Objetivo del estudio

Presentar una alternativa de cálculo para estimar la capacidad de descarga de compuertas radiales, con desfogue sumergido, así como su aplicación y el proceso de calibración y verificación de las correspondientes fórmulas adimensionales, con base en un estudio experimental.

Materiales y métodos disponibles

Para este estudio, se dispone del modelo físico de una estructura de control (llamada Túnel - Alcantarilla, T - A), constituida por tres compuertas radiales colocadas en paralelo, cuya descarga es sumergida. Aguas abajo de cada compuerta se tiene una alcantarilla de sección rectangular. El empleo del modelo físico de esta estructura y de los novedosos métodos publicados por ^{Bijankhan et al. (2013)} y ^{Abdelhaleem (2016)}, para calcular las leyes de descarga de las compuertas, con desfogue sumergido, permite tener los elementos necesarios para calibrar y verificar el modelo numérico más adecuado.

El cálculo de la ley de descarga de compuertas radiales con desfogue sumergido, requiere del conocimiento de la capacidad de conducción que se tiene aguas abajo de las compuertas; por ello, primero se describe la obtención de la capacidad de conducción del sistema hidráulico en estudio, para el caso en el que las compuertas estén totalmente abiertas; la ley de descarga es calibrada y verificada con base en mediciones en el modelo físico. Estos resultados permiten definir la condición de frontera cuando las compuertas están parcialmente abiertas, y la descarga es sumergida; después se desarrolla el estudio experimental con las compuertas parcialmente abiertas y descarga ahogada; posteriormente, de acuerdo con los correspondientes resultados experimentales se elabora el proceso de calibración y verificación para obtener las leyes de descarga de las compuertas radiales con desfogue sumergido.

Descripción general del modelo físico

En el modelo físico de un sistema de canales se tienen incluidas varias estructuras de control; en una de ellas (el T - A), hay tres compuertas radiales y dos pilas; la estructura de control sirve para derivar agua de un canal a otro. En la fotografía de la Figura 1 se observa el entorno de la estructura de control (enmarcada con color rojo).

Figura 1: Entorno de la estructura de control, con pilas, compuertas y alcantarillas 

Las alcantarillas sirven para cruzar por debajo a un río (El Salto). En particular, la estructura de control se localiza aguas abajo de la confluencia de dos canales (Figura 1); uno de ellos corresponde al portal de salida del Túnel Emisor Central (TEC), mientras que el otro recibe el caudal que sale del Túnel Emisor Oriente (TEO, inaugurado en diciembre de 2019).

Las pilas con compuertas y la entrada de las alcantarillas se presentan del lado izquierdo de la Figura 2, y en el lado derecho de la misma figura está la salida de las tres alcantarillas.

Figura 2: Entrada y salida de la estructura de control y alcantarillas, respectivamente 

En las Figuras 1, 2 y 3, se incluyen los marcos de los soportes y los limnímetros (indicados con las letras A, B y C), que fueron empleados para medir la elevación de la superficie libre del agua durante las pruebas experimentales. Además, en la Figura 3 se presenta el tramo del canal al que descarga la estructura T - A.

Figura 3: Canal con curvatura horizontal en el que descargan las alcantarillas 

En la Figura 3 también se observa el tramo del canal que está aguas abajo de la curva horizontal; al final de este tramo se colocó una compuerta vertical plana para controlar la elevación del nivel del agua en la frontera de aguas abajo (soporte con limnímetro C).

Descripción de la estructura de control y las alcantarillas

En la Figura 4a se presentan las dimensiones del modelo físico de la estructura de control, integrada por dos pilas, tres compuertas radiales y alcantarillas de sección rectangular. Las longitudes y elevaciones que se reportan se obtuvieron al hacer el levantamiento topográfico del modelo físico, escala 1:30, con una estación total. Se escoge como elevación de referencia la cota 70.0667 m, asociada a la elevación de la plantilla del canal horizontal que se localiza en la entrada de las alcantarillas.

Figura 4a: Esquemas de la estructura de control y alcantarillas (acotaciones en m) 

En la Figura 4b se muestran los tres sitios (A, B y C) en los que se instalaron sendos limnímetros para registrar los correspondientes tirantes, en cada una de las pruebas experimentales realizadas.

Figura 4b: Distribución de los limnímetros A, B y C en una parte del modelo físico 

El tramo del canal localizado aguas arriba de la entrada a las alcantarillas (ver fotografía del lado izquierdo en la Figura 2), es de sección transversal rectangular, con ancho de plantilla de 0.333 m; en este canal hay dos pilas con 0.0167 m de ancho para sostener las compuertas; la nariz de las pilas está a 0.385 m de la entrada a las alcantarillas.

Cada una de las compuertas radiales tiene un ancho de 0.10 m, con radio de 0.12 m; la altura del perno respecto a la plantilla del canal es de 0.105 m; hay una distancia de 0.22 m entre el eje del perno de las compuertas y la entrada de las alcantarillas. Ambas pilas continúan a lo largo de las alcantarillas, y exceden la longitud de cada conducto con 0.055 m, aguas abajo. Las dos pilas forman dentro del túnel tres conductos de sección rectangular, con ancho de 0.10 m cada uno y altura de 0.083 m. La pendiente de la plantilla de las alcantarillas es de 0.002 y su longitud es de 1.70 m (Figura 4a).

A la salida de las alcantarillas existe un pequeño escalón ascendente; en la margen izquierda la altura que asciende el fondo es de 0.017 m, mientras que en la margen derecha el desnivel es de 0.012 m (ver fotografía del lado derecho en la Figura 2).

Para conectar la salida de las alcantarillas al canal en que descargan estas, se tiene una transición gradual recta de 1 m de longitud (Figura 5); en esta transición se cambia gradualmente de sección transversal rectangular a trapecial.

Figura 5: Tramo del canal con curvatura horizontal y pendiente adversa 

El ancho de plantilla del canal que sigue al terminar la transición gradual, varía entre 0.23 y 0.30 m; los taludes son del orden de 1.50:1; este tramo de canal, de 7.5 m de longitud, inicia aguas abajo de donde termina la transición recta, con una curva horizontal de 45° y pendiente de plantilla adversa (Figura 5).

Infraestructura de la instalación experimental

El gasto de diseño del T - A, es de 0.0101 m³/s. Para aforar el caudal en el modelo físico, se dispone de un vertedor de pared delgada y sección de forma triangular, cuyo ángulo central es de 90°. El cálculo del caudal que descarga el vertedor se obtiene con la fórmula recomendada en ^{ISO 1438 (2017)}:

Respecto al valor empírico de 𝐶, en ^{ISO 1438 (2017)} se presenta una figura de donde se deduce que C≅0.577 (para venas liquidas totalmente aireadas); en el valle de México es común aceptar que g≅9.79 m/s². Al sustituir los correspondientes valores en la ecuación (1), y después de hacer las operaciones se obtiene la expresión siguiente:

La medición de los niveles del agua en el modelo se hizo con tres limnímetros: uno de ellos, denotado como (A), se colocó aguas arriba de la entrada de las alcantarillas, a 0.10 m de la nariz de las pilas (Figura 2); otro (B), aguas abajo de las alcantarillas, a 0.20 m de donde terminan las pilas (Figura 2); y uno más (C), en el extremo final del tramo que está aguas abajo de la curva horizontal (Figura 3).

Condición de frontera aguas abajo

Aguas abajo del sistema de canales existe una obra de toma de una planta de tratamiento; se sabe que para tener un adecuado funcionamiento hidráulico de la planta de tratamiento, en la obra de toma el nivel de la superficie libre del agua debe tener la cota 70.1667 msnm, para cualquier caudal; por ello, en el modelo físico se colocó una compuerta plana vertical (Figura 3), cuya operación permite controlar el nivel de la superficie libre del agua. En cada uno de los experimentos se adecuó la apertura de la compuerta para tener siempre la mencionada cota del agua al final del canal trapecial. El tirante en esa sección transversal debe ser y=0.0732 m.

Estudio experimental

Los caudales empleados en las pruebas experimentales desarrolladas en el modelo físico se reportan en la Tabla 1; para cada gasto se registraron las cotas del agua en las secciones A, B y C. En cada prueba, se estableció flujo en régimen permanente. En la Tabla 1: Q, es el caudal calculado con la ecuación (2); H_A, la elevación de la superficie libre del agua en la ubicación del limnímetro A; H_B, la cota del agua en la localización del limnímetro B; y H_C, el nivel del agua en la ubicación del limnímetro C.

En la Figura 7 se incluyen los puntos asociados a las parejas de valores elevaciones - caudales medidos en las secciones A y B, que corresponden a las secciones aguas arriba (puntos de color rojo) y aguas abajo (puntos de color azul) de las alcantarillas, respectivamente.

Figura 7: Curvas de descarga, aguas arriba y aguas abajo de las alcantarillas 

Calibración de la ley de descarga con compuertas totalmente abiertas

Los resultados experimentales (puntos), mostrados en la Figura 7, permiten determinar el coeficiente de rugosidad de Manning del modelo físico, y calibrar los coeficientes para el cálculo de las pérdidas locales de energía, debidas a los efectos de contracción y expansión ocasionadas por la entrada y la salida de las alcantarillas, respectivamente. El proceso de cálculo se reporta con mayor detalle en ^{Hernández (2019)}, quien empleó el sistema de modelación numérica HEC - RAS (^{U. S. Army Corps of Engineering, 2010}), para el cálculo de perfiles hidráulicos de flujo gradualmente variado, con flujo unidimensional y régimen permanente. Los coeficientes con los que se logra mejor aproximación a las mediciones de laboratorio son: coeficiente de rugosidad de Manning n=0.010, coeficiente de pérdida local de energía por contracción C_0c=0.5 (en la entrada de las alcantarillas), y el coeficiente de pérdida local de energía por expansión C_0e=1.0 (en la salida de las alcantarillas). Los perfiles hidráulicos calculados se presentan en la Figura 8, y corresponden a los de mejor ajuste de los coeficientes mencionados (^{Hernández, 2019}).

Figura 8: Perfiles hidráulicos calculados con el sistema de modelación HEC - RAS 

Por un lado, en la Figura 7, los puntos rojos corresponden a las elevaciones de la superficie libre del agua registradas con el limnímetro A, mientras que los puntos de color azul están asociados al empleo y localización del limnímetro B. Por otro lado, se tienen las coordenadas elevaciones - gastos que fueron obtenidas con el cálculo de perfiles hidráulicos, en las mismas secciones transversales en las que se localizan los limnímetros A y B; estas últimas coordenadas se utilizan para definir las curvas con líneas en color rojo y azul que también están incluidas en la Figura 7, respectivamente.

El modelo numérico de la ley de descarga que corresponde al tramo que está aguas arriba de las alcantarillas, cuando las compuertas de la estructura de control están totalmente abiertas, es el que mejor representa a la curva en color rojo de la Figura 7. Una manera sencilla de obtener la ecuación de mejor ajuste se basa en emplear una de las herramientas de cálculo del paquete Excel; así se obtuvo la expresión siguiente

La ecuación (3) se emplea como condición de frontera para calcular el caudal que descargan las compuertas radiales parcialmente abiertas, cuya descarga es ahogada.

Formulación de ^{Bijankhan et al. (2013)}

^{Ferro (2000)}, con base en el análisis dimensional, propone una expresión para calcular el caudal que descarga una compuerta vertical plana; después, ^{Shahrokhnia y Javan (2006)} extienden el citado estudio a compuertas radiales; posteriormente, ^{Bijankhan et al. (2013)} emplean el mismo enfoque y utilizan los extensos resultados experimentales de ^{Buyalski (1983)}, para proponer varias metodologías para calcular la ley de descarga de compuertas radiales, en condiciones de descarga libre y sumergida.

Los experimentos reportados por ^{Buyalski (1983)} incluyen condiciones tanto para compuertas con descarga libre como sumergida, y se realizaron en un canal de sección rectangular, con ancho de plantilla B= 0.762 m, con una compuerta radial de ancho b=0.711 m y radio R= 0.702 m; la diferencia del ancho B del canal respecto al ancho b de la compuerta, se debe a que en el lado izquierdo del canal se colocó la mitad de una pila. Se utilizaron tres alturas, h, del perno de la compuerta, 0.409, 0.461 y 0.511 m; también se emplearon dos tipos de sellos que se colocan comúnmente en el labio inferior de la compuerta (Figura 9): uno de ellos consiste en una goma dura y el otro se distingue por tener forma de nota musical; Asimismo, el autor realizó pruebas con el borde agudo (sin sello); y trabajó con nueve combinaciones de montaje, pues para cada una de las condiciones del labio inferior se utilizaron las tres alturas de perno citadas (Tabla 2).

Figura 9: Tipos de sello empleados por ^{Buyalski (1983)}  

Las expresiones propuestas por ^{Bijankhan et al. (2013)} para calcular el caudal que descarga una compuerta radial, con desfogue sumergido, son las siguientes; primero, es necesario calcular el ángulo θ (en radianes), formado entre la horizontal y la tangente al labio inferior de la compuerta (Figura 10); este se obtiene con base en la geometría de las compuertas, con la expresión siguiente:

Figura 10: Características de la descarga libre y sumergida de una compuerta radial 

El coeficiente de contracción adimensional, 𝛿, se calcula con la expresión reportada por ^{Tel (2000)}

En esta ecuación el ángulo θ está en radianes y δ es adimensional.

Con base en el análisis dimensional, ^{Bijankhan et al. (2013)} proponen la ecuación siguiente para calcular el gasto

Los valores de los parámetros α₀ y b₁ de la ecuación (6) se reportan en la Tabla 3; la variable K, en m, se define como:

En la expresión anterior, b es el ancho de la compuerta, en m; g, es la constante de la aceleración, en m⁄s² ; y Q, el caudal, en m³⁄s. Después de sustituir la expresión (7) en la (6) se puede despejar el gasto que descarga la compuerta.

^{Bijankhan et al. (2013)} definen la llamada función de Reducción de caudal, ∅(Π), de la ecuación (6), si la descarga es sumergida:

Los valores de los parámetros α, β, y b₂, de la ecuación (8) se reportan en la Tabla 3.

En el caso de que la compuerta funcione hidráulicamente con descarga libre, y se presente un salto hidráulico claro, el tirante conjugado menor es el de la vena contracta (y₂=δw, Figura 10); el correspondiente tirante conjugado mayor, y_3t, permite establecer un límite, que al ser excedido da lugar a que la descarga de la compuerta se ahogue. ^{Lin et al. (2002)} proponen calcular el tirante y_3t con la expresión siguiente:

El tirante y_3t se compara con el tirante y₃, que es el que se obtiene del cálculo del remanso producido por las alcantarillas. En el caso de que las compuertas radiales estén parcialmente abiertas, el tirante 𝑦 3 cambia únicamente en función del caudal; la expresión que relaciona el caudal con el nivel de la superficie libre del agua (H_A), en la entrada de las alcantarillas, y hace que las compuertas radiales funcionen con descarga ahogada, se obtiene con la ecuación (3); por ello, para calcular el tirante 𝑦 3 , primero se emplea la ecuación (3), para calcular H_A, y al resultado se le resta la elevación de la plantilla del canal.

La ecuación (8) es válida cuando se cumple que y₃>y_3t (Figura 10); en el caso particular de que y₃=y_3t, entonces la función de reducción de caudal, ecuación (8), es igual a la unidad, y se tienen condiciones de descarga libre de la compuerta (salto hidráulico claro). En ^{Jiménez (2017)} se presenta un estudio en el que se emplea el mismo tipo de fórmula adimensional para el caso de compuertas radiales con descarga libre. En el caso de que la compuerta esté parcialmente abierta y la descarga sea libre, el tirante y₃ sería menor que y_3t, y ya no sería válida la ecuación (8).

Valores de los parámetros

Las compuertas que se estudian en este trabajo no tienen ningún sello en el labio inferior; por ello, los parámetros a emplear deben ser los obtenidos de las series de pruebas G - 7, G - 8 y G - 9, cuyos valores se reportan en la Tabla 3. Estos parámetros fueron calibrados y verificardos por ^{Bijankhan et al. (2013)}, con base en las mediciones de ^{Buyalski (1983)}. Existe la incertidumbre respecto a la validez de estos parámetros para otras dimensiones de las compuertas.

Al observar la Tabla 3, con excepción de 𝛼, los valores son aproximadamente constantes para cada parámetro; por ello, se decidió emplear los valores medios de los parámetros, los cuales son: a-0=0.785, b-1=0.429, b-2=0.2153, β-=0.819 y α-=5.528.

Metodología de cálculo

Al inspeccionar el modelo numérico propuesto por ^{Bijankhan et al. (2013)}, se nota que una manera de resolver las ecuaciones (6), (7) y (8), consiste en emplear el método numérico conocido como de punto fijo, (^{Burden y Faires, 2011}), es decir, se requiere emplear un proceso iterativo.

A continuación se propone una metodología que incluye la aplicación del método numérico. Los datos son: altura del perno de la compuerta, h=0.105 m; radio de la compuerta, R=0.12 m; ancho de cada compuerta, b=0.10 m; aceleración de la gravedad, g=9.79 m/s² (para la Ciudad de México). Los cálculos se desarrollan para dos aberturas de las compuertas, w={0.016 m,0.033 m}. Las variables a calcular son: el caudal Q que descargan las compuertas, en m³/s; el tirante y₁ aguas arriba de las compuertas, en m; y el tirante y₃ aguas abajo de las compuertas, con el que se ahoga la descarga. La metodología es la siguiente:

En la Tabla 4 se presentan las iteraciones para la abertura w=0.016 m con el tirante y₁=0.15 m. En este caso, con 6 iteraciones, los caudales son iguales con ocho cifras significativas. En la tercera iteración, el error absoluto es menor que 0.1 %.

En la Figura 11 se presentan las curvas elevaciones - caudales calculadas con las dos aberturas propuestas de las compuertas y los valores medidos en el laboratorio.

Figura 11: Leyes de descarga calculadas con los parámetros a-0, b-1, b-2, β- y α-  

Calibración y verificación del modelo numérico

Al comparar los valores que forman las curvas de descarga calculadas con el modelo numérico, con las mediciones obtenidas en laboratorio, se nota que para la misma elevación, el caudal calculado es menor que el medido (del orden de -11 %), para ambas aberturas de las compuertas; esto indica la necesidad de calibrar y verificar el modelo numérico de ^{Bijankhan et al. (2013)}. Para ello, se propone modificar el valor del parámetro 𝛼, pues este es el que más varía. Así, se realizó un análisis de sensibilidad proponiendo distintos valores para el parámetro α={4, 3.5, 3}, los resultados indican que para una misma elevación, el caudal aumenta conforme el valor de 𝛼 disminuye. Por prueba y error se llegó a que con el valor α=3.3, se logra una adecuada concordancia con las mediciones (Figura 12); en esta misma figura se incluye la curva del funcionamiento con las compuertas abiertas y los valores medidos. En la Tabla 5 se reportan los resultados obtenidos del modelo numérico con ambas aberturas.

Figura 12: Leyes de descarga calculadas con los parámetros a-0, b-1, b-2, β- y α=3.3 

Análisis de confiabilidad

Se calcularon los errores relativos con la expresión siguiente:

En las Tablas 6a y 6b se presentan los errores calculados. Se observa que el error obtenido para las pruebas no supera 5 %, con excepción del caudal Q=0.00405 m³/s, con w=0.033 m, que es de 8.4 %.

También se calculó el porcentaje de error absoluto medio, PEAM, con la expresión siguiente:

donde N es el número de datos para cada apertura; para w=0.016 m, se tiene un PEAM de 2.59 % y para w=0.033 m, el PEAM es de 2.92 %; esto permite concluir que la aproximación del modelo numérico calibrado y verificado, tiene una aproximación mayor que 95 %.

Formulación de ^{Abdelhaleem (2016)}

Esta formulación es similar a la propuesta por ^{Bijankhan et al. (2013)}; la principal diferencia consiste en que se incluye un parámetro adimensional, el cual relaciona el ancho B del canal de llegada al tramo de pilas y compuertas, con el ancho total 𝑏 de todas las compuertas colocadas en paralelo. El modelo propuesto es el siguiente:

En este modelo se requieren ajustar cinco parámetros. El autor señala que los valores de los parámetros α₃, b₃, c₃, d₃ y λ deben obtenerse con base en mediciones de laboratorio o de campo para cada caso particular, lo cual es una desventaja. Así, ^{Abdelhaleem (2016)} hizo gran cantidad de mediciones de campo en tres estructuras de control; con esta información calibró los parámetros de la ecuación (10); en la Tabla 7 se reportan los correspondientes valores para cada una de las tres estructuras de control.

Desafortunadamente, los valores de los parámetros obtenidos por ^{Abdelhaleem (2016)} no presentan ninguna tendencia; sin embargo, se propuso emplear el modelo numérico en cuestión, (ecuación (10)), con cada serie de valores reportados en la Tabla 7. En la Figura 13 se incluyen las curvas de descarga calculadas con la abertura w=0.016 m y también los valores medidos en las pruebas experimentales del T - A.

Figura 13: Comparación del modelo numérico (10) con mediciones en el T - A 

Las diferencias entre los valores calculados y medidos son mayores que 50 %; por ello, se consideró que no es factible desarrollar el proceso de calibración y verificación del modelo numérico propuesto por ^{Abdelhaleem (2016)}, en el presente trabajo.