Recursos naturales renovables

 

Índice de sitio con polimorfismo complejo para masas forestales de Durango, México

 

Site index with complex polymorphism of forest stands in Durango, México

 

Gerónimo Quiñonez-Barraza¹, Héctor M. De los Santos-Posadas^2*, Francisco Cruz-Cobos², Alejandro Velázquez-Martínez¹, Gregorio Ángeles-Pérez¹, Gustavo Ramírez-Valverde³

 

¹ Forestal. Campus Montecillo. Colegio de Postgraduados. 56230. Montecillo, Estado de México.

² Instituto Tecnológico de El Salto. Mesa del Tecnológico s/n. 34942. El Salto, Durango, México. *Autor responsable. (hmsantos@colpos.mx).

³ Estadística. Campus Montecillo. Colegio de Postgraduados. 56230. Montecillo, Estado de México.

 

Recibido: noviembre, 2014.
Aprobado: marzo, 2015.

 

Resumen

La modelación del crecimiento de la altura dominante y el índice de sitio constituye una herramienta valiosa para clasificar la productividad de los terrenos forestales y definir estrategias de manejo forestal; la calidad de estación es un criterio para definir la programación de las intervenciones silvícolas. La derivación de una ecuación dinámica se presenta a partir del modelo base de Chapman-Richards, considerando el parámetro de la asíntota y el de la tasa de cambio como una función de la calidad de estación. La ecuación dinámica obtenida tiene polimorfismo complejo y múltiples asíntotas y fue ajustada para Pinus arizonica, P. durangensis, P. teocote, P. leiophylla y P. ayacahuite juntos y por especie con variables indicadoras, y se comparó con dos ecuaciones GADA, con el mismo número de parámetros. Éstas están basadas en los modelos de Chapman Richards y Korf, los cuales han sido empleados en la modelación de altura dominante e índice de sitio. La comparación indicó que la ecuación derivada presentó mejor parsimonia en la expresión algebraica que describe la productividad del sitio y consideró la variabilidad de la potencialidad del sitio como una función de la asíntota. La ecuación dinámica puede usarse para predecir el crecimiento en altura dominante e índice de sitio para las masas mezcladas del área de estudio, con tasas de crecimiento similares para Pinus durangensis, P. ayacahuite y P. arizonica, lo cual responde al grado de asociación entre estas especies; Pinus teocote y P. leiophylla presentan las tasas menores de crecimiento.

Palabras clave: Pinus arizonica, Pinus ayacahuite, Pinus durangensis, Pinus leiophylla, Pinus teocote, GADA.

 

Abstract

Modeling of dominant height growth and site index is a valuable tool for classifying productivity of forest lands and for defining forest management strategies; station quality is a criterion for defining the programming of forest interventions. The derivation of a dynamic equation is presented from the base model of Chapman-Richards, considering the parameter of the asymptote and of the exchange rate as a function of site quality. The dynamic equation obtained has complex polymorphism and multiple asymptotes, and was fitted for Pinus arizonica, P. durangensis, P. teocote, P. leiophylla and P. ayacahuite as a group and by species with dummy variables, and was compared with two GADA equations, with the same number of parameters. These are based on the models of Chapman Richards and Korf, which have been used in the modeling of dominant height and site index. The comparison indicated that the derived equation presented better parsimony in the algebraic expression that describes the productivity of the site and considered the variability of the potential of the site as a function of the asymptote. The dynamic equation can be used to predict dominant height growth and site index for the mixed stands of the study area, with similar growth rates for Pinus durangensis, P. ayacahuite and P. arizonica, that responds to the degree of association among these species; Pinus teocote and P. leiophylla present the lowest growth rates.

Key words: Pinus arizonica, Pinus ayacahuite, Pinus durangensis, Pinus leiophylla, Pinus teocote, GADA.

 

INTRODUCCIÓN

Las estimaciones precisas de la productividad constituyen un elemento clave en el manejo forestal, ya que contribuyen a determinar la cosecha, el turno y la periodicidad de las intervenciones silvícolas (Torres-Rojo y Valles-Gándara, 2007; Vargas-Larreta et al., 2010). La productividad forestal es un concepto biológicamente complejo y que en masas forestales se estima indirectamente con el uso de modelos de crecimiento en altura dominante (Martín-Benito et al., 2008). El crecimiento de altura dominante de un rodal monoespecífico y coetáneo es poco afectado por la densidad y seguirá un patrón determinado que además tiene buena correlación con la producción volumétrica (Clutter et al., 1983). Para clasificar a los rodales según su productividad, denominada comúnmente calidad de estación o calidad de sitio, se utiliza el patrón de crecimiento de altura dominante referido a una altura dominante esperada a cierta edad. A esta definición "localizada" del crecimiento de la altura dominante se le denomina índice de sitio (Vanclay, 1994; Martín-Benito et al., 2008). Una caracterización eficaz de la calidad de sitio contribuye al manejo forestal sustentable, facilita la identificación y clasificación de la productividad del sitio, así como a la actualización y proyección de inventarios forestales y a la planeación de las intervenciones silvícolas (Cieszewski et al., 2000a; Vargas-Larreta et al., 2010).

Los modelos de índice de sitio requieren de un modelo de crecimiento, el cual se reestructura para reflejar la condición específica del crecimiento de la altura dominante. Bailey y Clutter (1974) formalizaron una técnica conocida como el Método de Diferencias Algebraicas para derivar ecuaciones dinámicas a partir de modelos de crecimiento (Algebraic Difference Approach o ADA), que involucra esencialmente la sustitución de un parámetro del modelo base para expresarlo como una función del sitio. Este enfoque permite construir modelos invariantes de la edad base e invariantes del camino de simulación. La limitación principal de la metodología ADA es que los modelos derivados son anamórficos o polimórficos, es decir, la hipótesis específica sólo permite variar la potencialidad máxima o las tasas de crecimiento, pero no pueden variar ambas (Bailey y Clutter, 1974; Cieszewski y Bailey, 2000). El método de las ecuaciones en Diferencia Algebraica Generalizada (GADA por sus siglas en inglés), considera que la ecuación base puede ser expandida para permitir que más de un parámetro dependa de la calidad de estación (Cieszewski, 2001). Con la metodología GADA se pueden obtener familias de curvas que, a la vez sean polimórficas y con asíntotas múltiples, y preservar las propiedades lógicas de ser invariantes de la edad de referencia y con respecto al camino de simulación (Cieszewski, 2003).

El reto principal en el desarrollo de ecuaciones dinámicas con el enfoque GADA depende de la disponibilidad de soluciones analíticas para la variable dependiente de la calidad de estación y, por tanto, el número de derivaciones posibles es limitado (Cieszewski y Strub, 2008).

El ajuste de ecuaciones dinámicas requiere de información recolectada en un mínimo de dos condiciones de estado diferentes y la información puede ser obtenida a través de medidas repetidas en parcelas permanentes de muestreo o de análisis troncales, reconstruyendo el crecimiento de los árboles con los anillos anuales de crecimiento (Diéguez-Aranda et al., 2006).

Los objetivos del presente estudio fueron: 1) derivar y plantear una ecuación dinámica en forma GADA a partir de la ecuación base de Chapman-Richards (Richards, 1959), 2) comparar la ecuación desarrollada con dos formas GADA, la primera basada en el modelo de Chapman-Richards (Krumland y Eng, 2005), y la segunda en el modelo de Korf (Barrio-Anta et al., 2006; Sharma et al., 2011) y 3) ajustar la ecuación dinámica en forma global (modelo reducido) y compararla con el uso de variables indicadoras (modelo completo) para determinar diferencias y similitudes estadísticas en los patrones de crecimiento de las especies estudiadas.

 

MATERIALES Y MÉTODOS

Descripción del área de estudio y datos utilizados

La base de datos utilizada se recolectó en masas forestales del Ejido San Diego de Tezains, en el Estado de Durango, México, en la Sierra Madre Occidental (24° 48' 16.98", 25° 13' 47.25" N y 105° 53' 09.81", 106° 12' 52.58" O). Los tipos de climas predominantes del sitio son templado, cálido húmedo y templado subhúmedo, con precipitación media anual de 1375 mm. Las temperaturas medias varían de 8 °C en las zonas más altas a 24 °C en las zonas bajas, en las cuales la altitud media llega a 600 m. La superficie total del predio es 60,802 ha, de las cuales 26 038 tienen manejo forestal.

La base de datos que se utilizó tiene 707, 948, 691, 441 y 348 mediciones de altura y edad de 45, 67, 49, 29 y 24 árboles dominantes-codominantes derribados y evaluados como análisis troncales para Pinus arizonica Engelm, Pinus durangensis Mart., Pinus teocote Schl. Et Cham., Pinus leiophylla Schl. Et Cham y Pinus ayacahuite Ehrenb. Los datos fueron recolectados en las masas mezcladas del predio, incluidas las diferentes calidades de estación y las categorías diamétricas presentes en el área con manejo forestal. Para obtener los pares de altura-edad en cada uno de los árboles, se utilizó el procedimiento propuesto por Car-mean (1972), que es eficiente para este tipo de análisis.

Ecuación propuesta

El desarrollo de una ecuación dinámica en forma GADA considera los siguientes pasos: 1) se selecciona una ecuación base y se identifican los parámetros de la ecuación que serán dependientes de la productividad del sitio; 2) los parámetros seleccionados se expresan como funciones de la calidad de estación definida por la variable χ (variable no observable e independiente que describe la productividad del sitio como resultado de la suma de factores ecológicos, climáticos y otros, como regímenes de manejo y condiciones del suelo) y los parámetros nuevos; 3) la ecuación base bidimensional seleccionada es expandida a una ecuación tridimensional de índice de sitio, y 4) se despeja el valor de χ a partir de condiciones iniciales de la estación, es decir, de valores de partida de altura y edad, de forma que el modelo pueda ser definido implícitamente y aplicado en la práctica (Cieszewski y Bailey, 2000; Cieszewski, 2002).

El modelo de Chapman-Richards (Richards, 1959) es flexible y ha sido utilizado ampliamente en la construcción de curvas de índice de sitio e incremento de la altura en relación con la edad, es representado como:

donde H es la altura dominante, t la edad, α₁ es el parámetro que representa la asíntota horizontal, α₂ la tasa de crecimiento, α₃ la tasa de cambio y e la función exponencial.

Se asume que los parámetros que representan la asíntota y la tasa de cambio pueden ser expresados como funciones de la calidad de estación, definidos por la variable χ, de acuerdo a un modelo lineal inverso (Kiviste et al., 2002), representados como m y b, para α₁ y α₃ (Cieszewski y Strub, 2008). La función lineal inversa considera que hipotéticamente los parámetros pueden ser modelados en función de la inversa de la variable no observable, que representa la calidad de estación, la que no ha sido estudiada para la derivación de ecuaciones dinámicas, expresada como; .

La ecuación GADA, con tasas de crecimiento variables y múltiples asíntotas cuando b₁=0, b₂=1 y renombrando el parámetro α₂ como β₃ para ser expresado como parámetro de ecuaciones dinámicas de crecimiento y α₂= β_3, reparametrizando la expresión (1) y en el estado inicial H₀ = ƒ(t₀, x, β_i) será:

Tomando logaritmos naturales para ambos lados de la ecuación (semi—linealizada) (2), expresada en (3).

Resolviendo para χ se encontró la expresión dada por (4).

Sustituyendo en el estado H₁ = ƒ(t₁, x, β_i) se obtiene la derivación de la ecuación dinámica basada en la ecuación de Chapman-Richards, la cual provee familias de curvas con polimorfismo complejo, dada por la siguiente expresión:

La ecuación dinámica de crecimiento GADA posee un punto de inflexión a la edad t₁ y una expresión del incremento corriente anual de la altura dominante (ICA), dados en (5) y (6).

La ecuación derivada fue comparada con el ajuste global para todas las especies, con dos ecuaciones dinámicas usadas frecuentemente por su flexibilidad en la modelación de altura dominante. La primera ecuación GADA utilizada para la comparación de la expresión propuesta está basada en la ecuación (1), cuando α₁ y α₃ se asumen como dependientes de la variable χ. Para facilitar la derivación de la ecuación dinámica, el modelo base es

reparametrizado tomando como y α₃ = β₁. Considerando la ecuación en la condición inicial t₀ y H₀ dado por (7) y aplicando logaritmos naturales a ambos lados, la formulación es dada por (8).

La solución para χ implica encontrar la raíz de una ecuación de segundo grado y seleccionar la raíz positiva para sustituir en la ecuación dinámica (Cieszeski y Bailey, 2000). La solución para χ de la expresión (8) es dada en (9).

Asumiendo la ecuación (8) en el estado t₁ y H₁ y despejando e^x, resulta la siguiente ecuación dinámica que presenta curvas po-limórficas con asíntotas variables (Krumland y Eng, 2005).

La segunda ecuación utilizada se basa en el modelo base (10) de Korf (1939), donde α₁ es la asíntota, α₁ y α₃ refieren al punto de inflexión y la tasa de crecimiento y e es la base de los logaritmos naturales.

Los parámetros α₁ y α₂ se asumen dependientes de la variable χ, dados por y asumiendo la expresión en la condición inicial H₀ y t₀, queda la ecuación (11).

La solución para χ (12), que al incorporarla a la ecuación (11) en el estado H₁ y t₁, resulta la ecuación (E3), la cual presenta curvas polimórficas con asíntotas variables (Barrio-Anta et al., 2006; Sharma et al, 2011).

Estadísticos de ajuste para comparación de modelos

La bondad de ajuste de los modelos se midió a través del análisis numérico y gráfico de residuales y además se analizaron gráficamente las predicciones del modelo para revisar si eran biológicamente adecuadas a los datos utilizados (Goelz y Burk, 1992; Sharma et al, 2011).

Coeficiente de determinación ajustado

Raíz del cuadrado medio del error

Sesgo promedio absoluto

Coeficiente de variación

Criterio de información de Akaike (Lu y Zhang, 2011)

Prueba de Durbin-Watson (Durbin y Watson, 1971)

Prueba estadística de F (Washington et al., 2011)

donde y_i, ŷ e ȳ son los valores observado, predicho y medio de la altura, n es el número de observaciones, p es el número de parámetros del modelo, e_i el valor residual del modelo ajustado, F^* es el valor de la prueba estadística que sigue una distribución F, SSE_R y SSE_F son la suma de cuadrados del error de los modelos reducido y completo y df_R y df_F son los grados de libertad de los modelos reducido y completo, respectivamente.

Ajuste de los parámetros

Los parámetros globales y específicos del sitio fueron ajustado simultáneamente a través del procedimiento iterativo (nested iterative procedure) descrito por Tait et al. (1988); este procedimiento genera resultados adecuados cuando se usan bases de datos con más de 800 pares de valores altura-edad (Cieszewski, 2003; Krumland y Eng, 2005). Cieszewski et al. (2000b) indican que este enfoque es similar a la modelación con efectos mixtos, pero los parámetros específicos no son modelados explícitamente.

Los modelos fueron ajustados usando en los residuales una estructura autoregresiva continua (CAR(x)) de tercer orden para cada árbol, para corregir la autocorrelación del término del error (Zimmerman y Núñez-Antón, 2001; Nord-Larsen, 2006; Crecente-Campo et al., 2009) y obtener estimadores de los parámetros insesgados y eficientes (Parresol y Vissage, 1998).

donde e_ij es el j residual ordinario en la observación i, e_ij-k es el j-k residual ordinario de la observación i, I_k = 1 cuando j>k y 0 cuando j≤k, ρ_k es el orden k del parámetro autorregresivo continuo a ser estimado y h_ij —h_ij-k es la distancia de separación de la observación de la altura j a la j—k en cada árbol i, con h_ij> h_ij-k. Así ∈_ij es el error independiente que sigue una distribución normal con media cero y varianza constante.

Para reducir los efectos por heterocedasticidad, la varianza del error fue asumida como una función de potencia de la altura predicha (Huang et al., 2000; Diéguez-Aranda et al., 2006). El factor de ponderación utilizado fue , donde k es una constante que tomó el valor de 0.05, para lograr la homogeneidad de los residuales y la consistencia de los estimadores de los parámetros.

Para ajustar la ecuación dinámica propuesta, diferenciando el crecimiento entre especies (para los parámetros globales), se usaron variables indicadoras y a Pinus durangensis como la especie base, por que presenta el número mayor de observaciones; las variables indicadoras fueron definidas como sigue:

donde I_j representa la variable indicadora para cada especie (sp), j = 2 Pinus arizonica, 3 P. teocote, 4 P. leiophylla y 5 P. ayacahuite.

Los parámetros de la expresión (E1) fueron replanteados en función de las variables indicadoras, los efectos aditivos son de las especies diferentes a P. durangensis, de forma tal que cada parámetro global β_i se puede escribir de manera general como:

Para i = 1, 2, 3 de los parámetros de la ecuación dinámica derivada. El modelo completo con el uso de variables indicadoras es dado por E4, el cual sólo considera los parámetros significativos a un nivel de significancia del 5 % para las especies estudiadas.

Las ecuaciones dinámicas de crecimiento en altura, más la estructura del modelo autorregresivo de tercer orden, la función de potencia de la varianza del error y las variables indicadoras para el modelo propuesto, fueron programadas y ajustadas simultáneamente con el procedimiento MODEL de SAS/ETS^R (SAS institute Inc., 2011), que permite la actualización dinámica de los residuales.

 

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Los parámetros estimados, sus errores estándar y los estadísticos de ajuste se obtuvieron para todos los pares de edad altura (combinando todas las especies) (Cuadro 1). La bondad de ajuste y los parámetros estimados para el modelo propuesto con variables indicadoras con Pinus durangensis como base se presentan en el Cuadro 2. Sólo se utilizaron los parámetros significativos por especie del modelo completo. La prueba de F indicó que el modelo completo (E4) fue significativamente diferente al modelo reducido (E1) con un valor de rechazo menor al 1% (Pr |F| <0.0001).

Las familias de curvas de crecimiento de la altura obtenidas con el modelo completo (E4) tomando categorías de índices de sitio de 8 a 24 m, con intervalos de 4 m para Pinus arizonica, P. durangensis, P. teocote y P. ayacahuite y de 8 a 20 m para P. leiophylla, a una edad de referencia de 60 años, muestran las tendencias de los datos utilizados (Figura 1).

Debido a que la ecuación base no tiene una expresión algebraica del turno absoluto (edad a la cual el ICA y el IMA son iguales), la ecuación dinámica tampoco presenta esta cualidad. Los turnos absolutos para las categorías de índice de sitio fueron obtenidos iterativamente por la diferencia entre el ICA e IMA, dando valores a la edad y estabilizando las iteraciones en valores cercanos a 0. Con las familias de curvas de ICA e IMA puede conocerse la edad con máxima producción (turno de máximo rendimiento en altura) en crecimiento en altura, referido a categorías de índice de sitio (Figura 2). En el Cuadro 3 se presentan los valores de la edad a la cual sucede el turno absoluto por categorías de índice de sitio a la edad de referencia de 60 años.

La tendencia de los residuales estandarizados en función de la altura predicha no evidenció heteroce-dasticidad, y mostró el sesgo promedio por categoría de edad del ajuste del modelo completo con variables indicadoras para las especies estudiadas (Figura 3).

La solución para χ que describe la productividad del sitio asociada a los parámetros de la ecuación dinámica, representa una expresión matemáticamente más sencilla que la solución de los modelos contrastados (Cieszewski y Bailey, 2000), por lo que la ecuación propuesta (E1) se puede considerar con mejor parsimonia en la expresión matemática que la ecuación reportada por Krumland y Eng (2005), basada en el modelo Chapman-Richards, y la estudiada por Barrio-Anta et al. (2006) y Sharma et al. (2011), basada en el modelo de Korf. La derivación de la ecuación dinámica (E1) se centra en el parámetro que representa la asíntota del modelo base y no el parámetro de la tasa de crecimiento.

La ecuación (E1) generó familias de curvas de crecimiento con polimorfismo complejo, presentó un punto de inflexión, fue invariante con la edad base, fue invariante con el camino de simulación y coincidió con los datos usados en el ajuste (Cieszewski y Bella, 1989; Cieszewski, 2003; Cieszewski y Strub, 2008; Álvarez-González et al., 2010; Vargas-Larreta et al., 2010). La ecuación derivada conservó el número de parámetros de la ecuación base y permitió modelar el crecimiento de la altura dominante e índice de sitio.

En el ajuste global (sin distinción entre especies), el modelo (E2) resultó ligeramente superior, lo siguieron (E1) y (E3) (Cuadro 1). El modelo (E1) resultó con una estructura autorregresiva de errores de tercer orden ligeramente superior en la corrección de la autocorrelación de los errores, con valor de 1.83 del estadístico de Durbin-Watson, corrigiendo con ello la autocorrelación.

El ajuste de la ecuación dinámica (E4), con el uso de variables indicadoras para las cinco especies estudiadas, mostró que las tasas mayores de crecimiento las presentaron Pinus durangensis, P. ayacahuite y P. arizonica, mientras que Pinus teocote y P. leiophylla tienen tasas de crecimiento similares conforme cambia el índice de sitio. Para el índice de sitio medio (16 m), los turnos de máximo rendimiento en altura son estables.

Las familias de curvas de crecimiento a la edad base de 60 años (Figura 1) y los turnos absolutos (Cuadro 3 y Figura 2) demostraron que las especies estudiadas presentan diferentes patrones de crecimiento de la altura dominante y que sus turnos absolutos son distintos para los índices de sitio, ocurriendo más tarde, conforme la productividad es menor. Esta característica indica que para la planeación de las actividades de manejo forestal, las intervenciones silvícolas pueden enfocarse a una especie particular, con importancia ecológica o maderable. De esta forma, el manejo puede centrarse en las especies existentes o en la reconversión a largo plazo de las masas forestales a especies con patrones mejores de crecimiento y turnos absolutos menores, con las implicaciones ecológicas que se deriven, así, el IS de un rodal está en función de la especie más abundante en el sitio. Los patrones de crecimiento de la altura dominante, en el contexto de silvicultura de masas mezcladas de Pinus, sugieren que a mayor índice de sitio, los ciclos de corta pueden ser menores, pero exige un cuidado adecuado de la densidad y tratamientos complementarios al bosque.

 

CONCLUSIONES

La ecuación dinámica derivada a partir del modelo base de Chapman-Richards posibilita la modelación del crecimiento de altura dominante e índice de sitio. Esta estrategia de modelado es atractiva porque mantiene el mismo número de parámetros de la ecuación base y es realista en relación a las tendencias de los datos usados en el presente estudio. La estructura matemática obtenida es sencilla y tiene ventajas en parsimonia con las ecuaciones contrastadas.

El uso de la ecuación dinámica de crecimiento de la altura dominante e índice de sitio permitirá la clasificación (etiquetado) de la productividad forestal, para las unidades de manejo (subrodales), en la planeación de los tratamientos silvícolas y en la determinación de periodos de corta, de acuerdo a los turnos absolutos por calidad de estación.

 

AGRADECIMIENTOS

El desarrollo del trabajo fue realizado con el apoyo del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Beca No. 247171), del Programa Forestal del Colegio de Postgraduados, así como del Ejido San Diego de Tezains, Durango, México, que permitió tener acceso a la información.

 

LITERATURA CITADA

Álvarez-González, J. G., A. Zingg, and K. V. Gadow. 2010. Estimating growth in beech forests: a study based on long term experiments in Switzerland. Ann. For. Sci. 67: 1-13.         [ Links ]

Bailey, R. L., and J. L. Clutter. 1974. Base-age invariant polymorphic site curves. For. Sci. 20:155-159.         [ Links ]

Barrio-Anta, M., F. Castedo D., U. Diéguez-Aranda, J. G. Álvarez, B. R. Parresol, and R. Rodríguez. 2006. Development of a basal area growth system for maritime pine in northwestern Spain using the generalized algebraic difference approach. Can. J. For. Res. 36: 1461-1474.         [ Links ]

Carmean, W. H. 1972. Site index curves for upland oaks in the Central States. For. Sci. 18: 102-120.         [ Links ]

Cieszewski, C. J. 2001. Three methods of deriving advanced dynamic site equations demonstrated on inland Douglas-fir site curves. Can. J. For. Res. 31: 165-173.         [ Links ]

Cieszewski, C. J. 2002. Comparing fixed- and variable-base-age site equations having single versus multiple asymptotes. For. Sci. 48: 7-23.         [ Links ]

Cieszewski, C. J. 2003. Developing a well-behaved dynamic site equation using a modified Hossfeld IV function Y3=(aXm)/ (c+Xm-1), a simplified mixed-model and scant subalpine fir data. For. Sci. 49: 539-554.         [ Links ]

Cieszewski, C. J., and R. L. Bailey. 2000. Generalized algebraic difference approach: theory based derivation of dynamic site equations with polymorphism and variable asymptotes. For. Sci. 46: 116- 126.         [ Links ]

Cieszewski, C. J., R. L. Bailey, B. E. Borders, G. H. Bristher, and B. D. Shiver. 2000a. Base-age invariance and inventory projections. In: Hansen, M.; and T. Burk (eds) Integrated tools for natural resources inventories in the 21st century. Gen. Tech. Rep. NC-212. St. Paul, MN: U.S. Dept. of Agriculture, Forest Service, North Central Forest Experiment Station. pp. 481-493.         [ Links ]

Cieszewski, C. J., and I. E. Bella. 1989. Polymorphic height and site index curves for lodgepole pine in Alberta. Can. J. For. Res. 19: 1151-1160.         [ Links ]

Cieszewski, C. J., M. Harrison, and S. W. Martin. 2000b. Practical methods for estimating non-biased parameters in self-referencing growth and yield models. University of Georgia PMRC-TR 2000-7. 11 p.         [ Links ]

Cieszewski, C. J., and M. Strub. 2008. Generalized algebraic difference approach derivation of dynamic site equations with polymorphism and variables asymptotes from exponential and logarithmic functions. For. Sci. 54: 303-315.         [ Links ]

Clutter, J. L., J. C. Forston, L. V. Pienar, G. H. Brister, and R. L. Bailey. 1983. Timber management. Wiley, New York, USA. 333 p.         [ Links ]

Crecente-Campo, F., A. Rojo, and U. Diéguez-Aranda. 2009. A merchantable volume system for Pinus sylvestris L. in the major mountain ranges of Spain. Ann. For. Sci. 66: 1-12.         [ Links ]

Diéguez-Aranda, U., H. E. Burkhart, and R. L. Amateis. 2006. Dynamic Site Model for Lobolly Pine (Pinus taeda L.) Plantations in the United States. For. Sci. 53:262-272.         [ Links ]

Durbin, J., and G. S. Watson. 1971. Testing for serial correlation in least squares regression III. Biometrika 58: 1-19.         [ Links ]

Goelz, J. C. G., and T. E. Burk. 1992. Development of a well-behaved site index equation: jack pine in north central Ontario. Can. J. For. Res. 22: 776-784.         [ Links ]

Huang, S., D. Price, D. Morgan, and K. Peck. 2000. Kozak's variable exponent taper equation regionalized for white sprucein Alberta. West. J. Appl. For. 15: 75-85.         [ Links ]

Kiviste, A., J. G. Álvarez G., A. Rojo A., y A. D. Ruiz G. 2002. Funciones de crecimiento de aplicación en el ámbito forestal. Monografía INIA: Forestal No 4. Ministerio de Ciencia y Tecnología. Instituto Nacional de Investigación y Tecnología Agraria y Alimentaria (INIA), Madrid, España. 190 p.         [ Links ]

Korf, V. 1939. Poísplvek k matematické definici vzrùstového zákona lesních porostù. Lesnická práce 18: 339-356.         [ Links ]

Krumland, B., and H. Eng. 2005. Site index systems for major young-growth forest and woodland species in northern California. California Department of Forestry and Fire Protection. California Forestry Report No. 4. 220 p.         [ Links ]

Lu, J., and L. Zhang. 2011. Modeling and prediction of tree height-diameter relationships using spatial autoregressive models. For. Sci. 57: 252-264.         [ Links ]

Martín-Benito, D., G. Gea-Izquierda, M. Del Río, and I. Cañellas. 2008. Long-term trends in dominant-height growth of black pine using dynamic models. For. Ecol. Manage. 256: 1230-1238.         [ Links ]

Nord-Larsen, T. 2006. Developing dynamic site index curves for European beech (Fagus sylvatica L.) in Denmark. For. Sci. 52: 173-181.         [ Links ]

Parresol, B. R., and J. S. Vissage. 1998. White pine site index for southern forest survey. Res. Pap. SRS-10. U.S. Department of Agriculture. Forest Service. Southern Research Station. Asheville, NC. 8 p.         [ Links ]

Richards, F. J. 1959. A flexible growth curve for empirical use. J. Exp. Bot. 10: 290-300.         [ Links ]

SAS Institute Inc., 2011. SAS/ETS^® 9.3 User's Guide. Cary, NC, SAS Institute Inc.         [ Links ]

Sharma, R. P., A. Brunner, T. Eid, and B. H. Oyen. 2011. Modelling dominant height growth from national forest inventory individual tree data with short time series and large age error. For. Ecol. Manage. 262: 2116-2175.         [ Links ]

Tait, D. E., C. J. Cieszewski, and I. E. Bella. 1988. The stand dynamics of lodgepole pine. Can. J. For. Res. 18: 1255-1260.         [ Links ]

Torres-Rojo, J. M., y A. G. Valles-Gándara. 2007. Índice de productividad de sitios multiespecíficos a través de funciones de distancia en sitios forestales. Agrociencia 41: 687-700.         [ Links ]

Vanclay, J. 1994. Modelling Forest Growth and Yield. Applications to mixed tropical forests. CAB International, Wallingford. UK. 312 p.         [ Links ]

Vargas-Larreta, B., J. G. Álvarez-González, J. J. Corral-Rivas, y O. A. Aguirre C. 2010. Construcción de curvas dinámicas de índice de sitio para Pinus cooperi Blanco. Rev. Fitotec. Mex. 33: 343-351.         [ Links ]

Washington, S. P., M. G. Karlaftis, and F. L. Mannering. 2011. Statistical and Econometric methods for transportation data analysis. A Chapman & Hall Book/CRC Taylor & Francis Group. Second Edition. New York, NY, USA. pp. 106-109.         [ Links ]

Zimmerman, D. L., and V. Núñez-Antón. 2001. Parametric modeling of growth curve data: an overview (with discussion). Test 10: 1-73.         [ Links ]