Introducción

El diseño óptimo de la distribución de planta Optimal Design of Plant Layout (ODPL) es un problema ampliamente estudiado que repercute en el incremento de la productividad y disminución de los costos de fabricación de una empresa. En este artículo se muestra una heurística de creación propia, que es eficiente e innovadora, ya que está basada en el uso del problema de transporte modificado (PTM) de la programación lineal, la cual se denomina: Diseño de la distribución de planta basada en el problema de transporte modificado, Layout Design based on the Modified Transportation Problem (LDMTP).

Las aplicaciones usuales de la programación lineal (PL) son el método simplex (MS), el problema de transporte (PT) y el método de asignación (MA). ^{Mejía (2012)} sugiere el uso de algoritmos genéticos para el problema de OPDL, lo cual involucra el uso de lenguajes de programación. No existe ninguna aplicación encontrada hasta ahora del diseño óptimo de la distribución de planta (ODPL) basada en el problema de transporte que se encuentre referenciada en la literatura. Esta es la razón de la innovación que aporta esta heurística.

Para entender cómo se construye una Tabla del problema de transporte se anexa como ejemplo un extracto de la Tabla 8.22 de Hillier & Lieberman en la Figura 1.

La formulación de LDMTP como un problema de transporte se muestra en la Figura 2 , que guarda una analogía con la Figura 1.

La heurística LDMTP se usa para el diseño de layout, emplea criterios de asignación como las rutinas de construcción (CORELAP, ALDEP). La optimización de la heurística se basa en minimizar el costo de manejo de materiales como las rutinas de mejoramiento (CRAFT, COFAD, PLANET, MCRAFT, etcétera). Como combina las características de los dos tipos de rutinas: de construcción y de mejoramiento, esta heurística se puede considerar híbrida, la cual no se ha detectado en la literatura.

Desarrollo

La formulación matemática del diseño óptimo de la distribución de planta que es el objetivo de esta heurística, se describe por ^{Wang et al. (2005)} y ^{John et al. (2013)} como:

La aplicación de la ecuación 1 a condiciones especiales se muestra en las ecuaciones 2, 3 y 4.

Criterio de forma de departamento (ancho y largo)

En este método la relación de forma (Largo L_i /Ancho W_i ) usualmente se ajusta para cumplir con la condición siguiente

Se usan los valores de L_i y W_i obtenidos para calcular un factor de forma sugerido por ^{Bozer et al. (2005)} con la fórmula siguiente

Para una Figura rectangular o cuadrada, la ecuación 6 se puede expresar de la siguiente forma

En caso de que exista un conflicto con la condición de forma y se cumpla la condición de la ecuación 5, pero se rebase el valor de Ω_i de la ecuación 6, predomina la condición de la ecuación 5.

Pasos de la aplicación de la heurística

Los pasos y criterios de asignación y ubicación para los departamentos que integran el layout son los siguientes:

Paso 1. Determinar Fij+

Paso 2. Determinar D₁ = Departamento con mayor área de Fij+. ¿Se puede definir D₁?

Paso 2.1. En caso de no poder determinar claramente D₁ debido a que los dos departamentos que integran Fij+ tengan la misma área, usar los criterios siguientes para tratar de desempatar.

Paso 2.2 . En caso de no poder determinar claramente D₁ debido a que los dos departamentos que integran Fij+ tengan la misma área, usar los criterios siguientes para tratar de desempatar.

Paso 2.3. Asignación: Libre elección (romper empates arbitariamente). Ubicación: dij- (distancia mínima entre departamentos).

Paso 3. El departamento D₁ asignado debe cumplir con los lineamientos de forma sugeridos por las ecuaciones 5, 6 y 7. La longitud del departamento D ₁ debe estar alineada a la longitud del área disponible, ya que esta alineación asegura que la distancia entre departamentos d_ij sea mínima.

Paso 4. Ya asignado D₁, se asigna D₂ (Departamento no asignado en primer lugar de Fij+) usando los mismos lineamientos de forma para alinear D₁.

Paso 5. Los criterios para asignación a partir del tercer departamento son: (k ≥ 3)

Fk+ = Max (F_ik, F_jk) D_k debe estar relacionado con D₁ o D₂ o hasta D_k-1.

Paso 6. Repetir el procedimiento a partir del paso 5 hasta realizar todas las asignaciones de departamentos tomando en cuenta los lineamientos de forma sugeridos por ^{Bozer et al. (2005)}.

Paso 7. Realizar la distribución inicial de la Forma 1 (D₁, D₂, D₃). Determinar el costo total de la primera distribución de planta.

Paso 7.1. Si para el tercer departamento a asignar, se cumple que: D₃ debe estar junto a D₁ y A_D3 = A_D2 = A_D1 , se debe verificar la posibilidad de usar criterios alternativos para asignar el tercer departamento.

Paso 7.2. Reorganizar el layout de la forma siguiente:

Realizar la distribución inicial de la Forma 2 (D₂, D₁, D₃). Determinar el costo de la distribución inicial de la Forma 2 y comparar con la Forma 1. ¿$Forma2 < $Forma1?

Paso 7.3. Hacer todo el análisis posterior con la Forma 2.

Se presenta un compendio de los casos que cumplen con la condición del paso 7.1. (Tabla 1).

73% de los casos (8 de 11) ofreció mejores resultados intercambiando los departamentos, usando D₂, D₁, D₃ en vez de D₁, D₂, D₃ lo cual generó una reducción de 15% ($166,474 - $196,776 / $196,776 × 100) del valor inicial de la primera distribución.

Paso 8. Establecer todos los intercambios válidos entre dos departamentos (^{Nahmias, 1999}) que pueden ser:

Nota: El intercambio que se realizó para generar un nuevo layout, no es un intercambio válido para esa nueva distribución, pero sí para distribuciones siguientes. Por ejemplo, si el intercambio A-B es el origen del 2° layout (no es un intercambio válido para este layout), pero sí puede considerarse un intercambio válido a partir del 3er layout (siempre y cuando se cumpla alguna de las condiciones mencionadas en el paso 8).

Paso 9. Realizar todos los intercambios válidos entre dos departamentos (intercambio de coordenadas: criterio sugerido por CRAFT). Determinar si existe un intercambio que pudiera reducir el costo total de la distribución de planta. ¿Existe un intercambio para el cual el costo del intercambio < costo del origen?

Paso 10. Modificar el layout, recalcular los centroides y determinar el costo del origen del nuevo layout.

Nota: Si un departamento no tiene una forma rectangular o cuadrada, es necesario aplicar las fórmulas para el cálculo de centroides (^{Nahmias, 1999}) mostradas en las ecuaciones 8 y 9.

Paso 11. Repetir los pasos 8 al 10 (de ser necesario).

Ejemplo de aplicación de la Heurística

P1. Conflicto de criterios e intercambio de orden D2, D1, D3 (Problema 6- ^{Chase et al., 2001})

Los datos de P1Forma 1 de la distribución inicial del método LDMTP se muestran en la Tabla 2.

Pasos de la aplicación de la heurística

Los pasos y criterios de asignación y ubicación para los departamentos que integran el layout son los siguientes:

Paso 1. Determinar Fij+

En nuestro caso, P1 Forma 1, Fij+ = 110 (intercambio A-D).

Paso 2. Determinar D₁ = Departamento con mayor área de Fij+. ¿Se puede definir D₁?

En nuestro caso, P1 Forma 1, determinar D1 = Departamento con mayor área de Fij+ (A y D 5000). En nuestro caso no se puede definir D₁.

Paso 2.1. En caso de no poder determinar claramente D₁ debido a que los dos departamentos que integran Fij+ tengan la misma área, usar los criterios siguientes para tratar de desempatar.

En nuestro caso P1 Forma 1, ΣF_A+ = Max (Σ_FA,i, Σ_FA,j ) = Max (180, 0), ΣFD+ = Max (ΣF_D,i, Σ_FD,j ) = Max (150, 150), F⁺ = Max (180, 150) = 180. Se define D₁ = departamento A.

Nota: ΣF (fila A) = 0 + 20 + 50 + 110 = 180 (suma de los valores dentro de los cuadros).

ΣF (columna A) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 Sí. Ir al paso 3.

Paso 2.2 . En caso de no poder determinar claramente D₁ debido a que los dos departamentos que integran F_ij + tengan la misma área, usar los criterios siguientes para tratar de desempatar.

En nuestro caso P1 Forma 1, no aplica.

Paso 2.3. Asignación: Libre elección (romper empates arbitariamente). Ubicación: dij- (distancia mínima entre departamentos). En nuestro caso P1 Forma 1, no aplica.

Paso 3. El departamento D1 asignado debe cumplir con los lineamientos de forma sugeridos por las ecuaciones 5, 6 y 7. La longitud del departamento D1 debe estar alineada a la longitud del área disponible, ya que esta alineación asegura que la distancia entre departamentos d_ij sea mínima.

En nuestro caso P1 Forma 1, el departamento D₁ asignado debe cumplir con los lineamientos de forma sugeridos por las ecuaciones 5, 6 y 7 (Tabla 3 y Figura 3). La longitud del departamento D₁ = A debe estar alineada con la longitud del área disponible, ya que esta alineación asegura que la distancia entre departamentos d_ij sea mínima.

Paso 4. Ya asignado D₁, se asigna D₂ (Departamento no asignado en primer lugar de Fij⁺) usando los mismos lineamientos de forma usados para alinear D₁.

En nuestro caso P1 Forma 1, D₁ = Departamento A, se asigna D₂ = D usando los mismos lineamientos de forma usados para alinear D₁.

Paso 5. Los criterios para asignación a partir del tercer departamento son: (k ≥ 3).

En nuestro caso P1 Forma 1, los criterios para asignación a partir del tercer departamento son que el producto costo-flujo FD3- =Max (F_AC, F_CA, F_DC, F_CD, F_AB, F_BA, F_DB, F_BD ) = Max (50, 0, 0, 30, 20, 0, 0, 10) = 50 que corresponde a F_AC. D₃ debe estar relacionado con D₁(A) o D₂(D). En este caso D₃ = C se debe alinear con A.

Nota: Estos valores se toman de la Tabla 2.

Paso 6. Repetir el procedimiento a partir del paso 5 hasta realizar todas las asignaciones de departamentos tomando en cuenta los lineamientos de forma sugeridos por ^{Bozer et al. (2005)}.

En nuestro caso P1 Forma 1, FD4+ = Max (F_DB, F_BD, F_CB, F_BC ) = Max (0, 10, 0, 20) = 20, que corresponde a F_BC. D₄ está relacionado con D₃ (C). En este caso, el cuarto departamento a asignar es D₄ = B.

Nota: D₄ no puede relacionarse con D₁, ya que está bloqueado por D₂.

Los datos del problema indican que se cuenta con un área de L_T = 300 ft x W_T = 100 ft =30,000 ft²

Se calcula la relación L_T / W_T y de acuerdo con la ecuación 5, Largo L_i / Ancho W_i ≥ L_T / W_T se obtiene lo siguiente:

(+): Los departamentos A y D cumplen con la ecuación 5

(*): Los departamentos C y B se ajustan a la ecuación 6

El layout inicial se muestra en la Figura 3.

Los datos de los centroides (puntos medios) de los departamentos son: A (X _A = 100 y Y_A = 12.5), B (X_B =250, Y_B = 75), C (X_C = 250, Y_C = 25) y D (X_D = 100, Y_D = 37.5)

La construcción del layout inicial Forma 1 se crea de la siguiente manera:

Los centroides de los departamentos A (X_A = 100 y Y_A = 12.5), B (X_B =250, Y_B = 75), C (X_C = 250, Y_C = 25) y D (X_D = 100, Y_D = 37.5), se usan para calcular las distancias entre departamentos de la forma siguiente

La aplicación de la ecuación 10 a los departamentos A, B, C y D es la siguiente:

d_A-B = |X_A - X_B| + |Y_A - Y_B | = |100 - 250| + |12.5 - 75| = |- 150| + |- 62.5| = 212.5, de forma semejante se aplica para conocer las distancias A-C (d_A-C = |100 - 250| + |12.5 - 25| = 162.5)

A-D (d_A-D = |100 - 100| + |12.5 - 37.5| = 25.0), B-C (d_B-C = |250 - 250| + |75 - 25| = 50.0)

B-D (d_B-D = |250 - 100| + |75 - 37.5| = 187.5) y C-D (d_C-D = |250 - 100| + |25 - 37.5| = 162.5).

El costo de la distribución inicial Forma 1 se muestra en la Tabla 4.

El costo de la distribución inicial se obtiene de la forma siguiente: 212.5 * $20 + 162.5 * $50 + 25.0 * $110 + 50 * $20 + 187.5 * $10 + 162.5 * $30 = $22,875.00.

Paso 7. Realizar la distribución inicial de la Forma 1 (D₁, D₂, D₃ ). Determinar el costo total de la primera distribución de planta.

En nuestro caso P1 Forma 1, corresponde a la Figura 3 y el costo total de la primera distribución de planta se muestra en la Tabla 4 ($22,875).

Paso 7.1. Si para el tercer departamento a asignar, se cumple que: D₃ debe estar junto a D₁ y A_D3 = A_D2 = A_D1 , se verifica la posibilidad de usar criterios alternativos para asignar el tercer departamento.

En nuestro caso P1 Forma 1, el tercer departamento a asignar cumple que: D₃(C) debe estar junto a D₁(A) y AD₃ = A_D2 = A_D1 = 5,000, y se debe verificar la posibilidad de usar criterios alternativos para asignar el tercer departamento. Como se cumple, se realiza el intercambio D _2, D₁, D₃. Ir al paso 7.2

A partir de este momento, nuestro caso P1 Forma 1 se transforma en P1 Forma 2.

Paso 7.2. Reorganizar el layout de la forma siguiente:

Realizar la distribución inicial de la Forma 2 (D₂, D₁, D₃).

Determinar el costo de la distribución inicial de la Forma 2 y comparar con la Forma 1. ¿$Forma2 < $Forma1?

En nuestro caso P1 Forma 2, D_1modificado = D_2original = D, D_2modificado = D_1original = A y D_3modificado = D_3original = C.

Realizar la distribución inicial de la Forma 2 (D₂, D₁, D₃), ver Tabla 5 y Figura 4.

Se calcula la relación y de acuerdo con LTWT=300100=3 y de acuerdo con la ecuación 5, Largo LiAncho Wi ≥ LTWT se obtiene lo siguiente:

(+): Los departamentos A, B, C y D cumplen con la ecuación 5.

El layout inicial de la Forma 2 se muestra en la Figura 4.

Los datos de los centroides (puntos medios) de los departamentos son: A (X_A = 100 y Y_A = 37.5), B (X_B =100, Y_B = 87.5), C (X_C = 100, Y_C = 62.5) y D (X_D = 100, Y_D = 12.5)

La construcción del layout inicial Forma 2 se muestra de la siguiente manera:

Con los datos de los centroides de los departamentos A (X_A = 100 y Y_A = 37.5), B (X_B =250, Y_B = 87.5), C (X_C = 100, Y_C = 62.5) y D (X_D = 100, Y_D = 12.5), se calculan las distancias entre departamentos con la ecuación 10.

La aplicación de la ecuación 10 a los departamentos A, B, C y D es la siguiente:

d_A-B = |X_A - X_B| + |Y_A - Y_B | = |100 - 100| + |37.5 - 87.5| = | 0 | + |- 50| = 50.0, de forma semejante se aplica para conocer las distancias A-C (d_A-C = |100 - 100| + |37.5 - 62.5| = 25.0)

A-D (d_A-D = |100 - 100| + |37.5 - 12.5| = 25.0), B-C (d_B-C = 100 - 100| + |87.5 - 62.5| = 25.0)

B-D (d_B-D = |100 - 100| + |87.5 - 12.5| = 75.0) y C-D (d_C-D = |100 - 100| + |62.5 - 12.5| = 50.0).

La distribución inicial con intercambio de departamentos (D₂, D₁, D₃) se muestra en la Tabla 6.

El costo de la distribución inicial se obtiene de la forma siguiente: 50 * $20 + 25.0 * $50 + 25.0 * $110 + 25 * $20 + 75 * $10 + 50 * $30 = $7,750.00

En nuestro caso P1 Forma 2, se determina el costo de la distribución inicial de la Forma 2 ($7,750) y se compara con la Forma 1. ¿$Forma2 < $Forma1? ($7,750 < $22,875). La respuesta es sí. Ir al paso 7.3.

Paso 7.3 Hacer todo el análisis posterior con la Forma 2.

Paso 8. Establecer todos los intercambios válidos entre dos departamentos (^{Nahmias, 1999}) que pueden ser:

Nota: El intercambio que se realizó para generar un nuevo layout, no es un intercambio válido para esa nueva distribución, pero sí para distribuciones siguientes. Por ejemplo, si el intercambio A-B es el origen del 2° layout (no es un intercambio válido para este layout), pero sí puede considerarse un intercambio válido a partir del 3er layout (siempre y cuando se cumpla alguna de las condiciones mencionadas en el paso 8).

En nuestro caso P1 Forma 2, establece todos los intercambios válidos entre dos departamentos, de acuerdo con la Figura 4 , que son A-B, A-D y B-C (inciso a, tienen una frontera en común); A-B, B-D y C-D (inciso b, tienen la misma área, aunque no sean contiguos).

Paso 9. Realizar todos los intercambios válidos entre dos departamentos (intercambio de coordenadas: criterio sugerido por CRAFT). Determinar si existe un intercambio que pudiera reducir el costo total de la distribución de planta. ¿Existe un intercambio para el cual el costo del intercambio < costo del origen?

En nuestro caso P1 Forma 2, se realizan los intercambios válidos: A-B, A-C, A-D, B-C, B-D y C-D. Las diferencias se calculan de la forma siguiente: (A-B) = $12,750.00 - $7,750.00 (Origen) = $5,000.00, de forma semejante se obtienen las diferencias A-C ($9,750 - $7,750 = $2,000), A-D ($8,500 - $7,750 = $750), B-C ($9,000 - $7,750 = $ 1,250), B-D ($9,750 - $7,750 = $2,000.00) y C-D ($8,250 - $7,750 = $500). Los resultados de los costos obtenidos de los intercambios válidos se muestran en la Tabla 7.

Nota: Como todos los intercambios son mayores que el origen (> $7,750), esto significa que este es el layout óptimo y, por lo tanto, no se aplican los pasos 10 y 11.

Paso 10. Modificar el layout, recalcular los centroides y determinar el costo del origen del nuevo layout.

Nota: Si un departamento no tiene una forma rectangular o cuadrada, es necesario aplicar las fórmulas para el cálculo de centroides (^{Nahmias, 1999}) mostradas en la ecuaciones 8 y 9.

En nuestro caso P1 Forma 2, no aplica.

Paso 11. Repetir los pasos 8 al 10 (de ser necesario).

En nuestro caso P1 Forma 2, no aplica.

Prueba de normalidad y test de prueba estadístico

El test de prueba estadístico empleado para validar los resultados obtenidos, depende de la aplicación de la prueba de la normalidad llamada prueba de Anderson Darling (^{Kvam y Vidakovic, 2007}), para los cálculos se empleó el “Menú Estadísticas básicas Prueba de normalidad Anderson-Darling” de MINITAB 17. Las hipótesis son:

H₀: Los datos se ajustan a una distribución normal.

H_a: Los datos no se ajustan a una distribución normal.

Criterio de decisión

La hipótesis nula (H₀) se rechaza con un nivel de significancia α si A²* > 0.752 (α=0.05) y si P < 0.05 ( ^{Anholeto 2007}). Si se acepta H₀ se aplica el test “t de muestras dependientes”, si se rechaza H₀, se usa la “Prueba Z de los rangos con signo” ( ^{Weimer, 1996}), Figura 5.

Prueba de los rangos con signo

H₀: LDMTP da peores resultados o ambos métodos dan igual resultado (μ_LDMTP - μ_CRAFT ≥ 0).

H_a: LDMTP da mejores resultados (μ_LDMTP - μ_CRAFT < 0).

Criterio de decisión: Si Z ≥ Z_α se rechaza H_O y como α = 0.05, se convierte en Z ≥ Z_0.05 (Z ≥ 1.645 valor obtenido de Tabla de distribución normal).

La prueba de los rangos con signo de Wilcoxon para el valor final de costo (MFFC) se realizó calculando las diferencias de MFFC (LDMTP-CRAFT) y usando el software estadístico MINTAB 17 con la prueba Estadísticas No paramétricos de “Wilcoxon de 1 muestra” y se observa el procedimiento de cálculo en las Figuras 6 a 10(7, 8, 9).

El análisis de las Figuras 6 a 10 muestra los resultados siguientes:

Nota: Para asignar la posición relativa se excluyen los ceros (0's), n = 50 - 12 = 38.

Las fórmulas y resultados de la Prueba de los Rangos con signo se muestran a continuación:

S = Suma de rangos = T⁺ + T^- = 741.0

Como Z > Z_0.05 (5.2716 > 1.6450) se rechaza Ho y se acepta Ha, es decir, que LDMTP produce menores valores finales de costo (MFFC) que CRAFT.

Conclusiones

La novedad que aporta esta heurística es que hasta ahora no se ha encontrado en la literatura ninguna aplicación del diseño óptimo de la distribución de planta (ODPL) basada en el problema de transporte. El proceso de establecer la asignación inicial de la heurística LDMTP no es un asunto subjetivo, debido a que la elección del mejor orden de asignación de los departamentos que conforman la distribución inicial sigue una serie de pasos y tiene hasta 4 diferentes criterios de desempate, lo cual favorece que se elija el arreglo de departamentos que puede aportar la mayor contribución a la reducción del costo total de la distribución

La heurística LDMTP ha demostrado que es eficiente para resolver OPDL, debido a que este es un método selectivo capaz de distinguir el mejor orden de asignación de todos los departamentos que conforman el layout, incluyendo criterios de forma (largo y ancho) para cada departamento asignado. Esta información se ve claramente reflejada con los resultados obtenidos para el análisis de 50 casos referenciados en la literatura, para el valor final que se expresa mediante las sumas de las características donde LDMTP obtuvo un valor final de 16.90% menor que con CRAFT.

Estadísticamente se demuestra mediante el uso de la “Prueba Z de los rangos con signo” que el método LDMTP es mejor que CRAFT, que arrojó el resultado siguiente, Valor final Z > Z_0.05 (5.2716 > 1.6450), lo que significa que LDMTP es más eficiente y produce menores valores de costo (MFFC) que CRAFT.