Introducción

En el mundo existen 264 millones de ha de plantaciones forestales con 25 % de especies introducidas (^{FAO, 2010}). México ocupaba, hasta 2005, el quinto lugar en América en bosques establecidos mediante plantación o siembra, o ambos, en el proceso de forestación o reforestación (^{INEGI, 2014}); de éstos destaca el uso de especies de crecimiento rápido (^{Overbeerk et al., 2012}). Eucalyptus es el segundo género más utilizado en el país para establecer plantaciones forestales comerciales (PFC) (^{SEMARNAT-CONAFOR, 2014}) con alrededor de 32,452 ha plantadas (^{CONAFOR, 2015}), y E. urophylla es la especie más plantada en climas tropicales (^{CONAFOR, 2012}).

La estimación del volumen y la distribución de productos maderables de bosques naturales y plantaciones es una necesidad en el manejo forestal. Las ecuaciones que describen el perfil del fuste o las funciones de ahusamiento son una opción factible para el cálculo preciso de las dimensiones y volúmenes de cualquier parte del fuste en el árbol (^{Maldonado-Ayala y Návar, 2000}; ^{Cancino, 2006}) o de la distribución de productos (^{Barrero et al., 2013}). Además, son un componente esencial en los sistemas de rendimiento y en la simulación de troceo (^{Gezan et al., 2009}).

Estas funciones describen la tasa de disminución del diámetro en cualquier parte del fuste a medida que se aproxima a la altura total del árbol (^{Prodan et al., 1997}; ^{Torres y Magaña, 2001}) y varían de acuerdo con la especie, edad, tamaño de los árboles, factores asociados al manejo y condiciones de sitio o densidad (^{Cancino, 2006}). También es posible evaluar la influencia de estos factores sobre la producción (^{Barrero et al., 2013}) y proponer actividades de manejo técnico que modifiquen la forma del árbol para conseguir los objetivos planteados en el manejo forestal (^{Sterba, 1980}).

Debido a la dificultad para describir el perfil de un árbol, los modelos se han fundamentado en principios biológicos (^{Rodríguez-Toro et al., 2016}), algunos toman como base la forma de cuerpos geométricos regulares y otros se contruyen con base a la experimentación en función de las medidas referentes de cada individuo sin importar que estén relacionados con un cuerpo geométrico (empíricos), aunque esto no significa que unos sean mejor que otros (^{Cancino, 2006}). Los modelos pueden ser de tipo polinómico, trigonométrico, de exponente variable, segmentados o compatibles con funciones de volumen total (^{Gezan et al., 2009}). Algunas de las técnicas de ajuste más utilizadas son mediante ecuaciones aparentemente no relacionadas (SUR) y máxima verosimilitud con información completa (FIML), porque hacen que los estimadores de los parámetros sean consistentes y asintóticamente eficientes, situación que no sucede con el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO), que ignora los errores en el diámetro a lo largo del fuste. La mayor dificultad en la estimación de cualquiera de ellos se presenta en la base y en la punta del árbol (^{Cancino, 2006}), por lo cual ^{Cruz-Cobos et al. (2008)} modelaron este tipo de información con el enfoque de efectos mixtos.

La forma, distribución de productos y rendimiento de los árboles se deben conocer para planear las actividades de aprovechamiento y extracción de los recursos maderables; además, el eucalipto es una especie de crecimiento rápido y las ecuaciones empleadas deben estar en constante actualización. Por lo tanto, la hipótesis fue que el volumen total y comercial tienen estrecha relación con la forma del árbol, y el objetivo fue desarrollar una función de ahusamiento que permita modelar el perfil fustal de árboles clonales de E. urophylla S. T. Blake establecidos con fines comerciales en Huimanguillo, Tabasco, México.

Materiales y Métodos

Este estudio se realizó con datos obtenidos en predios con plantaciones forestales comerciales de clones de E. urophylla de uno a siete años de edad, establecidas en el municipio de Huimanguillo, Tabasco, México. El clima local es cálido húmedo (Am), con temperatura promedio anual de 26 °C y precipitación media anual de 2,500 mm. La unidad de suelo predominante es de tipo Feozem (^{INEGI, 2005}).

La muestra constó de 93 árboles derribados, de los cuales se obtuvieron 2,133 pares de datos distribuidos a lo largo del fuste. En cada árbol seleccionado por su dominancia dentro del rodal, se midió el diámetro con corteza (d) y la altura (hm) en secciones de 1 m de longitud, iniciando con el diámetro de tocón (dt) y la altura del mismo (ht) hasta llegar a la altura total (H); se incluyó además el diámetro normal (dn).

Los modelos de ahusamiento ajustados al conjunto de datos se seleccionaron de la literatura internacional por su uso exitoso en otros estudios (Cuadro 1). El ajuste de los modelos se realizó con el procedimiento MODEL del programa SAS 9.2 (^{SAS institute Inc., 2008}) y la técnica de máxima verosimilitud (FILM, por sus siglas en inglés). La evaluación y selección del mejor modelo se realizó con base en el mayor valor del coeficiente de determinación ajustado por el número de parámetros (R ² _aj. ) y los menores valores en la Suma de Cuadrados del Error (SCE), Ríaz del Cuadrado Medio del Error (RCME), el Coeficiente de Variación (CV) y el Sesgo (E).

Para facilitar la selección del mejor modelo se usó un criterio jerárquico, para lo cual se integraron los estadísticos de bondad de ajuste (SCE, RCME, R² _aj. , CV y E), y se calificaron (^{Sakici et al., 2008}) con la asignación de valores consecutivos del 1 al 10 en función de su valor para cada uno de los estadísticos empleados, siendo 1 el índice mayor y 10 el menor. Por ejemplo, al modelo con menor valor en la RCME se le asigna el valor 1, mientras que a los siguientes en forma asendente se les calificará con 2, 3, 4…10, según corresponda; este procedimiento se aplica para SCE, CV y E. Para la R²_aj. es a la inversa, y el valor 1 se asigna al modelo con mayor valor en este estadístico. Después, para cada modelo se sumaron los valores de calificación de los estadísticos para obtener un total y el modelo con la menor calificación se seleccionó como el mejor.

La autocorrelación de los errores en los modelos se examinó con la prueba de Durbin-Watson (^{Augusto et al., 2009}). Para corregir los problemas de autocorrelación en el modelo de ahusamiento seleccionado se aplicó un modelo autorregresivo en orden continuo (CAR(X)) (^{Lara, 2011}). El ajuste se realizó con la estructura (^{Zimmerman & Nuñez-Antón, 2001}):

donde Y_ij es el vector de la variable dependiente, X_ij la matriz de las variables independientes, B es el vector de los parámetros a estimar, e_ij es el j-ésimo residuo del árbol i, I_k = 1 para j>k y es 0 para j≤k, pk es el parámetro autoregresivo de orden k a estimar, h _ij -h _ij-k es la distancia que separa la altura de medición j-ésima de la altura de medición j-ésimo-k en cada árbol (h_ij >h_ij-k ) y ε_ij es el error aleatorio (^{Álvarez et al., 2005}; ^{Barrios et al., 2014}).

El número de retardos aplicados en el modelo CAR(X) se definió después de evaluar el estadístico de Durbin-Watson (DW) definiéndose un valor que fuera mayor a 1.5 y cercano a 2 (^{Verbeek, 2004}). De forma análoga, se analizaron gráficamente los residuales para verificar problemas de heterocedasticidad, que de acuerdo a ^{Kozak (1997)}, son los inconvenientes más importantes en este tipo de estudios y que violan los supuestos de la regresión. El volumen total se estimó con la ecuación de ahusamiento seleccionada, mediante la integración del diámetro d a lo largo del fuste con respecto a hm como un sólido en revolución utilizando la expresión siguiente:

donde k=π/4 es la constante volumétrica y ∂hm es el diferencial sobre la altura del fuste, mientras que h₁ y h₂ son las alturas que definen la integral y que pueden variar de h₁ = 0 hasta h₂ = H (altura total). El volumen comercial variable (Vc) se puede estimar con esta misma ecuación, pero definiendo h₂ = h_m.

El modelo de ahusamiento elegido se utilizó para estimar hm a cualquier diámetro comercial de interés, previo despeje de la variable de la expresión matemática usada.

Resultados y Discusión

Todos los valores de los parámetros correspondientes a cada modelo ajustado fueron significativos con una confiabilidad mayor de 95 % y el error estándar aproximado en su mayoría fue bajo, solo con excepción del parámetro β₂ del modelo de Demaerchalk (1) que fue muy alto (Cuadro 2). Los estadísticos de ajuste en los diez modelos de ahusamiento y la calificación final del sistema empleado indican que los modelos Cielito 3 (7) y Polinomial de quinto orden (8) son los más estables estadísticamente (Cuadro 3).

Los modelos Cielito 3 (7) y Polinomial de quinto orden (8) fueron los mejores al aplicar los criterios propuestos por ^{Trincado y Leal (2006)} y ^{Augusto et al. (2009)}, de acuerdo con los valores de R²_aj. , RCME y CV, además del sistema de calificación utilizado por ^{Sakici et al. (2008)} e implementado por ^{Tamarit et al. (2014)}. El ajuste estadístico es semejante a lo encontrado por ^{Lara (2011)} para plantaciones de teca, quien también determinó que un modelo polinomial fue mejor para describir el perfil fustal por los numerosos puntos de inflexión que puede describir.

Las diferencias entre los datos observados y la estimación de los modelos Cielito 3 y Polinomial de quinto orden fueron inferiores al 15 %, que es un porcentaje aceptable en estos estudios de acuerdo a lo reportado por ^{Turribuano y Salinas (1998)} al emplear funciones de ahusamiento en Pseudotsiga mensiensii en Chile; las diferencias ocurren principalmente cerca de las dimensiones del dn y dt. Además, los valores concuerdan con los reportados por ^{Gezan et al. (2009)} al utilizar los modelos simples de ^{Bruce et al. (1968)} y ^{Kozak (1988)} que se ajustaron adecuadamente a la población evaluada. ^{Kozak et al. (1969)} y ^{Kozak (1997)} indican que este tipo de modelos simples presenta sesgos principalmente en la parte basal del árbol y en la estimación del diámetro final para converger en cero. Sin embargo, en estudios con modelos de ahusamiento de tipo segmentado o ajustados bajo el enfoque de efectos mixtos, se redujo este tipo de errores en las partes mencionadas.

El valor de la prueba de DW para las diez funciones utilizadas varió entre 1.15 y 0.54, lo cual muestra que en todos los casos existe presencia de autocorrelación de los errores (^{Institute Inc. Statistical Analysis System, 2008}). Los modelos Cielito 3 y Polinomial de quinto orden, los cuales tuvieron el mejor valor del sistema de calificación y ajuste, se les corrigio el problema de autocorrelación al aplicar un retardo en los residuales (lar1) con la estructura CAR(1). Los valores de bondad de ajuste son adecuados y los parámetros de los modelos finales propuestos son significativos y, además, la corrección generó valores en el estadístico DW de 1.82 y 1.75, respectivamente, lo cual indica que el problema fue corregido (Cuadro 4).

El comportamiento gráfico del ahusamiento estimado con los modelos seleccionados es semejante al reportado por ^{Pompa et al. (2009)}, ^{Pompa-García et al. (2009)} y ^{Tapia y Návar (2011)}, pues se observa la tendencia de disminución del diámetro (d) a medida que la altura (hm) se acerca a la altura total (H) del fuste, por lo cual ambos modelos son adecuados para describir el perfil del árbol de esta especie en los predios estudiados (Figura 1).

El comparativo de valores de diámetro observado versus diámetro predicho, muestra su similitud (Figura 2) y la tendencia es congruente con lo encontrado en valores altos de d por ^{Lara (2011)} al analizar cinco modelos de ahusamiento.

El análisis gráfico de los residuales de los modelos Polinomial de quinto orden y Cielito 3, no indica problemas de heterocedasticidad de la varianza (Figura 3), resultado que coincide a lo reportado por ^{Fassola et al. (2007)} al analizar el modelo de ahusamiento de Bi en E. grandis y ^{Lara (2011)} para Tectona grandis con los modelos de Forslund, González, Kozak, Ormerod y Polinomial de quinto orden.

Al verificar los errores porcentuales de la estimación del ahusamiento a diferentes alturas del fuste en los modelos corregidos, se observa que la desviación de las estimaciones en los dos modelos seleccionados es menor a 12 % en la sección del árbol desde la base hasta el diámetro normal; en el resto, los errores de las predicciones son menores al 2 % (Figura 4). La distribución de los errores porcentuales a lo largo del fuste ocurre de forma semejante a lo reportado por ^{Fassola et al. (2007)}, donde la mayor proporción se encuentra en las partes inferiores a la altura del diámetro normal.

Al considerar los valores menores en la SCE, la RCME y CV, los mayores estadísticos de R²_aj. y DW, además de no presentar problemas aparentes de heterocedasticidad y desviaciones en la estimación, se eligió el modelo Polinomial de quinto orden (modelo 8, Cuadro 1) como el mejor para la descripción del perfil fustal de árboles clonales de E. urophylla en condiciones de plantación.

El modelo seleccionado es confiable en la descripción del perfil del árbol. ^{Lara (2011)} y ^{Orfanó et al. (2006)} encontraron buenos resultados para teca en Brasil al usar diversos tipos de modelos polinomiales, mientras que, en Argentina, ^{Fassola et al. (2007)} y ^{Crechi et al. (2008)} obtuvieron buenos ajustes para E. grandis y Grevillea robusta, respectivamente.

Para estimar la altura comercial a cualquier diámetro de interés del fuste con el modelo propuesto, la ecuación que estima hm presenta en su solución raíces imaginarias que pueden ser reducidas algebraicamente hasta ser eliminadas. Por ello, la solución se obtuvo en dos formas: la primera fue implementando en la herramienta SOLVER del paquete Microsoft Excel una aproximación numérica para alturas a diferentes secciones, donde d = d_c, en la cual el valor de hm es cambiante y da la solución. La expresión utilizada es la siguiente:

donde dn es el diémtro normal, X _i es una aproximación de SOLVER a cero y d_c representa el diámetro comercial establecido.

La segunda forma es la propuesta por ^{Cruz-Cobos et al. (2008)}, que consiste en usar el método iterativo proponiendo una solución parcial y redundante en X. La aproximación al valor buscado es el producto de la multiplicación del valor de dicha solución parcial (X_j ) y la altura total (H), con la cual se define este valor parcial cuando la diferencia absoluta estimada entre una solución previa y la utilizada, sea constante o lo menor posible posterior a la realización de las iteraciones necesarias. La expresión para este modelo es la siguiente:

donde X _j es la aproximación iterativa y solución parcial para hm.

Al verificar en los dos procedimientos la convergencia cuando d = dn, se obtuvo que hm es igual a la altura de 1.3 m y con respecto a H la desviación en promedio es menor al 1 %, situación deseable para estimar la altura a cualquier diámetro establecido o calcular el V _c con las dimensiones dadas.

Para determinar el cambio de forma dendrométrica del fuste en porcentaje con respecto a la altura total, se usaron los valores estimados de los parámetros y la segunda derivada (∂) con respecto a X del modelo polinomial de quinto orden, donde se obtuvo una solución y el valor resultante se sustituyó en la ecuación original para conocer los puntos de inflexión. Se determinó que los árboles de E. urophylla tienen tres puntos de cambio y cuatro formas definidas. Estos puntos ocurren en promedio al 36, 50 y 73 % de la H. Así, el árbol desde el suelo hasta el primer punto de inflexión es de forma neiloide, seguido de una sección con forma cilíndrica y posterior una forma de paraboloide, mientras que la punta tiene una forma de cono.

Para complementar la descripción del perfil del árbol y realizar estimaciones precisas de volumen comercial a diferentes alturas del fuste o determinar la distribución de productos, se obtuvo el modelo de Vc compatible con la función de ahusamiento (15). Este modelo es el resultado de la integración matemática del modelo polinomial de quinto orden con respecto a hm definiendo los límites entre la altura total y la altura del tocón (hm=0) de la expresión (12): Vt=k∫h1h2d2δhm expresada de la forma siguiente:

Una vez integrada esta función y evaluada entre 0 y hm, con simplificación posterior, se tiene que la ecuación de volumen comercial (V _c ) a cualquier altura hm sobre el fuste es:

Al usar esta expresión de volumen comercial, pero definiendo el valor de hm como H, se obtiene el modelo de volumen total de la forma:

El modelo se puede definir como un modelo de forma constante Vt=α×(d2H), donde el parámetro α queda definido de la forma siguiente:

Al sustituir los parámetros estimados del modelo de ahusamiento (8) se obtuvo un modelo de tipo factor de forma constante donde Vt=0.32204×(d2H) (18), que se puede utilizar para la estimación del volumen total en árboles de la especie estudiada en las PFC referidas.

El ajuste de la ecuación de volumen comercial resultante de la integración del modelo polinomial de quinto orden, por si sola, tiende a presentar parámetros no significativos. Sin embargo, la inclusión en un sistema simultáneo de las expresiones (8) y (16) no presenta este inconveniente debido a que se rompe la colinealidad entre sus parámetros. Lo anterior permite estimar de forma confiable el volumen comercial a un diámetro o altura dada; la expresión concuerda con lo obtenido por ^{Orfanó et al. (2006)} y ^{Lara (2011)} para este modelo.

Al ajustar de forma simultánea el sistema compatible de ahusamiento-volumen comercial utilizando la técnica de máxima verosimilitud, se observan problemas de autocorrelación y heterocedasticidad, por lo cual se decidió agregar un retardo (lar(1)) con un modelo de tipo CAR(X) tanto al d como al Vc para corregir el problema, además de ponderar los residuales de este último para reducir el problema heterocedastisidad. ^{Diéguez-Aranda et al. (2009)} señalan que, al estimar todos los parámetros del sistema de manera simultánea, se optimiza la suma de cuadrados de los errores. Con ello se minimizan los errores en la predicción tanto del diámetro a diferentes alturas, como del volumen. Los valores de los parámetros son significativos y los estadísticos del ajuste simultáneo del sistema compatible de ahusamiento y volumen comercial son adecuados (Cuadro 5).

Los estadísticos de ajuste tanto para d como Vc indican una descripción de los datos superior al 96 % y todos sus parámetros son significativos, lo cual indica un buen ajuste estadístico a los datos utilizados. Además, y para corregir la autocorrelación en d, el valor de la prueba de DW fue igual a 1.83, lo cual indica la inexistencia de estos problemas según lo indican ^{Barrios et al. (2014)} al acercarse el valor a 2 en la prueba de Durbin-Watson. Sin embargo, en este tipo de ajustes se deberá examinar de forma gráfica el contraste entre las variables observadas y las predichas.

En la Figura 5 (A y B) se muestra la tendencia de las estimaciones del volumen acumulado (Vc _acumulado) con respecto al d y hm, las cuales son semejantes a las reportadas por ^{Tamarit et al. (2014)} para la estimación con el modelo de V_c . Además, se compararon los datos observados contra los predichos por el modelo (Figura 5C).

Las estimaciones de V _c con la función generada a partir del modelo polinomial de quinto orden son buenas, ya que el sesgo promedio es sólo 4.41 %, aunque puede presentar el inconveniente de que el sesgo aumente y el Vc se sobreestime en árboles con volúmenes comerciales superiores a 0.4 m³, por lo que el rango de aplicabilidad de la función es para individuos que tengan menor volumen que el mencionado.

La ecuación de forma variable derivada del modelo (18) para estimar el volumen total se puede usar de forma confiable. Sin embargo, la expresión compatible ajustada de forma simultánea para calcular el volumen comercial (16) tiene buenos valores estadísticos, pero tiende a presentar sesgos. Además, para modelar el ahusamiento se sugiere utilizar los parámetros obtenidos del ajuste en el modelo polinomial de quinto orden o bien probar en su ajuste la inclusión de efectos aleatorios que permitan evaluar el efecto de la variabilidad de la base genética y el perfil cambiante de los árboles.

Conclusión

La función de perfil del árbol propuesta se puede utilizar para describir el ahusamiento y determinar la altura a cualquier diámetro establecido, lo cual permite estimar la distribución de productos o el volumen comercial en los árboles de las plantaciones forestales comerciales existentes, debido a la estrecha relación de la forma del árbol con la distribución de volumen a lo largo del fuste. Sin embargo, por ser una especie de rápido crecimiento y de constante mejoramiento genético (clones), la actualización continua de este tipo de herramientas silvícolas es esencial para cálculos más precisos en el tiempo de establecimiento, crecimiento y desarrollo de PFC con nuevos clones, ya que el rendimiento volumétrico de los individuos tiene una relación estrecha con la forma y tamaño de los árboles de E. urophylla.