1. Introducción

En México, para el año 2013, el Gobierno Federal designó 5.4 mil millones de pesos en su Presupuesto de Egresos de la Federación para invertirlos en Proyectos de Innovación Tecnológica gestionados por el CONACYT. Muchos de éstos Proyectos terminan con sobrecostos y con subestimaciones. En el primer caso, el de los sobrecostos, el presupuesto sobrante es regresado a la Federación sin posibilidad de reasignación a otros proyectos; y para el caso de las subestimaciones, los proyectos terminan inconclusos y entran nuevamente a concurso para asignarles más recursos. Actualmente no existen estudios que indiquen el porcentaje de proyectos de innovación finalizados como exitosos, dudosos o fracasados en México, sin embargo Garza-Cantú, M. (2010), en la revista Política Digital indica que a nivel mundial los proyectos que finalizan como exitosos oscilan entre el 32% y 40%, y consideran que en México el porcentaje es aún inferior.

Dentro de los Procesos del CONACYT, existe uno cuya función es determinar si los Proyectos de Inversión son aprobados o no, en base a criterios técnicos y económicos. Los pasos en forma general van desde la presentación del Proyecto por parte de los investigadores, la asignación de un grupo especializado de revisores en el área de competencia, la evaluación económica que determina la factibilidad del proyecto en base a lo solicitado en el proyecto. La evaluación final de factibilidad técnica se determina en base a criterios ya establecidos y se realiza un checklist de dichos criterios para calificar el cumplimiento de todos. La evaluación económica solo se limita a revisar si existen los suficientes fondos en las partidas.

2. Planteamiento del problema

Kimms (2001) menciona que un proyecto es un esfuerzo temporal y único que, con un conjunto de recursos, busca satisfacer objetivos específicos en un período de tiempo determinado. La innovación es la creación e implementación de nuevas ideas que den valor al cliente o negocio. Existen varios tipos de innovación de acuerdo a Schumpeter (1934): nuevos productos, nuevos métodos de producción, nuevos mercados, nuevas fuentes de suministro de materias primas u otros insumos, y nuevas estructuras de mercado en una industria.

Un proyecto de Innovación Tecnológica es aquel responsable de la creación e implementación de nuevas ideas tecnológicas que proporcionan un valor para el cliente o negocio.

La planificación eficaz de los Proyectos de Innovación Tecnológica depende de la planificación detallada, anticipándose a los problemas que pueden surgir. Los Problemas de Calendarización de Proyectos de Innovación Tecnológico o Technological Innovation Project Scheduling Problems (TI-PSP) son una variante del Project Scheduling Problems (PSP). El PSP es un nombre genérico que se da a toda una clase de problemas en los que la mejor forma, tiempo, recursos y costos para la programación de proyectos son necesarios.

El problema estudiado en la presente investigación corresponde a un tema de PSP debido a que involucra variables de asignación de recursos a tareas y procesos (computación), y como tal es un problema NP-Completo.

3. Justificación y propósito de la investigación

Actualmente no existen modelos matemáticos para optimizar recursos de los proyectos científicos, por lo que la presente investigación supone un hito en el tema buscando una solución matemática.

Adicionalmente, aunque se probará sobre proyectos de innovación del CONACYT, la investigación servirá de base para cualquier problema industrial que requiera optimizar costos. Por último, servirá para focalizar el uso de los recursos económicos de una forma más real.

El principal aporte social de la investigación será ampliar la cobertura de investigadores del presupuesto asignado al CONACYT y aumentar la finalización de los mismos. Se conseguirá conforme se determine de forma real el presupuesto de cada proyecto, para evitar sobrecostos y subestimaciones de los mismos.

4. Modelo matemático

El modelo matemático que se presenta en esta sección responde a las necesidades del CONACYT para optimizar los costos de los Proyectos de Innovación Tecnológica que les son presentados por los investigadores. El modelo contempla los parámetros generales que se incluyen en cada Proyecto.

Problema tratado en el artículo. El objetivo del artículo es desarrollar y probar un modelo matemático orientado a optimizar los costos de los proyectos de innovación tecnológica.

Cada proyecto incluye: recursos materiales (infraestructura e inmuebles que serán tratados como costos fijos del proyecto), recursos humanos (dedicados al desarrollo de diversas actividades del proyecto dependiendo de sus habilidades y nivel de conocimiento), y las actividades requeridas por el proyecto.

Fig. 1 Proceso de evaluación de Proyectos del CONACYT 

Escenarios. Partiendo de las hipótesis acerca de la optimización de recursos y por ende la minimización de los costos de un proyecto, se presentará una alternativa por instancia para demostrar la forma en la que se debe distribuir las horas y recursos asignados a un Proyecto con el fin de observar el comportamiento que tienen, sin alterar las necesidades del propio Proyecto.

Los escenarios se mostrarán en tablas y gráficas para poder hacer un análisis más preciso de los resultados y obtener interpretaciones del mismo de manera más objetiva y certera.

Elementos del modelo. El modelo matemático del problema de optimización de recursos financieros de proyectos de innovación tecnológica tendrá los siguientes elementos:

Consideraciones del Modelo:

La función objetivo es minimizar el costo del proyecto de innovación tecnológica. En forma general comprende la suma de todos los costos implicados, y cada costo individual se obtiene al multiplicar cada costo de determinada actividad por los costos fijos que emplee y por el tiempo ejercido para cumplir con dicha actividad. Función Objetivo se formula de la siguiente manera (Eq. 1):

(1)

donde C_pi corresponde al costo del proyecto, A_k corresponde a las actividades del proyecto, t corresponde al tiempo de las actividades involucradas en el proyecto, i corresponde al número de proyecto seleccionado para apoyo y p corresponde al proyecto y k corresponde al número de las actividades programadas en el proyecto.

Fig. 2 Planteamiento del problema 

Restricciones del Modelo:

El presupuesto del proyecto B_pi, es el resultado de la suma de los costos de cada una de las actividades más el costo de infraestructura IE del proyecto, en la Eq. 2 se presenta restricción 1:

(2)

donde i corresponde al índice del número de proyecto seleccionado, p_i corresponde al proyecto en cuestión, k corresponde al índice de actividades del proyecto, Ca corresponde al costo por actividad del proyecto e IE corresponde al costo de la infraestructura solicitada en el proyecto P_i.

El costo total del presupuesto asignado a cada proyecto apriori B_d es el estimado del total del fondo CONACYT para proyectos F_T entre el número de solicitudes de proyectos debidamente seleccionados, en la Eq. 3 se presenta restricción 2:

(3)

donde P_i son los proyectos seleccionados y aceptados para apoyo y F_T es el total del presupuesto con que cuenta CONACYT para apoyar a las solicitudes de proyectos, por ejemplo si se tiene un total de 10 proyectos aceptados y un total del presupuesto de 1000 pesos a cada proyecto correspondería (1000/10=100 pesos estimado para cada proyecto). La suma del monto total del presupuesto del proyecto B_pi no debe exceder el costo total del presupuesto asignado B_d o disponible, en la Eq. 4 se presenta restricción 3:

(4)

El costo por actividad de cada proyecto de innovación tecnológica involucra al costo base por trabajador W_w , más el costo adicional de la habilidad de cada trabajador S_qWw, por el tiempo que tarda en realizar la actividad en cuestión t_ak, en la Eq. 5 se presenta restricción 4.

(5)

donde k representa el número de actividades del proyecto, w representa el número de trabajadores implicados en cada actividad y q representa el número de habilidades por cada trabajador.

El tiempo total de desarrollo del proyecto está restringido por los tiempos de convocatoria normalmente son a 12 meses que equivalen a 365 días del año por 8 horas al día dando un total de 2920 horas involucrando sábados y domingos y días festivos. Si se toma un promedio de 20 días laborables por mes, se tendría 240 días laborables, si se multiplica por la jornada de 8 horas al día se tendrían 1920 horas en promedio estimado dedicadas a la elaboración del proyecto.

Entonces por actividad se tendría un tiempo de 1920 entre el número de actividades. Por ejemplo suponiendo que el proyecto tiene 25 actividades de la misma complejidad entonces 1920/25 = 76.8 horas, por cada actividad. A esta cantidad se le restaría el 10% de 76.8 y eso correspondería al tiempo neto invertido en cada actividad.

Entonces dependiendo del número de actividades del proyecto la duración de cada actividad t_ak , en la Eq. 6 se presenta restricción 5:

(6)

El tiempo estimado de conclusión del proyecto T_p se construye con los tiempos de duración del proyecto D_p más un margen de tiempo por actividad Mt, en la Eq. 7 se presenta restricción 6.

(7)

El tiempo de duración del proyecto D_p es la suma de todos los tiempos que dura cada actividad considerada en el proyecto y esta debe ser menor al tiempo en horas laborable H considerado por la empresa para la realización del proyecto, en la Eq. 8 se presenta restricción 7:

(8)

El margen de tiempo por actividad Mt se considera como un margen de tiempo disponible en caso de no concluir la actividad en el tiempo establecido originalmente. Se toma un porcentaje de tiempo del total designado para el proyecto, es decir si el total de horas establecida para el proyecto es H = 1920 y el número de actividades consideradas A_pi es de 25 entonces el tiempo de horas por actividad es de t_ak = 76.8 horas. Considerando un s = 10% de tiempo adicional como margen de Mt tenemos 10*76.8/100 = 7.68 horas, esta cantidad la restamos del t_ak y obtenemos 76.8-7.68 = 69.12 el tiempo dedicado a cada actividad. El porcentaje de tiempo queda a disposición de la empresa con respecto a las actividades del proyecto, en la Eq. 9 se presenta restricción 8.

(9)

El costo estimado de Infraestructura y Equipo solicitado para el proyecto IE se considera como la suma de los costos de los equipos e infraestructura considerados en el proyecto, en la Eq. 10 se presenta restricción 9.

(10)

donde C_Ipi es el costo de infraestructura, el cual puede ser considerado como cero en caso de no ser solicitado, y C_Epi es el costo de equipo requerido para la elaboración del proyecto.

5. Aplicación experimental del modelo y sus resultados

El modelo anterior se implementó en AIMMS. Para ello fue necesario seguir la recomendación de expandir el modelo y disminuir las anidaciones para una mejor comprensión y aplicación. Parte del modelo es desglosado dentro de las mismas premisas manuales para evitar mayores ciclos en el AIMMS y tener de esa manera una aproximación del resultado optimizado. El resto del modelo fue traducido a funciones de AIMMS para completar el diseño y su ejecución.

Se utilizó el modelo del problema de transporte para obtener la distribución óptima de horas laborales y su asignación a los empleados del Proyecto, y con estos resultados se aplicó en un modelo de fórmulas diseñado en Excel los resultados para obtener el costo total de la distribución hecha por AIMMS.

Las instancias fueron diseñadas a partir de datos reales cambiando los nombres de las empresas. Para los datos se emplearon fórmulas de azar en Excel tomando como rangos inferiores y superiores datos reales de los Proyectos de tal manera que no coincidieran para proteger la privacidad de los mismos. Para determinar los rangos se utilizaron como criterios el dato moda inferior y superior de: número de empleados, costo de los Proyectos, costo por hora de los servicios profesionales, sueldos base de los empleados por categoría, horas-hombre requeridas por actividad, costos fijos de cada Proyecto, número de actividades, horas-hombre ofrecidas por trabajador.

Para finalizar con esta etapa de alimentación de datos se contempló para todos los Proyectos un dato fijo de 230 días laborales con disponibilidad de 77 días máximo para cada empleado.

Fig. 3 Diagrama de flujo de proyectos factibles e infactibles 

Variables. El resultado de estas variables depende del valor de los parámetros que se integran a la instancia y del comportamiento que se tenga al evaluar las rutas óptimas.

Conjuntos. Los conjuntos representan las actividades empleadas por cada proyecto y la lista de habilidades de cada trabajador con sus máximos de horas. Es aquí donde se realizan los tres escenarios para observar el comportamiento de optimización del Modelo.

Parámetros. Los parámetros son los datos de entrada que se dan al Modelo en el AIMMS para arrancar las simulaciones de resultados. Estos parámetros, al igual que los conjuntos, son valores fijos:

Datos de Salida.

Distribución óptima de horas que cada trabajador otorgaría a cada actividad del Proyecto para optimizar los costos.

Cada Proyecto presenta una serie de trabajadores requeridos de acuerdo a sus necesidades y las horas que deben contratarse por cada actividad que desempeñen. La combinación es la óptima en busca del menor costo.

Fig. 4 Función principal representada en AIMMS 

Fig. 5 Función matemática - MinimoCosto Proyecto 

Al final se realiza el cálculo del costo total con los datos obtenidos y éste dato alimenta la útima fórmula en las tablas de Excel para el resultado final.

Presentación de resultados. La presentación del resultado se divide en dos secciones: "Datos de Entrada" y "Datos de Salida". La primera contiene los datos con los que se alimenta la instancia a probar provenientes de los datos que el Excel arroja con las fórmulas basificadas en sistemas aleatorios inspirados en datos reales. La segunda sección presenta los resultados de la distrbución de horas y empleados por cada Proyecto, el costo total de acuerdo a la optimización y una gráfica de distribución de las cargas.

Cómputo de resultados. El AIMMS nos proporciona una tabla de resultados del cómputo que realiza por cada instancia. En esos resultados podemos ver el consumo de recursos y tiempo empleado.

Tabla general de resultados. En esta tabla se reflejan las 25 instancias probadas en el Modelo en AIMMS y Excel, presentando una comparación de los datos propuestos por los investigadores y los datos propuestos por el Algoritmo. Al final se presenta un resumen de la optimización general.

Fig. 6 Ejemplo de valores de entrada 

Fig. 7 Ejemplo de horas laboradas de los trabajadores 

Fig. 8 Ejemplo gráfico de las horas de un Proyecto por actividad 

Fig. 9 Salida optimizada de las horas requeridas por trabajador en cada actividad 

Fig. 10 Representación gráfica del resultado optimizado 

Fig. 11 Resultado final del costo total del Proyecto 

Fig. 12 Presentación de los resultados 

Fig. 13 Computación de los resultados 

Fig. 14 Tabla general de resultados 

Fig. 15 Ejemplo de los datos de entrada de un Proyecto 

Ejemplo de una instancia probada. Esta tabla de entrada de datos de una instancia se obtiene mediante fórmulas de Excel basadas en datos reales. Posteriormente sus resultados alimentan el modelo simplificado en AIMMS para optimizar costos.

Estadísticas de comparación. Al final de la experimentación se incluyen las estadísticas de comparación entre lo propuesto por los investigadores y lo propuesto por el algoritmo.

La interpretación de los resultados se ampliará en el siguiente capítulo.

Fórmulas para obtener datos aleatorios. Como se ha mencionado anteriormente, los datos están basados en reales propuestos en los Proyectos, sin embargo para garantizar la privacidad de los mismos se emplearon fórmulas de azar en Excel con rango inferiores y superiores para obtener los datos usados en las instancias de prueba. En los casos donde el rango inferior 0 se debe a que en algunas partidas los empleados no participaban y el costo erogado equivale a 0. Estas son las fórmulas empleadas:

Número de empleados.

ALEATORIO.ENTRE(3,10)

Costo de los Proyectos.

SUMA(i1:iX)

Costo por hora de los servicios profesionales.

ALEATORIO.ENTRE(0,500)

Sueldos base de los empleados por categoría.

ALEATORIO.ENTRE(10000,35000)

Horas-hombre por actividad.

Horas-hombre por actividad.

REDONDEAR.MAS(((ALEATORIO.ENTRE (0 $D$9))/$C$3),0)

Costos fijos de cada Proyecto.

ALEATORIO.ENTRE(100000,350000)

Número de actividades.

ALEATORIO.ENTRE(3,10)

Horas-hombre por trabajador.

ALEATORIO.ENTRE(100,300)

6. Análisis de resultados

Un Proyecto de Innovación Tecnológica del CONACYT contempla una serie de variables que requieren cálculos anidados para poder obtener un resultado óptimo. Los niveles de anidación le suman una mayor complejidad a los cálculos que hacen necesario el uso de cómputo para poder realizarlo. Cada cálculo se basa en multiplicaciones de acuerdo a la profundidad de los niveles que se evaluarán en su conjunto para ir obteniendo el mejor resultado.

Fig. 16 Estadísticas de los resultados propuestos por los Investigadores 

Fig. 17 Estadísticas de los resultados propuestos por el algoritmo 

Fig. 18 Salida en resumen de 5 instancias 

Fig. 19 Estadísticas de los resultados propuestos por los Investigadores 

Fig. 20 Estadísticas de los resultados propuestos por el algoritmo 

Para probar la optimización de los recursos económicos que son asignados al CONACYT para proyectos de innovación se emplearon como base los modelos matemáticos, principalmente el de ruta crítica de transporte para aterrizar el modelo.

El modelo matemático desarrollado ayudará a determinar los costos reales de los proyectos. Se presentan 25 instancias con datos ficticios pero inspirados en datos reales para preservar su privacidad. Los datos de cada instancia fueron ingresados en el modelo en AIMMS y se obtuvo su mejor resultado de acuerdo a una optimización en la combinación de las variables.

La implementación del Modelo y en particular los resultados obtenidos permiten observar de manera clara que se logran eliminar los sobrecostos en la muestra evaluada de Proyectos, al obtener un ahorro total de casi 6 millones de pesos que podrían ser empleados en financiar otros Proyectos.

Partiendo de la muestra se optimiza el 11% de los costos, podríamos tomar como premisa ese valor y trasladarlo a un monto total de $1,500,000,000 que representarían una optimización de $ 165,000,000 para financiar 82 Proyectos adicionales y generar 528 nuevos empleos de investigadores.

Interpretación de los resultados. En la Tabla General de Resultados se observan las instancias en cada línea con el Costo Total propuesto por los Investigadores y por el Algoritmo, y al final una columna con la optimización obtenida en cantidad y porcentaje de cada instancia, y en todos los resultados dieron a favor. Se observa una reducción promedio del 11% en todos los costos, con variaciones particulares que van desde el 3% hasta el 21% recuperado.

Análisis de las estadísticas de los resultados. La optimización de costos de los Proyectos permitirá una reducción total de casi 6 millones de pesos tan solo en esta porción evaluada, permitiendo un financiamiento de 3 Proyectos adicionales que representarían 18 empleos nuevos. Con esto se reduce la cantidad de $5'991,100.50 de sobrecostos en los Proyectos.

7. Conclusiones, contribuciones y futuras investigaciones

El conocimiento es la capacidad de actuar, procesar e interpretar información para generar más conocimiento o dar solución a un determinado problema, y puede ser interpretado y entendido por seres humanos e incluso por máquinas. Este conocimiento se produce principalmente por la investigación, y para ello se requiere financiamiento.

México cuenta con el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) para apoyar financieramente Proyectos de Innovación Tecnológica que tengan un impacto positivo en la sociedad. Sin embargo, como vimos al inicio del artículo, muchos Proyectos terminan sin éxito, o muchos otros no logran ser financiados por falta de recursos del mismo CONACYT, y es precisamente aquí donde se aprecia con mayor claridad la necesidad de optimizar los costos de los Proyectos para abarcar un mayor número de financiamiento.

En el desarrollo del Modelo se observa cómo se logra alcanzar tal optimización de una manera significativa con el fin primordial de contribuir al avance de la generación de conocimiento otorgando recursos económicos a un mayor número de propuestas de investigadores y emprendedores. En definitiva, se requiere dinero para generar conocimiento, y qué mejor que buscar la manera de optimizar los recursos que se tienen para poder cubrir un mayor número de Proyectos innovadores que impacten a nuestra sociedad. La misma optimización no solo representa un mayor número de Proyectos financiados, igualmente representa más empleos para investigadores.

El modelo matemático y las premisas teóricas del artículo no solo se limitan al problema tratado de optimizar costos en Proyectos de Innovación Tecnológica, igualmente puede ser empleado como base y desarrollo para optimizar costos de propuestas, proyectos, estimaciones y cualquier otro recurso económico donde el objetivo sea optimizar (y primordialmente minimizar) costos, ya que es por demás sabido que cualquier reducción de costos se traduce en un mejor rendimiento empresarial.