Introducción

Marco tiene catorce años, es originario de Michoacán y a su corta edad ha trabajado en distintas actividades agrícolas junto con su familia, la cual migra con frecuencia a Sonora y a otros estados del norte de México para trabajar en el cultivo de diferentes productos agrícolas. Según la Encuesta Nacional de Jornaleros de 2009, existen en México 434,961 familias de jornaleros migrantes a nivel nacional (^{Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación, 2016}).

Cada semana, la familia de Marco recibe un cheque por el trabajo realizado. Ese cheque debe ser cambiado por dinero en efectivo o ser enviado a otros familiares que están en Michoacán. Hacer el cambio en efectivo o enviar el cheque tiene un alto costo. De acuerdo con estudios sobre la situación financiera de jornaleros agrícolas migrantes (^{Cruz, 2012}), el servicio que ofrecen bancos comerciales y empresas de remesas tiene un costo excesivo que incluso llega a ser 6% del valor del envío. Ese costo puede elevarse aún más debido a las siguientes circunstancias, también señaladas por ^{Cruz (2012)}: los jornaleros envían dinero a sus familias y, en ocasiones, piden a estas que también les envíen dinero, lo que implica gastos adicionales; hay una escasa bancarización de los trabajadores tanto en sus comunidades de origen como en las que llegan a trabajar (no tienen cuentas bancarias de ningún tipo ni participan en cajas de ahorros); los trabajadores suelen ser víctimas de las extorsiones de capataces y contratistas.

Marco forma parte de los 333,836 niños, niñas y adolescentes que, según la Encuesta Nacional de Jornaleros, migran constantemente junto con sus familias para trabajar en campos agrícolas, aun cuando el trabajo infantil está prohibido. Un mínimo porcentaje de esos niños, niñas y adolescentes son atendidos por el sistema educativo (15%, según las mismas fuentes oficiales), lo cual se agrava si se considera que, además, se presentan altos índices de deserción, reprobación y absentismo escolar por las condiciones de trabajo y migración en que se encuentran los menores y sus familias.

En opinión de algunos maestros y maestras que atienden a esta población, las dificultades de los alumnos respecto a las matemáticas se concentran en la representación convencional de los números escritos y en la correcta ejecución de los algoritmos, pero esas dificultades -señalan los docentes- se compensan con las habilidades de cálculo mental que los alumnos han desarrollado en las actividades laborales en las que tempranamente participan (^{Solares, 2012a}).

Con esos antecedentes, nos propusimos identificar los conocimientos sobre números escritos y cálculo numérico en niños y niñas de un campo agrícola, así como identificar y caracterizar las actividades en las que tales conocimientos se manifestaban. Además de nuestro interés en la comprensión de los procesos de aprendizaje de las matemáticas más allá de la escuela, consideramos que los conocimientos matemáticos que se pudieran identificar constituirían un insumo para discutir en qué medida la escuela puede aprovechar los saberes previos de los alumnos para la enseñanza de nuevos conocimientos y, de la misma manera, en qué medida lo que la escuela enseña contribuye a las necesidades de estos niños y de sus familias más allá de la escuela misma.

La investigación se llevó a cabo en un viñedo ubicado en el municipio de Caborca, en el estado de Sonora. Lo que aquí se reporta es una de las actividades que implican el cálculo numérico y que consiste en cambiar el cheque de pago por dinero en efectivo en distintos establecimientos, los cuales cobran una comisión por realizar ese cambio. Con base en las características identificadas en esta actividad, diseñamos situaciones problemáticas que fueron planteadas a dos niños y dos niñas; el propósito de esas situaciones fue profundizar en la indagación de sus conocimientos matemáticos.

Los resultados muestran que, si bien las familias no hacen cálculos para elegir dónde cambiar sus cheques, los niños y las niñas entrevistados cuentan con diversos recursos aritméticos que les permiten identificar en dónde pagan una comisión menor. Asimismo, se pone de manifiesto la ausencia de ciertos saberes escolares que podrían facilitar los cálculos.

En este artículo exponemos primero los planteamientos teóricos y las decisiones metodológicas que orientaron el desarrollo de esta investigación; posteriormente, describimos cómo se lleva a cabo el cambio de cheques por dinero en efectivo en un campo de cultivo de Caborca, Sonora. Después, presentamos una situación problemática que fue diseñada con base en la actividad del cambio de cheques y que planteamos a cuatro alumnos trabajadores; exponemos los procedimientos y las dificultades que los alumnos mostraron y, por último, formulamos las conclusiones y algunas reflexiones respecto a las posibilidades de que la escuela promueva la vinculación de conocimientos matemáticos de contextos distintos.

Referentes teóricos

Establecemos, como punto de partida, que los conocimientos matemáticos están presentes en una diversidad de prácticas sociales, las cuales tienen lugar tanto en espacios escolares como no escolares. Esta postura conlleva una determinada concepción sobre el conocimiento matemático y sobre las matemáticas en sí mismas; para dar cuenta de esa concepción, nos apoyaremos en ciertos planteamientos de teorías tanto didácticas como no didácticas, los cuales ya han sido expuestos en otras publicaciones (^{Solares, 2012a}, ^2012b, ²⁰¹⁷; ^{Solares, Solares, Padilla, 2016}).

La teoría de las situaciones didácticas plantea que el conocimiento matemático puede tener distintos sentidos o significados, dependiendo de las situaciones problemáticas en las que ese conocimiento se manifiesta (^{Brousseau, 2000}). Por su parte, la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante TAD) considera a las matemáticas como una actividad más del conjunto de actividades humanas que se llevan a cabo en la sociedad, y describe la actividad matemática como un “trabajo de modelización encaminado a resolver problemas” (^{Chevallard, Bosch y Gascón, 1998}). Esta actividad matemática se desarrolla en una diversidad de prácticas concretas, las cuales se realizan en instituciones específicas (no necesariamente escolares) (^{Chevallard et al., 1998}).

La TAD establece, además, que la actividad matemática puede caracterizarse como una praxeología; esto quiere decir que está constituida por los “tipos de tareas” que se efectúan en una práctica determinada, por las “técnicas” con las cuales se ejecutan dichas tareas, por la “tecnología” -es decir, los discursos- que justifican, explican y producen las técnicas, y por la “teoría”, que a su vez justifica a la tecnología (^{Chevallard et al., 1998}).

Nos apoyamos en los referentes anteriores para suponer que las familias jornaleras participan en actividades matemáticas que tienen lugar en ciertas prácticas laborales. Esas actividades matemáticas están acotadas por las condiciones específicas de una institución (el campo de cultivo, en este caso), las cuales inciden en el sentido o significado de los conocimientos matemáticos que se ponen en marcha.

Asimismo, suponemos que tales actividades matemáticas pueden caracterizarse en términos de una praxelogía, como lo plantea la TAD; es decir, que podemos identificar tipos de tareas, formas de resolverlas (técnicas) y, particularmente, los discursos en torno a esas técnicas (tecnología). Para identificar esos discursos, recurrimos a otros planteamientos que, en el marco de la TAD, abordan el aspecto discursivo y hacen hincapié en sus funciones “pragmáticas”, más que en las teóricas (^{Castela, 2008}). Esta autora señala que en la tecnología se manifiestan, además de saberes de tipo teórico, otro tipo de saberes operatorios, pragmáticos o prácticos. Junto con Romo (2009), estas autoras han logrado identificar lo que denominan “funciones pragmáticas de la tecnología”, a saber: describir, facilitar, motivar, explicar, validar y evaluar la técnica (^{Castela y Romo, 2011}). Por ejemplo, en los discursos de los sujetos se puede identificar cómo evalúan una técnica para decidir si la usan o no para resolver un tipo de tarea; cómo motivan a otros para convencerlos de usar una técnica en vez de otra; cómo una técnica determinada les facilita la tarea, entre otras.

Con base en los supuestos anteriores, procuramos identificar en qué actividades matemáticas participan las familias jornaleras y caracterizarlas en términos de praxeología. Asimismo, caracterizamos qué conocimientos matemáticos manifiestan las familias (específicamente los niños y las niñas) y qué condiciones inciden en el sentido o significado de esos conocimientos. Para lograr esos propósitos, ha sido necesario acudir a otros marcos teóricos que, más allá del campo de la didáctica, han advertido la influencia de algunas condiciones del contexto en los aprendizajes de los sujetos. En esta ocasión nos referimos solo a la perspectiva denominada “Cognición en la práctica” y a los planteamientos de una de sus principales impulsoras, Jean Lave.

^{Lave (1991)} concibe la cognición como un fenómeno social complejo, un proceso que se va construyendo de acuerdo con las condiciones sociales de las actividades en las que los sujetos participan. En ese sentido, propone que la manera en que los sujetos problematizan ciertas situaciones y la forma en que las resuelven están influenciadas por el papel social que se asigna a tales situaciones, por las interacciones con otros participantes y los contextos en los que estas ocurren (^{Lave, 1991}).

Esta teoría se enfoca en “la actividad cotidiana”, es decir, en aquellas actividades de carácter rutinario que disponen de un entorno organizado para llevarse a cabo. Desde esa perspectiva, Lave asume que la práctica aritmética se constituye rigurosamente in situ, por lo que, para investigar la práctica aritmética cotidiana, es necesario considerar la especificidad situacional de la actividad matemática (^{Lave, 1991}).

Un ejemplo de ello es el que plantea la misma autora a propósito de su estudio sobre cómo las personas toman decisiones al momento de hacer las compras en el supermercado. Plantea que si bien la gente suele hacer las compras y calcular al mismo tiempo, de tal manera que ambas actividades pueden conformarse mutuamente, una de ellas es la que está en progreso y va constituyendo a la otra (^{Lave, 1991}). Si dentro de la escuela a una persona se le planteara un problema de cálculo relacionado con hacer compras, la actividad en progreso sería la de calcular y lo de “hacer las compras” no sería relevante; en cambio, si esa misma persona en realidad está comprando, los datos numéricos serán tratados de acuerdo con lo que implique la actividad de hacer las compras: “Ni las matemáticas ni la compra se organizan de la misma manera en ambas situaciones […] no hay un procedimiento fijo para las matemáticas o la compra, ni tienen efectos organizativos simétricos la una sobre la otra” (^{Lave, 1991}, p. 115).

Decisiones metodológicas

Como señalamos, en este artículo nos interesa identificar y caracterizar las actividades matemáticas en las que participan las familias jornaleras, los conocimientos matemáticos que intervienen en tales actividades, y las condiciones que influyen en el significado de esos conocimientos. Para llevarlo a cabo, efectuamos entrevistas a 17 adultos trabajadores y a 12 menores, y entrevistamos a siete familias trabajadoras, además de observaciones del trabajo agrícola in situ (^{Solares, 2012a}).

En el campo de cultivo hay una diversidad de actividades que implican la producción e interpretación de números escritos, así como el cálculo numérico; por ejemplo: registrar e interpretar la producción diaria de cada trabajador; registrar y calcular las deudas de las familias con las tiendas de los campos de cultivo; registrar e interpretar los talones de pago semanales que reciben los trabajadores; y cambiar el cheque de pago por dinero en efectivo en distintos establecimientos, pagando una comisión.

Una vez identificada la presencia de un conocimiento matemático genérico en alguna tarea, procedimos a una doble caracterización de la tarea: por una parte, en términos de su significación social, y por otra, en términos de la naturaleza del conocimiento matemático implicado.

Con el apoyo de las perspectivas que constituyen nuestro marco teórico, llevamos a cabo la caracterización de la significación social mediante lo que denominamos “aspectos caracterizadores” de las actividades en las que se manifiestan la escritura y el cálculo numérico:

Respecto a la caracterización de la naturaleza del conocimiento matemático implicado en la situación, realizamos un análisis didáctico a priori de las formas en que el conocimiento matemático podría estar incluido en la tarea, en las resoluciones específicas de los participantes, en función de determinadas características. Algunas de estas son variables didácticas, es decir, pueden ser modificadas a voluntad a fin de provocar efectos en los procedimientos de resolución (^{Brousseau, 1998}; ^{Ruiz, 2003}). Este análisis se nutre de aportes de estudios en didáctica de las matemáticas, sobre todo desde la teoría de las situaciones didácticas ^{(Brousseau, 1998} y ²⁰⁰⁰) y la teoría de los campos conceptuales (^{Vergnaud, 1983} y ¹⁹⁸⁸).

Este análisis nos permitió ampliar el espectro de situaciones en las que se puede identificar el conocimiento en cuestión, así como el de significaciones y formas de representación; en otras palabras, ayuda a enriquecer la mirada desde la que se identifican conocimientos de matemáticas tanto en las tareas como en las acciones de los sujetos que las realizan.

Una vez llevada a cabo la doble caracterización de una actividad, procedimos a diseñar lo que denominamos simulaciones, en las que, a través de entrevistas individuales, planteamos situaciones problemáticas a niños y niñas de las familias trabajadoras; esas situaciones emulaban alguna de las actividades mencionadas y demandaban al niño o niña entrevistado la puesta en marcha de algunos conocimientos aritméticos para resolver la situación.

El propósito de esas simulaciones fue averiguar qué conocimientos ponen de manifiesto los alumnos en una situación muy similar -aunque no sean los mismos que pondrían en juego en la situación real- y examinar su relación con los que la escuela pretende enseñar. La finalidad es, por una parte, valorar el interés didáctico que para la enseñanza escolar pudiera tener el uso de problemas contextualizados en el entorno de los alumnos (sin esperar que resuelvan de la misma manera en ambos contextos), y por otra, analizar las posibles aportaciones de la escuela para que los alumnos y sus familias enfrenten con mayores elementos situaciones extraescolares como las que se describen.

La potencialidad de este recurso como medio de indagación radica en su carácter de simulación de una práctica social específica: al emular una situación “de la vida cotidiana” se posibilita la manifestación de conocimientos matemáticos que pueden ser resultado, o no, de una adaptación de los aprendizajes escolares; por ejemplo, es posible que en algunos procedimientos de resolución los alumnos integren procedimientos convencionales y no convencionales.

Un factor que ayuda a que los conocimientos matemáticos de los alumnos se manifiesten es el hecho de que las simulaciones se basan en una práctica social de la cual tienen experiencia; por ello, aunque dicha experiencia sea menor, no les resulta ajena. Esto facilita la comprensión de las situaciones matemáticas que se les plantean.

Esta herramienta de indagación tiene también sus limitaciones: por una parte, hay una alteración -necesaria, cabe decir- de algunos rasgos de la práctica social a fin de centrar la atención de los alumnos en el conocimiento matemático que interesa indagar; por otra, hay que considerar los posibles efectos de las expectativas que se ponen en juego, como la posibilidad de que los alumnos recurran a procedimientos convencionales suponiendo que eso es lo que quiere el entrevistador. No obstante estas limitaciones -las cuales hay que tener en cuenta al hacer la interpretación de los datos-, la simulación es un recurso suficientemente valioso por la información que puede aportar particularmente a la escuela: lo que los alumnos saben hacer y lo que está pendiente por aprender.

“¿Dónde conviene cambiar el cheque?” Una simulación para indagar procedimientos multiplicativos

En este apartado describimos las situaciones problemáticas que planteamos a los alumnos entrevistados. Cabe precisar que no usamos el término “situación” para referirnos a la problemática que se formula al sujeto, la cual implica una meta a conseguir en ciertas condiciones. A diferencia del significado de este concepto en la TSD, aquí no hay una intención didáctica de por medio.

Las situaciones problemáticas simulan la elección de un establecimiento para cambiar el cheque, y tienen como único criterio identificar la comisión menor (“¿dónde se pierde menos dinero?”). Para su diseño, consideramos dos fuentes: por una parte, a partir de las distintas formas en que las familias del campo de cultivo pueden cambiar el cheque por dinero en efectivo; por otra, con base en algunas consideraciones derivadas de análisis didáctico a priori.

Tales situaciones se plantearon a cuatro alumnos: Marco y Helena de sexto grado, Carmela de quinto y Roberto de cuarto. A cada uno de ellos se le presentaron opciones de cobro de distintos establecimientos para cambiar un cheque y se les preguntó cuál cobro convenía más, es decir, en cuál establecimiento “se perdería menos dinero” al cambiarlo (ver tabla 1).

Una vez que cada alumno elegía el lugar, le pedíamos que argumentara esa elección: “¿Por qué crees que esa opción te conviene más?” Después, les entregábamos un “cheque” y les decíamos que calcularan cuánto dinero recibirían al cambiarlo en el establecimiento elegido. Por último, para verificar si habían hecho la mejor decisión, les pedíamos que también calcularan la comisión que cobrarían los otros establecimientos. Pusimos a su disposición una calculadora, en caso de que quisieran usarla.

Características de las situaciones

El análisis didáctico a priori nos llevó a distinguir dos tipos de tarea más específicos implicados en la tarea genérica “cambiar el cheque”: una de “comparación de razones” derivada de la pregunta “¿En dónde conviene más cambiar el cheque? y una de “cálculo de una cuarta proporcional”, derivada de la pregunta “¿Cuánto cobrarían de comisión por un cheque de x cantidad?” (^{Block, 2006}). A ambas tareas subyace la noción de relación proporcional entre dos magnitudes, la cual, a su vez, forma parte del campo de las estructuras multiplicativas (^{Vergnaud, 1988}).

A continuación destacamos características didácticas más específicas de las situaciones planteadas, y presentamos las resoluciones que efectivamente desarrollaron los alumnos.

Tarea 1. Comparar las opciones. Al pedirles que eligieran la comisión menos cara, los alumnos tenían que comparar entre sí las razones que guardan dos cantidades de dinero (por ejemplo, “por cada 1,000 se cobran 15”). Según ^{Freudenthal (1983)}, “la razón es una relación de equivalencia en el conjunto de parejas ordenadas (o de valores de magnitud)”. Esa relación de equivalencia puede expresarse de distintas maneras (^{Block, Mendoza y Ramírez, 2010}):

• Mediante dos cantidades (“por cada 100, se cobra 1.5”)

• Con un solo número, natural o fraccionario (“se cobra 3/2 o 1.5 del total”)

• Mediante un porcentaje (“se cobra el 1.5%”)

Como advertimos en la tabla 1, las casas de cambio “Caborca” y “La Caborqueña” cobran la misma comisión (1.5%), mientras que “Doña Reyna”, 2.5%. Las dos primeras razones son las que suelen anunciarse con mayor frecuencia en los negocios de Caborca, mientras que la tercera es lo que suele cobrar la señora Reynalda a los clientes que le pagan “deudas menores”. Se evitaron las expresiones % y “por ciento” a fin de usar las formas en las que originalmente cada negocio ofrece sus servicios.

Debido a que para la mayoría de los niños entrevistados resultó relativamente sencillo identificar la equivalencia de dos de las razones, a uno de ellos le planteamos la siguiente modificación (variante de la situación 1): eliminamos $1.5 por cada $100 e incluimos $5 por cada $100, que es lo que la señora Reynalda cobra a quienes no son sus clientes.

Tabla 2 Variante de la situación problemática 1 

Casa de cambio “Caborca”	Casa de cambio “La Caborqueña”	Tienda “Doña Reyna”
Cobramos $5 por cada $100	Cobramos $15 por cada $1,000	Cobramos $50 por cada $2,000

Una de las maneras más accesibles de comparar entre sí las razones de cobro de los establecimientos anteriores es igualando alguno de sus términos (Block, 2006); por ejemplo, se pueden duplicar los dos términos de la razón de cobro que ofrece La Caborqueña para igualar uno de sus términos con la razón de cobro que ofrece doña Reyna, como se muestra en la tabla 3.

Tabla 3 Igualación de términos para comparar dos razones:
La Caborqueña conviene más, puesto que por $2,000 se pagan $30, mientras que con doña Reyna se pagan $50 por esa misma cantidad 

Al duplicar, triplicar o también dividir los términos de un conjunto de cantidades para igualarlos con los de la otra, se pone en juego implícitamente la propiedad de la conservación de las “razones internas”, esto es, el hecho de que en una relación entre dos conjuntos de cantidades proporcionales, si una cantidad de una magnitud aumenta n veces, la cantidad de la otra magnitud que le corresponde también aumenta n veces. Esta propiedad se caracteriza como la del “isomorfismo multiplicativo” en la teoría de los campos conceptuales de ^{Vergnaud (1988)}. Combinada con la del “isomorfismo aditivo” (suma de términos homólogos de dos razones equivalentes), da lugar a una diversidad de formas de resolver.

En el ejemplo que se muestra, las magnitudes en juego son: “cantidad de dinero que se cambia y cantidad de dinero que se cobra de comisión”. La razón interna que se conserva es 2 (el doble). Para comparar las otras opciones es igualmente sencillo.

Otros procedimientos para hacer las comparaciones anteriores son más complejos y, por lo tanto, son poco factibles; entre otros motivos, porque implican multiplicaciones y divisiones por números menores que uno (es el caso de la obtención del “valor unitario” de cada razón, que consistiría en averiguar cuánto se paga por cada peso); además, las cantidades de dinero en juego son demasiado pequeñas para ser significativas.

Tarea 2. Calcular la comisión que cobraría cada establecimiento para un monto. La segunda tarea solicitada consistió en averiguar cuánto dinero pagarían y con cuánto se quedarían al cambiar un cheque de un valor determinado, con la regla elegida en la tarea anterior y también con las otras reglas para verificar.

Esta tarea permitiría averiguar cómo resuelven un problema multiplicativo de valor faltante, y de modo más específico, cómo establecen una cuarta proporcional a partir de las otras tres. El problema se puede resolver, asimismo, con procedimientos que tienen distinto grado de complejidad. Esta vez el procedimiento más accesible, a saber, el que se apoya en la propiedad de la conservación de las razones internas, se enfrenta a la dificultad nada pequeña de que las cantidades de los cheques no son múltiplo de las cantidades con las que se expresan las comisiones; por ejemplo, aplicar la comisión 15 por cada 1,000 a una cantidad como 2,000 pesos es relativamente sencillo, pues, como ya hemos visto, basta con identificar la relación “doble”, pero hacerlo con 1,615 pesos es muy difícil. Nuestra idea era explorar si los alumnos podrían aproximarse al resultado (o hallarlo) recurriendo, de nuevo, a la conservación de las razones internas; por ejemplo, por 1,000 pesos se cobran 15, entonces por 100, que es la décima parte de 1,000, se cobrará la décima parte de 15, es decir, 1.5, y a partir de ese dato calcular lo correspondiente a $1,600 (que es cercano a $1,615) (ver tabla 4).

Tabla 4 Procedimiento de conservación de razones internas 

Procedimientos de los alumnos

Describimos primero cómo los alumnos eligieron la opción que consideraban más conveniente y, después, cómo calcularon la cantidad que les cobrarían o la cantidad que les entregarían al cambiar un cheque. Cabe aclarar que en algunas ocasiones los alumnos no hicieron en ese orden las dos tareas, pues, a veces, para comparar o para argumentar la comparación, calculaban las comisiones que arrojaban las opciones que estaban comparando.

Como mencionamos, en la experiencia participaron cuatro alumnos: Marco y Helena, de sexto grado, Carmela de quinto y Roberto de cuarto. La situación 1 fue formulada a los tres primeros alumnos, mientras que la variante de la situación 1 se planteó solo a Roberto.

Conclusiones

La experiencia anterior confirma que los dos tipos de problemas planteados en torno al cambio del cheque, el de comparación de razones y el de determinar una cuarta proporcional, fueron significativos para los niños. En los dos casos pudieron desarrollar procedimientos para resolverlos, basados en la conservación de las razones internas, incluso en un caso complicado en que la cantidad a la que se aplica la razón no es múltiplo de un término de ella (15 de cada 1,000 aplicado a 1,615). Identificamos un procedimiento relativamente elaborado: el recurso a la equivalencia de dos reglas (15 de cada 1,000 y 1.5 de cada 100), que se aplican de manera combinada a una cantidad. Este desempeño de los alumnos llama más la atención si consideramos que los problemas planteados suelen ser difíciles para alumnos, incluso de secundaria (^{Hart, 1988}; ^{Vergnaud, 1983} y ¹⁹⁸⁸).

El resultado anterior debe ser ponderado también a la luz de otro hecho: la ausencia, en la vida cotidiana de las familias trabajadoras, de la problemática tal como fue planteada. Cuando presentamos la situación del cambio de cheque a los alumnos, ni ellos ni los papás de Marco parecían familiarizados con la condición de “elegir la comisión más baja”; tampoco sabían que las tiendas del campo cobraban distintas comisiones; son otros los criterios con los que se orientan para elegir dónde cambiar el cheque (como el de considerar el gasto que implica salir del campo de cultivo). En ese sentido, confirmamos uno de los planteamientos de Lave respecto a que en la vida cotidiana las decisiones se toman considerando numerosos aspectos, y aquellos que implican cálculos no son necesariamente los primeros. Al mismo tiempo, es destacable que, aun sin contar con experiencia previa enfrentando los problemas planteados, los hayan comprendido y resuelto. Esto, a su vez, apoya la hipótesis de que no es indispensable que los problemas formulados ya hayan sido resueltos antes en la situación real para que estos resulten significativos para los alumnos y puedan abordarlos con los recursos que disponen.

Considerando lo anterior, es pertinente preguntarse qué implicaciones para la escuela se podrían desprender de los conocimientos que los alumnos demostraron tener frente a la situación de proporcionalidad del cambio de cheque y, también, qué implicaciones se desprenden de los conocimientos que los alumnos demostraron no tener.

Un primer aspecto que cabe reflexionar es si, aun cuando en la situación real de elegir dónde conviene cambiar el cheque se ponen en juego criterios que van más allá de la comparación de las comisiones en juego, vale la pena de todas formas saber hacer esa comparación. Desde nuestro punto de vista, ese conocimiento sí podría enriquecer los criterios a los que de por sí las familias recurren, y la escuela es un espacio donde ese tipo de análisis puede tener lugar. Además, considerando la vulnerabilidad económica de estas familias, de acuerdo con los estudios sobre las condiciones financieras de los trabajadores jornaleros migrantes, la escuela puede contribuir aportando un análisis de los cobros de comisión en términos de comparación de razones.

Por otra parte, entrando al terreno de lo didáctico, y habida cuenta de los conocimientos de los niños que se pusieron en evidencia, destaca que uno de los retos de la escuela es dar un lugar relevante a procedimientos personales (no canónicos, no institucionales) como estos y, además, articularlos con los conocimientos matemáticos explícitos, con las representaciones convencionales y con procedimientos más generales; por ejemplo, los alumnos tendieron a resolver las multiplicaciones y las divisiones mediante sumas, incluso disponiendo de la calculadora. ¿Cómo propiciar el reconocimiento explícito de las operaciones de multiplicación y de división? O bien, respecto a las expresiones como “15 de 100” que los alumnos supieron manejar correctamente, ¿cómo vincularlas a la de porcentaje? ¿Cómo vincularlas a la multiplicación X 0.15?

Articular procedimientos personales con nociones explícitas, representaciones y procedimientos convencionales implica un mayor reto. Cabe preguntarse cómo el uso de la calculadora podría, contrariamente a lo que suele pensarse, contribuir a desarrollar los procedimientos iniciales, hacerlos más eficientes y buscar su articulación con los convencionales; por ejemplo, usar la calculadora para dividir entre 100, multiplicar luego por 15 y darse cuenta de que, a final de cuentas, se multiplica por 0.15; o aprender a usar de manera directa la tecla %.

Hay otros conocimientos y relaciones matemáticas implicadas tanto en los procedimientos personales de los alumnos como en los institucionales; nos referimos a ciertas propiedades de la proporcionalidad que suelen operar de manera implícita en sus procedimientos (como “al doble le toca el doble”) y que requieren ser reconocidas, nombradas, y claramente utilizadas para analizar y resolver situaciones problemáticas específicas. La escuela es el espacio para que esos conocimientos se pongan sobre la mesa.

Por último, vale la pena hacer una observación de índole metodológica: los resultados de la experiencia sugieren que los problemas que se plantean para explorar conocimientos matemáticos de los niños (y de las personas en general) relativos a situaciones problemáticas que surgen en su entorno, y en particular las simulaciones, pueden contener alteraciones respecto a cómo se presentan en la vida diaria, sin dejar de ser significativos. Esas alteraciones permiten explorar otros aspectos de los conocimientos de los sujetos, como la posibilidad misma de adaptar lo que ya saben hacer para enfrentar una situación nueva, que no saben de antemano cómo resolver.