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Agrociencia

versión On-line ISSN 2521-9766versión impresa ISSN 1405-3195

Agrociencia vol.51 no.8 México nov./dic. 2017

 

Fitociencia

Obtención de trayectorias subóptimas de temperatura con el método de Monte Carlo para la maximización de la producción de tomate (Solanum lycopersicum L.) en invernadero

Eduardo Moreno-Ramos1 

América Morales-Díaz1  * 

Antonio Juárez-Maldonado2 

Karim de Alba-Romenus3 

Adalberto Benavides-Mendoza4 

1 Programa de Robótica y Manufactura Avanzada del CINVESTAV Saltillo.

2 Departamento de Botánica. CINVESTAV Saltillo.

3 Departamento de Maquinaria Agrícola. CINVESTAV Saltillo.

4 Departamento Horticultura de la UAAAN, Saltillo. (abmoralesd@gmail.com)

Resumen

El objetivo de este estudio fue obtener una trayectoria subóptima de la temperatura requerida para maximizar la producción de peso fruto (W F )y fruto cosechado (W HF ) de tomate (Solanum lycopersicum L.) mediante el método de Monte Carlo. Así se plantea un problema de optimización dinámica basada en un modelo dinámico no lineal del crecimiento del cultivo en condiciones de invernadero. En la solución de este problema se utilizan restricciones en la temperatura de 15 °C a 30 °C en un intervalo; éste que representa el intervalo medio de temperatura durante el día en la ciudad de Saltillo, se realiza la optimización considerando horizontes de predicción de 15 min en un intervalo de 120 d después del transplante (ddt) y usando un modelo dinámico matemático de crecimiento del cultivo de tomate (Solanum lycopersicum L.) evaluado en un invernadero tipo capilla, en Saltillo, Coahuila (25°25’36” N, 100°59’44” O). Para realizar esto se determinó la trayectoria subóptima de temperatura que maximiza el peso de fruto (W F ) en todo el intervalo de tiempo de la simulación (de 0 a 120 ddt). Además, se determinó la trayectoria subóptima de temperatura que maximizó el peso de fruto (W F ) durante el intervalo de tiempo de precosecha (de 0 a 58 ddt) y de peso de fruto cosechado (W HF ) a partir del inicio de la etapa de cosecha (día 59), descrita por el modelo hasta el final de la simulación (120 ddt). Los resultados obtenidos muestran que la trayectoria subóptima de temperatura desde el día 59 que marca el inicio de la cosecha se estabilizó alrededor de 15 °C para la maximización de W F y alrededor de 30 °C para la maximización de W F y W HF . Asimismo puede observarse que la trayectoria subóptima de temperatura para ambos casos muestra períodos que emulan el día y la noche, alrededor de 15 °C a 30 °C antes del día 59. Los resultados obtenidos permitirán plantear condiciones para ya sea maximizar el fruto en la planta o el fruto cosechado y pueden usarse las trayectorias de temperatura obtenidos para obtener una curva suavizada con ciclos más estables que pueden ser llevados a la práctica.

Palabras clave: modelo dinámico de crecimiento de tomate; maximización de la producción; método de Monte Carlo

Introducción

El tomate (Solanum lycopersicum L.) es el cultivo hortícola más importante del mundo por su valor económico. Éste se usa tanto en fresco como producto procesado (Mehdizadeh et al., 2013). El tomate ocupa el segundo lugar después de la papa (Solanum tuberosum L.), por su producción mundial pero ocupa el primer lugar como cultivo procesado (Mehdizadeh et al., 2013). En México, entre los principales cultivos producidos en condiciones protegidas se encuentra el tomate con un 70 %, seguido por pimiento (Capsicum annumm L.) 16 % y pepino (Cucumis sativus L.) 10 % (SAGARPA, 2012) de la superficie. Además, México es el principal exportador de tomate a nivel mundial y envía su producto principalmente a EE.UU., Canadá y El Salvador (MEXICOPRODUCE, 2012).

A pesar de que la actividad agrícola es una de las más antiguas de la especie humana, sólo en las décadas recientes se usan sistemas de información y control automático para mejorar la calidad y productividad de las cosechas. Desde los años sesenta del siglo pasado se estudian estrategias de control para optimizar la producción de cultivos bajo invernadero y se plantean modelos dinámicos que permiten predecir los efectos causados por la modificación de factores medioambientales tales como temperatura, humedad, cantidad de dióxido de carbono (CO2) y de radiación fotosintéticamente activa (PAR), dentro del invernadero. Estos estudios se han realizado principalmente en Europa, donde las temperaturas extremas que se presentan en invierno y verano hacen que sea necesario mejorar el costo de operación de los sistemas tanto de calefacción como de aire acondicionado empleados para evitar que las plantas sean afectadas por temperaturas extremas (Van Straten et al., 2011).

Un objetivo principal de la investigación agrícola es incrementar de forma sustentable el rendimiento de cultivos y mejorar la calidad de los productos. Derivado de esto, se ha incrementado el uso de técnicas de análisis de sistemas y modelado de cultivos para estimar el potencial de producción y también para definir estrategias, tácticas y decisiones que se pueden realizar en la práctica con el cultivo (Castilla-Prados, 1995).

Los modelos matemáticos de cultivos en invernadero

Los modelos matemáticos de cultivo simulan algunas características como el crecimiento a través de varios procesos fisiológicos de las plantas tales como la fotosíntesis, respiración, transpiración y desarrollo de cultivo. Los modelos permiten poner a prueba diferentes hipótesis del comportamiento de los cultivos sin la necesidad de realizar experimentos, lo cual implica reducir todos los costos. Por lo tanto, a partir de los modelos matemáticos de los cultivos es posible obtener buenas aproximaciones de la realidad cuando se hace una adecuada calibración y evaluación de estos (Bouman et al., 1994, Wallach et al., 2006).

Los estudios de aplicación de modelos de cultivos en invernadero se han desarrollado en los Países Bajos, donde también se desarrollaron modelos dinámicos con base en procesos biológicos. Inicialmente todos estos estudios fueron desarrollados en forma numérica usando principios de balances biológicos, posteriormente fueron evaluados con datos experimentales y finalmente se aplicaron en sistemas de cultivo (Van Straten et al., 2011).

Para el cultivo de tomate se han desarrollado varios modelos de crecimiento a lo largo de los años, que van desde algunos muy simples hasta muy complejos. Un modelo determinístico de crecimiento de tomates de invernadero escrito en lenguaje Pascal fue desarrollado basado en un modelo de asimilación de la hoja, más una teoría de respiración y una teoría del rango de fotosíntesis, lo cual es controlado por las condiciones ambientales y los contenidos de carbohidratos en las hojas. El modelo fue aplicado para estimar el efecto del enriquecimiento de CO2 sobre la producción de frutos de tomate (Kano y Van Bavel, 1988). En cuanto a la distribución de materia seca entre hojas, tallo, raíz y frutos de las plantas Heuvelink y Marcelis (1989), desarrollaron un modelo dinámico. Los resultados de simulación de la materia seca entre las hojas, tallos y frutos de tomate correspondieron razonablemente bien con los datos medidos en el experimento.

El modelo TOMGRO para el cultivo de tomate se usó para calcular la fotosíntesis neta del cultivo, el cual integra el modelo Acock para el cálculo de la misma. Los resultados muestran que el modelo es inadecuado para describir el balance de CO2 del agrosistema del invernadero, sin embargo, se determinó que puede ser usado en un modelo más complejo para describir el crecimiento y el desarrollo del cultivo de tomate (Zekki et al., 1999).

Existen otros modelos para el cultivo de tomate bajo condiciones de invernadero, uno de ellos es el TOMPOUSSE, que predice la producción para los cultivos de tomate (Abreu y Meneses, 2000). Además, Dai et al. (2006), desarrollaron un modelo relativamente simple para predecir la producción de biomasa del dosel además de la cosecha de frutos para tres cultivos en invernadero incluido el tomate. Los resultados muestran que el modelo predice satisfactoriamente la producción de biomasa del dosel y la cosecha de los frutos para los tres cultivos. Por otra parte, Dimokas et al. (2008), proponen un nuevo modelo modificado del modelo original TOMGRO. El modelo fue evaluado y calibrado en el cultivo de tomate bajo condiciones de invernadero, ya que hubo una buena relación entre los datos medidos y simulados tomando en cuenta el desarrollo del cultivo, la biomasa y la producción de frutos. Tal experimento fue desarrollado para las condiciones del mediterráneo, en el este de Grecia.

El control óptimo en invernaderos

Los métodos de control óptimo permiten la obtención de trayectorias de las condiciones medioambientales dentro del invernadero que permitirán alcanzar los objetivos de producción previamente establecidos. Estos métodos se basan en un modelo dinámico que describe el comportamiento del cultivo que se desea producir y del establecimiento de un criterio de optimización (Bryson y Ho, 1975; Lewis, 1986). Por esta razón el desarrollo de controles óptimos en invernaderos es un tema que ha sido estudiado de manera muy activa en los últimos años, a continuación se hace una breve descripción de los estudios hechos en este enfoque y que son alternativas al método aquí propuesto.

En los estudios de Boaventura Cunha et al. (1997) y de Coelho et al. (2005), se presenta una técnica general de control predictivo para regular las condiciones medioambientales dentro del invernadero, en la cual se desarrolla una predicción de los futuros estados del sistema cuando se obtiene una trayectoria óptima de control en un horizonte de tiempo fijo, la cual se re-calcula cada horizonte de tiempo. En los estudios de Tap et al. (1996, 1997) se propone un algoritmo de control óptimo que se aplica en ciertos horizontes de tiempo llamado RHOC (Receding Horizon Optimal Control) por sus siglas en inglés, el cual es evaluado durante las etapas reproductivas en la producción de tomate (Solanum tuberosum L.).

El objetivo de este estudio fue la obtención de una trayectoria subóptima de la temperatura requerida para maximizar la producción de peso fruto (W F ) y fruto cosechado (W HF ) de tomate ( Solanum lycopersicum L.) mediante el método de Monte Carlo.

La hipótesis fue que usando simulaciones numéricas es posible determinar la trayectoria subóptima de la temperatura a la que se debe mantener el invernadero durante un período de 120 ddt de tal forma que aumente la producción de tomate.

Materiales y Métodos

Modelo dinámico de tomate bajo condiciones de invernadero

Los tipos de modelos matemáticos son los empíricos, los explicativos y los teleonómicos. Los explicativos son del interés del presente estudio, se definen mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias que describen el comportamiento de las variables de estado del sistema, es decir aquellas variables que representan las propiedades relevantes o atributos del sistema considerado (López-Cruz et al., 2005).

El modelo matemático en el presente estudio fue propuesto por Tap et al. (1996), consta de seis ecuaciones dinámicas y por consecuencia seis variables de estado, y se describe aquí:

(1)

B[gm-2] representa la acumulación de asimilados del peso de la materia seca por unidad de área de la planta, es decir, los recursos metabólicos que le permiten a la planta realizar todos sus procesos biológicos. W F [gm-2] y W L [gm-2] son el peso seco de los frutos y las hojas que aún están en la planta, respectivamente. D p [adimensional] es un parámetro que nos indica la etapa de desarrollo de la planta en una escala de cero a uno mientras que W HF [gm-2] y W HL [gm-2] representan, respectivamente, los frutos y hojas que fueron cosechados, es decir, fueron desprendidos de la planta.

El modelo descrito por Tap et al. (1996) se evalúo en dos ciclos de cultivo de tomate en un invernadero tipo capilla con cubierta de policarbonato por Juárez-Maldonado et al. (2012) para las condiciones climáticas de en Saltillo, Coahuila, México (25°25’36” N, 100°59’44” O). Debido al proceso de evaluación y calibración del mismo, los parámetros del modelo en Juárez-Maldonado et al. (2012) cambiaron en comparación con los de Tap et al. (1996). Los parámetros modificados en el presente estudio (Cuadro 1) se usaron en el modelo dinámico (1) y con ello se determinó y se resolvió el problema de maximización de la producción de tomate en condiciones de invernadero, mediante la manipulación de la temperatura.

Cuadro 1 Descripción de los parámetros de (1) obtenidos en Juárez-Maldonado et al. (2012)

Optimización dinámica

El sistema dinámico a estudiar es el siguiente:

(2)

donde x(t) ϵ R n es el estado, f(x(t), u(t), t) representa un vector de funciones no lineales descritas en el sistema (1), esto es, todas las funciones en forma vectorial al lado derecho de la igualdad yu(t) ϵ R m es el vector de entradas de control, las cuales están acotadas como:

(3)

donde α i (t), β i (t) son funciones conocidas.

Además tenemos el vector de condiciones iniciales definidos como

(4)

El intervalo de interés es [0, t f ], donde t f es el tiempo final ya definido. El problema consiste en encontrar las entradas para el control u(t) en el intervalo de tiempo [0, t f ] que conduzcan al sistema a la trayectoria x(t), t ϵ [0, t f ] tal que una función o variable sea maximizada en todo el intervalo de tiempo desde [0, t f ]. En nuestro caso esa función se conoce como función de costo y está dada de la siguiente forma:

(5)

donde L es el Lagrangiano del sistema que contiene su evolución dinámica expresada en la ecuación (1) (Van Straten et al., 2011) y φ(x(t f ), t f ) es una condición final que puede imponerse al sistema.

En el presente estudio se tomó como base el modelo dinámico de crecimiento de tomate en invernadero desarrollado por Tap et al. (1996), para calcular una trayectoria subóptima de la temperatura que maximice la producción de fruto (W F ) y fruto cosechado (W HF ) de tomate en invernadero. Para resolver este problema se seleccionó el método de solución aleatorio de Monte Carlo, donde se establece un rango de temperatura y lo que se busca es determinar la configuración que garantice un valor máximo en el peso de fruto (W F ) y fruto cosechado (W HF ) de tomate. La temperatura se seleccionó como el parámetro para calcular por su efecto mayor en el desarrollo y crecimiento de las plantas y porque es uno de los factores en los que se invierten muchos recursos para su control. Mientras que por otro lado se decidió usar el método de Monte Carlo debido a que es posible obtener aproximaciones de resultados sin conocer el comportamiento del sistema ya que solo es necesario dar entradas de valores y ver cual valor tiene mayor probabilidad de ocurrir y genere el comportamiento deseado en el sistema.

El primer paso es determinar la trayectoria de las entradas de control u(t) a las que se debe mantener el invernadero durante un período de 0 a 120 ddt y durante el desarrollo de tomate para aumentar su producción, utilizando simulaciones numéricas del modelo (1) con los parámetros del Cuadro 1 y con la aplicación del método de Monte Carlo. La suposición es que usando simulaciones numéricas es posible determinar la trayectoria subóptima las entradas de control u(t) que aumenten la producción de tomate. Para lograrlo se plantea maximizar la cantidad de peso de fruto (W F ) y peso de fruto cosechado (W HF ) considerando dos funciones de costo descritas a continuación:

En la primera sólo se contempló la maximización del crecimiento de variable W F en un intervalo de tiempo de [0,120] ddt manipulando las entradas de control u(t), esto es:

(6)

Sujeta a las siguientes restricciones: u min u(t)u max y que se cumplan las ecuaciones dinámicas del sistema (1).

En la segunda se contemplaron la maximización tanto del peso de fruto (W F ) como del peso del fruto cosechado (W HF ). En esta forma, del tiempo inicial hasta el tiempo que se alcanza la etapa de cosecha, a partir de 0 a 58 días después del trasplante, se buscó únicamente una mayor productividad de W F y finalmente desde la etapa de cosecha (59 ddt) hasta el final del período de crecimiento (120 dddt) se incrementó la producción de W HF , esto es

(7)

Igualmente sujeta a las restricciones del caso anterior, no se buscó obtener un valor máximo sólo de la variable WHF desde el comienzo de la simulación, ya que esta variable permanece constante con valor cero hasta que se alcanza la etapa de cosecha. Para lograr este objetivo se debe escoger una o diversas entradas del sistema dinámico (1), tales como la temperatura, la radiación PAR o la concentración de CO2.

La temperatura es uno de los principales factores climáticos que influye en los estados de desarrollo y procesos fisiológicos de la planta. Esto puede verse en el modelo dinámico (4) como T g que es una de las entradas al mismo. El desarrollo satisfactorio de las fases de germinación, crecimiento vegetativo, floración, fructificación y maduración de frutos, depende de las temperaturas que se alcanzan en el invernadero en cada etapa de su crecimiento. Además, como el tomate es una planta sensible a cambios extremos de temperaturas y/o humedad relativa, es necesario mantenerlo en un rango óptimo de temperatura para que alcance su máximo desarrollo. Así mismo, cabe agregar que el tomate es una planta termoperiódica, lo cual implica que su crecimiento se ve favorecido por una temperatura variable. Dicha temperatura varía con el estado de desarrollo de la planta, ver Cuadro 2 (Jaramillo-Noreña et al., 2013; Wallach et al., 2006).

Cuadro 2 Temperaturas mínima, máxima y óptima de las etapas de desarrollo de la planta reportadas en Jaramillo-Noreña et al. (2013) y Wallach et al. (2006)

Entonces, para lograr el objetivo de maximización de la producción basándonos en el modelo dinámico (4), se selecciona la temperatura como entrada de control (Cuadro 2) para primero obtener una trayectoria de temperatura que maximice la cantidad de fruto en la planta durante un período de 120 dddt. Posteriormente se elige otra trayectoria de temperatura que maximice la cantidad de fruto en los primeros 58 dddt y del fruto cosechado a partir del día 59 y hasta los 120 d. Es importante aclarar dos puntos: el primero es que a pesar de que existen otras dos entradas en el modelo dinámico (1), las cuales corresponden a la radiación PAR (I) y a la concentración de CO2, éstas no fueron consideradas en este estudio y se usaron las reportadas en el estudio de Juárez Maldonado et al., 2012 (Figuras 8 y 9); el segundo es que para obtener una trayectoria de temperatura factible en la maximización de la producción de tomate, en cualquiera de los dos problemas aquí planteados, se requiere tener una restricción en la temperatura, que es la entrada manipulada. Por esta razón y considerando los estudios de Pérez et al. (2002), Jaramillo-Noreña et al. (2013) y Wallach et al. (2006), se seleccionó un intervalo de restricción de la temperatura de 15 °C≤T g ≤30 °C. Este rango fue seleccionado de esa manera ya que representa el intervalo medio de temperatura durante el día en la ciudad de Saltillo.

El problema de la maximización de fruto se formula con el sistema de ecuaciones diferenciales (1) que describe la dinámica de crecimiento de las plantas de tomate bajo cultivo: considerando a la entrada de control como u=T g , la cual está restringida en el intervalo de 15 °C≤u≤30 °C, es decir, u ϵ [15;30] y considerando el vector de estados, x(t)=[B, W F , W L , D p , W HF , W HL ], con las condiciones iniciales en el cultivo de x(0)=[0; 0,42; 43,59; 0; 0; 3,95], obtenidas por Juárez-Maldonado et al. (2014). Se requiere encontrar la trayectoria de temperatura que generen una mayor cantidad de fruto (W F ) y fruto cosechado (W HF ) en el tiempo de crecimiento final t f =120 días; donde es importante mencionar que cada intervalo de tiempo en el que se calculó una temperatura es de 15 min durante los 120 d de simulación.

Método de Monte Carlo

El método de Monte Carlo consiste en la generación de números aleatorios en base a una distribución de probabilidad dada. De esta manera se exploran configuraciones o entradas accesibles al sistema para posteriormente tomar las de mayor probabilidad en base a los criterios seleccionados.

El algoritmo basado en el Método de Monte Carlo (Peña Sánchez de Rivera, 2001) que se utilizó para obtener la trayectoria de temperatura es:

  1. Establecer el rango o intervalo de temperatura al cual será sometido el sistema.

  2. Fijar el número de iteraciones o pasos para explorar el rango de temperatura.

  3. De los valores correspondientes a la temperatura tomamos uno de manera aleatoria, esa temperatura la llamaremos T 1 e integramos el sistema dinámico (1) usando un método explícito de de Runge-Kutta de 4to y 5to orden combinado con el método de Dormand y Prince, (1980), para mejorar la aproximación de la solución al adaptar el paso de integración que contiene MATLABR11 y llamado ode45 (MathWorks, 2017).

  4. Nuevamente tomamos una temperatura al azar dentro del rango establecido, T 2, e integramos el sistema dinámico (1).

  5. Si la temperatura T 2 genera un mayor valor de la variable que nos interesa maximizar añadimos a T 2 a la base de datos de temperatura subóptimas para el sistema.

  6. En caso contrario se calcula la diferencia entre las variables a maximizar como: x=x 2-x 1. Donde x 1 y x 2 corresponden a las variables obtenidas con T 1 y T 2, respectivamente. En nuestro caso como se menciona anteriormente las variables a maximizar son el peso de fruto W F y peso de fruto cosechado W HF .

  7. Generamos un número aleatorio r entre 0 y 1.

  8. r>e -x nos quedamos con la temperatura T 1, ya que la diferencia x=x 2-x 1 entre las variables a optimizar es muy baja en ese intervalo de temperatura.

  9. Repetir nuevamente desde el paso 3 al 9 hasta haber completado las iteraciones establecidas.

Se considera que se ha completado un paso de Monte Carlo cuando se cumple todo el proceso descrito anteriormente. La trayectoria subóptima de temperatura se obtiene calculando los promedios de T g en las iteraciones hechas para graficarlos contra los intervalos de tiempo establecidos usando la ecuación de la media Tg= 1MI=1M Tg1 media , donde T gi es temperatura obtenida en el paso i de la simulación y M es el número total de iteraciones.

El método de Monte Carlo al ser aleatorio y al no estar basado en las condiciones de optimalidad de primer y segundo orden (Bryson y Ho, 1975; Lewis, 1986) requiere ser evaluado cambiando el número de iteraciones. Es conocido que al aumentar el número de iteraciones este método aproxima mejor su solución, por lo tanto depende de un criterio de finalización al determinar el máximo error que va a ser admitido. Por esta razón, para resolver el problema anterior se realizaron dos simulaciones, una con 500 mil y la segunda con 1 millón de iteraciones con el método de Monte Carlo para los dos casos de maximizar las variables de peso de fruto (W F ) y peso de fruto cosechado (W HF ), considerando que los límites de temperatura están entre los 15 y 30 °C.

Resultados y Discusión

Las trayectorias de temperatura se consideraron subóptimas bajo el criterio de que el método de Monte Carlo no asegura soluciones óptimas, y de las variables que se maximizaron en los casos discutidos anteriormente. Estos son: (1) sólo se contempló la maximización del crecimiento de variable W F en un intervalo de tiempo de 0 a 120 ddt; (2) se contemplaron la maximización tanto del peso de fruto (W F ) de 0 a 58 ddt, como del peso del fruto cosechado (W HF ) de los 59 a los 120 ddt.

Primer Caso: maximización de W F

Las trayectorias subóptimas de temperatura obtenidas después del día 59 para el primer caso de maximización sólo de W F , en lo que corresponde a un 1 millón de iteraciones, indican que la temperatura se estabiliza alrededor de 15 °C, que corresponde al límite inferior de la restricción impuesta a diferencia de lo que ocurre a 500 mil iteraciones donde no se observa esta estabilidad, así mismo puede observarse que la trayectoria de temperatura subóptima muestra períodos que emulan el día y la noche, alrededor de este mismo intervalo de restricción (Figura 1).

Figura 1 Trayectorias de temperatura subóptima cuando se maximiza W F . Obtenida con 500 mil iteraciones (izquierda) y con 1 millón de iteraciones (derecha). 

El peso de fruto maximizado (W F ) con la trayectoria subóptima de temperatura (Figura 1), para 500 mil y 1 millón de iteraciones permite apreciar que el aumento en el número de iteraciones tiene un impacto en la obtención del peso de fruto maximizado y que para 500 mil iteraciones se obtienen alrededor de 650 [gm-2] de W F , mientras que para el caso de 1 millón de iteraciones se obtienen 750 [gm-2] W F (Figura 2).

Figura 2 W F [gm-2] maximizada, obtenida con 500 mil iteraciones y con 1 millón de iteraciones. 

Los resultados del fruto cosechado (W HF ) para cuando sólo se maximiza el peso de fruto (W F ), considerando 500 mil y 1 millón de iteraciones señalan que la curva inicia a incrementarse alrededor del día 59, que es cuando el fruto empieza a cosecharse. El peso de fruto cosechado (W HF ) alcanza un valor aproximado de 900 [gm-2] tanto para las 500 mil iteraciones y como para un millón de iteraciones (Figura 3).

Figura 3 W HF [gm-2] obtenida con 500 mil iteraciones y con 1 millón de iteraciones. 

Segundo caso: maximización de W F y W HF

La trayectoria de temperatura subóptima obtenida para la maximización combinada de W F y W HF , que es el segundo caso, permite observar una periodicidad tal como cuando se maximiza únicamente el peso de fruta (W F ). Sin embargo, a partir del día 59 aproximadamente, el cual corresponde a la etapa de la cosecha, la maximización indica que la temperatura debe mantenerse alrededor del intervalo de restricción de temperatura máxima de 30 °C (Figura 4).

Figura 4 Suboptimal temperature trajectories for maximizing W F and W HF . obtained with 500 thousand iterations (left) and with 1 million iterations (right). 

Los resultados del peso de fruta (W F ) indican valores similares a los del primer caso, en el intervalo de 0-59 d, de 650 [gm-2] y de 750 [gm-2] de W F para 500 mil y un millón de iteraciones, respectivamente. Sin embargo, desde el día 59 en ambas simulaciones el peso de fruto (W F ) decrece, ya que en esta caso se maximiza sólo el peso de fruto cosechado (W HF ) (Figura 5).

Figura 5 W F [gm-2] maximizada, obtenida con 500 mil iteraciones y con 1 millón de iteraciones. 

En cuanto al peso de fruto cosechado (W HF ) se observó que éste aumenta considerablemente con respecto al caso donde cuando únicamente se maximiza el peso de fruto (W F ), es decir, se obtienen aproximadamente 1300 [gm-2] y 1450 [gm-2], para 500 mil y un millón de iteraciones, respectivamente; en contraste con los 900 [gm-2] obtenidos anteriormente (Figura 3).

Resultados de simulación sin optimización reportado por Juárez-Maldonado et al. (2012)

Los resultados del peso de fruto y de peso de fruto cosechado reportados por Juárez-Maldonado et al. (2012), reproducidos por simulación y presentados a continuación (Figura 7), no se maximiza W F ni W HF y sólo se consideran las trayectorias de temperatura, CO2 y radiación PAR medidas durante los 120 días ddt dentro del invernadero (Figuras 8-10) sin optimizar. En dichos resultados se observa un aumento del peso de fruto (W F ) de 600 [gm-2] sin maximizar a 750 [gm-2] para cuando se maximiza sólo (W F ) con 1 millón de iteraciones (Figura 2). En comparación, cuando se maximiza el peso de fruto cosechado (W HF ) desde el día 59 hay un aumento de 800 [gm−2] sin maximizar a 1450 [gm-2] (Figuras 6 y 7). La temperatura registrada en el estudio de Juárez-Maldonado et al. (2012) sin optimizar (Figura 8), comparada con las trayectorias subóptimas reportadas en las Figuras 2 y 4, muestra un gran cambio entre ellas. Es necesario un análisis de costo de producción entre el desarrollo del cultivo sin control y con la suboptimización de la trayectoria de temperatura antes de decidir si es posible su aplicación.

Figura 6 W HF [gm-2] maximizada, obtenida con 500 mil iteraciones y con 1 millón de iteraciones. 

Figura 7 Peso de fruto (izquierda) y de fruto cosechado (derecha) reportado por Juárez-Maldonado et al. (2012)

Figura 8 Radiación PAR reportada por Juárez-Maldonado et al. (2012)

Figura 9 Concentración de CO2 reportada por Juárez-Maldonado et al. (2012)

Figura 10 Temperatura reportada por Juárez-Maldonado et al. (2012)

Los resultados mostraron dos características importantes. La primera correspondiente a la aproximación de la solución aumentando el número de iteraciones del método de Monte Carlo, de 500 mil a 1 millón. Considerando esta variación de iteraciones se observa (Figuras 1 y 4) una menor oscilación en las gráficas con mayor número de iteraciones lo cual era de esperarse ya que a medida que aumentamos los pasos el sistema tiende a la convergencia de la solución del problema (Peña Sánchez de Rivera, 2001). La segunda es el comportamiento obtenido de la trayectoria de la temperatura para la maximización únicamente del peso de fruto (W F ) y para la maximización de W F entre los días 0 y 58, y del peso de fruto cosechado (W HF ) a partir del día 59 y hasta el final del periodo (120 d). Desde el día 59 que marca el inicio de la cosecha la trayectoria subóptima de temperatura se estabilizó alrededor de 15 °C para la maximización de W F (Figura 1) y alrededor de 30 °C para la maximización de W F y W HF (Figura 4). Este último comportamiento puede explicarse a través de la dinámica de W F y W HF (ec. 4): dWFdt= bgFWF-1-brFWF dWHFdt= hFWF ; del cual se observa que ambas están ligadas por el término h F W F , y que en el caso de W F merma su producción, mientras que para W HF el mismo término permite un incremento del fruto cosechado. Asimismo, se aprecia que la trayectoria de temperatura subóptima para ambos casos muestra períodos que emulan el día y la noche, alrededor de este mismo intervalo de restricción antes del día 59.

Temperatura óptima

Para obtener la trayectoria óptima de temperatura se realizó una comparación entre los métodos de Monte Carlo con 1 millón de iteraciones y la aplicación de control óptimo usando MATLABR11 (MathWorks, 2017) con la herramienta de optimización no lineal y el programa DYNOPT basado en el estudio de Logsdon y Biegler (1989) y se determina una trayectoria de control óptimo dado un modelo dinámico de un proceso, que está sujeto a restricciones de igualdad y desigualdad. Por brevedad de espacio, sólo mostramos la trayectoria de temperatura óptima en el caso de maximización de W F y W HF (Figura 11), en la cual, si se comparamos con la Figura 4, se nota una similitud entre ambas trayectorias. La diferencia radica en que debido a la naturaleza aleatoria del método de Monte Carlo, el comportamiento de la temperatura tiende a oscilar alrededor del valor medio o esperado y esta oscilación está relacionada directamente en el número de pasos de la simulación, mientras que con el método optimización no lineal no existen estas oscilaciones.

Figura 11 Trayectoria óptima de temperatura calculada mediante el programa de control óptimo DYNOPT. 

Conclusiones

Es posible desarrollar simulaciones numéricas basadas en modelo para la maximización del peso de fruto (W F , gm-2) y de fruto cosechado (W HF , gm-2), en cultivo de tomate en invernadero, con el Método de Monte Carlo para la obtención de trayectorias de temperatura subóptima, denominada así porque el método de Monte Carlo no cumple las condiciones de optimalidad de primero y segundo orden. Los resultados de simulación muestran que al controlar la temperatura se puede incrementar la productividad del cultivo de tomate. Esto permite plantear condiciones ya sea para maximizar el fruto en la planta o el fruto cosechado, pero no ambos a la vez.

La trayectoria de temperatura subóptima obtenida con 1 millón de iteraciones puede usarse para obtener una curva suavizada que genere ciclos más estables y prácticos que pueden ser alimentados a un sistema de control que varíe la temperatura del invernadero en forma más estable, para ser llevados a la práctica para validar la hipótesis teórica aquí presentada en un sistema experimental.

Literatura Citada

Abreu, P., and J. F. Meneses. 2000. TOMPOUSSE, a model of yield prediction for tomato crops: calibration study for unheated plastic greenhouses. Acta Hort. 519: 141-149. [ Links ]

Boaventura Cunha, J., C. Couto, and A. E. Ruano. 1997. Real-time parameter estimation of dynamic temperature models for greenhouse environmental control. Ctrl. Eng. Prac. 5: 1473-1481. [ Links ]

Bouman, M., M. Wopereis, and J. Riethoven. 1994. The Use of Crop Growth Models in Agroecological Zonation of Rice. DLO-Research Institute for Agroecology and Soil Fertility, Wageningen, Department of Theoretical Production Ecology, Wageningen and International Rices Research Institute, 134 p. [ Links ]

Bryson Jr., A. E., and Y. C. Ho. 1975. Applied Optimal Control. New York: Hemisphere. pp: 42-65. [ Links ]

Castilla-Prados, N. 1995. Manejo del cultivo intensivo con suelo. In: Nuez, F. El Cultivo del Tomate. Editorial Mundi-Prensa, Madrid, pp: 189-225. [ Links ]

Coelho, J. P., P. B. Moura Oliveira, and J. Boaventura Cunha. 2005. Greenhouse air temperature predictive control using the particle swarm optimisation algorithm. Comp. Electro. Agric. 49: 330-344 [ Links ]

Dai, J., W. Luo, Y. Li, C. Yuan, Y. Chen, and J. Ni. 2006. A simple model for prediction of biomass production and yield of three greenhouse crops. Acta Hort . 718: 81-88. [ Links ]

Dimokas, G., C. Kittas, and M. Tchamitchian. 2008. Validation of a tomato crop simulator for mediterranean greenhouses. Acta Hort . 797: 247- 252. [ Links ]

Dormand, J. R., and P. J. Prince. 1980. A family of embedded Runge-Kutta formulae. J. Comp. Appl. Mat. 6: 19-26. [ Links ]

Jaramillo-Noreña, J. E., G. D. Sánchez, V. P. Rodríguez, P. Aguilar, L. F. Gil, J. Hío, L. M. Pinzón, M. C. García, D. Quevedo, M. A. Zapata, J. F. Restrepo, y M. Guzmán. 2013. Tecnología para el Cultivo de Tomate bajo Condiciones Protegidas. Corporación Colombiana de Investigación Agropecuaria, Corpoica, Bogotá, pp: 142. [ Links ]

Juárez-Maldonado, A., K. De Alba-Romenus, y A. Benavides-Mendoza. 2012. Calibración y validación de un modelo de crecimiento de tomate bajo condiciones de invernadero. Congreso Internacional de Investigación Academia J. Celaya 4: 1490-1495. [ Links ]

Juárez-Maldonado, A., A. Benavides-Mendoza, K. de Alba-Romenus, and A. Morales-Díaz. 2014. Dynamic modeling of mineral contents in greenhouse tomato crop. Agric. Sci. 5: 114-123. [ Links ]

Heuvelink, E., and L. F. M. Marcelis. 1989. Dry matter distribution in tomato and cucumber. Acta Hort . 260: 149-157. [ Links ]

Kano, A., and C. H. M. Van Bavel. 1988. Design and test of a simulation model of tomato growth and yield in a greenhouse. J. Japan. So. Hort. Sci. 56: 408-416. [ Links ]

Lewis, F. L. 1986. Optimal Control. New York: John Wiley & Sons. pp: 4-14. [ Links ]

Logsdon, J. S., and L. T. Biegler. 1989. Accurate solution of differential-algebraic optimization problems, Chem. Eng. Sci. 28:1628-1639. [ Links ]

López-Cruz, I., A. Ramírez-Arias, y A. Rojano-Aguilar. 2005. Modelos matemáticos de hortalizas en invernadero: trascendiendo la contemplación de a dinámica de cultivos. Rev. Chapingo Serie Hort. 11: 257-267. [ Links ]

MathWorks. 2017. https://www.mathworks.com/help/simulink/gui/solver.html?searchHighlight=Dormand&s_tid=doc_srchtitle (Consulta: enero 2017) [ Links ]

Mehdizadeh, M., E. I. Darbandi, H. Naseri-Rad, and H. Tobeh. 2013. Growth and yield of tomato (Lycopersicon esculentum Mill.) as influenced by different organic fertilizers. Int. J. Agron. Plant Prod. 4: 734-738. [ Links ]

MEXICOPRODUCE. 2012. Productos: Jitomate. http://www.mexicoproduce.mx/productos.html#jitomate (Consulta: enero 2017) [ Links ]

Peña Sanchez de Rivera, D. 2001. Deducción de distribuciones: el método de Monte Carlo. In: Peña Sanchez de Rivera, D. Fundamentos de Estadística. Alianza Editorial, Madrid. pp: 220-300. [ Links ]

Pérez, J., G. Hurtado, V. Aparicio, Q. Argueta, y M. Larín. 2002. Guía Técnica: Cultivo de Tomate. Centro Nacional de Tecnología Agropecuaria y Forestal. Ciudad Arce, La Libertad. pp: 1-48. [ Links ]

SAGARPA. 2012. Agricultura protegida. http://2006-2012.sagarpa.gob.mx/agricultura/Paginas/Agricultura-Protegida2012.aspx (Consulta: febrero 2017) [ Links ]

Tap, R.F., L.G.Van Willigenburg, and G. Van Straten. 1996. Experimental results of receding horizon optimal control of greenhouse. Acta Hort . 406: 229-238. [ Links ]

Tap, R. F ., G. Van Straten, and L. Willigenburg. 1997. Comparison of classical and optimal control of greenhouse tomato crop production. Proc. 3rd Int. IFAC Workshop Mathematical and Control Applications in Agriculture and Horticulture. Hannover, Germany. [ Links ]

Van Straten, G., G. Van Willigenburg, E. Van Henten, and R. Van Ooteghem. 2011. Optimal Controlof Greenhouse Cultivation. First Edition. CRC Press Taylor and Francis Group, Boca Raton, FL. pp: 25-38. [ Links ]

Wallach, D., D. Makowski, and J. Jones. 2006. Working with Dynamic Crop Models: Evaluation, Analysis, Parameterization and Applications. Elsevier B. V., Amsterdam. pp: 441. [ Links ]

Zekki, H., C. Gary, A. Gosselin, and L. Gauthier. 1999. Validation of a photosynthesis model through the use of the CO2 balance of a greenhouse tomato canopy. Ann. Bot. 84: 591-598. [ Links ]

Recibido: Junio de 2016; Aprobado: Marzo de 2017

* Autor para correspondencia: abmoralesd@gmail.com

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