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Agrociencia

versión On-line ISSN 2521-9766versión impresa ISSN 1405-3195

Agrociencia vol.50 no.1 México ene./feb. 2016

 

Agua-Suelo-Clima

Ajuste de las distribuciones GVE, LOG y PAG con momentos L depurados (1,1) en 21 registros de crecientes anuales de la region hidrológica no. 10 (Sinaloa), México

Daniel F. Campos-Aranda1  * 

1Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí. Genaro Codina Número 240. 78280 San Luis Potosí, San Luis Potosí. México. (campos_aranda@hotmail.com)

Resumen

El dimensionamiento y seguridad hidrológica de todas las obras hidráulicas de aprovechamiento o control depende de las crecientes de diseño. La estimación confiable de esas magnitudes hidrológicas está asociada con la disponibilidad de datos de gastos máximos anuales y su representación, lo más exacta posible, en una función de distribución de probabilidades (FDP). El método de los momentos L, que son combinaciones lineales de los estadísticos de orden, es uno de los procedimientos de ajuste más exactos que permite la estimación de los parámetros de una FDP. Versiones robustas se han propuesto de los momentos L, al dar peso nulo a los valores extremos de la muestra; es el caso de los momentos L depurados (1,1) que no toman en cuenta el dato menor ni el mayor. En este estudio, se exponen ambos métodos de ajuste para las FDP general de valores extremos (GVE), logística generalizada (LOG) y Pareto generalizada (PAG), que son modelos probabilísticos con aceptación mundial en el análisis de frecuencia de datos hidrológicos extremos. Mediante el error estándar de ajuste (EEA) se realizó el contraste de la aplicación de las FDP citadas, a los 21 registros de crecientes anuales disponibles en la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa, México). Los resultados indicaron que las FDP condujeron a los EEA menores en tres, siete y once de los registros procesados. El método de ajuste por momentos L depurados (1,1) logró un EEA menor en diez de los registros procesados. Por lo tanto, se recomienda su aplicación sistemática en los análisis de frecuencia de datos hidrológicos extremos.

Palabras clave: momentos L; momentos L depurados (1,1); distribuciones GVE; LOG y PAG; error estándar de ajuste; gráficos de diagnóstico

Introducción

La infraestructura hidráulica de aprovechamiento o control, como embalses, diques de protección, encauzamientos y rectificaciones, puentes y drenaje pluvial, requieren en sus etapas de planeación, diseño, operación y revisión de la estimación lo más exacta posible de las crecientes de diseño. Con base en esas estimaciones hidrológicas todas las obras hidráulicas se dimensionan y su seguridad depende de ellas. Las crecientes de diseño son predicciones que se asocian a probabilidades de excedencia reducidas. El método más confiable para obtenerlas consiste en representar los datos disponibles de gastos máximos anuales o serie anual de máximos por una función de distribución de probabilidades (FDP) y, a partir de ella, realizar las predicciones buscadas (Deka y Borah, 2011; Ahmad et al., 2013). Este procedimiento se conoce como análisis de frecuencias de crecientes (AFC) y consta de las siguientes cinco etapas (Campos-Aranda, 2014): 1) recopilación de la información y verificación de su calidad estadística, 2) selección de una FDP, 3) elección de un método de estimación de sus parámetros de ajuste, 4) cuantificación objetiva del ajuste logrado con cada FDP y técnica de estimación, y 5) selección de resultados.

El AFC permite realizar predicciones cuyos intervalos promedio de recurrencia en años generalmente exceden varias veces la amplitud del registro disponible; por ello, son extrapolaciones que involucran errores. Para minimizar estos errores se sugieren dos enfoques diferentes. El primero fue utilizar FDP cada vez más flexibles y por ello se pasó de los modelos de dos parámetros de ajuste a los de tres, y se llegó al uso de la función Kappa de cuatro y la Wakeby o las funciones mixtas con cinco parámetros de ajuste. El segundo enfoque busca el uso mejorado de los datos disponibles, dando más importancia a sus valores grandes. Estadísticamente se trabaja con dos tipos nuevos de series de datos, conocidos como series de duración parcial y muestras censuradas o truncadas (Moisello, 2007).

La aplicación inicial de las series de duración parcial comenzó a mediados del siglo pasado y corresponde al uso de todos los datos superiores a un valor umbral; en cambio el uso de las series censuradas comenzó en la década de 1980. Desde la década de 1990 la técnica de ajuste de una FDP, mediante los momentos L, que son combinaciones lineales de los estadísticos de orden de los datos, se ha convertido en un procedimiento estándar debido a su sencillez y consistencia de resultados. Además se propusieron los momentos L depurados (1,1), los cuales dan peso nulo al valor menor y al mayor de la serie; por ello son más robustos, al ser menos sensibles a los valores dispersos o extremos (Shabri et al. 2011; Ahmad et al. 2013).

El objetivo de este estudio fue exponer la teoría de los momentos L, como base para la descripción detallada de los momentos L depurados (1,1). Las ecuaciones que estiman los tres parámetros de ajuste se citaron, con los métodos de momentos L y de momentos L depurados (1,1), en las tres FDP: la general de valores extremos (GVE), la logística generalizada (LOG) y la Pareto generalizada (PAG). En seguida se ajustaron, con ambos métodos, estas tres FDP a los 21 registros de crecientes anuales disponibles en la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa; México) y con base en el error estándar de ajuste se analizaron los resultados y se formularon las conclusiones.

Materiales y métodos

Momentos L poblacionales

Los momentos estadísticos se utilizan para caracterizar una serie de datos observados o una FDP. Los momentos L y los L depurados se han establecido como procedimientos alternativos de los momentos convencionales, ya que tienen menor varianza de muestreo y son más robustos cuando hay valores dispersos. Como los momentos convencionales, los de orden de uno a cuatro caracterizan a la localización, escala, asimetría y curtosis (Hosking, 1990; Elamir y Seheult, 2003).

De acuerdo con Karvanen (2006), el concepto de los momentos L se originó al final de la década de 1960, con variados resultados aislados sobre combinaciones lineales de los estadísticos de orden, los que culminaron con el trabajo de Greenwood et al. (1979). Hosking (1990) unificó la teoría de los momentos L y proporcionó guías para su uso práctico, que se han extendido a las áreas de la hidrología, meteorología y otras disciplinas de la ingeniería.

Los momentos L están relacionados con los valores esperados de los estadísticos de orden. Sea X una variable aleatoria y sea Xj:n su estadístico de orden, otra variable aleatoria distribuida como su j-ésimo elemento más pequeño de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de la FDP de X. Además, sea Q(u) la llamada función de cuantiles, es decir la solución inversa de la ecuación de la FDP, es entonces una función que aumenta en el intervalo de u Î [0,1]. Los primeros cuatro momentos L poblacionales son (Hosking, 1990; Hosking y Wallis, 1997; Karvanen, 2006):

λ1=EX2:2-X1:2=01Q(u)du (1)

λ2=12EX2:2-X1:2=01Q(u)(2u-1)du (2)

λ3=13EX3:3-2X2:3+X1:3=01Q(u)(6u2-6u+1)du (3)

λ4=14EX4:4-3X3:4-3X2:4+X1:4=01Q(u)(20u3-30u2+12u-1)du (4)

su expresión general es:

λr=1rk=0r=1-12r-1kEXr-k:rpara cada momento r=1,2,3, (5)

donde el segundo paréntesis es un cociente de factoriales que define el número de combinaciones posibles de los m términos tomando q en cada arreglo; su expresión general es (Asquith, 2011):

mq=m!q!m-q!para qm (6)

Por convención 0!=1 y la función factorial Gamma es Г(m+1)=m! Los valores esperados de los estadísticos de orden de la Ecuación 5 se estiman con la expresión siguiente (Hosking y Wallis, 1997; Kottegoda y Rosso, 2008; Asquith, 2011):

EXr:n=n!r-1!n-r!01Q(u)·ur-1·(1-u)n-rdu (7)

La ecuación anterior establece la relación entre los momentos de probabilidad ponderada de Greenwood et al. (1979) y los momentos L. Los cocientes de momentos L de asimetría para r=3 y curtosis para r=4 son:

τr=λrλ2 para r=3 y 4 (8)

The above equation establishes the relation between the probability weighted moments by Greenwood et al. (1979) and the L moments. The quotients of L moments of asymmetry for r=3 and kurtosis for r=4 are:

Momentos L depurados (1,1) poblacionales

Estos momentos, designados como “TL” de “Trimmed” que significa depurado, cortado o truncado, asignan peso nulo a las observaciones extremas y por ello son generalizaciones robustas de los momentos L. Sus expresiones poblacionales son (Elamir y Seheult, 2003; Hosking, 2007):

λ1(1,1)=EX2:3=601Quu1-udu (9)

λ2(1,1)=12EX3:4-X2:4=601Quu1-u2u-1du (10)

λ3(1,1)=13EX4:5-2X3:5+X2:5=20301Quu1-u5u2-5u+1du (11)

λ4(1,1)=14EX5:6-3X4:6+3X3:6-X2:6=15201Quu1-u14u2-21u2+9u-1du (12)

su expresión general es:

λr(s,t)=1rk=0r-1(-1)kr-1kEXr+s-k:r+s+t para r=1,2,3, (13)

Los cocientes de momentos L depurados (1,1) se calculan con la Ecuación 8.

Momentos L depurados (1,1) de la muestra

En una muestra o serie de datos de tamaño n ordenada en forma progresiva de manera que X1:n≤X2:n≤...≤Xn:n la estimación no sesgada de λr(t), debido a que s=t, será (Elamir y Seheult, 2003; Hosking, 2007):

lr(t)=1ri=t+1n-tk=0r-1(-1)kr-1ki-1r+t-1-kn-it+knr+2tXi:n (14)

donde lr(t) es una combinación lineal simétricamente ponderada de una muestra depurada o truncada de tamaño (n-2t) de valores ordenados X t+1:n , ..., X n-t:n . Los cocientes de momentos L depurados (1,1) de la muestra serán: t 3 (1,1) y t 4 (1,1), evaluados con la Ecuación 8.

Ajuste con momentos L de las distribuciones GVE, LOG y PAG

Hosking y Wallis (1997) destacan en su Tabla 5.1, que estas tres FDP, cuando su parámetro de forma es negativo (k<0), tienen sus colas derechas más gruesas o densas que todas las otras FDP comúnmente utilizadas en los AFC. Debido a ello han ganado aceptación en los análisis de frecuencias de datos hidrológicos extremos (El Adlouni et al. 2008). Esas FDP, cuando k=0, definen las funciones de dos parámetros de ajuste conocidas como Gumbel, logística y exponencial. Estas FDP también coinciden en tener un límite superior cuando k>0.

A continuación se citan para las distribuciones GVE, LOG y PAG su fórmula F(x), solución inversa x(F), con la cual se estiman las predicciones que se asocian a una cierta probabilidad de no excedencia (F) y las ecuaciones que permiten estimar sus tres parámetros de ajuste (k, a, u) correspondientes a la forma, escala y ubicación, con el método de momentos L.

Distribución GVE (Stedinger et al., 1993): intervalo de x: u+a/k≤x<¥ si k<0; -¥<x<¥ si k=0; -¥<xu+a/k si k>0.

Fx=e-e-y (15)

donde y es la variable reducida:

y=-1kIn1-kx-ua;k0 (16)

y=x-ua;k=0 (17)

xFu+ak1-(-InF)k;k0 (18)

xF=u-a.In-InF;k=0 (19)

k7.8590.c+2.9554.c2 (20)

donde:

c=23+t3-0.63093 (21)

a=l2.kΓ(1+k)·(1-2-k) (22)

u=ll-ak1-Γ(1+k) (23)

Para la evaluación de la función Gamma se utilizó la fórmula de Stirling (Davis, 1965):

Γ(ε)e-ε·εε-1/2·2π·1+112·ε+1288·ε2-13951840·εε-5712488320·ε4+ (24)

Distribución LOG (Rao y Hamed, 2000): intervalo de x, idéntico al de la GVE.

Fx=11+e-y (25)

donde y igual a las Ecuaciones 16 y 17.

xF=u+ak1-(1-F)Fk;k0 (26)

xF=u-a·In [ (1-F)/F ] ;k=0 (27)

k=-t3 (28)

a=l2Γ(1+k)·Γ(l-k) (29)

u=l1+l2-ak (30)

Distribución PAG (Hosking y Wallis, 1997): intervalo de x:u≤x<∞ si k≤0;u≤x≤u+a/k si k>0

Fx=1-e-y (31)

donde y igual a las Ecuaciones 16 y 17.

xF=u+ak1-1-Fk;k0 (32)

xF=u-a·In1-F;k=0 (33)

k=1-3t31+t3 (34)

a=l2(1+k)·(2+k) (35)

u=l1-l2(2+k) (36)

Con los momentos y cocientes L expuestos por Campos Aranda (2014) se estimaron los tres parámetros de ajuste de las distribuciones GVE, LOG y PAG con las Ecuaciones 20 a 24, 28 a 30 y 34 a 36, respectivamente.

Ajuste con momentos L depurados (1,1) de las distribuciones GVE, LOG y PAG

Para la distribución GVE, Deka y Borah (2011) desarrollaron una ecuación de T 3 (1,1) en función del parámetro de forma (k), cuya expresión empírica inversa es:

k=0.29616-2.92896·T31,1+1.42917·T31,12-0.91133·T31,13 (37)

La cual es válida cuando 0.70≤k≤0.50 y tiene un coeficiente de determinación cercano a uno y error estándar de la estimación de 0.00261. Las Ecuaciones 38 a 45 proceden de Deka y Borah (2011), Shabri et al. (2011) y Ahmad et al. (2013).

a=l2(1,1)[1/Γ(k)]612(4k)-13k+12k+1 (38)

u=l1(1,1)-ak1-Γ(k+1)32k+23k (39)

Para la distribución LOG se tienen:

k=-9t3(1,1)5 (40)

a=-2l2(1,1)·sen(π·k)π·k(k2-1) (41)

u=l1(1,1)+π·a·(1-k2)sen(π·k)-ak (42)

y para la distribución PAG:

k=10-45t3(1,1)10+9t3(1,1) (43)

a=l21,1(k+2)(k+3)(k+4)6 (44)

u=l11,1-a(k-5)(k+2)(k+3) (45)

Diagrama de cocientes de momentos L depurados (1,1)

Hosking y Wallis (1997) expusieron la relación gráfica y numérica (Ecuación 46) que tiene el cociente de momentos L de asimetría (T3) con el de curtosis (T4) en cinco FDP, lo cual constituye el diagrama de cocientes de momentos L. Esta gráfica se puede utilizar para seleccionar la mejor FDP, de acuerdo con los valores de los cocientes de momentos L de asimetría y curtosis (t 3 y t 4) de la muestra local o a su estimación regional ponderada. Para obtener el diagrama de cocientes de momentos L depurados (1,1), se debe encontrar la relación entre T3 (1,1) y T4 (1,1) para cada FDP. Shabri et al. (2011) y Deka y Borah (2011) obtuvieron esas relaciones teóricas y las representaron con polinomios de cuarto grado para las distribuciones GVE y PAG, y de segundo para la LOG; los coeficientes de la Ecuación 46 de cada polinomio están en el Cuadro 1.

T4(1,1)=p=04ap·(T31,1)p (46)

Cuadro 1 Coeficientes de los polinomios de aproximación de t4 (1,1) en función de t3 (1,1) en las distribuciones GVE, LOG y PAG según Shabri et al. (2011)

Coeficiente GVE LOG PAG
a0 0.0576 0.0833 -
a1 0.0943 - 0.1610
a2 0.9183 0.9450 0.9904
a3 -0.0745 - -0.1295
a4 0.0373 - 0.0184

Con base en la Ecuación 46 y sus coeficientes (Cuadro 1) se construyó el diagrama de cocientes de momentos L depurados (1,1), para las distribuciones GVE, LOG y PAG (Figura 1).

Figura 1 Diagrama de cocientes de momentos L depurados (1,1) de las distribuciones GVE, LOG y PAG según Shabri et al. (2013), y localización de 21 registros de crecientes de la Región Hidrológica No. 10, Sinaloa, México. 

Error estándar de ajuste

A mediados de la década de 1970 se estableció al error estándar de ajuste (EEA) como un indicador estadístico cuantitativo, ya que evalúa la desviación estándar de las diferencias entre los valores observados y los estimados con la FDP que se prueba. Su expresión es la siguiente (Kite, 1977):

EEA=i=1n(x1-x1)^2n-np (47)

donde n y np son el número de datos de la muestra y de parámetros de ajuste, en este caso tres; xi son los datos ordenados de menor a mayor y x^1 son los valores estimados con la solución inversa x(F) para una probabilidad de no excedencia estimada con la fórmula de Weibull (Benson, 1962):

PX<x=mn+1 (48)

En la cual m es el número de orden del dato, con 1 para el menor y n para el mayor.

Indicadores cualitativos del ajuste

Los diagramas de diagnóstico de probabilidades y el de cantidades se han popularizado (Coles, 2001; Wilks, 2011); el primero emplea en el eje de las abscisas la probabilidad empírica estimada con la Ecuación 48 y en las ordenadas la probabilidad que define la FDP ajustada para cada dato disponible, ordenados en forma progresiva de magnitud (x 1x 2≤...≤x n ), la que se estima con las Ecuaciones 15, 25 y 31 para las distribuciones GVE, LOG y PAG. En el gráfico de cantidades se indica en las abscisas el valor del dato observado x 1x 2≤...≤x n y en las ordenadas el valor estimado con la solución inversa de la FDP, con las Ecuaciones 18, 26 y 32 para las funciones GVE, LOG y PAG, y la probabilidad empírica estimada con la Ecuación 48. En resumen las coordenadas x y y de cada diagrama son (Coles, 2001):

Probabilidades in+1,F(xi):i=1,2,,n (49)

Cantidades xi,xin+1:i=1,2,,n (50)

Registros procesados de crecientes anuales

Entre los registros de gastos máximos anuales (m3·s-1) de las estaciones hidrométricas de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa; México) existen 21 que no tienen régimen de escurrimiento afectado por embalses, cambios físicos drásticos o ambos en sus cuencas y muestran más de veinte años de datos en el sistema BANDAS (IMTA, 2002). Los registros de las estaciones de aforos Huites y Guamuchil llegan hasta el año en que la construcción del embalse respectivo afectó su escurrimiento. Los datos de la estación San Francisco proceden del Boletín Hidrológico No. 36 (SRH, 1975). Campos-Aranda (2014) verificó la calidad estadística de los registros citados y presenta sus momentos y cocientes L; además expone un mapa con la localización de las 21 estaciones hidrométricas y sus cuencas respectivas.

El registro más corto tiene 19 años y los más largos 56, con valor mediano de 33 años (Cuadro 2). Los momentos L depurados (1,1) estimados a través de la Ecuación 14 y los cocientes de momentos calculados con la Ecuación 8 se presentan en el Cuadro 2.

Cuadro 2 Características generales, momentos y cocientes L depurados (1,1), en 21 registros procesados de crecientes anuales de la Región Hidrológica No. 10, Sinaloa, México.  

No. Estación hidrométrica Área de cuenca (km 2 ) Años de Registro (n) L 1 (1,1) L 2 (1,1) L 3 (1,1) L 4 (1,1) T 3 (1,1) T 4 (1,1)
1 Huites 26 057 1942-1992 (51) 2578.9710 643.4111 252.0877 148.1874 0.39180 0.23032
2 San Francisco 17 531 1941-1973 (33) 1417.6250 334.2696 107.8858 49.8560 0.32275 0.14915
3 Santa Cruz 8919 1944-2002 (52) 825.6472 191.9839 33.6176 43.3249 0.17511 0.22567
4 Jaina 8179 1942-1998 (56) 789.5898 188.1527 58.7587 38.1695 0.31229 0.20286
5 Palo Dulce 6439 1958-1986 (21) 818.7865 145.9885 34.1639 16.8504 0.23402 0.11542
6 Ixpalino 6166 1953-1999 (45) 986.9792 186.6518 51.6721 35.2875 0.27684 0.18906
7 La Huerta 6149 1970-1999 (28) 927.6062 197.2018 1.4513 -1.7109 0.00736 -0.00868
8 Chinipas 5098 1965-2002 (24) 790.5296 159.9196 35.3124 3.2871 0.22081 0.02055
9 Tamazula 2241 1963-1999 (32) 531.4827 76.7720 11.5965 5.4135 0.15105 0.07051
10 Naranjo 2064 1939-1984 (45) 497.4072 157.6427 51.9003 26.6872 0.32923 0.16929
11 Acatitán 1884 1955-2002 (43) 664.8182 195.9668 40.7487 25.5050 0.20794 0.13015
12 Guamuchil 1645 1940-1971 (32) 577.3327 128.4394 34.5535 14.3540 0.26903 0.11176
13 Choix 1403 1956-2002 (38) 290.3594 55.7844 12.2758 7.7038 0.22006 0.13810
14 Badiraguat 1018 1974-1999 (26) 746.8054 239.1029 108.2557 62.7376 0.45276 0.26239
15 El Quelite 835 1961-2001 (33) 408.9254 109.0321 20.8927 7.7677 0.19162 0.07124
16 Zopilote 666 1939-2001 (56) 319.5128 89.7444 12.7530 4.5793 0.14210 0.05103
17 Chico Ruiz 391 1977-2002 (19) 196.6518 52.4802 4.1569 -1.4225 0.07921 -0.02711
18 El Bledal 371 1938-1994 (56) 241.8649 54.0593 11.5716 7.4244 0.21405 0.13734
19 Pericos 270 1961-1992 (30) 229.4434 44.2758 6.3602 4.4083 0.14365 0.09956
20 La Tina 254 1960-1983 (24) 75.5672 21.1883 2.5428 0.9513 0.12001 0.04490
21 Bamícori 223 1951-1983 (33) 153.8719 45.9496 16.1642 6.8401 0.35178 0.14886

Momentos L depurados (1,1) de la muestra

Cocientes de momentos L depurados (1,1) de la muestra

Resultados y discusión

Selección de la FDP más conveniente

Cada registro de crecientes se llevó al diagrama de cocientes de momentos L depurados (1,1) para obtener la FDP más conveniente de acuerdo a sus valores de cocientes L de asimetría y curtosis (Cuadro 2). Once registros se aproximaron a la función PAG, siete a la LOG y tres pudieran ser representados por la distribución GVE (Figura 1) (Cuadro 3).

Cuadro 3 Errores estándar de ajuste (m3·s-1) obtenidos con los métodos de momentos L y momentos L depurados (1,1), en 21 registros de crecientes anuales de la Región Hidrológica No. 10, Sinaloa, México.  

No. Estación Hidrométrica FDP según DCM Error Estándar de Ajuste (EEA)
GVE LOG PAG
moL § moLD § moL moLD moL moLD
1 Huites LOG 979 1101 1061 1099 (834) 875
2 San Francisco PAG 377 232 419 249 302 (200)
3 Santa Cruz LOG (406) 599 421 564 409 691
4 Jaina GVE 360 285 382 (270) 346 382
5 Palo Dulce GVE 895 1063 922 1056 (866) 1095
6 Ixpalino LOG 346 349 367 (332) 334 432
7 La Huerta PAG 96 111 124 148 (53) 63
8 Chinipas PAG 139 98 154 [98] 126 117
9 Tamazula GVE (145) 189 150 179 147 216
10 Naranjo PAG 156 185 173 193 (127) 132
11 Acatitán LOG 227 219 239 (196) 231 293
12 Guamuchil PAG 235 210 247 (202) 225 245
13 Choix LOG 105 126 110 120 (101) 149
14 Badiraguato PAG 1077 (791) 1130 860 1037 872
15 El Quelite PAG 87 71 98 (69) 74 93
16 Zopilote PAG 48 62 61 81 25 [25]
17 Chico Ruiz PAG 28 30 34 36 (16) 17
18 El Bledal LOG 64 72 67 (63) 68 100
19 Pericos LOG 29 26 33 26 (24) 33
20 La Tina PAG 90 116 92 114 (87) 122
21 Bamícori PAG 52 77 57 77 (43) 64
Número de mínimos 2 1 0 7 9 2

En paréntesis circular o rectangular su valor mínimo de cada estación.

Diagrama de cocientes de momentos.

§moL: ajuste por momentos L y moLD: ajuste por momentos L depurados (1,1).

Error estándar de ajuste

Por medio de sus soluciones inversas de FDP (Ecuaciones 18, 26 y 32) se obtuvieron las estimaciones x^1 para aplicar la Ecuación 47 del EEA (Cuadro 3, columnas moL).

Con los momentos y cocientes L depurados (1,1) (Cuadro 2) y las Ecuaciones 37 a 45 se obtuvieron los tres parámetros de ajuste de las funciones GVE, LOG y PAG. En seguida, por medio de sus soluciones inversas (Ecuaciones 18, 26 y 32) se estimaron los valores de x^1 para calcular los respectivos EEA (Cuadro 3, columnas moLD).

El EEA menor de los seis calculados se identificó (Cuadro 3, en paréntesis circular) y valores iguales ocurrieron en los registros de Chinipas y Zopilote, seleccionando el ajuste que aportó las predicciones más grandes (Cuadro 3, en paréntesis rectangular). Los EEA mínimos definidos por las distribuciones GVE, LOG y PAG coincidieron con las FDP en once registros (Figura 1): San Francisco, Ixpalino, La Huerta, Tamazula, Naranjo, Acatitán, Zopilote, Chico Ruiz, El Bledal, La Tina y Bamícori.

El ajuste de las distribuciones GVE, LOG y PAG con base en los momentos L depurados (1,1) (Cuadro 3, último renglón) es una opción que puede abatir el EEA del método de momentos L de una manera sistemática, pues esto ocurrió en diez registros. Destaca el ajuste con tal método de la función LOG, el cual mostró los EEA menores en siete registros. También sobresalió la distribución PAG que condujo a los ajustes mayores en 11 de los 21 registros procesados, nueve de ellos con el método de momentos L.

El resultado último no debe guiar hacia la aplicación exclusiva de tal FDP, ya que en los registros de Santa Cruz, Palo Dulce, Tamazula, Choix, Badiraguato y La Tina, con las otras funciones se obtuvieron EEA mínimos, casi iguales, y en varios registros como: Ixpalino, Chinipas, Guamuchil, El Quelite y Pericos, se lograron EEA semejantes. Debido a lo anterior, se recomienda seguir aplicando bajo precepto a las distribuciones GVE y LOG.

Predicciones obtenidas con el mejor ajuste

Las predicciones con cada uno de los mejores ajustes en los registros procesados (Cuadro 4, tercera columna) se obtuvieron según los resultados moLD (Cuadro 3). Para el registro de la estación hidrométrica Jaina, el método de momentos L produjo EEA del orden de 360 m3 s-1 con las distribuciones GVE, LOG y PAG; en cambio, con el procedimiento de los momentos L depurados (1,1) se logró la reducción a 270 m3 s-1 con la función LOG. Para este ajuste en los diagramas de diagnóstico respectivos se verificó el ajuste alcanzado (Figura 2 y 3).

Cuadro 4 Predicciones (m3.s-1) obtenidas con los ajustes mejores en 21 registros de crecientes anuales de la Región Hidrológica No. 10, Sinaloa, México. 

No. Estación hidrométrica FDP y MA Periodos de retorno en años
10 25 50 100 500 1000
1 Huites PAG-moL 6710 10 581 14 355 19 056 34 919 44 673
2 San Francisco PAG-moLD 3619 5771 7926 10 673 20 327 26 486
3 Santa Cruz GVE-moL 2104 3258 4410 5883 11 118 14 497
4 Jaina LOG-moLD 1990 3365 4967 7317 17 985 26 512
5 Palo Dulce PAG-moL 1984 3386 4988 7282 17 183 24 745
6 Ixpalino LOG-moLD 2141 3340 4665 6523 14 340 20 125
7 La Huerta PAG-moL 1764 1935 2002 2041 2079 2085
8 Chinipas LOG-moLD 1725 2553 3396 4495 8563 11 288
9 Tamazula GVE-moL 1009 1390 1745 2173 3543 4349
10 Naranjo PAG-moL 1449 2183 2815 3522 5506 6534
11 Acatitán LOG-moLD 1793 2758 3720 4955 9396 12 297
12 Guamuchil LOG-moLD 1365 2167 3042 4258 9262 12 944
13 Choix PAG-moL 683 998 1275 1592 2514 3009
14 Badiraguato GVE-moLD 2691 5510 9584 16776 62319 109 957
15 El Quelite LOG-moLD 1025 1528 2017 2632 4765 6114
16 Zopilote PAG-moLD 787 976 1087 1175 1319 1361
17 Chico Ruiz PAG-moL 429 490 518 537 558 562
18 El Bledal LOG-moLD 555 828 1102 1458 2752 3608
19 Pericos PAG-moL 480 599 676 742 865 906
20 La Tina PAG-moL 239 392 539 722 1335 1709
21 Bamícori PAG-moL 418 610 769 942 1403 1630

Método de ajuste: moL, por momentos L y moLD, por momentos L depurados (1,1).

Figura 2 Diagrama de probabilidad para el registro de crecientes anuales de la estación hidrométrica Jaina, con ajuste de la distribución LOG (EEA=270 m3. s-1). 

Figura 3 Diagrama de cantidades para el registro de crecientes anuales de la estación hidrométrica Jaina, con ajuste de la distribución LOG (EEA=270 m3. s-1). 

Conclusiones

La motivación para representar a los datos de gastos máximos anuales con una FDP consiste en permitir realizar predicciones confiables o estimaciones de las crecientes de diseño, lo cual depende de la exactitud del ajuste logrado. Por lo anterior, el EEA es el elemento básico de selección.

Los resultados del contraste de las distribuciones GVE, LOG y PAG, en 21 registros de crecientes anuales de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa, México), con los métodos de ajuste de momentos L y de momentos L depurados (1,1), destacan la conveniencia de aplicar sistemáticamente a la distribución PAG, ya que condujo a los EEA menores en once de las series procesadas. Con la función LOG se logran los EEA menores en siete registros y con la distribución GVE en tres.

El uso del método de momentos L depurados (1,1), para lograr mejores ajustes de las tres distribuciones aplicadas, permite sugerir su aplicación sistemática en los análisis de frecuencia de crecientes, ya que reduce el EEA en la mitad de los registros procesados. El ajuste de la distribución LOG con este procedimiento destacó, ya que también alcanza EEA menores, en siete registros.

Literatura Citada

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Recibido: 01 de Mayo de 2015; Aprobado: 01 de Diciembre de 2015

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