Estudio de simulación

La comparación entre gráficas de control se realizó utilizando la longitud promedio de corrida (ARL). Cuando el proceso está en control, el ARL indica el número promedio de muestras que deberían tomarse para que aparezca una falsa alarma. Cuando no está en control el proceso, entonces el ARL es el número promedio de muestras que ocurriría hasta detectar la falta de control.

Sin pérdida de generalidad, las cartas de control se estudiaron simulando un proceso con dos características de calidad continuas a monitorear, la media de cada una de esas variables fue cero, la matriz de varianzas y covarianzas dependió de la situación simulada. Para cada una de las situaciones estudiadas, la fase I se construyó con una muestra de tamaño n₁ = 1500. Este punto es congruente con lo reportado por ^{Vanhatalo y Kulahci (2015)} respecto al número de observaciones que se requieren en la fase I para aproximarse al valor del ARL de 370. Posteriormente, en cada situación se simularon observaciones hasta detectar una señal fuera de control, registrando el número de realizaciones necesarias para lograrlo. Esto se repitió 1000 veces y el promedio es la estimación del ARL.

Los límites de las cartas de control se construyeron con los valores más usados en la práctica que corresponden a los límites que dejan una proporción de falsas alarmas de 0.0027 cuando se cumplen los supuestos de normalidad e independencia, lo que significa un ARL de 370 aproximadamente.

Carta de control Τ²de Hotelling

Esta carta de control se utiliza ampliamente para monitorear el vector de medias de un proceso. Sea X un vector aleatorio de orden p definido en ℝ^p de la forma X = (X₁, X₂,…,X_p)^T , donde cada X_i, para i = 1, 2, …, p, es una variable aleatoria unidimensional definida en ℝ. Suponga que X tiene distribución normal p-variada con vector de medias μ y matriz de varianzas y covarianzas Σ no singular, simétrica y positiva definida. Entonces, la estadística T² de Hotelling está dada por:

Cuando μ y Σ se conocen, la distribución de la estadística en la expresión (1) es una ji-cuadrada con p grados de libertad (^{Mason y Young, 2002}). Sin embargo, en las aplicaciones estos parámetros se desconocen y se estiman por X- y S, respectivamente, donde en una muestra aleatoria p-variada de tamaño n X₁, X₂, …, X_n, se tiene que:

Entonces, la estadística T² queda de la forma:

y en este caso su distribución es (^{Mason y Young, 2002}):

donde F_{(p, n-p)} denota la distribución de F de Fisher-Snedecor con parámetros p y n - p grados de libertad. El monitoreo de un proceso con la gráfica T² se realiza en dos fases. En una primera fase con el proceso en control (distribución de referencia) se define una base de datos histórica (BDH) de tamaño n, cuya distribución se usa para monitorear observaciones futuras (fase II). Con la información de la BDH se estiman μ y Σ y se obtiene el límite de control superior (LCS) dado por:

en el cual F_{(α; p.n-p)} es el α-ésimo cuantil superior de la distribución F de Fisher-Snedecor con parámetros p y n - p grados de libertad. α es la proporción de falsas alarmas. Para cada observación en la fase II (fase de monitoreo), se calcula la estadística T² como se señala en la expresión (3), en tanto los puntos de la estadística T² no excedan el LCS, el proceso se declara bajo control. Si algún punto está por arriba del LCS, el proceso se declara fuera de control y es deseable localizar las causas responsables de la señal de fuera de control.

Carta de control basada en medidas de profundidad

Una medida de profundidad es una función que asigna un rango no negativo en el intervalo [0,1] que provee un orden del centro hacia afuera (centro-exterior) de un punto dado x ϵ ℝ ^p respecto a una nube de datos. Valores grandes de profundidad indican que x está más cerca del centro de la nube de puntos y valores pequeños que se encuentra ubicada en las regiones externas. Bajo este hecho, ^{Liu y Singh (1993)} propusieron una estadística definida por funciones de profundidad para comparar la periferia de una población multivariada en relación con otra, la cual trasladaron al esquema de cartas de control para verificar si el proceso que se está supervisando cumple con las características de la distribución de referencia. Existen varias funciones de profundidad, quizás la más popular de estas es la profundidad de Mahalanobis, ya que es sencilla de calcular y no tiene limitaciones por la dimensión de los datos. La profundidad de Mahalanobis de un punto x ϵ ℝ ^p que se define como (^{Liu y Singh, 1993}):

donde μ_H y Σ_H son el vector de medias y la matriz de varianzas y covarianzas, respectivamente, de la distribución de referencia H. Cuando estos parámetros son desconocidos, la versión muestral de la profundidad de Mahalanobis expresada en (7) es:

donde X- y S son los estimadores muestrales expresados en (2) para una muestra aleatoria de la distribución de referencia de tamaño m denotada por H_m.

Aplicaciones de la carta de control que ^{Liu (1995)} propone, se registran en los trabajos de ^{Hamurkaroglu et al. (2004)}; ^{Messaoud et al. (2005)}; ^{Zertuche y Cantú (2008)}. Para construir una carta de control r basada en la profundidad de Mahalanobis se realiza el siguiente procedimiento (^{Zertuche y Cantú, 2008}). Sea Υ₁, Υ₂, …, Y_m una muestra aleatoria p-variada de tamaño m de la distribución de referencia H (fase I). Sea X₁, X₂, …, (fase II) la muestra aleatoria de las p variables a monitorear cuya distribución es G. Si el proceso está en control se tendrá que las distribuciones H y G son iguales, pero si el proceso no está en control, la distribución de los puntos monitoreados en G será distinta de la distribución de referencia H. Entonces, la carta de control r se puede construir con los pasos siguientes:

Si el valor de la estadística en (8) está por debajo del LCI, entonces se declara al proceso fuera de control. ^{Liu y Singh (1993)} demostraron que la distribución de la estadística en (8) es uniforme en el intervalo [0,1]. Este hecho se usa para establecer el límite de control a la proporción de falsas alarmas α y la línea central de la gráfica igual a 0.5.

Factor grado de autocorrelación

En este trabajo se evalúa la gráfica paramétrica y no paramétrica en casos donde no hay normalidad y las observaciones no son independientes. Para generar situaciones donde los datos no son independientes se simularon observaciones con autocorrelación conocida, suponiendo que el mecanismo generador de los datos seguía un modelo de vectores autorregresivos de orden uno (VAR(1)). A fin de limitar la complejidad del modelo, se consideró que p = 2, entonces, matricialmente, el modelo bivariado VAR(1) está dado por (^{Vanhatalo y Kulahci, 2015}):

para t = 1, 2, …, T, donde:

En (10), X_t es un vector de orden 2 de procesos autorregresivos univariados en el tiempo t, c es un vector de constantes de orden 2, Φ es una matriz de tamaño 2 x 2 integrada por coeficientes de autocorrelación ϕ ϵ (-1,1) que miden la dependencia entre el valor actual y el rezagado de X_t , y μ_t es un proceso de ruido blanco vectorial con vector de medias 0₂ y matriz de varianzas y covarianzas Σ_u invariantes en el tiempo. 0₂ es un vector de orden 2 cuyas entradas son todas iguales a cero. Por lo anterior, las tres componentes que se necesitan para generar observaciones multivariadas con autocorrelación conocida mediante el modelo VAR(1) son el vector de medias del proceso μ, la matriz de coeficientes autorregresivos Φ y la matriz de varianzas y covarianzas de los residuos Σ_u. Para simplificar el número de casos posibles de autocorrelación, en este trabajo se considera el caso bivariado con Φ de la forma:

donde los casos estudiados resultan de combinar los valores de φ₁₁ y φ₂₂ para cada una de las siguientes situaciones:

Factor distribución de los datos

Para controlar la distribución de las observaciones bivariadas en presencia de autocorrelación se induce la distribución deseada en u_t. En este trabajo es de interés generar mediciones con distribución simétrica, simétrica con colas pesadas y asimétrica, por lo que se consideran las distribuciones: normal bivariada, t de Student bivariada y gamma bivariada. Estas dos últimas se utilizan tal y como las definen ^{Stoumbos y Sullivan (2002)}, para mayores detalles véase en ^{Kotz et al. (2004)}. Las distribuciones que se consideran para u_t son:

1. Normal bivariada.

2. t de Student bivariada con grados de libertad υ = 3 y 20.

3. Gamma bivariada con parámetro de forma v = 1 y 16.

Factor relación entre variables

Para controlar la relación entre las variables, se usaron las entradas que están fuera de la diagonal principal de Σ_u. Se consideran dos casos:

1. No relacionadas Σ_u = I2.

2 Relacionadas Σu=10.90.91.

Caso distribución normal bivariada

El comportamiento en control de las dos gráficas de monitoreo para cuando los datos tienen distribución normal con diferentes escenarios de autocorrelación y relación entre variables se muestra en la Tabla 1. Note que cuando las observaciones son independientes el ARL ₀ está muy cerca de 370 para las dos cartas de control. De la Tabla 1 puede notarse que el efecto de la autocorrelación, cuando el proceso está en control, produce valores más grandes de ARL ₀ en ambas cartas de control a medida que el grado de autocorrelación, positivo o negativo, es más alto. El aumento del ARL ₀ no es perjudicial en una carta de control, al contrario, es benéfico y deseable siempre que no lesione su capacidad de detectar cambios.

Este aumento en el ARL₀ de la gráfica T² para datos autocorrelacionados se corroboró con el trabajo de ^{Vanhatalo y Kulahci (2015)}. De la Tabla 1 se puede apreciar también que cuando las variables están altamente relacionadas, el ARL₀ en presencia de autocorrelación es mayor que cuando las características de interés no están relacionadas. El efecto de la relación entre las variables en el caso fuera de control fue semejante, por lo que el análisis del ARL₁ se muestra solo considerando el caso en el que las variables están altamente relacionadas. Los valores de ARL₁ para las tres magnitudes diferentes de cambio se exhibe en la Tabla 2.

Cuando el proceso está fuera de control es deseable que el ARL sea pequeño, lo que indica que la carta detecta rápidamente que el proceso está fuera de control. En la Tabla 2 se observa que, para observaciones no autocorrelacionadas, la carta T² detecta más rápido que la carta no paramétrica las señales de fuera de control ante cambios pequeños y medios en el vector de medias. Para cambios grandes, la capacidad de detección de cambios en las dos gráficas es muy similar. Esta información es congruente con los resultados del estudio de Zertuche y Cantú (2008), quienes encontraron que el desempeño de la carta T² es más eficiente que el de la gráfica de clasificación por rangos, a menos que el cambio en la media sea grande, ya que en ese caso el desempeño de las dos cartas de control es similar. Se observó que el efecto de la autocorrelación en los datos provoca que incremente el ARL₁ de ambas cartas conforme crece la autocorrelación, esto genera una sustancial disminución en la rapidez con la que las cartas identifican señales de fuera de control. Esto también es congruente con el resultado de ^{Vanhatalo y Kulahci (2015)}, quienes reportan que la autocorrelación empobrece la capacidad para detectar cambios en la carta T². No obstante, es importante hacer notar que cuando en una de las dos variables los datos presentan autocorrelación negativa y en la otra la autocorrelación es nula, baja y regular, el ARL₁ es más pequeño, por lo que estos casos en particular no alteran el desempeño de ambas cartas de control. Además, en cambios grandes, se aprecia que la autocorrelación, a menos que sea muy alta, no daña severamente la capacidad de detectar puntos fuera de control en ambas cartas de control.

Caso distribución t de Student bivariada

En la Tabla 3 se presentan las cantidades de ARL₀ de las dos cartas de control para datos bivariados distribuidos t con diferentes valores de grados de libertad, niveles de autocorrelación y relación entre variables. Note que, bajo independencia, el ARL₀ de la carta paramétrica para observaciones t(υ = 3) disminuye inaceptablemente respecto al nominal bajo el supuesto de normalidad, a diferencia de la carta r, que exhibe un ARL₀ considerablemente cercano del nominal para υ = 3 y υ = 20. Así que, para cuando el proceso está en control, colas pesadas en datos independientes provoca una tasa desmesurada de falsas alarmas en la gráfica T², acorde con los resultados de ^{Chou et al. (2001)}. La autocorrelación en este caso no produce ningún efecto significativo para la carta T², mientras que en la gráfica basada en la profundidad de Mahalanobis, la autocorrelación produce un desempeño bastante significativo, ya que su ARL₀ aumenta tanto como el grado de autocorrelación. Nuevamente, la relación alta entre variables no parece causar mayores incidencias en el comportamiento del ARL₀. Por otra parte, cuando el proceso está fuera de control, véase la Tabla 4, hay evidencia de que la carta r es superior que la T² para datos independientes en las tres magnitudes de cambio. Al inducir autocorrelación en las mediciones, se observa que la gráfica no paramétrica continúa siendo mejor que la T². Note que en cambios medios y grandes con combinaciones de autocorrelación baja y regular, incluyendo el caso de autocorrelación negativa, el desempeño de la carta r no se aleja demasiado de su desempeño nominal para datos no autocorrelacionados. Los valores de ARL₁ de la Tabla 4 se muestran solo para υ = 3, ya que con υ = 20, el comportamiento del ARL₁ es semejante al de υ = 3.

Caso distribución gamma bivariada

La Tabla 5 exhibe el ARL₀ de las dos cartas de control para datos bivariados con distribución gamma, diferentes valores del parámetro de forma, grados de autocorrelación y relación entre variables, donde se observa, suponiendo independencia, que la carta paramétrica no compite para datos que se distribuyen poco o muy asimétricamente, ya que su ARL₀ para observaciones gamma (v = 1) y gamma (v = 16) baja excesivamente. Este resultado se puede constatar con los estudios de ^{Stoumbos y Sullivan (2002)} quienes observan que la gráfica T² exhibe una cantidad excesiva de falsas alarmas para distribuciones muy asimétricas. El ARL₀ de la carta r decae respecto al nominal, pero no radicalmente. Así como en el caso de la distribución t, se nota que la autocorrelación produce en la gráfica T² un ARL₀ significativamente pobre, pero altamente significativo en la gráfica no paramétrica. En cuanto al ARL₁, véase la Tabla 6, se aprecia nuevamente que la carta r tiene un mejor desempeño que la T² para datos independientes en las tres magnitudes de cambio. Por otro lado, la autocorrelación altera en mayor medida la capacidad de detección de cambios en la gráfica T² que en la gráfica r. Observe que el ARL₁ de la carta r no se aparta considerablemente de su desempeño nominal cuando los datos presentan autocorrelación baja y regular, excepto en cambios pequeños. Los valores de ARL₁ de la Tabla 6 se muestran solo para v = 1, ya que con v = 16 el comportamiento del ARL₁ es similar que al de v = 1.