Artículos

Bifurcaciones de Hopf: Análisis Cualitativo y Aplicación a un Modelo Bioeconómico de Pesquerías

Hopf Bifurcations: Qualitative Analysis and Application to a Bioeconomic Model of Fisheries

Ma. Luisa Vílchez Lobato¹, Francisco Velasco Morente², Luis González Abril² y Juan Antonio Ortega³

1Departamento de Economía General y Estadística, Universidad de Huelva, España, Plaza de la Merced s/n
2 Departamento de Economía Aplicada I, Universidad de Sevilla, España, Avda, Ramón y Cajal no. 1
3 Departamento de Lenguajes y Sistemas Informáticos, Universidad de Sevilla, España, Avda. Reina Mercedes

E–mail: lobato@uhu.es, velasco@us.es, luisgon@us.es, ortega@lsi.us.es

Artículo recibido en Mayo 05, 2002; aceptado en Abril 18, 2003

Resumen

Realizamos en este trabajo un estudio cualitativo de las trayectorias del sistema dinámico resultante de aplicar el Principio del Máximo de Pontryagin a un problema de control óptimo para la gestión económica de una pesquería. Analizamos la estabilidad de las soluciones de equilibrio estacionario en función de los parámetros del sistema, para posteriormente investigar sobre la existencia de bifurcaciones de codimensión uno. En este sentido, centramos particularmente nuestra atención en la bifurcación de Hopf y en la consiguiente aparición de trayectorias cerradas de tipo ciclo límite. Los resultados obtenidos a nivel teórico son ilustrados empíricamente asignando a los parámetros del sistema las estimaciones realizadas para el caso de la pesquería de "chamelea gallina" del litoral suratlántico español. Los valores de bifurcación se obtienen mediante el uso de los softwares Content y Vensim y se da una descripción del comportamiento cualitativo de las órbitas del sistema en los entornos de los valores de bifurcación.

Palabras clave: Estabilidad, Bifurcaciones, Teorema de Hopf, Ciclo Límite, Control Óptimo.

Abstract

This paper deals with the theory of codimension one bifurcations applied to a dynamical system derived from applying Pontryagin's maximum principle to an optimal control problem for economic fisheries management Changes in the number and/or the stability of stationary states as well as the appearance of closed orbits, are analyzed. Some necessajy and/or sufficient conditions are established for the existence of Hopf bifurcations, according to the biological and economic parameters of the model. We focus our attention on the resulting limit cycles which can be candidates for solutions of the optimal control problem. The method is applied to the South Atlantic "chamelea gallina" fishery. To obtain the bifurcation values, we have made numerical computations by the use of Content and Vensim software. So, we make a qualitative description of the trajectories behaviour around the stationary states.

Keywords: Stability, Bifurcations, Hopf Theorem, Limit Cycle, Optimal Control.

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Agradecimientos

Este trabajo ha sido soportado parcialmente por la ayuda de la Junta de Andalucía (ACC–354–SEJ–2001) (ACC–944–SEJ–2002).

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