1. Introducción

Una de las principales preocupaciones de la ingeniería estructural es proponer métodos elásticos fiables para modelar satisfactoriamente a los miembros de sección transversal variable, de tal manera que se tenga la certeza en la determinación de los elementos mecánicos, tales como: deformaciones y desplazamientos que permitan diseñar adecuadamente este tipo de miembros.

Las trabes acarteladas de concreto reforzado ofrecen las siguientes ventajas con respecto a las vigas prismáticas: a) Aumentan sustancialmente la rigidez lateral, b) Promover un uso más eficiente del concreto y del acero de refuerzo longitudinal, c) Reducir el peso del edificio, optimizar la resistencia y la estabilidad o para cumplir los requisitos arquitectónicos y funcionales específicos, d) Facilitar la colocación de instalaciones eléctricas, de aire acondicionado y sanitarias en el edificio (lo cual reduce la altura del entrepiso).

Los miembros de sección transversal rectangular sometida a una carga concentrada su principal aplicación se encuentra en las cargas vivas (cargas móviles) de los puentes correspondientes a las cargas concentradas transmitidos por los vehículos a través de sus ruedas hacia la superficie de la carretera en el tablero.

Durante el siglo pasado, entre 1950 y 1960 se desarrollaron varias ayudas de diseño, como las presentadas por Guldan ^[1], y las tablas más populares publicados por Portland Cement Association (PCA) en 1958 "Handbook" ^[2].

Los documentos más relevantes que tratan el tema de los elementos estructurales con sección transversal variable se muestran en la parte 1 ^[3-18].

Los métodos tradicionales toman en cuenta las deformaciones por flexión y las deformaciones por cortante se desprecian ^[19-21].

Este trabajo presenta un modelo matemático para trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas (simétricas o no simétricas) bajo una carga concentrada localizada en cualquier parte de la viga tomando en cuenta las deformaciones por flexión y cortante para obtener los momentos de empotramiento, que es la novedad de esta investigación. Las propiedades de la sección transversal rectangular de la viga varían a lo largo de su eje "x", es decir, el ancho "b" es constante y la altura "h" varía a lo largo de la viga en tres partes diferentes, las partes extremas tienen una variación parabólica, y la parte central es constante. Las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio se utilizan para resolver este tipo de problemas, y las deformaciones en cualquier parte de la viga se encuentran por medio del principio del trabajo virtual mediante la integración exacta para obtener los momentos de empotramiento.

Algunos resultados se obtienen usando el software "Derive". El modelo tradicional considera las deformaciones por flexión solamente. También, una comparación se realiza entre el modelo tradicional y el modelo propuesto para observar las diferencias. Además de la eficacia y la precisión del modelo desarrollado, una ventaja significativa es que los momentos de empotramiento se calculan para cualquier sección transversal rectangular de la viga usando la ecuación matemática presentada en este documento, que es la parte principal de esta investigación.

2. Modelo propuesto

2.1. Momentos de empotramiento para una carga concentrada

La Figura 1 de la parte 1 muestra una viga en elevación y también presenta su sección transversal rectangular tomando en cuenta el ancho "b" es constante y la altura "h_x" varia a lo largo de su eje "x" de forma parabólica en tres partes diferentes.

Fig. 1 Viga doblemente empotrada bajo una carga concentrada ubicada en cualquier parte de la viga: Caso 1 es cuando la carga P se localiza de 0 ≤ x ≤ a. Caso 2 es cuando la carga P se encuentra de a ≤ x ≤ L - c. Caso 3 es cuando la carga P se ubica de L - c ≤ x ≤ L 

En la Figura 1(a) para los casos 1, 2 y 3 (Caso 1: cuando la carga P se localiza de 0 ≤ x ≤ a, Caso 2: cuando la carga P se encuentra de a ≤ x ≤ L -c, Caso 3: cuando la carga P se ubica de L - c ≤ x ≤ L) se muestra la viga "AB" sometida a una carga concentrada localizada en cualquier parte de la viga y empotrada en sus extremos. Los momentos de empotramiento en sus extremos se encuentran mediante la suma de los efectos.

Los momentos se consideran positivos, cuando giran en sentido inverso y negativo cuando giran en sentido horario. En la Figura 1(b) para los tres casos se presenta la misma viga simplemente apoyada en sus extremos bajo la carga aplicada para obtener las rotaciones "Ө_A1" y " Ө_B1" para el caso 1, " Ө_A2" y "Ө_B2" para el caso 2, "Ө_A3" y "Ө_B3" para el caso 3.

Ahora, las rotaciones "f₁₁" y "f₂₁" son causados por un momento unitario aplicado en el soporte "A", según las Figura 1(c), y en cuanto a "f₁₂" y "f₂₂" son causados por el momento unitario aplicado en el soporte "B", esto se observa en las Figura 1(d)^[10-18].

Las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio para la viga son ^[22-24]:

para 0 ≤ x ≤ a:

-f11MAB+f12MBA=ӨA1, (1)

-f21MAB+f22MBA=ӨB1, (2)

para a ≤ x ≤ L - c:

-f11MAB+f12MBA=ӨA2, (3)

-f21MAB+f22MBA=ӨB2, (4)

para L - c ≤ x ≤ L:

-f11MAB+f12MBA=ӨA3, (5)

-f21MAB+f22MBA=ӨB3, (6)

Las vigas de la Figura 1(b) son analizadas para encontrar "Ө_Aj" y "Ө_Bj", donde j toma los valores 1, 2 y 3, el principio del trabajo virtual y tomando en cuenta las deformaciones de flexión y cortante se utiliza para obtener las rotaciones.

Ahora los valores de "Ө_Aj" y "Ө_Bj" para los miembros no prismáticos se encuentran por las siguientes ecuaciones ^[7]:

ӨA=∫0LVxV1GAsxxdx+∫0LMxM1EIzxdx, (7)

ӨB=∫0LVxV2GAsxxdx+∫0LMxM2EIzxdx, (8)

donde E es el módulo de elasticidad, G es el módulo de cortante, V_x y M_x son la fuerza cortante y el momento de la carga real, V₁ y M₁ son la fuerza cortante y el momento debido al momento unitario aplicado en el apoyo "A", V₂ y M₂ son la fuerza cortante y el momento debido al momento unitario aplicado en el apoyo "B" a una distancia "x".

Tabla 1 presenta las ecuaciones de las fuerzas cortantes y los momentos en cualquier parte de la viga sobre el eje "x" son ^[25].

Tabla 1 Fuerzas cortantes y momentos 

Concepto		Ecuaciones
Fuerza cortante	A la izquierda de P	Vx=PL-eL	V1=1L	V2=1L
	A la derecha de P	Vx=-PeL
Momento	A la izquierda de P	Mx=PL-exL	M1=-L-xL	M2=xL
	A la derecha de P	Mx=PeL-xL

Sustituyendo los valores de las Tablas 1 (parte 1 y parte 2) en las ecuaciones (7, 8) para obtener las rotaciones de "Ө_A1", "Ө_B1", "Ө_A2", "Ө_B2", "Ө_A3" y "Ө_B3", estas se muestran de la siguiente manera:

ӨA1=6P5bGL2aL-eh1/2u1/2Atanuh1/2-

aLh1/2u1/2Atana-eu1/2ah1/2-ceh1/2s1/2Atansh1/2-

eL-a-ch-12PbEL2a2L-e3uL-a-ah8h52u32Atanuh12+

c3eh+3s8h52u32Atansh12+ (9)

aLa2h-3ua-eL-a8h52u32Atana-eu12ah12-

a2LL-ea-e28h2a2h+ua-e2+a2eL-a8h2u-c3e8h2s+a2LL-e8h2h+u+

eL-a3-c33h3,

ӨB1=6P5bGL2aL-eh1/2u1/2Atanuh1/2-

aLh1/2u1/2Atana-eu1/2ah1/2-ceh1/2s1/2Atansh1/2-

eL-a-ch+12PbEL2a3L-eh+3u8h5/2u3/2Atanuh1/2+ (10)

c2e3sL-c-ch8h5/2s3/2Atansh1/2-

a2L3ua-e+ah8h5/2u3/2Atana-eu1/2ah1/2-

a2eLa-e28h2a2h+ua-e2-a2eL-a8h2u+c3e8h2s+c2eL8h2h+s+

e2a3-3a2L+2c3-3c2L+L36h3,

ӨA2=6P5bGL2aL-eh1/2u1/2Atanuh1/2-

ceh1/2s1/2Atansh1/2-aL-e-ceh-

12PbEL2a2L-e3uL-a-ah8h5/2u3/2Atanuh1/2+ (11)

c3eh+3s8h5/2s3/2Atansh1/2+a3L-e8h2u+a2LL-e8h2h+u-

c3e8h2s+L-e2a3-3a2L-2e3+3e2L6h3+eL-e3-c33h3,

ӨB2=6P5bGL2aL-eh1/2u1/2Atanuh1/2-

ceh1/2s1/2Atansh1/2-aL-e-ceh+

12PbEL2a3L-eh+3u8h5/2u3/2Atanuh1/2+ (12)

c2e3sL-c-ch8h5/2s3/2Atansh1/2-a3L-e8h2u+c2eL8h2h+s+

c3e8h2s+e2c3-3c2L+2e3-3e2L+L36h3-a3-e3L-e3h3,

Los coeficientes de flexibilidades se muestran en las ecuaciones (10, 11, 12) de la parte 1.

ӨA3=6P5bGL2aL-eh1/2u1/2Atanuh1/2

+cLh1/2s1/2Atanc+e-Ls1/2ch1/2

-ceh1/2s1/2Atansh1/2+L-eL-a-ch

-12PbEL2c3eh+3s8h5/2u3/2Atanuh1/2

-a2L-e3ua-L+ah8h5/2s3/2Atanuh1/2 (13)

-c2L3sc+e-L+ch8h5/2u3/2Atanc+e-Ls1/2ch1/2

+a3L-e8h2u+a2LL-e8h2h+u-c2L-eL-c8h2s

+L-e2a3-3a2L+2c3-3c2L+L36h3

-c2LL-ec+e-L28h2sc+e-L2+c2h,

ӨB3=6P5bGL2aL-eh1/2u1/2Atanuh1/2

+cLh1/2s1/2Atanc+e-Ls1/2ch1/2

-ceh1/2s1/2Atansh1/2+L-eL-a-ch

+12PbEL2a3L-eh+3u8h5/2u3/2Atanuh1/2 (14)

+c2e3sL-c-ch8h5/2s3/2Atansh1/2

-cL3sL-cc+e-L-c2h8h5/2s3/2Atanc+e-Ls1/2ch1/2

-a3L-e8h2u+c2eL8h2h+s+c2L-eL-c8h2s

-L-ea3-L-c33h3-c2eLc+e-L28h2sc+e-L2+c2h.

Caso 1: cuando la carga P se localiza de 0 ≤ x≤ a

La ecuación (9) y las ecuaciones (10, 12) de la parte 1 correspondientes al apoyo "A" se sustituyen en la ecuación (1), y la ecuación (10) y las ecuaciones (11, 12) de la parte 1 correspondientes al apoyo "B" se sustituyen en la ecuación (2). Subsecuentemente, las ecuaciones generadas se resuelven para obtener los valores de "M_AB" y "M_BA". Estas se presentan como sigue:

MAB=f22θA1-f12θB1f122-f11f22, (15)

MBA=f12θA1-f11θB1f122-f11f22, (16)

Caso 2: cuando la carga P se encuentra de a ≤ x ≤ L - c

La ecuación (11) y las ecuaciones (10, 12) de la parte 1 correspondientes al apoyo "A" se sustituyen en la ecuación (3), y la ecuación (12) y las ecuaciones (11, 12) de la parte 1 correspondientes al apoyo "B" se sustituyen en la ecuación (4). Subsecuentemente, las ecuaciones generadas se resuelven para obtener los valores de "M_AB" y "M_BA". Estas se muestran de la siguiente manera:

MAB=f22θA2-f12θB2f122-f11f22, (17)

MBA=f12θA2-f11θB2f122-f11f22, (18)

Caso 3: cuando la carga P se ubica de L - c ≤ x ≤ L

La ecuación (13) y las ecuaciones (10, 12) de la parte 1 correspondientes al apoyo "A" se sustituyen en la ecuación (5), y la ecuación (14) y las ecuaciones (11, 12) de la parte 1 correspondientes al apoyo "B" se sustituyen en la ecuación (6). Subsecuentemente, las ecuaciones generadas se resuelven para obtener los valores de "M_AB" y "M_BA". Estas se presentan como sigue:

MAB=f22θA3-f12θB3f122-f11f22, (19)

MBA=f12θA3-f11θB3f122-f11f22, (20)

3. Validación del modelo propuesto

En las Tablas 2 y 3 se muestran los resultados de los dos modelos para los factores de los momentos de empotramiento (m_AB y m_BA) para una trabe sometida a una carga concentrada ubicada en cualquier lugar de la viga, el modelo propuesto (MP) es el modelo matemático presentado en este documento, donde las deformaciones por flexión y cortante se consideran, y el modelo tradicional (MT) toma en cuenta solo las deformaciones por flexión.

La Tabla 2 presenta los factores para una proporción de h = 0.10L, y la Tabla 3 muestra los factores para una relación de h = 0.20L. Estas comparaciones se realizaron con G = 5E/12 para concreto, a = 0.2L y u/h = 1.0, y para a = 0.5L y u/h = 1.0, debido a que estos valores se presentan en las Tablas de la página 516 del libro de Hibbeler ^[19]. Los resultados que muestran las Tablas de Hibbeler es el modelo tradicional que considera las deformaciones por flexión, y el modelo propuesto toma en cuenta las deformaciones por flexión y cortante.

Otra manera para validar el modelo propuesto es como sigue: Para 0 ≤ x ≤ a se sustituye "u = 0h y s = 0h" o "a = L, c = 0L y u = 0h" en las ecuaciones (15) y (16). Para a ≤ x ≤ L - c se sustituye "a = 0L y c = 0L" o "u = 0h y s = 0h" en las ecuaciones (17) y (18). Para L - c ≤ x ≤ L se sustituye "u = 0h y s = 0h" o "a = 0L, c = L y s = 0h" en las ecuaciones (19) y (20).

Para estas condiciones se desprecian las deformaciones por cortante. Los resultados obtenidos para los tres casos, los momentos de empotramiento son: “ MAB=PeL-e2/L2 ” y “ MBA=Pe2L-e/L2 ” . Los valores presentados anteriormente corresponden a una sección transversal constante.

Una manera de validar la continuidad de la sección transversal es la siguiente: la carga se coloca sobre los puntos "x = a" y "x = L - c" y usando las ecuaciones correspondientes se obtienen los mismos resultados en los momentos de empotramiento.

Por ejemplo, en las ecuaciones (15, 17) se sustituye el valor de "e = a" para obtener "M_AB" y en las ecuaciones (16, 18) para encontrar "M_BA", es decir, la carga concentrada se coloca sobre la unión del primero con el segundo tramo de la viga, y en las ecuaciones (17, 19) se sustituye "e = L -c" para encontrar "M_AB", y también en las ecuaciones (18, 20) para obtener "M_BA", es decir, la carga concentrada se coloca sobre la unión del segundo con el tercer tramo de la viga.

Entonces el modelo propuesto en este documento es válido y no se limita para ciertas dimensiones o proporciones como algunos autores muestran, y también las deformaciones por flexión y cortante son consideradas.

4. Resultados

Tal como se aprecia en las Tablas 2 y 3, los factores en los momentos de empotramiento se vieron influenciados por el volumen de las cartelas en los extremos (volumen de la cartela A es abu/3, y el volumen de la cartela B es cbs/3). A medida que se incrementa el volumen de las cartelas en el extremo "B" se observa un aumento en estos factores para el mismo apoyo y en el extremo "A" que es el apoyo opuesto se produce una disminución, esto es para los dos modelos.

Ahora de acuerdo a la comparación de ambos modelos, cuando el volumen de las cartelas es mayor en un extremo se presenta un factor mayor en los momentos de empotramiento de este apoyo para el modelo tradicional y para el extremo opuesto el mayor es el modelo propuesto.

También se observa que cuando la carga concentrada se encuentra más cerca de alguno de los apoyos la diferencia entre ambos modelos es mayor. Además, cuando las cartelas y las cargas son simétricas no se afectan los momentos de empotramiento para los dos modelos. La mayor diferencia existe para "h = 0.2L", "a = 0.5L", "c = 0.2L", "u = h", "s = 2h" y "e = 0.9L" en el apoyo "A" de 3.46 veces, y para "h = 0.2L", "a = 0.2L", "c = 0.3L", "u = h", "s = 0.4h" y "e = 0.1 L" en el apoyo "B" de 2.26 veces, siendo mayor el modelo propuesto para ambos casos con respecto al modelo tradicional.

5. Conclusiones

En el presente trabajo se ha presentado una metodología analítica para trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas (simétricas o no simétricas) sometidas a una carga concentrada localizada en cualquier parte de la viga tomando en cuenta las deformaciones por flexión y cortante, que ha permitido determinar con precisión los factores para momentos de empotramiento. Las propiedades de la sección transversal de la viga: el ancho "b" es constante y la altura "h" varía a lo largo de la viga en tres partes diferentes, con variación en los tramos extremos de tipo parabólico y el tramo central recto. Las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio se utilizaron para resolver este tipo de problema, y los giros en los extremos de la viga se encontraron por medio del principio del trabajo virtual empleando la integración exacta para obtener los factores para momentos de empotramiento. Los modelos tradicionales consideran únicamente las deformaciones por flexión y otros autores presentan tablas que se encuentran restringidas para ciertas proporciones.

Tal como se aprecia en los resultados, los factores para momentos de empotramiento se vieron influenciados por las deformaciones de cortante. Las diferencias mayores se presentan para claros cortos.

En cualquier tipo de estructura las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes están presentes; por lo tanto, aparecen las deformaciones de flexión y cortante. Entonces, el modelo propuesto que considera las deformaciones por flexión y cortante es más apropiado para el análisis estructural y también se ajusta más a las condiciones reales con respecto al modelo tradicional que toma en cuenta las deformaciones por flexión únicamente.

La aplicación significativa de los momentos de empotramiento y las rigideces de un miembro es en los métodos matriciales de análisis estructural. Los momentos de empotramiento, el factor de transporte y el factor rigidez se utilizan en el método de distribución de momentos (Método de Hardy Cross).

Además, una ventaja significativa es que se pueden generar un gran número de Tablas para diferentes valores de "G", "e" y proporciones de "a/L", "c/L", "h/L", "u/h" y "s/h" con ayuda de algún tipo de software. Las sugerencias para investigaciones futuras: 1) Cuando el miembro presenta otro tipo de sección transversal; 2) Cuando el miembro tiene otro tipo de configuración.