Introducción

El diseño de experimentos consiste en planear y llevar a cabo un conjunto de pruebas con el fin de obtener datos, para posteriormente ser analizados estadísticamente y así obtener evidencias objetivas que permitan responder las interrogantes planteadas por el experimentador sobre una determinada situación (^{Gutiérrez & de la Vara, 2008}). En el diseño de experimentos se estudian procesos en los que ingresan variables para producir un resultado, a dichas variables se les denominan factores, el resultado del proceso se le conoce como variable de respuesta.

Los diseños factoriales se utilizan con frecuencia como diseños de cribado en las etapas tempranas de la optimización, con el objetivo de identificar los factores que tienen mayor influencia en el proceso y descartar los factores que no son importantes o no tienen influencia sobre la variable de respuesta (^{Montgomery, 2017}). Al fraccionar un diseño factorial completo se pierde información, esto se debe a que habrá efectos que no se podrán estimar y además se genera confusión entre los efectos involucrados. El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable de respuesta a consecuencia de un cambio de nivel en el factor. A los factores que se confunden entre sí se les conoce como alias, si un efecto es alias de otro significa que son el mismo efecto, pero con distinto nombre (^{Gutiérrez & de la Vara, 2008}) y además dichos efectos no se pueden evaluar independientemente (^{Barker & Milivojevich, 2016}). Estos efectos pueden formar estructuras de alias, las cuales indican cómo los efectos están confundidos con otros efectos (^{Domínguez & Castañon, 2018}).

La construcción de las estructuras de alias de los diseños de dos niveles se basa en la multiplicación de cada término por las palabras que componen la relación definidora de la fracción (^{Ryan, 2007}). Por ejemplo, si se considera un diseño factorial 23-1 con generador C=AB; la estructura de alias del factor A se obtiene al multiplicar dicho término por ambos lados de la relación definidora I=+ ABC, por lo tanto A×I=A×ABC=A2BC=BC se obtiene [A]=A+BC, el factor A es alias de la interacción BC. La estructura de alias para este diseño se muestra en la Figura 1.

Figura1: Estructura de alias para 2^3-1 

Los diseños factoriales de niveles mixtos se utilizan en situaciones en las que se requieren factores con más de dos niveles, esto sucede comúnmente cuando estos factores tienen niveles cualitativos (^{Guo et al., 2007}). La cantidad de corridas experimentales que se requieren para estos diseños aumenta dramáticamente a medida que aumenta el número de factores o niveles (^{Guo et al., 2009a}). Por lo tanto, la utilización de estos diseños resulta económicamente inviable a causa de que se tienen que utilizar muchos recursos para su ejecución. Una manera de llevar a cabo estos experimentos es mediante el uso de diseños factoriales fraccionados de niveles mixtos, a los cuales se les referirá como diseños. Estos diseños permiten analizar solo un subconjunto de corridas o fracción de un diseño completo. A dichas fracciones también se les conoce como matriz de diseño. De esta manera se evalúan los factores involucrados en sus diferentes niveles, y así es posible minimizar el empleo de recursos dado que se reducen el número de corridas experimentales (^{Guo et al., 2007}).

Se han propuesto diferentes métodos para construir diseños de niveles mixtos, algunos métodos utilizan algoritmos y técnicas complejas de programación. Para una discusión detallada de métodos de construcción, véase ^{Wang & Wu (1991)}, ^{Wang & Wu (1992)}, ^{Wang (1996)}, ^{Nguyen (1996)}, ^{DeCock & Stufken (2000)}, ^{Xu (2002)}, ^{Guo et al. (2007)} y ^{Pantoja et al. (2019)}. A diferencia de los diseños tradicionales de dos niveles, los diseños fraccionados de niveles mixtos no tienen relación definidora y no se construyen mediante generadores. Por lo tanto, el método para construir estructuras de alias de los diseños de dos niveles no puede ser utilizado para estos diseños. Las propiedades básicas de los diseños factoriales son balance y ortogonalidad (^{Ríos et al., 2011}). La propiedad de balance se refiere a que cada nivel de un factor se ejecute el mismo número de veces en un experimento, de esta forma se obtiene una distribución uniforme de la información para cada nivel de factor. La ortogonalidad implica la independencia lineal por pares de columnas y es útil para evaluar la importancia del factor (^{Pantoja et al., 2019}). Se han propuesto criterios para evaluar dichas propiedades para diseños de niveles mixtos (^{Xu & Wu, 2001}; ^{Xu, 2002}; ^{Xu, 2003}; ^{Xu & Deng, 2005}; ^{Guo et al., 2007}; ^{Guo et al., 2009a}). Sin embargo, dichos criterios no proporcionan información relacionada con los alias del diseño.

Una estrategia utilizada para crear diseños con doble número de corridas con el propósito de liberar factores o interacciones de interés confundidos se denomina foldover (^{Ryan, 2007}). ^{Guo et al. (2009b)} extendieron el concepto foldover de diseños de dos niveles a diseños factoriales de niveles mixtos mediante el desarrollo de planes óptimos foldover. Los planes se construyeron utilizando el enfoque de búsqueda exhaustiva que implica cualquier combinación de columnas y cualquier valor de p, donde p es el grado de rotación. ^{Ríos et al. (2011)} desarrollaron planes semifold para diseños factoriales de niveles mixtos mediante la selección de la mitad de las combinaciones de las corridas experimentales de una fracción foldover utilizando el enfoque de búsqueda exhaustiva. Los planes semifold resultan ser diseños de tamaño más económico en comparación con los planes óptimos foldover. Ambas estrategias utilizaron el criterio llamado Métrica General de Balance (GBM) para seleccionar los planes óptimos, el cual es un criterio de mínima aberración que mide la propiedad de balance de los diseños de niveles mixtos, es importante mencionar que este criterio no puede identificar la estructura de alias del diseño.

El programa para construir estructuras de alias para diseños de niveles mixtos se basa fundamentalmente en el principio de escasez de efectos y el análisis de la matriz de correlaciones. El principio de escases de efectos fue estipulado por ^{Box y Myers (1986)}, se refiere a que las interacciones consideradas importantes son todas las combinaciones posibles entre dos y tres factores. El coeficiente de correlación lineal mide la fuerza de la relación lineal entre los valores cuantitativos apareados Xj y Xk en una muestra. La relación entre dos factores Xj y Xk se calcula mediante la Ecuación 1, donde rjk es el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre los factores Xj y Xk. Cov Xj,Xk es la covarianza entre Xj y Xk, la cual indica el grado de variación conjunta respecto a sus medias y es un dato básico para determinar si existe dependencia entre ambos factores, varXj y varXk son las varianzas de sus respectivas columnas.

La covarianza se calcula mediante la Ecuación 2, donde n es el número de corridas experimentales, xij y xik son los niveles en la fila i de las columnas del factor Xj y Xk respectivamente, x-j y x-k es el promedio de los niveles que contiene la columna del factor Xj y Xk; es decir x-j=∑i=1nxij/n y de la misma forma se calcula x-k.

La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media, varXj se calcula mediante la Ecuación 3.

El coeficiente de correlación lineal de Pearson puede variar entre -1 a 1 (^{Triola, 2013}). En la Figura 2 se muestra una matriz de correlaciones general. La diagonal principal está compuesta por valores 1, esta diagonal divide las correlaciones que se repiten en ambos lados como un efecto espejo. Por ejemplo, los coeficientes de correlación r12=r21 tienen el mismo valor de correlación y representan la relación entre los factores X1 y X2. Una relación lineal perfecta entre dos factores puede tomar un valor de correlación de ±1; una correlación de 1 indica una relación lineal perfecta positiva; una correlación -1 indica una relación lineal perfecta negativa (^{Anderson et al., 2008}). Si dos factores no están altamente correlacionados, dichos factores podrían medir diferentes características o no estar claramente definidos uno del otro.

Figura 2: Matriz de correlaciones general 

Un programa computacional se define como un algoritmo desarrollado en determinado lenguaje de programación para emplearse en una computadora con el objetivo de resolver problemas o realizar tareas específicas (^{Corona & Ancona, 2011}). Los algoritmos deben tener las siguientes características: finito, esto significa que debe tener un inicio y un final; preciso, quiere decir que debe contar con un orden entre los pasos que lo componen y definido, significa que no debe ser ambiguo. ^{Joyanes (2008)} comenta que las herramientas comunes para diseñar programas son: el diagrama de flujo y el pseudocódigo. El diagrama de flujo es una representación gráfica de un programa y el pseudocódigo es un lenguaje de especificaciones de programas. La codificación es la escritura en un lenguaje de programación de la representación de un programa que se desarrolla previamente. El software MATLAB es una herramienta utilizada comúnmente por ingenieros y científicos debido a sus capacidades (^{Holly, 2007}). Por lo tanto, en esta investigación la codificación del programa propuesto se llevó a cabo en el lenguaje de programación de MATLAB, ya que mediante los recursos de programación que posee permitió construir las estructuras de alias.

A continuación se mencionan las razones que fundamentalmente justificaron llevar a cabo esta investigación. Al incrementarse el número de factores aumenta el tamaño de la matriz de correlaciones, esto dificulta el análisis para la construcción de estructuras de alias manualmente de estos diseños. Lo anterior provoca que aumente exponencialmente el tiempo para la construcción y se incremente la probabilidad de incurrir en errores de cálculo e interpretativos al manejar un gran número de datos. Otra razón importante es que aún no existe un software especializado que permita construir estructuras de alias para los diseños fraccionados de niveles mixtos. En esta investigación se abordan la construcción de estructuras de alias para los diseños propuestos en ^{Guo et al. (2007)} llamados arreglos eficientes y abreviados en inglés como EA.

Descripción del método

El algoritmo del programa codificado en MATLAB se muestra en la Figura 3, este se basa en 13 pasos. Para explicar su funcionamiento se pretende construir la estructura de alias del EA (21, 3²4¹7¹) propuesto por ^{Guo et al. (2007)}. En la Tabla 1 se muestra dicho diseño, la primera columna representa el factor A con dos niveles, la segunda columna representa el factor B con dos niveles, la tercera columna representa el factor C con cuatro niveles y la cuarta columna representa el factor D con siete niveles. El primer paso consiste en introducir la matriz de diseño al programa. El paso dos analiza si se cumple con la restricción del tamaño del diseño, en caso de que la matriz de diseño no cumpla con dicha restricción el programa se detiene e indica que la matriz excede las dimensiones y en este caso la matriz del diseño cumple con la restricción del tamaño debido a que el diseño es de 4 factores y 21 corridas experimentales.

Figura 3: Algoritmo para construir estructuras de alias 

En el paso tres se codifica la matriz de diseño en notación geométrica. La matriz de diseño que se encuentra en notación natural y para realizar la codificación a notación geométrica se utiliza la Ecuación 4, donde xij es el nivel codificado del renglón i en la columna j; lj es el número de niveles de la columna j y lij es el nivel del renglón i en la columna j.

La notación geométrica sitúa los valores en el intervalo [-1, 1]. En la Tabla 2 se muestra la matriz codificada. El paso cuatro calcula la matriz modelo, esta matriz se obtiene al multiplicar las columnas de la matriz codificada para obtener las interacciones de dos factores e interacciones de tres factores, en la Tabla 3 se muestra la matriz modelo generada por el programa. El paso cinco calcula la matriz de correlaciones y el valor límite (VL), dicho valor se utiliza para filtrar las correlaciones que se consideran importantes y se obtiene encontrando la correlación más fuerte Mrpp y calculándolo con la Ecuación 5.

La matriz de correlaciones de este diseño se muestra en la Tabla 4. El programa realiza la búsqueda de correlaciones bajo la diagonal principal de la matriz de correlaciones, debido al efecto espejo de la matriz de correlaciones. Para este caso la correlación más fuerte encontrada es Mpp=0.8160 y utilizando la Ecuación 6 el VL=0.5*0.8160 como resultado se obtiene un VL=0.4080.

En el paso seis se buscan correlaciones fuertes entre efectos principales. El programa realiza una búsqueda de correlaciones cuyo valor absoluto sea mayor o igual a 0.5, esta búsqueda se realiza bajo la diagonal y solo entre efectos principales. En la Tabla 4 se observa el área de búsqueda sombreada en gris. El paso siete evalúa si existen correlaciones fuertes entre efectos principales, si existen correlaciones fuertes el programa se detiene e indica que los factores principales están fuertemente correlacionados. En la Tabla 4 se puede observar que no existen correlaciones iguales o mayores a 0.5. Si no existen correlaciones fuertes entre efectos principales el programa sigue con el paso ocho, dicho paso busca correlaciones superiores al VL. El programa realiza un filtrado de correlaciones superiores al VL, cabe mencionar que el valor de las correlaciones puede ser positivo o negativo. En la Tabla 5 se muestra el resultado de la búsqueda.

El paso nueve analiza si existen correlaciones y si estas son superiores al VL, en caso de que no se cumpla con la restricción se indica que es un diseño ortogonal y se continúa con el paso trece que es donde se construye y se muestra la estructura de alias y finaliza el programa. Para este caso, como se observa en la Tabla 5, sí existen correlaciones que superan el VL. El paso diez localiza las correlaciones superiores al VL para los efectos principales, interacciones de dos factores e interacciones de tres factores siguiendo cuatro principios: las correlaciones significativas de orden menor son más importantes que las de mayor orden; las correlaciones del mismo orden tienen igual importancia, para su selección estas deben ser desempatadas por el valor de su correlación; si una interacción de segundo o tercer orden se agrega a una estructura de alias, dicha interacción ya no se puede considerar para formar otra estructura de alias; todos los efectos principales e interacciones deberán pertenecer a alguna estructura de alias del diseño. El resultado de la aplicación de estos principios se muestra en la matriz de la Tabla 6.

El paso once analiza si a todos los términos ya se les ha asignado una correlación, si esta restricción se cumple se continua con el paso trece donde se construye y se muestra la estructura de alias y el programa finaliza. Si esta restricción no se cumple el paso doce asigna correlaciones inferiores a los términos faltantes como lo indica el siguiente principio: si una interacción no tiene correlaciones superiores al VL, entonces se debe buscar la correlación más fuerte y que dicha correlación no forme parte de otra estructura de alias.

En la Tabla 6 se observa que las interacciones CD y ABC no se han asignado. Esto se debe a que sus correlaciones no son superiores al VL, el paso doce se encarga de asignar correlaciones inferiores al VL aplicando el quinto principio del método. En la Tabla 7 se muestra la matriz que resulta de este paso.

Una vez finalizado el paso doce, el paso trece construye y muestra la estructura de alias del diseño fraccionado de niveles mixtos y el programa finaliza. La construcción se lleva a cabo tomando como base la matriz de correlaciones mostrada en la Tabla 7, las estructuras de alias se extraen de dicha matriz y se agregan las letras que representan los términos del diseño. En la Figura 4 se muestra la estructura de alias de este diseño.

Figura 4: Estructura de alias para EA (21, 3²4¹7¹)  

Resultados

Por medio de esta investigación ha sido posible construir estructuras de alias para los diseños factoriales de niveles mixtos mediante un programa en MATLAB basado fundamentalmente en el principio de escasez de efectos y el análisis de la matriz de correlaciones. El programa es capaz de construir las estructuras de alias de diseños que contengan de 2 a 9 factores sin restricción del número de corridas experimentales.

El programa realiza una búsqueda de correlaciones mayores o iguales a 0.5 entre efectos principales, esto con el objetivo de informar al experimentador en el caso que exista una correlación fuerte entre efectos principales en un diseño fraccionado de niveles mixtos. Una correlación fuerte entre efectos principales implica que un efecto principal está confundido con otro efecto principal, la utilización de un diseño con este inconveniente podría resultar contraproducente para el experimentador debido a que por lo general en un experimento el interés principal es conocer los cambios en la variable de respuesta que producen los efectos principales (^{Kuehl, 2001}). Por ejemplo, en el diseño EA (20, 4¹5¹6¹7¹) mostrado en ^{Guo et al. (2007)}, el programa detectó una correlación fuerte entre efectos principales. En la Tabla 8 se observa que existe una correlación fuerte entre el efecto C y D, esto quiere decir que en el experimento no se podría conocer el efecto que producen por separado ambos factores sobre la variable de respuesta. Con esta información el experimentador podrá tomar la decisión si le es conveniente utilizar este diseño.

Una manera de desacoplar los efectos de interés es mediante el uso de estrategias foldover o semifold. Para visualizar el desacoplamiento de efectos de interés es necesario conocer las estructuras de alias. En la Figura 5 se muestran las estructuras de alias generadas por el programa para la fracción foldover con 40 corridas experimentales y la fracción semifold con 30 corridas experimentales del EA (20, 2⁴3¹4¹) mostrado en ^{Guo et al. (2007)}. En esta figura se observa cómo se desacoplan algunos efectos. Por lo tanto, de esta manera se muestra la utilidad del programa desarrollado en MATLAB y la importancia de conocer la estructura de alias de estos diseños. De esta manera, el experimentador podrá elegir la estrategia de experimentación más conveniente antes o después de llevar a cabo un experimento.

Figura 5: Estructuras de alias foldover vs semifold EA (20, 2⁴3¹4¹) 

El programa proveerá información si se presenta el caso que un diseño factorial fraccionado de niveles mixtos sea ortogonal. El programa propuesto en esta investigación reduce significativamente el tiempo en la construcción de las estructuras de alias para los diseños factoriales fraccionados de niveles mixtos. En la Figura 6 se muestra la gráfica del tiempo de ejecución del programa, este se ejecutó en una computadora con procesador AMD E-450 y una memoria RAM de 2.00 GB. La construcción de estructuras de un diseño fraccionado de niveles mixtos de 9 factores mediante el programa en MATLAB toma solo 2 segundos. También se reduce la incertidumbre de cometer errores de cálculo e interpretativos en la construcción de estructura de alias manualmente, puesto que al incrementarse el número de factores se incrementa el tamaño de la matriz de correlaciones y se vuelve complejo el análisis para la construcción de estructuras de alias para estos diseños. Al no existir un software comercial para construir estructura de alias para los diseños factoriales fraccionados de niveles mixtos, este programa desarrollado en MATLAB es una alternativa para la construcción de estas estructuras.

Figura 6: Grafica del tiempo de ejecución del programa en MATLAB 

Por medio de este programa en MATLAB se construyeron estructuras de alias para los 20 diseños factoriales fraccionados de niveles mixtos propuestos por ^{Guo et al. (2007)}. En las siguientes Figuras 7 a 11 se muestran algunos ejemplos.

Figura 7: Estructura de alias del EA (21, 3¹6¹7¹) 

Figura 8: Estructura de alias del EA (15, 3¹5¹7¹) 

Figura 9: Estructura de alias del EA (21, 3¹4¹5¹) 

Figura 10: Estructura de alias del EA (20, 2⁴3¹4¹5¹) 

Figura 11: Estructura de alias del EA (20, 2⁴5¹7¹) 

Conclusiones

Los diseños factoriales fraccionados de niveles mixtos permiten analizar solo una fracción de un diseño factorial de nivel mixto completo, de este modo es posible minimizar el empleo de recursos dado que se reducen el número de corridas experimentales. La desventaja de fraccionar es la pérdida de información y la confusión de efectos en el experimento. Es así como resulta necesario conocer la forma en que los términos del diseño quedan confundidos, esta información la proporcionan las estructuras de alias.

Las conclusiones de acuerdo con los resultados obtenidos en esta investigación demostraron que es posible construir estructuras de alias para los diseños factoriales fraccionados de niveles mixtos mediante un programa en MATLAB. El programa permitió construir las estructuras de alias para los 20 diseños propuestos por ^{Guo et al. (2007)}, sin embargo, en este documento únicamente se muestran las estructuras de 7 diferentes diseños, incluyendo las estructuras de alias de un diseño foldover y semifold. El programa muestra información que el experimentador necesita conocer para tomar la decisión en la elección del diseño y llevar a cabo el experimento, puesto que la elección del diseño es un paso importante en la planeación del experimento (^{Wu & Hamada, 2009}). Es decir, se podrá elegir el diseño que brinde la mayor información en el experimento, esto se traduce en ahorros de recursos puesto que se reduce la probabilidad de elegir un diseño que no estime los efectos que el experimentador está interesado en conocer. También podrá ser útil para evaluar las estructuras de alias de diseños generados por las estrategias foldover y semifold de diseños fraccionados de niveles mixtos, de esta manera facilitará la elección de la estrategia que más convenga en la experimentación. El programa en MATLAB es capaz de construir estructuras de alias de 2 a 9 factores sin restricción del número de corridas experimentales, el tiempo máximo de ejecución del programa es de 2 segundos, lo que le permite al experimentador ahorrar tiempo y construir estas estructuras de alias fácilmente. Al no existir un software para construir las estructuras de alias para los diseños factoriales fraccionados de niveles mixtos el programa desarrollado en MATLAB mostrado en esta investigación es una opción importante para considerar en el ámbito de la experimentación.