones son asumidos como básicos y otros son definidos en términos de los primeros. Para el objetivo actual, se asumirá el lenguaje formal cuyos símbolos lógicos son: ~, →,= ,), (, ∀, ∃, y ↔ e interpretémoslos mediante las nociones lógicas antes mencionadas, en el mismo orden respectivamente.

El conjunto de expresiones significativas (o bien formadas) del lenguaje formal presente incluirá expresiones de la forma de una identidad ''(a=b)'' (a es idéntico a b) o de una atribución Pt₁..t_ndonde P es una expresión predicativa y t₁..t_n son constantes o variables individuales. Las atribuciones deben ser interpretadas como ''t₁..t_n están en la relación P'' (si n>1) o como ''t es P'' (si n=1). Habrá también expresiones de la forma ∀xB y ∀PB, donde B es una expresión significativa, x una variable individual y P una variable predicativa. Estas últimas formas deberían ser leídas, informalmente, como ''cada individuo x es tal que B'' y ''cada concepto P es tal que B'', respectivamente. Expresiones que comienzan con el símbolo de cuantificación existencial tales como ∃xB y ∃PB deben ser interpretadas, respectivamente, como ''algún individuo x es tal que B'' y ''algún concepto P es tal que B''.

De acuerdo con el lenguaje formal anterior, se pueden ahora caracterizar las expresiones a que he referido antes como esquemas de comprensión, los cuales establecen las condiciones lógicas para la formación de conceptos. Pero, primeramente, debe dejarse claro que esquemas de comprensión pueden también ser formulados para las otras teorías de los universales. En general, un esquema de comprensión (en el lenguaje formal dado) será una expresión de la forma:

el cual podría o no ser precedido por cuantificadores adicionales, y donde el cuantificador existencial (∃F) supuestamente se refiere a una entidad de la teoría asumida de la predicación y B representa ciertas expresiones bien formadas del lenguaje formal. En el caso del conceptualismo, el cuantificador existencial de segundo orden (∃F) en cualquier esquema de comprensión deberá entenderse de tal forma que su referencia sea a conceptos y leerse, de manera informal, como ''hay un concepto F tal que para todos los objetos x₁ ... x_n, x₁ ... x_n caen bajo F si y sólo si x₁ ... x_n caen bajo una expresión B''. Así, la expresión anterior equivaldrá a la aseveración de que hay un concepto correspondiente a cada expresión bien formada que B represente. En el caso del nominalismo y del realismo, el cuantificador existencial (∃F) se referirá a aquellas entidades (distintas de los conceptos) que representan, supuestamente las expresiones de predicado, expresiones de acuerdo con la teoría de los universales adoptada, y B representará cualquiera de estas entidades. Para el realismo, el cuantificador existencial representará propiedades y relaciones y el esquema entero de comprensión establecerá, entre otras cosas, las condiciones lógicas de existencia de propiedades y relaciones complejas.

Ahora bien, como ya mencioné, hay dos principales variantes de conceptualismo presupuestas por las teorías lógicas conceptualistas de segundo orden, a saber, el conceptualismo constructivo y el holístico. El primero es una teoría filosófica que sólo permite una formación de conceptos que cumpla con las condiciones del así llamado ''principio del círculo vicioso de Russell'' aplicado a conceptos; en otras palabras, el conceptualismo constructivo acepta como legítimos sólo conceptos cuyo contenido no implica referencia a conceptos a los cuales ellos mismos pertenecen. Las condiciones lógicas de conceptos formados de acuerdo con esta versión del conceptualismo se expresan en el siguiente principio de comprensión:

en el que (1) B es una fórmula significativa en la cual ninguna constante no–lógica aparece, (2) ni F ni el signo de identidad aparecen en B, (3) ninguna variable predicativa tiene una figuración acotada en B, (4) todas la variables de predicado que figuran (libres) en B están entre las variables G₁hasta G_k y x₁ ... x_n están entre las variables individuales distintas que figuran en B (aunque ellas no necesariamente son todas la variables individuales que figuran libres en B).

De acuerdo con el principio anterior y desde la interpretación conceptualista del lenguaje formal, podemos formar conceptos de otros conceptos por medio de las operaciones lógicas de la lógica de primer orden (por ejemplo, implicación, negación, conjunción, disyunción y cuantificación sobre individuos). Por ejemplo, para cualesquiera dos conceptos G y F debería haber un concepto formado al aplicar la operación lógica de conjunción para ambos y cuyo contenido sería el de un concepto de un individuo que es G y F. Evidentemente, la cláusula tres del principio corresponde a una de las características definitorias del conceptualismo constructivo que impide la formación de conceptos que no satisfacen las condiciones del principio del circulo viciosos de R. Pero el principio permite referencia cuantificacional a todos los individuos en la construcción de conceptos. El uso de esta operación lógica es legítima en la visión que tiene el conceptualismo constructivo de la formación de conceptos. Finalmente, la justificación de una parte de la cláusula dos se encuentra en la tesis de que la identidad no podría representar un concepto que sea compatible con los principios del conceptualismo constructivo.

Es necesario notar que dentro del conceptualismo constructivo se encuentra una versión ramificada, la cual postula un proceso de formación de conceptos con una cantidad infinita, pero numerable de etapas. En este proceso, los conceptos formados en cada etapa se volverían los contenidos de los construidos en la siguiente, de tal manera que esos conceptos posteriores presupondrán referencia a la totalidad de los formados en los estados anteriores. Así, los estados son intermedios en tanto que hay siempre una etapa siguiente en la cual nuevos conceptos pueden ser formados que tienen como contenido los conceptos formados en la etapa previa.¹

Ahora bien, los mecanismos cognitivos que llevan al proceso de etapas infínitas en el conceptualismo ramificado pueden también llevar ana variante de conceptualismo donde hay lugar para conceptos impredicativos, esto es, aquellos cuyo contenido podría presuponer como dada una totalidad de conceptos a los cuales ellos pertenencen. En esta versión el conceptualísmo es holístico y postula una transición idealizada a un limite en el desarrollo de la formación de conceptos, los cuales pueden no tener ninguna etapa posterior, en la cual la formación de conceptos impredicativa esté finalmente lograda. Así, el conceptualismo holístico justifícaría el siguiente principio de compresión:

en la cual B es cualquier fórmula significativa en la que F no tiene ninguna figuración libre y en la cual x₁ ... x_n son variables individuales distintas que figuran libres en B (donde no necesariamente son las únicas variables individuales que figuran en B). De acuerdo con nuestra semántica (conceptualista) informal, este principio establece que cualquier expresión bien formada de un lenguaje representa un concepto. En otras palabras, cualquier expresión significativa de lenguaje formal determina una posible condición lógica de formación de conceptos.

Dados los dos esquemas anteriores, las teorías lógicas formales de la predicación correspondientes a las diferentes versiones del conceptualismo, que están determinadas por la construcción de conceptos holísticos o constructivos, pueden ser obtenidas si sólo les agregamos los siguientes axiomas y reglas: