1. Introducción

Las trabes con cartelas parabólicas o rectas de concreto reforzado se han empleado en diferentes tipos de estructuras como edificios y puentes. Las trabes con cartelas (vigas no prismáticas) cuentan con las siguientes ventajas sobre las vigas prismáticas: a) La rigidez aumenta, b) Los desplazamientos relativos se reducen, c) El concreto y el acero de refuerzo se usan de manera más eficiente, d) Reducen el peso, optimizan la resistencia y la estabilidad, e) Las formas arquitectónicas son más atractivas, f) Facilitan la colocación de instalaciones eléctricas, hidráulicas, aire acondicionado y sanitarias en el edificio.

La práctica común de diseño es proporcionar el refuerzo necesario por flexión en los extremos de las trabes con cartelas (parte superior), extendiéndolo a una distancia igual a la longitud de anclaje y desarrollo requerida para garantizar su momento resistente nominal en los extremos. Por lo tanto, el refuerzo longitudinal es cortado usualmente en la zona de la cartela, dejando a la zona de transición entre la cartela y la sección prismática intermedia con un refuerzo muy inferior. Esta práctica se basa en los diagramas de momentos flexionantes de trabes con cartelas doblemente empotradas ante cargas gravitacionales y vivas, donde los momentos flexionantes se incrementan en los extremos y disminuyen a lo largo del eje longitudinal de la viga [¹]. Esta solución es bien conocida desde hace bastante tiempo.

Los modelos matemáticos de trabes con cartelas han despertado gran interés entre los investigadores de análisis estructural [¹-¹⁵]. Pero estos documentos presentan solamente los factores para momentos de empotramiento, y los factores de transporte y de rigidez empleados en los métodos matriciales de análisis estructural.

Los artículos más importantes para diseño óptimo de trabes rectangulares de concreto reforzado son: Optimización de la forma de los miembros a flexión de concreto reforzado [¹⁶]; Análisis de sensibilidad y curvas de diseño óptimas para el diseño de costo mínimo de trabes de concreto simple y doblemente reforzadas [¹⁷]; Optimización de costos de trabes de concreto simple y doblemente reforzadas con EC2-2001 [¹⁸]; Optimización de costos en edificios de losas planas de concreto reforzado [¹⁹]; Diseño de secciones de trabe, columna y muro de concreto reforzadas óptimamente [²⁰].

Optimización de secciones transversales de pórticos de concreto armado mediante uso de la técnica de programación cuadrática secuencial SQP [²¹]; Optimización de costos de la sección de trabe rectangular doblemente reforzada [²²]; Diseño óptimo de trabes continuas de concreto armado usando redes neuronales [²³]; Experimentación numérica para el diseño óptimo de trabes rectangulares de concreto reforzado para secciones simplemente reforzadas [²⁴]; Diseño óptimo para las trabes de concreto reforzado sometidas a flexión, costo de diseño integral vs resistencia [²⁵]; Optimización para el diseño de trabes de concreto reforzado [²⁶]; Optimización para trabes rectangulares de concreto simplemente reforzadas [²⁷];

Un estudio sobre el diseño estructural de costo optimizado de trabes de concreto reforzado [²⁸]; Optimización para trabes de concreto reforzado rectangulares con ejemplos numéricos [²⁹].

Por lo tanto, la revisión de la literatura muestra claramente que no existe una relación cercana con el tema para el diseño óptimo de trabes de concreto reforzado para secciones rectangulares con cartelas parabólicas que se aborda en este documento.

Este documento muestra un modelo para el diseño óptimo de trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas (Caso general) empleando el criterio de costo mínimo considerando el costo del concreto y el costo del acero de refuerzo, y tomando en cuenta las ecuaciones del reglamento [³⁰] que es la aportación de esta investigación. Dos ejemplos se desarrollan por el modelo propuesto, uno para carga uniformemente distribuida y otro para carga concentrada mostrando la mejor solución para cada caso, y las ventajas de las trabes no prismáticas se presentan sobre las trabes prismáticas, y los dos ejemplos se muestran por medio de experimentos numéricos.

2 Materiales y métodos

La Figura 1 muestra una trabe de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas sometida a dos tipos diferentes de cargas y momentos en sus extremos que resultan del análisis estructural.

Las ecuaciones para obtener las fuerzas cortantes “V_A y V_B”, el momento máximo positivo “M_m”, el momento a una distancia x a partir del apoyo A “M_x”, la distancia de la cartela “L₁”, la distancia de la cartela “L₂”, la distancia donde se presenta M_m “x_m” de los dos tipos de trabes se muestran a continuación:

Carga uniformemente distribuida:

Carga concentrada localizada en cualquier punto de la trabe:

Las ecuaciones presentadas por el reglamento son [³⁰]:

donde: M_u es el momento ultimo factorizado, Ø_f es el factor de reducción de resistencia por flexión y su valor es 0.90, b es la base de la sección rectangular, d es el peralte efectivo, As es el área de acero en tensión, ρ es el porcentaje de acero de refuerzo y se obtiene A_s/bd, β₁ es el factor que relaciona la profundidad del bloque de esfuerzo rectangular equivalente de compresión a la profundidad del eje neutro, f_y es el límite de elasticidad especificado del acero de refuerzo, f’_c es la resistencia a compresión especificada a los 28 dias, M_n es el momento flexionante nominal.

Algunas especificaciones del reglamento mencionan lo siguiente [³⁰]: Por lo menos 1/3 del refuerzo total por tracción en el apoyo proporcionado para resistir momento negativo debe tener una longitud embebida más allá del punto de inflexión, no menor que d, 12d_b o L/16, la que sea mayor.

La Figura 2 muestra el perfil de la trabe para observar las dimensiones y el acero de refuerzo en forma general.

La ecuación del costo total de la trabe con cartelas parabólicas C_t se presenta en función del costo del concreto por unidad de volumen C_c más el costo del acero de refuerzo por unidad de volumen C_s. El costo total de la trabe es:

dónde V_c y V_s son los volúmenes de concreto y acero de refuerzo, respectivamente.

El volumen del acero de refuerzo es:

El volumen de concreto es:

dónde: A_sL1 es el área de acero de refuerzo en la cartela del apoyo A, A_s2 es el área de acero de refuerzo en la parte central, A_Sl2 es el área de acero de refuerzo en la cartela del apoyo B, h_L1

es la altura de la trabe en el apoyo A, h es la altura de la trabe en la parte central, h_L2 es la altura de la trabe en el apoyo B, a es la distancia proporcionada por el reglamento [³⁰] (d, 12d_b o L/16, la que sea mayor) para el apoyo A, c es la distancia proporcionada por el reglamento [³⁰] (d, 12d_b o L/16, la que sea mayor) para el apoyo B.

Las alturas de la trabe en los tres tramos en función de sus peraltes efectivos “d_L1, d y d_L2”, y el recubrimiento “r” se obtienen como sigue:

Ahora, sustituyendo las ecuaciones (26, 27) y (28) en la ecuación (25) se obtiene:

Sustituyendo las ecuaciones (24, 29) en la ecuación (23) se obtiene la ecuación general del costo total:

Sustituyendo α = C_s/C_c → C_s = αC_c en la ecuación (30) y la función objetivo se obtiene como sigue:

Las funciones de restricciones se presentan en forma general como sigue:

Los resultados deben ser no negativos.

El volumen total de la viga V_t se obtiene como sigue:

El peso total de la viga W_t se encuentra de la siguiente manera:

dónde W_s es el peso del acero de refuerzo por unidad de volumen, W_c es el peso del concreto por unidad de volumen.

Sustituyendo 𝜅 = W_s/W_c en la ecuación (41), y el peso total de la viga se presenta como sigue:

3 Experimentos numéricos

En esta sección se presentan dos ejemplos numéricos para validar el modelo propuesto. El ejemplo 1 muestra el diseño de una trabe sometida a una carga uniformemente distribuida. El ejemplo 2 presenta el diseño de una trabe sometida a una carga concentrada. Para ambos ejemplos se usa el software MAPLE-15 para obtener la solución óptima, y también se presentan experimentos numéricos para cada ejemplo fijando ciertos parámetros.

Ejemplo 1. Diseñar una trabe sometida a una carga uniformemente distribuida con cartelas parabólicas. Los datos básicos son: L = 10.00 m, w = 100 kN/m, M_AB = 800 kN-m, M_BA = 1000 kN-m, f´_c = 28 MPa, f_y = 420 MPa y α = 85. De acuerdo con el reglamento se considera r = 4 cm, a = d_L1, c = d_L2.

Sustituyendo L = 10.00 m, w = 100 kN/m, M_AB = 800 kN-m, M_BA = 1000 kN-m para una carga uniformemente distribuida en las ecuaciones (1) a (7) se obtienen: V_A = 480.00 kN, V_B = 520.00 kN, M_x = 480x − 800 − 50x², L₁ = 2.15 m, L₂ = 2.55 m, x_m = 4.80 m, M_m = 352.00 kN-m.

Ahora sustituyendo esta información en las ecuaciones (31) a (39) se obtiene la función objetivo y las funciones de restricciones.

Función objetivo:

Sujeto a:

Los resultados se consideran no negativos. La Tabla 1 muestra los resultados fijando b = 30, 40, 50, 60, 70 cm, y los parámetros libres son: A_sL1, A_s2, A_sL2, d_L1, d, d_L2, ρ_L1, ρ, ρ_L2.

La Tabla 2 muestra los resultados fijando b = 30 cm, y ρ_L1, ρ, ρ_L2 = 0.02125, 0.01500, 0.01000, 0.00500, 0.00333, y los parámetros libres son: A_sL1, A_s2, A_sL2, d_L1, d, d_L2. La Tabla 3 muestra los resultados fijando b = 30, 40, 50, 60, 70 cm, y d_L1 = d = d_L2, y los parámetros libres son: A_sL1, A_s2, A_sL2, ρ_L1, ρ, ρ_L2.

Ejemplo 2. Diseñar una trabe sometida a una carga concentrada con cartelas rectas. Los datos básicos son: L = 10.00 m, P = 600 kN, L_P = 4.00 m, M_AB = 800 kN-m, M_BA = 1000 kN-m, f´_c = 28 MPa, f_y = 420 MPa y α = 85. De acuerdo con el reglamento se considera r = 4 cm, a = d_L1, c = d_L2.

Sustituyendo L = 10.00 m, P = 600 kN, L_P = 4.00 m, M_AB = 800 kN-m, M_BA = 1000 kN-m para una carga concentrada en las ecuaciones (8) a (15) se obtienen: V_A = 340.00 kN, V_B = 260.00 kN, M_x = 340x – 800 para 0 ≤ x ≤ L_P, M_x = 1600 – 260x para L_P ≤ x ≤ L, L₁ = 2.35 m, L₂ = 3.85 m, x_m = 4.00 m, M_m = 560.00 kN-m.

Ahora sustituyendo esta información en las ecuaciones (31) a (39) se obtiene la función objetivo y las funciones de restricciones.

Función objetivo:

Sujeto a:

Los resultados se consideran no negativos. La Tabla 4 muestra los resultados fijando b = 30, 40, 50, 60, 70 cm, y los parámetros libres son: AsL1, As2, AsL2, dL1, d, dL2, ρL1, ρ, ρL2.

La Tabla 5 muestra los resultados fijando b = 30 cm, y ρL1, ρ, ρL2 = 0.02125, 0.01500, 0.01000, 0.00500, 0.00333, y los parámetros libres son: A_sL1, A_s2, A_sL2, d_L1, d, d_L2. La Tabla 6 muestra los resultados fijando b = 30, 40, 50, 60, 70 cm, y d_L1 = d = d_L2, y los parámetros libres son: A_sL1, A_s2, A_sL2, ρ_L1, ρ, ρ_L2.

4 Resultados

Las Tablas 1, 2 y 3 muestran los resultados del ejemplo 1. La Tabla 1 muestra los resultados fijando b = 30, 40, 50, 60, 70 cm. La Tabla 2 muestra los resultados fijando b = 30 cm, y ρ_L1, ρ, ρ_L2 = 0.02125, 0.01500, 0.01000, 0.00500, 0.00333.

La Tabla 3 muestra los resultados fijando b = 30, 40, 50, 60, 70 cm, y d_L1, d, d_L2 son iguales. Para la Tabla 1 se observa que al incrementarse b, se incrementan A_sL1, A_s2, A_sL2, disminuyen d_L1, d, d_L2, ligeramente se incrementan ρ_L1, ρ, ρ_L2, y C_t aumenta.

En la Tabla 2 se muestra que al disminuir ρ_L1, ρ, ρ_L2, las áreas decrecen A_sL1, A_s2, A_sL2, aumentan d_L1, d, d_L2, y C_t decrece hasta 4.07106C_c con ρ_L1 = ρ = ρ_L2 = 0.01000, y posteriormente empieza a incrementarse. Para la Tabla 3 se presenta que al incrementarse b y considerar d_L1, d, d_L2 iguales, se incrementan A_sL1, A_s2, A_sL2, disminuyen d_L1, d, d_L2, ligeramente se incrementan ρ_L1, ρ, ρ_L2, y C_t aumenta.

Las Tablas 4, 5 y 6 se muestran los resultados del ejemplo 2. La Tabla 4 muestra los resultados fijando b = 30, 40, 50, 60, 70 cm.

La Tabla 5 muestra los resultados fijando b = 30 cm, y ρ_L1, ρ, ρ_L2 = 0.02125, 0.01500, 0.01000, 0.00500, 0.00333. La Tabla 6 muestra los resultados fijando b = 30, 40, 50, 60, 70 cm, y d_L1, d, d_L2 son iguales. Para la Tabla 4 se observa que al incrementarse b, se incrementan A_sL1, A_s2, A_sL2, disminuyen d_L1, d, d_L2, ligeramente se incrementan ρ_L1, ρ, ρ_L2, y C_t aumenta. En la Tabla 5 se muestra que al disminuir ρ_L1, ρ, ρ_L2, las áreas decrecen A_sL1, A_s2, A_sL2, aumentan d_L1, d, d_L2, y C_t decrece hasta 4.94734Cc con ρ_L1 = ρ = ρ_L2 = 0.01000, y posteriormente empieza a incrementarse.

Para la Tabla 6 se presenta que al incrementarse b y considerar d_L1, d, d_L2 iguales, se incrementan A_sL1, A_s2, A_sL2, disminuyen d_L1, d, d_L2, ligeramente se incrementan ρ_L1, ρ, ρ_L2, y C_t aumenta.

Ahora, los valores correspondientes se sustituyen en la ecuación (40) para obtener el volumen total de la trabe. Si se considera μ = 3.5 que es la relación del peso del acero de refuerzo al peso del concreto, y se sustituye en la ecuación (42) para encontrar el peso total de la trabe.

Las Tablas 7 y 8 muestran la comparación entre los costos, los volúmenes y los pesos de las trabes no prismáticas y las trabes prismáticas para los dos ejemplos. En la Tabla 7 se observa que las trabes prismáticas tienen un costo total de un 19% mayor con respecto a las trabes no prismáticas, y también las trabes prismáticas tienen un volumen total y peso total de un 21% mayor con respecto a las trabes no prismáticas (ejemplo 1).

En la Tabla 8 se muestra que las trabes prismáticas tienen un costo total de un 17% mayor con respecto a las trabes no prismáticas, y también las trabes prismáticas tienen un volumen total y peso total de un 13% mayor con respecto a las trabes no prismáticas (ejemplo 2).

5 Conclusiones

En el presente trabajo se ha presentado una metodología analítica para evaluar el diseño óptimo para trabes de sección transversal rectangular con cartelas rectas (simétricas o no simétricas).

Esta investigación muestra dos ejemplos prácticos del modelo propuesto. El ejemplo 1 considera una carga uniformemente distribuida w = 100 kN/m sobre la trabe. El ejemplo 2 considera una carga concentrada P = 600 kN aplicada a una distancia L_P = 4.00 m a partir del apoyo A.

Las principales conclusiones son:

1. Para un ancho b menor se presenta el diseño óptimo para ambos modelos (véase Tablas 1 y 4).

2. Las trabes no prismáticas son más económicas con respecto a las vigas prismáticas (véase Tablas 7 y 8).

3. Las trabes no prismáticas tienen menos volumen con respecto a las trabes prismáticas (véase Tablas 7 y 8).

4. Las trabes no prismáticas tienen menos peso con respecto a las trabes prismáticas (véase Tablas 7 y 8).

Por lo tanto, la formulación del modelo propuesto para el diseño óptimo (costo mínimo) debe ser como sigue:

1. Los parámetros conocidos son: Momentos aplicados en los apoyos (M_AB y M_BA) se obtienen a partir de un análisis estructural; Cargas transversales de la trabe (w y/o P, L_P); Longitud total de la trabe (L); Resistencia de los materiales que intervienen en la construcción (f_y y f’_c).

2. Por las ecuaciones (1) a (15) se obtienen V_A, V_B, M_x, L₁, L₂, x_m, M_m para cada tipo de carga. Los parámetros L₁ y L₂ son las distancias de las cartelas y se hacen coincidir con los puntos de inflexión.

3. La función objetivo se obtiene sustituyendo los parámetros L, L₁, L₂, r en la ecuación (31).

4. Las funciones de restricciones se encuentran sustituyendo los parámetros M_AB, M_m, M_BA, Ø_f, f_y, f’_c en las ecuaciones (32 a 39).

5. Si la función objetivo y las restricciones son definidas, se debe fijar el ancho b de la viga de acuerdo al reglamento (ACI 318S-19).