1. Introducción

La Teoría de Filtrado es el estudio de una variedad de problemas en la estimación de procesos estocásticos. Un ejemplo típico concierne a la estimación de una se nal con ruido aditivo, en esta situación, son de interés las propiedades del proceso estocástico. El propósito del filtrado es estimar el estado de un sistema dinámico el cual es gobernado por perturbaciones aleatorias (ruidos), dando un proceso observado con ruido ¹. El procedimiento paso a paso para la construcción de un filtro es el siguiente. Primero, modelar los estados del sistema y su evolución dinámica más la dinámica de los ruidos y entradas desconocidas. Segundo, analizar el modelo si es lineal o no, si los ruidos son gaussianos o no y la observabilidad del sistema. Tercero, el diseño de un filtro adaptándose al modelo, donde la minimización del error cuadrático medio es el criterio general elegido. Así, en la Teoría de Filtrado Lineal el propósito es producir la mejor estimación que es un funcional lineal de las salidas del Sistema² .

El interés por los problemas de filtrado se debe a su papel central en varios temas de aplicación. Por ejemplo, en la Teoría de Comunicaciones, es común el modelo para una señal enviada en un canal con ruido; la transmisión exitosa de información requiere extraer la señal del ruido . Problemas de Control Estocástico, en el cual un control debe ser elegido con el fin de influir en el comportamiento de la señal, también puede implicar el filtrado, si el control permite depender de observaciones ruidosas o parciales de la señal.

La literatura moderna del filtrado comienza con la contribución de Kalman y Bucy, quienes formularon y resolvieron el modelo para el caso en el cual x(t) es una distribución gaussiana y w(t) es browniano. Su resultado principal prueba que la función de densidad condicional de x(t) es gaussiana y provee un método para calcular la esperanza condicional y la covarianza recursivamente. Para pocos casos es una solución completa y fácilmente construible ⁴. Sin embargo, dos caracterizaciones muy poderosas de filtros óptimos son conocidas y se cumplen en algunas situaciones generales. La primera es una fórmula tipo Bayes, la cual es debida a Kallianpur y Striebel, ésta es válida para ruido browniano con mínimas restricciones. Cuando la señal es markoviana, puede ser caracterizada como la solución de una ecuación diferecial estocástica (Fujisaki, Kallianpur y Kunita). En general, no puede ser encontrada de este resultado porque los coeficientes de la ecuación del filtro involucran estimaciones óptimas para diferentes funciones. Así, es que se requieren ecuaciones adicionales las cuales se necesitan estimar de otras funciones. El sistema resultante de ecuaciones es en general infinito-dimensional ⁵. La formulación más limpia de esta dimensionalidad infinita es la ecuación diferencial parcial estocástica de Zakai, para una versión no normalizada de la función de densidad condicional, asumiendo que esta función de densidad existe.

Finalmente, muchos recientes desarrollos prometen nuevas ideas. V. Benes ha desarrollado ejemplos de problemas de filtrado explícitamente resueltos y Brockett, Clark y Mitter han aplicado técnicas y operadores de Lie al estudio de ecuaciones de densidad condicional . Lo anterior, es una breve descripción de los resultados que constituyen las vetas principales de la Teoría de Filtrado, pero a pesar de su profundidad matemática, ellas permanecen incompletamente desarrolladas^6),(7 .

El artículo está organizado de la siguiente forma. La Sección [secIntro], con el propósito de poner en contexto el trabajo realizado, introduce los trabajos de la Teoría de Filtrado. La Sección [secResul], se dedica íntegramente a la deducción teórica del modelo del estimador estocástico m-dimensional descrito en el Resultado 2.1. Los resultados obtenidos se presentan al final de la sección resaltando el proceso de transformación diagonal del espacio de estados para el filtrado. La Sección 3 presenta una aplicación del estimador para dos señales, verificando su optimalidad. Por último, se concluye con sugerencias para trabajo a futuro.

2. Principales resultados

Dentro del desarrollo de los estimadores es común usar el gradiente para la obtención del modelo de construcción de parámetros; pero al hacer uso de la pseudoinversa la optimización se transforma en una región, la cual está acotada por el grado de exactitud del algoritmo de inversión.

En el caso SISO (Single Input Single Output) esta situación no es observada. Para los casos MISO (Multiple Input Single Output), SIMO (Single Input Multiple Output) y MIMO (Multiple Input Multiple Output), el problema de encontrar una buena convergencia se limita al proceso de Penrose. La problemática principal se encuentra en la elección del vector propio que permita la inversión del vector seleccionado. Se observa que una inversión por pseudoinversa no permite una buena convergencia ⁸.

Para que la estimación no pierda sus propiedades óptimas se propone una transformación que permite el desarrollo de un algoritmo sin pérdida de generalidad. Los principales resultados de la investigación son presentados a continuación.

2.2.Error y funcional de error

En principio, el espacio de estados es una variedad diferenciable y el objetivo es hacer que el error de identificación sea cero. Cada una de las formas de minimizar ese error es un método de implementar los filtros adaptativos. Aquí, se propone minimizar el funcional del error Jk=E{EkEkT} aplicando el gradiente estocástico que proporciona la dirección de máximo descenso en la superficie de error. Esto se establece en los Resultados 2.2 y 2.3.

Resultado 2.2 Sea Ek el error de identificación, definido en forma diagonal como Ek :=Yk-Y~k. El funcional del error Jk está dado de manera recursiva por (4)

Jk=1k2[(k-1)2Jk-1+Ek2]. (4)

Para verificarlo, supóngase que si, Ek :=Yk-Y~k entonces se cumple (5) y si es estacionario se tiene (6).

E{Ek2}=1k2∑i=1kEi2 (5)

=1k2[Ek2+(k-1)2(k-1)2∑i=1k-1Ei2]. (6)

Resultado 2.3 Sea ∇A~k el operador gradiente estocástico respecto a la matriz de parámetros estimada A~k. Entonces ∇A~kJk=0, minimiza el funcional del error y existe una vecindad de convergencia óptima dada por ([eqteo5]) en casi todos los puntos (c.t.p.).

A~kc.t.p.⟶Ak±ϵ. (7)

Para verificarlo, se evalúa el gradiente estocástico con respecto a la matriz de parámetros estimada A~k.

0=∇A~kJk,0=2A~kY~k-12-2Y~k-1AkYk-1-2Y~k-1W~k2,0=A~kY~k-12-Y~k-1AkYk-1-Y~k-1W~k2,A~kY~k-12=Y~k-1AkYk-1+Y~k-1W~k2,A~k=Y~k-1AkYk-1(Y~k-12)-1+Y~k-1W~k2(Y~k-12)-1,A~k∼AkYk-12(Y~k-12)-1+W~k2(Y~k-1)-1∼Ak+W~k2Y~k-1-1.∴A~kc.t.p.⟶Ak±ϵ;      ϵ=W~k2Y~k-1-1.

El principal resultado obtenido en la tesis resuelve este problema, mediante la evaluación de la matriz inversa Mk-1+, con una descomposición de matrices diagonales en forma de Jordan, que sin necesidad del cálculo de los valores propios es posible realizar de forma directa la inversión de la matriz. Y computacionalmente tiene muchas ventajas, ya que su complejidad es de orden lineal, dependiente de la dimensión del espacio de estados, como se muestra en la figura 1.

Fig. 1 Comparación de la complejidad computacional: a) Método de la pseudoinversa, b) Método de descomposición en diagonales 

Finalmente, el resultado de la minimización del funcional del error garantiza la existencia de una vecindad de convergencia óptima, la cual está completamente determinada por ±W~k2Y~k-1-1.

3. Ejemplo de aplicación

Esta sección presenta un ejemplo con m = 2. Donde, las señales observables, yi1k, son números reales aleatorios con una función de distribución normal N(0,1) y el ruido, wi1k, está acotado por [0,0.01] con i∈[1,m]. El sistema para m = 2 está dado por (8). La figura 2, muestra una simulación para m = 2. La señal observable está en azul y la señal estimada en rojo. La señal estimada tiene una buena aproximación en probabilidad con {|aij|}≤1 and σ2{wij}<∞.

Fig. 2 Caso m=2. La señal observable y la identificación de sus componentes. a) Primera componente, y_11k, y^11k, b) Segunda componente, y_21k, y^21k, c) Valores estimados para A^k, d) Grafica 3-dimensional de una superficie representando A^k  

El modelo para el caso m = 2 es escrito como (8), donde Yk,Yk-1,Wk∈R[2×1] y Ak∈R[2×2]:

La forma diagonal para (8) está dada por (10), donde d1=y11k-w11k,d2=y21k-w21k,d3=y21k-w21k,d4=y11k-w11k.

Para el caso m = 2, la figura 2 muestra separadamente cada una de las componentes del sistema. La figura 2a) muestra en azul la primera señal observable, y11k, y en rojo la primera identificación yˆ11k.

La figura 2b) muestra en azul la segunda señal observable, y21k, y en rojo la segunda identificación, yˆ21k. Como se muestra, el estimador es muy preciso, porque mantiene la razón de cambio de cada señal. La figura 2c) muestra los valores estimados para Aˆk. Finalmente, la figura 2d) muestra la superficie correspondiente a cada uno de los datos aˆ11k,aˆ12k,aˆ21k,aˆ22k.

4. Conclusiones y trabajo a futuro

Se consideró un sistema de entradas y salidas acotadas BIBO (Bounded Input Bounded Output) tipo MIMO estacionario de forma rígida; es decir, que toda entrada acotada produce una salida acotada, además la función de distribución del proceso permanece invariante con respecto al tiempo y así sus dos primeros momentos de probabilidad. Dada la respuesta de un sistema tipo caja negra, se propuso un modelo autorregresivo de media móvil de orden uno con una matriz de parámetros desconocidos, con base a esto, se presentó de manera recursiva el estimador matricial de parámetros.

El filtro de estimación se contruyó con base al segundo momento de probabilidad aplicado al modelo de diagonales extendido para describir la matriz de parámetros con la variable instrumental en diagonales. Este tipo de matriz de contribución es óptima en un sentido de probabilidad. Los resultados presentaron una solución sin pérdida de generalidad de las características del modelo de referencia. La técnica de estimación que se usó se basó en el gradiente estocástico junto con la variable instrumental para eficientar su nivel de convergencia.

Se estableció que el estimador es óptimo porque el gradiente estocástico del funcional del error de la señal observable correspondió a la relación descrita por el modelo de estimación mediante el segundo momento de probabilidad. El algoritmo permitió eliminar el cálculo de matrices pseudoinversas que tiene una complejidad computacional de orden no lineal. La propuesta de la matriz diagonal sugirió una menor complejidad que los métodos utilizados tradicionalmente, siendo de orden lineal, O(j) donde j∈N, es la dimensión de la matriz. Los resultados mostraron que es posible reconstruir la señal observable con una buena aproximación en un sentido de probabilidad, basado en la estimación por diagonales.

El método de diagonalización propuesto ha demostrado ser efectivo en resolver problemas de identificación y estimación de parámetros internos en sistemas tipo caja negra. De forma inmediata, se puede utilizar en la estimación de sistemas de redes neuronales artificiales para determinar los pesos de la red de forma dinámica. También, posteriormente será muy interesante aplicarlo como predictor de la evolución de sistemas dinámicos mediante la implementación de un filtrado adaptivo.