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Computación y Sistemas

On-line version ISSN 2007-9737Print version ISSN 1405-5546

Comp. y Sist. vol.25 n.4 Ciudad de México Oct./Dec. 2021  Epub Feb 28, 2022

https://doi.org/10.13053/cys-25-4-3778 

Articles

Ayudas de diseño para trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas: Parte 2

Design Aids for Beams of Rectangular Cross Section with Parabolic Haunches: Part 2

Rosa Margarita Luévanos Soto1 

Arnulfo Luévanos Rojas1  * 

Sandra López Chavarría1 

Manuel Medina Elizondo1 

1 Universidad Autónoma de Coahuila, Instituto de Investigaciones Multidisciplinaria, México, luevanos_94@hotmail.com, arnulfol_2007@hotmail.com, sandylopez5@hotmail.com, drmanuelmedina@yahoo.com.mx

Resumen:

En este trabajo se presentan las ayudas de diseño más utilizadas para vigas de sección rectangular con cartelas parabólicas. La viga se encuentra sujeta a una carga concentrada localizada en cualquier parte de la viga, y toma en cuenta las deformaciones por flexión y cortante para obtener los factores de momentos de empotramiento, que es la principal aportación de este trabajo de investigación. La primera parte de este trabajo presenta las ayudas de diseño para el mismo tipo de vigas para obtener los factores de transporte o arrastre, los factores de rigidez, y los factores de momentos de empotramiento se obtienen para una carga uniformemente distribuida. Las variables y las simplificaciones son las mismas que en la parte 1. Además, se muestra un ejemplo numérico utilizando las ayudas de diseño, y se compara con las ecuaciones previamente descritas por los autores en un artículo anterior a este documento, y los resultados son iguales con una aproximación de tres dígitos. Por lo tanto, las ayudas de diseño proporcionan una gran herramienta de ayuda para los ingenieros estructurales por el gran ahorro de tiempo.

Palabras clave: Ayudas de diseño; vigas rectangulares; cartelas parabólicas; carga concentrada; factores para momentos de empotramiento

Abstract:

In this paper, the most used design aids for beams of rectangular section with parabolic haunches are presented. The beam is found subjected to concentrated load localized anywhere on the beam, and takes into account the bending and shear deformations to obtain the fixed-end moments factors, which is the main contribution of this research work. The first part of this work presents the design aids for the same type of beams to obtain the carry-over factors, the stiffness factors, and the fixed-end moments factors are obtained for a uniformly distributed load. The variables and the simplifications are the same as in the part 1. Also, a numerical example is shown using the design aids, and it is compared with the equations previously presented by the authors in a paper prior to this document, and the results are equal to a three-digit approximation. Therefore, design aids provide a great tool of help for structural engineers by the greatly time-savings.

Keywords: Design aids; rectangular berms; parabolic haunches; concentrated load; fixed-end moments factors

1. Introducción

Las trabes con cartelas o acartelamientos se definen como elementos estructurales que varían en sección transversal en los extremos de la conexión con las columnas con el fin de reducir las deflexiones y momentos positivos cuando los negativos aumentan.

Una trabe con cartelas se utiliza básicamente por dos razones:

  1. Arquitectura: Cuando la arquitectura de la estructura lo demanda como iglesias y capillas.

  2. Estructural: Cuando la construcción tiene grandes claros y cargas elevadas, con el fin de reducir deflexiones y momentos positivos, y consecuentemente aumentar los momentos negativos que aparecen en los extremos de la trabe.

En algunas ocasiones, para el cálculo de las trabes se presentan, que los esfuerzos a soportar en su unión con la columna son considerables. Para absorber estos esfuerzos, bastaría con aumentar la sección de acero de refuerzo en estas zonas peligrosas. Pero esto no siempre es económico y se utiliza otra solución: la trabe con cartelas en sus extremos para obtener un aumento en la sección de concreto (mayor canto efectivo o peralte efectivo), y así, el brazo de palanca de las varillas de acero de refuerzo aumentan.

Las ayudas de diseño se representan por medio de tablas y gráficas que describen procedimientos con los que se pretende acortar el trabajo rutinario de los diseños estructurales.

Los trabajos más relevantes sobre el tema de ayudas de diseño para el análisis estructural se muestran en la parte 1 [1-17]. Otros trabajos para secciones variables (miembros no prismáticos) se presentan en la parte 1 [18-21].

Los principales trabajos sobre el tema de vigas de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas se muestran en la parte 1 [22-25].

Por lo tanto, la revisión de la literatura muestra claramente que no existe una relación cercana con el tema de ayudas de diseño para trabes de sección rectangular con cartelas parabólicas sometidas a una carga concentrada ubicada en cualquier parte de la trabe para obtener los factores de momentos de empotramiento que es abordado en este trabajo. Este trabajo presenta las ayudas de diseño para trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas sometidas a una carga concentrada localizada en cualquier parte de la trabe para obtener los factores de momentos de empotramiento, que es el aporte de esta investigación. Las ayudas de diseño se desarrollan utilizando las ecuaciones descritas anteriormente [25]. Las simplificaciones son las mismas como en la parte 1. También, un ejemplo se presenta para mostrar la simplicidad y efectividad de las ayudas de diseño propuestas en este documento para trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas sometidas a una carga concentrada.

2. Ayudas de diseño

La Figura 1 de la parte 1 muestra una viga isométrica de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas en cada extremo.

Fig. 1 Factores de momentos de empotramiento para carga concentrada (c = 0.0L) 

Las ayudas de diseño para trabes de sección rectangular con cartelas parabólicas consisten en obtener los factores de momentos de empotramiento para una carga concentrada localizada en cualquier parte de la longitud de la trabe mediante diagramas simplificados a partir de las ecuaciones propuestas por Sandoval-Rivas et al. [25].

Las simplificaciones realizadas son las siguientes: u = s porque esta es la más utilizada por las formas arquitectónicas (estética), h = 0.1L que propone el código del ACI [26] para controlar las deflexiones.

Las ecuaciones de momentos de empotramiento para carga concentrada se obtienen a partir de las ecuaciones (15 y 16) para el caso 1 (cuando la carga P se localiza de 0 ≤ x ≤ a) [25]:

MAB=f22θA1−f12θB1f122−f11f22, (1)

MBA=f12θA1−f11θB1f122−f11f22, (2)

donde: “MAB” y “MBA” son los momentos de empotramiento en sus respectivos apoyos; “f11”, “f22” y “f12” son los coeficientes de flexibilidades; “ƟA1” y “ƟB1” son las rotaciones en cada apoyo, cuando la carga concentrada se ubica sobre la cartela izquierda (apoyo A).

Las ecuaciones de momentos de empotramiento para carga concentrada se obtienen a partir de las ecuaciones (17 y 18) para el caso 2 (cuando la carga P se encuentra de a ≤ x ≤ L – c) [25]:

MAB=f22θA2−f12θB2f122−f11f22, (3)

MBA=f12θA2−f11θB2f122−f11f22, (4)

donde: “ƟA2” y “ƟB2” son las rotaciones en cada apoyo, cuando la carga concentrada se encuentra en la parte central (sección constante).

Las ecuaciones de momentos de empotramiento para carga concentrada se obtienen a partir de las ecuaciones (19 y 20) para el caso 3 (cuando la carga P se ubica de L – c ≤ x ≤ L), [25]:

MAB=f22θA3−f12θB3f122−f11f22, (5)

MBA=f12θA3−f11θB3f122−f11f22, (6)

donde: “ƟA3” y “ƟB3” son las rotaciones en cada apoyo, cuando la carga concentrada se localiza sobre la cartela derecha (apoyo B).

Las ecuaciones para obtener “f11”, “f22” y “f12” se muestran en las ecuaciones (10, 11 y 12), respectivamente [24]. Las ecuaciones para encontrar “ƟA1” y “ƟB1”, “ƟA2” y “ƟB2”, “ƟA3” y “ƟB3” se presentan en las ecuaciones (9 a 14), respectivamente [25].

Sustituyendo las ecuaciones de los coeficientes de flexibilidades y las rotaciones en las ecuaciones (1 a 6) se obtienen los factores de momentos de empotramiento como sigue:

MAB=mABPL, (7)

MBA=mBAPL, (8)

donde: “mAB” y “mBA” son los factores de momentos de empotramiento, “P” es la carga concentrada y “L” es la longitud de la trabe.

Los factores de momentos de empotramiento “mAB” y “mBA” se presentan en función de E (módulo de elasticidad), G (módulo de cortante), ν (coeficiente de Poisson), a (longitud horizontal de la cartela parabólica izquierda), b (ancho de la viga), c (longitud horizontal de la cartela parabólica derecha), L (longitud de la trabe), u (altura de la cartela parabólica izquierda), s (altura de la cartela parabólica derecha), h (altura de la trabe en la parte central), e (el punto de ubicación de la carga a partir del apoyo A).

Las ayudas de diseño para factores de momentos de empotramiento se obtienen a partir de las ecuaciones (7 y 8) tomando en cuenta u = s = ζh (ζ toma valores de 0.5, 1.0, 1.5, 2.0); a = λL (λ toma valores de 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0); c = 𝜅L (𝜅 toma valores de 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9); h = 0.1L;τ = e/L (τ toma cualquier valor de 0 a 1); ν = 0.20 para concreto [25]. Para c = 0L se considera u = ζh; s = 0.

Las ayudas de diseño para factores de momento de empotramiento para carga concentrada se obtienen como sigue:

  1. El material y las propiedades geométricas de la viga se definen (c = 𝜅L, h = 0.1L, ν = 0.20, u = s = ζh, a = λL), y para c = 0L se considera u = ζh y s = 0.

  2. Sustituyendo cada valor de λ y 𝜅 en las ecuaciones (1, 3 y 5) para obtener mAB y en las ecuaciones (2, 4 y 6) para obtener mBA. Estas gráficas se muestran en función de τ. La manera de generar estas graficas es como sigue:

    • 2.1. En las ecuaciones (1 y 2) se fijan los valores de λ y 𝜅, cuando la carga concentrada se ubica sobre la cartela izquierda (apoyo A). En las ecuaciones (3 y 4) se fijan los valores de λ y 𝜅, cuando la carga concentrada se encuentra en la parte central. En las ecuaciones (5 y 6) se fijan los valores de λ y 𝜅, cuando la carga concentrada se ubica sobre la cartela derecha (apoyo B).

    • 2.2. Las gráficas de las ecuaciones (1 y 2) toman los valores de 0 a λ (cartelas parabólica izquierda), las ecuaciones (3 y 4) toman los valores de λ a 1 − 𝜅 (parte central), las ecuaciones (5 y 6) toman los valores de 1−𝜅 a 1 (cartelas parabólica derecha).

  3. Las ecuaciones simplificadas se obtienen utilizando el software Derive.

  4. Ahora, las gráficas se obtienen usando el software Maple.

Todos los diagramas simplificados se muestran en función de τ para obtener los factores de momentos de empotramiento (mAB y mBA).

La Figura 1 muestra las gráficas para a = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9 y 1.0) L y c = 0.0L.

La Figura 2 presenta las gráficas para a = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9) L y c =0.1L. La Figura 3 muestra las gráficas para a = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7 y 0.8) L y c = 0.2L.

Fig. 2 Factores de momentos de empotramiento para carga concentrada (c = 0.1L) 

Fig. 3 Factores de momentos de empotramiento para carga concentrada (c = 0.2L) 

La Figura 4 presenta las gráficas para a = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6 y 0.7) L y c = 0.3L.

Fig. 4 Factores de momentos de empotramiento para carga concentrada (c = 0.3L) 

La Figura 5 muestra las gráficas para a = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 y 0.6) L y c = 0.4L.

Fig. 5 Factores de momentos de empotramiento para carga concentrada (c = 0.4L) 

La Figura 6 presenta las gráficas para a = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5) L y c = 0.5L.

Fig. 6 Factores de momentos de empotramiento para carga concentrada (c = 0.5L) 

3. Aplicación de las ayudas de diseño

La Figura 7 muestra una trabe continua para un puente carretero sobre cuatro apoyos de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas en los apoyos internos. Los datos constantes para la trabe continua son: ν = 0.20 para concreto, G = 5E/12, w = 15 kN/m, b = 0.70 m. La Figura 6 de la parte 1 presenta las tres trabes separadas y los momentos de empotramiento en sus extremos para carga uniformemente distribuida (carga muerta) en cada apoyo. La Figura 8 muestra la posición crítica de las cargas vivas para la trabe central por separado del puente carretero y sus momentos de empotramiento para carga concentrada (carga viva) en cada soporte; estas cargas vivas se obtienen de las especificaciones para el diseño de puentes por el AASHTO (American Association of State and Highway Transportation Officials) [27].

Fig. 7 Trabe continua de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas 

Fig. 8 Tres trabes individuales 

Los momentos finales se obtienen usando las ayudas de diseño de la parte 1 para carga uniformemente distribuida y las ayudas de diseño para cargas concentradas propuestas en este documento, y la solución se obtiene por los métodos matriciales.

Nota: la distancia horizontal de las cartelas se consideran de 3.5 m, porque generalmente los puntos de inflexión se ubican a 1/4 de la longitud de la trabe a partir de los apoyos.

Los datos de la trabe A-B son: Para la carga muerta (carga uniformemente distribuida), todos los factores son los mismos como se muestran en la parte 1: Los factores de momentos de empotramiento son mAB = 0.069 y mBA = 0.115, y los momentos de empotramiento son MFAB = 202.86 kN-m y MFBA = 338.10 kN-m. Los factores de transporte son CAB = 0.656 y CBA = 0.468. Los factores de rigidez son: kAB = 4.31 y kBA = 6.05, y las rigideces absolutas son: KAB = 4.31EI/L y KBA = 6.05EI/L.

Los datos de la trabe B-C son: Para la carga muerta (carga uniformemente distribuida), todos los factores son los mismos como se muestran en la parte 1: Los factores de momentos de empotramiento son mBC = 0.098 y mCB = 0.098, y los momentos de empotramiento son MFBC = 288.12 kN-m y MFCB = 288.12 kN-m. Los factores de transporte son CBC = 0.626 y CCB = 0.626. Los factores de rigidez son: kBC = 6.93 y kCB = 6.93, y las rigideces absolutas son: KBC = 6.93EI/L y KCB = 6.93EI/L. Ahora, los datos para la carga viva (carga concentrada) son: a = 3.50 m; c = 3.50 m; h = 1.40 m; u = 1.40 m; s = 1.40 m; L = 14.00 m; P1 = 35 kN ubicada en e = 1.97 m (τ = 0.14); P2 = 145 kN localizada en e = 6.27 m (τ = 0.45); P3 = 145 kN ubicada en e = 10.57 m (τ = 0.76). Ahora, para aplicar las ayudas de diseño se usan los siguientes valores: a = 0.25L; c = 0.25L; ζ = u/h = 1.00; P1 = 35 kN y τ = 0.14; P2 = 145 kN y τ = 0.45; P3 = 145 kN y τ = 0.76.

La gráfica que se muestra en la Figura 3(b) para a = 0.2L (λ = 0.2) y c = 0.2L (𝜅 = 0.2), y en la Figura 4(b) para a = 0.3L (λ = 0.3) y c = 0.3L (𝜅 = 0.3) se utilizan para obtener los factores por interpolación.

Para P1 = 35 kN y τ = 0.14 con a = 0.2L y c = 0.2L, los factores son: mBC = 0.123 y mCB = 0.011, y con a = 0.3L y c = 0.3L, los factores son: mBC = 0.122 y mCB = 0.012. Los factores de momentos de empotramiento en ambos extremos por interpolación para a = 0.25L y c = 0.25L son mBC = 0.1225 y mCB = 0.0115, y los momentos de empotramiento son MFBC = 60.02 kN-m y MFCB = 5.64 kN-m.

Para P2 = 145 kN y τ = 0.45 con a = 0.2L y c = 0.2L, los factores son: mBC = 0.163 y mCB = 0.126, y con a = 0.3L y c = 0.3L, los factores son: mBC = 0.173 y mCB = 0.132. Los factores de momentos de empotramiento en ambos extremos por interpolación para a = 0.25L y c = 0.25L son mBC = 0.168 y mCB = 0.129, y los momentos de empotramiento son MFBC = 341.04 kN-m y MFCB = 261.87 kN-m.

Para P3 = 145 kN y τ = 0.76 con a = 0.2L y c = 0.2L, los factores son: mBC = 0.038 y mCB = 0.172, y con a = 0.3L y c = 0.3L, los factores son: mBC = 0.037 y mCB = 0.179. Los factores de momentos de empotramiento en ambos extremos por interpolación para a = 0.25L y c = 0.25L son mBC = 0.0375 y mCB = 0.1755, y los momentos de empotramiento son MFBC = 76.12 kN-m y MFCB = 356.26 kN-m.

Los momentos de empotramiento totales para la carga viva son: MFBC = 477.18 kN-m y MFCB = 623.77 kN-m. Ahora, los momentos de empotramiento de carga muerta más carga viva son: MFBC = 765.30 kN-m y MFCB = 911.89 kN-m.

Los datos de la trabe C-D son: Para la carga muerta (carga uniformemente distribuida), todos los factores son los mismos como se muestran en la parte 1: Los factores de momentos de empotramiento son: mCD = 0.115 y mDC = 0.069, y los momentos de empotramiento son: MFCD = 338.10 kN-m y MFDC = 202.86 kN-m. Los factores de transporte son: CCD = 0.468 y CDC = 0.656. Los factores de rigidez son: kCD = 6.05 y kDC = 4.31, y las rigideces absolutas son: KCD = 6.05EI/L y KDC = 4.31EI/L.

Las matrices de rigidez para cada trabe de la parte 1 son:

KAB=[4.312.832.836.05]EIL,KBC=[6.934.554.556.93]EIL,KCD=[6.052.832.834.31]EIL.

La matriz general de rigidez “KG” de la parte 1 es:

KG=[4.312.83002.8312.984.55004.5512.982.83002.834.31]EIL.

Los momentos de empotramiento para las trabes (etapa 1) son:

[MABMBA]=[+202.86−33.10];[MBCMCB]=[+765.30−911.89];[MCDMDC]=[+338.10−202.86].

El vector de los momentos efectivos que actúan sobre la trabe continua es:

[MAMBMCMD]=[−202.86+338.10−765.30+911.89−338.10+202.86]=[−202.86−427.20+573.79+202.86].

La ecuación de Fuerza-desplazamiento es:

[P]=[K][d],

donde: [P] es el vector de los momentos efectivos que actúan sobre la trabe continua, [K] es la matriz general de rigidez, [d] es el vector de desplazamientos o rotaciones.

[−202.86−427.20+573.79+202.86]=[4.312.83002.8312.984.55004.5512.982.83002.834.31]EIL[θAθBθCθD].

La solución del sistema es:

[θAθBθCθD]=[−13.4404−51.2127+60.5665+7.2986]LEI.

Los momentos de empotramiento para las trabes (etapa 2) son:

[MABMBA]=[k11ABk12ABk21ABk22AB][θAθB],[MABMBA]=[4.312.832.836.05]EIL[−13.4404−51.2127]LEI=[−202.86−347.87],[MBCMCB]=[k11BCk12BCk21BCk22BC][θBθC],[MBCMCB]=[6.934.554.556.93]EIL[−51.2127+60.5665]LEI=[−79.33+186.71],[MCDMDC]=[k11CDk12CDk21CDk22CD][θCθD],[MCDMDC]=[6.052.832.834.31]EIL[+60.5665+7.2986]LEI=[+387.08+202.86].

Los momentos que resultan de la suma de la etapa 1 y 2 (momentos finales que actúan sobre los extremos de cada trabe) son:

[MABMBA]=[+202.86−338.10]+[−202.86−347.87]=[0−685.97],[MBCMCB]=[+765.30−911.89]+[−79.33+186.71]=[+685.97−725.18],[MCDMDC]=[+338.10−202.86]+[+387.08+202.86]=[+725.180].

Por lo tanto, estos momentos finales son los momentos para el diseño de las trabes.

4. Resultados

Las Figuras 1 a 6 (ver Apéndice) muestran los factores de momentos de empotramiento (mAB y mBA) en función de “τ” (posición de la carga concentrada “P” a partir del apoyo A de la trabe.

La Figura 1 muestra las gráficas para los factores de momentos de empotramiento (mAB y mBA) sometida a una carga concentrada para c = 0.0L. Las gráficas muestran lo siguiente:

  • 1.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mAB” se presenta en la Figura 1(d) (λ = 0.6, 𝜅 = 0, ζ = 2.00 y τ = 0.46) de 0.288.

  • 2.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mBA” se presenta en la Figura 1(a) (λ = 0.1, 𝜅 = 0, ζ = 0.50 y τ = 0.68) de 0.143.

La Figura 2 muestra las gráficas para los factores de momentos de empotramiento (mAB y mBA) sometida a una carga concentrada para 0.1L. Las gráficas muestran lo siguiente:

  • 1.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mAB” se presenta en la Figura 2(d) (λ = 0.6, 𝜅 = 0.1, ζ = 2.00 y τ = 0.43) de 0.273.

  • 2.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mBA” se presenta en la Figura 2(d) (λ = 0.1, 𝜅 = 0.1, ζ = 2.00 y τ = 0.67) de 0.174.

  • 3.- Los factores de empotramiento (mAB y mBA) son iguales en la Figura 2 (λ = 0.1, 𝜅 = 0.1, ζ = 0.50, 1.00, 1.50, 2.00 en τ = 0.50). Esto es, porque la trabe es simétrica en carga y en geometría, es decir, la carga concentrada se ubica en el centro de la trabe.

La Figura 3 muestra las gráficas para los factores de momentos de empotramiento (mAB y mBA) sometida a una carga concentrada para 0.2L. Las gráficas muestran lo siguiente:

  • 1.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mAB” se presenta en la Figura 3(d) (λ = 0.6, 𝜅 = 0.2, ζ = 2.00 y τ = 0.43) de 0.257.

  • 2.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mBA” se presenta en la Figura 3(d) (λ = 0.1, 𝜅 = 0.2, ζ = 2.00 y τ = 0.67) de 0.208.

  • 3.- Los factores de empotramiento (mAB y mBA) son iguales en la Figura 3 (λ = 0.2, 𝜅 = 0.2, ζ = 0.50, 1.00, 1.50, 2.00 en τ = 0.50). Esto es, porque la trabe es simétrica en carga y en geometría, es decir, la carga concentrada se ubica en el centro de la trabe.

La Figura 4 muestra las gráficas para los factores de momentos de empotramiento (mAB y mBA) sometida a una carga concentrada para 0.3L. Las gráficas muestran lo siguiente:

  • 1.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mAB” se presenta en la Figura 4(d) (λ = 0.6, 𝜅 = 0.3, ζ = 2.00 y τ = 0.40) de 0.245.

  • 2.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mBA” se presenta en la Figura 4(d) (λ = 0.1, 𝜅 = 0.3, ζ = 2.00 y τ = 0.65) de 0.236.

  • 3.- Los factores de empotramiento (mAB y mBA) son iguales en la Figura 4 (λ = 0.3, 𝜅 = 0.3, ζ = 0.50, 1.00, 1.50, 2.00 en τ = 0.50). Esto es, porque la trabe es simétrica en carga y en geometría, es decir, la carga concentrada se ubica en el centro de la trabe.

La Figura 5 muestra las gráficas para los factores de momentos de empotramiento (mAB y mBA) sometida a una carga concentrada para 0.4L. Las gráficas muestran lo siguiente:

  • 1.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mAB” se presenta en la Figura 5(d) (λ = 0.5, 𝜅 = 0.4, ζ = 2.00 y τ = 0.37) de 0.235.

  • 2.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mBA” se presenta en la Figura 5(d) (λ = 0.1, 𝜅 = 0.4, ζ = 2.00 y τ = 0.62) de 0.258.

  • 3.- Los factores de empotramiento (mAB y mBA) son iguales en la Figura 4 (λ = 0.4, 𝜅 = 0.4, ζ = 0.50, 1.00, 1.50, 2.00 en τ = 0.50). Esto es, porque la trabe es simétrica en carga y en geometría, es decir, la carga concentrada se ubica en el centro de la trabe.

La Figura 6 muestra las gráficas para los factores de momentos de empotramiento (mAB y mBA) sometida a una carga concentrada para 0.5L. Las gráficas muestran lo siguiente:

  • 1.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mAB” se presenta en la Figura 6(d) (λ = 0.5, 𝜅 = 0.5, ζ = 2.00 y τ = 0.36) de 0.228.

  • 2.- El valor máximo para los factores de empotramiento “mBA” se presenta en la Figura 6(d) (λ = 0.1, 𝜅 = 0.5, ζ = 2.00 y τ = 0.58) de 0.270.

  • 3.- Los factores de empotramiento (mAB y mBA) son iguales en la Figura 6 (λ = 0.5, 𝜅 = 0.5, ζ = 0.50, 1.00, 1.50, 2.00 en τ = 0.50). Esto es, porque la trabe es simétrica en carga y en geometría, es decir, la carga concentrada se ubica en el centro de la trabe.

Ahora, los factores para momentos de empotramiento del ejemplo numérico por ayudas de diseño se comparó con las ecuaciones de Sandoval-Rivas et al. [25]. Estos valores son los mismos con una aproximación de 3 dígitos. Por lo tanto, el grado de rapidez para obtener estos factores por medio de las ayudas de diseño no se compara con las ecuaciones, porque las 6 ecuaciones son muy complejas y se debe de usar algún software para obtener los valores.

5. Conclusiones

Este trabajo muestra las ayudas de diseño más utilizadas para trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas con altura variable en los extremos de la trabe sometidas a una carga concentrada localizada en cualquier parte de la longitud de la trabe que toma en cuenta las deformaciones por flexión y cortante para obtener los factores de momentos de empotramiento.

Los coeficientes de momentos de empotramiento (mAB y mBA) toman en cuenta u = s = ζh (ζ = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0); a = λL (λ = 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0); c = 𝜅L (𝜅 = 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9); h = 0.1L;τ = e/L (τ = 0 a 1); ν = 0.20 para concreto. Para c = 0L se considera u = ζh; s = 0.

Los coeficientes para momentos de empotramiento (ayudas de diseño) presentadas en este trabajo son precisas, eficientes y reducen el problema para diseñar una trabe de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas en sus extremos.

El propósito de este documento es brindar a los ingenieros en el ejercicio profesional, alguna forma de reducir el tiempo de diseño requerido para los proyectos, sin dejar de cumplir con el código ACI (American Concrete Institute) [26]. Aquí, la carga concentrada podría ser la carga rodante para puentes carreteros y ferroviarios (carga viva).

Un ejemplo numérico se presenta para demostrar la validez, la aplicabilidad, la sencillez y efectividad de las ayudas de diseño propuestas en el análisis de trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas sometidas a una carga concentrada localizada en cualquier parte de la trabe.

Los estudios futuros se pueden realizar sobre los coeficientes de trabes para los siguientes casos: desarrollar las gráficas para los factores de momentos de empotramiento para una carga concentrada, para otras secciones transversales como “T” o “I”, y para cartelas rectas o parabólicas.

Agradecimientos

La investigación descrita en este trabajo fue financiada por el Instituto de Investigaciones Multidisciplinarias de la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Autónoma de Coahuila. Los autores también agradecen a los revisores y al editor por los comentarios y sugerencias para mejorar la presentación. El estudiante de Maestría Rosa Margarita Luévanos Soto (CVU: 1028583) agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo económico.

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Recibido: 09 de Octubre de 2020; Aprobado: 01 de Julio de 2021

* Autor para correspondencia: Arnulfo Luévanos Rojas, e-mail: arnulfol_2007@hotmail.com

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