Matemáticas aplicadas, estadística y computación

 

Optimización del índice espectral de la vegetación NDVIcp

 

Optimization of the spectral vegetation index NDVIcp

 

Fernando Paz-Pellat¹*, Martín Bolaños-González¹, Enrique Palacios-Vélez¹, Luís A. Palacios-Sánchez¹, Mario Martínez-Menes¹, Alfredo Huete²

 

¹ Grupo de Gestión de Riesgos y Recursos Naturales Asistida por Sensores Remotos. Colegio de Postgraduados. 56230. Km. 36.5 Carretera México-Texcoco, Montecillo, Estado de México. *Autor responsable. (pellat@colpos.mx).

² University of Arizona. Department of Soil, Water and Environment Sciences 1200 E. South Campus Dr., Rm. 429 Shantz Bldg. #38 Tucson, AZ 85721-0038.

 

Recibido: Octubre, 2007.
Aprobado: Septiembre, 2008.

 

Resumen

La optimización de los índices espectrales de la vegetación para reducir el efecto del suelo y de la atmósfera, requiere hipótesis fuertes cuando no hay conocimiento relacionado con las variables atmosféricas y sólo información contenida en las imágenes satelitales. La optimización del índice NDVIcp, diseñado para minimizar el efecto del suelo, es analizada con una perspectiva de su factibilidad y de las restricciones asociadas a este objetivo. Para explicar la problemática de la optimización del índice espectral de la vegetación NDVIcp, se analizó la estructura matemática de los efectos atmosféricos y se formuló el NDVIcp en función de esta estructura para analizar el problema de minimización de los efectos conjuntos del suelo y de la atmósfera. Los análisis mostraron que sin el conocimiento del tipo de aerosol (espesor óptico de la atmósfera) y modelo atmosférico, los intentos de reducción o eliminación de los efectos atmosféricos son indeterminados (implican soluciones múltiples al problema). Si se conocen la atmósfera y el aerosol, pero no el espesor óptico atmosférico, es posible minimizar los efectos atmosféricos y del suelo usando un esquema de aproximación de las constantes del índice NDVIcp al caso sin atmósfera.

Palabras clave: Optimización, efecto del suelo y atmósfera, patrones estructurales.

 

Abstract

The optimization of the spectral vegetation indices to reduce the effects of soil and atmosphere, requires strong hypotheses when there is no knowledge related to the atmospheric variables and only information contained in the satellite images. The optimization of the index NDVIcp, designed to minimize the effect of soil, is analyzed under a perspective of its viability and of the restrictions associated with this objective. To explain the problematic of the optimization of the spectral vegetation index NDVIcp, an analysis was made of the mathematical structure of the atmospheric effects, and the NDVIcp was formulated as a function of this structure to analyze the problem of minimization of the joint effects of soil and of the atmosphere. The analyses showed that without the knowledge of the type of aerosol (optical thickness of the atmosphere) and atmospheric model, the attempts at reduction or elimination of the atmospheric effects are indetermined (imply multiple solutions to the problem). If the atmosphere and aerosol are known, but not the atmospheric optical thickness, it is possible to minimize the atmospheric effects and of the soil using a scheme of approximation of the constants of the NDVIcp index to the case without atmosphere.

Key words: Optimization, effect of soil and atmosphere, structural patterns.

 

INTRODUCCIÓN

Los efectos atmosféricos presentes en la información espectral de las imágenes satelitales reducen su potencial de aplicación en la agricultura, ya que introducen un factor externo en los patrones de crecimiento de la vegetación. En las aplicaciones de la tecnología de los sensores remotos, la información espectral captada por éstos sufre distorsiones importantes que producen ruidos que contaminan las señales recibidas a nivel exo-atmosférico. La radiación solar emitida por el sol (radianza espectral, si se refiere a un ancho de banda específico), atraviesa la atmósfera terrestre, sufre dispersiones (simples y múltiples) y absorciones por gases y aerosoles (polvo, humo, partículas de contaminantes), de tal manera que la fracción de la radiación solar que llega a la superficie terrestre es reflejada por los objetos en ella y re-enviada a la atmósfera. Así, la radiación reflejada por los objetos terrestres atraviesa de nuevo la atmósfera, sufriendo dispersiones y absorciones, hasta que una fracción relativamente pequeña de la radiación solar emitida es captada por un sensor en una plataforma espacial.

Las radianzas espectrales que captan los sensores tienen dos componentes en relación con las radianzas emitidas por el sol: la primera es una constante aditiva (radianza de trayectoria) que es producto de los fotones que chocan con la atmósfera y son reflejados hacia el sensor, sin tener relación alguna con los objetos terrestres; y la segunda es una constante multiplicativa (transmitancias atmosféricas) producto de las distorsiones que sufren las trayectorias de los fotones (dispersión y absorción) en su camino del sol a la superficie terrestre y de ella al sensor exo-atmosférico. Las perturbaciones que sufren las radianzas espectrales pueden ser aproximadas en forma lineal, por lo que potencialmente se puede recuperar la señal de los objetos terrestres en forma equivalente a que el sensor estuviera sobre la superficie terrestre. Así, la tecnología de los satélites virtuales puede ser desarrollada para aplicaciones operacionales de los sensores remotos.

Para analizar el problema de los efectos atmosféricos en las radianzas o reflectancias espectrales de los objetos terrestres, en este trabajo se analiza su efecto en el índice espectral de la vegetación NDVIcp (Paz et al., 2007), basado en las bandas del rojo (R) e infrarrojo cercano (IRC), para su optimización.

 

MÉTODOS DE CORRECCIÓN ATMOSFÉRICA Y SUS BASES TEÓRICAS

Para eliminar los efectos atmosféricos en las señales espectrales hay alternativas directas e indirectas (Kaufman y Tanre, 1996). En las directas se busca la corrección atmosférica directamente en las reflectancias espectrales, y en las indirectas las correcciones se efectuán sobre los índices de vegetación, los cuales son combinaciones lineales y no lineales de las reflectancias espectrales, particularmente de las bandas del R e IRC.

Métodos generales de corrección atmosférica

Los esquemas de corrección atmosférica directa usados ahora son: Método de objetos invariantes (Moran et al., 1992; Chavez, 1996); Método del objeto oscuro (Kaufman y Sendra, 1988; Liang et al., 1997; Kaufman, 2002); Método del ajuste de histogramas (Richter, 1996a y b); Método de reducción del contraste (Tanre et al., 1988; Tanre y Legrand, 1991). Con excepción del método del objeto oscuro, que usa patrones de invarianza relativos, el resto se basa en hipótesis de invarianza absoluta de los objetos terrestres, por lo que su confiabilidad se limita a la validez de esta hipótesis fundamental. Paz et al. (2005b) han introducido el método de los patrones invariantes (no objetos), que es muy robusto para las correcciones atmosféricas de tipo relativo (en relación a una atmósfera de referencia).

Los métodos directos requieren identificar los objetos terrestres en forma adecuada. En especial los objetos suelo desnudo, vegetación densa y cuerpos de agua son necesarios en muchos métodos de corrección atmosférica, incluyendo los propuestos en este trabajo. Usando índices y patrones de las firmas espectrales de los objetos terrestres es posible caracterizarlos en forma adecuada (Palacios et al., 2006) y analizar sus patrones espectrales.

La corrección atmosférica indirecta de los índices de vegetación ha sido analizada con diferentes enfoques. Myneni y Asrar (1994) analizan el efecto atmosférico sobre los índices de vegetación (IV) más comunes y concluyen que es importante su corrección, ya que la atmósfera (aerosoles, principalmente) cambia el contraste entre la banda del R e IRC, la cual es usada en los IV. Así, los efectos atmosféricos dan como resultado que, a medida que su intensidad es mayor, los IV muestran que la vegetación disminuye (cobertura, índice de área foliar o IAF, o biomasa), como artefacto de los cambios atmosféricos.

Usando las diferencias entre las bandas del rojo y del azul, Kaufman y Tanre (1992) propusieron un índice de vegetación (ARVI) que reduce el efecto de los aerosoles, después de un proceso previo de las reflectancias por efectos de la dispersión molecular (Rayleigh) y del ozono. Independientemente de su validez, esta técnica requiere la banda del azul, la cual no está disponible en algunos satélites (NOAA y SPOT, por ejemplo). Uno de los IV más usados es el de diferencias normalizadas o NDVI (Rouse et al., 1974); aunque Paz et al. (2007) muestran que este IV tiene serias limitaciones, producto de sus hipótesis intrínsecas. El NDVI trata de minimizar los efectos del fondo de la vegetación (suelos, generalmente), por lo que al tratar de reducir los efectos de la atmósfera, éstos son interactivos con los primeros. Huete y Liu (1994) discutieron la influencia del suelo en el NDVI al aumentar el efecto de los aerosoles atmosféricos y concluyeron que el efecto del suelo se reduce al aumentar la intensidad de los efectos de la atmósfera, y que para una visibilidad atmósferica (espesor óptico) menor a 5 km, la contribución del suelo en el NDVI es despreciable. En la perspectiva de efectos interactivos, Liu y Huete (1995) desarrollaron un esquema para la minimización conjunta de los efectos del suelo y de la atmósfera en los IV. Estos desarrollos sirvieron de base para la generación de un IV mejorado, EVI, que es un producto operacional del sensor MODIS en la plataforma espacial TERRA (Huete et al., 1999).

Cualquier intento de optimización conjunta de los efectos atmosféricos y del suelo tiene asociado el problema de optimización local, ya que sólo es posible una optimización para un modelo atmosférico y tipo de aerosol. El problema global de optimización requiere una estrategia que considere explícitamente la estructura matemática del IV y de los modelos atmosféricos y tipos de aerosoles.

 

ESTRUCTURA MATEMÁTICA DE LOS EFECTOS ATMOSFÉRICOS

En la Figura 1a se muestran las curvas iso-IAF (IRC=a₀+b₀R) de simulaciones radiativas (Paz et al., 2005a), con y sin efectos atmosféricos. En el resto de ese trabajo, las reflectancias están en porcentajes, por lo que las intersecciones a₀, y similares, tienen las mismas unidades y b₀, y pendientes similares, son adimensionales. Los efectos atmosféricos fueron simulados con el modelo 6S (Vermote et al., 1997): modelo atmosférico de verano de latitud media, aerosol continental con una visibilidad de 10 km, ángulo cenital solar de 30° y una altitud a nivel del mar (0 km). En la Figura 1b se muestra que la estructura matemática de los patrones entre a₀-b₀ se mantiene, pero no sus valores. El NDVIcp fue diseñado para modelar la primera parte del patrón de la Figura 1b (del inicio hasta la transición a un cambio de pendiente de la curva), por lo que los efectos atmosféricos modifican las constantes c y d usadas en este índice.

Los efectos atmosféricos en las reflectancias pueden aproximarse en forma lineal (Steven, 1998; Paz et al., 2005b), considerando sólo las interacciones de primer orden de las reflectancias. Así, la relación entre las reflectancias con atmósfera (subíndice 2) con las reflectancias terrestres o de una imagen de referencia con una atmósfera dada (subíndice 1), para las bandas espectrales del R y del IRC, estará dada por:

donde, los parámetros a y b para cada banda espectral están definidos en función del modelo atmosférico y de aerosol usado, para una visibilidad atmosférica (espesor óptico de la atmósfera), ángulo cenital solar y altitud dadas.

Para analizar los patrones estructurales asociados al efecto atmosférico se usaron simulaciones radiativas del modelo 6S (Vermote et al., 1997), para los modelos atmosféricos y tipos de aerosoles mostrados en el Cuadro 1.

Los dos tipos generales de patrones de los aerosoles son los asociados a j = 1, 5 y 6 (el de interés para las aplicaciones de los índices de vegetación) y los asociados a j=2, 3 y 7. En el caso de j = 1, 5 y 6, para un modelo atmosférico dado, la variación de b_R/b_IRC con el espesor óptico en la banda de 550 nm (τ₅₅₀) es prácticamente similar, por lo que pueden ser agrupados en un aerosol genérico. En la Figura 2 se muestra el caso de 0 = 1; j = 1, 5 y 6).

Para la misma atmósfera i=1, en la Figura 3 se muestra el caso para los aerosoles j=2, 3 y 7. Los aerosoles 2 y 7 tienen patrones muy similares, que pueden dar lugar a confusión muy fácilmente.

Se observa de la Figura 3 que las curvas de los aerosoles j=2, 3 y 7 convergen en un punto (se interceptan), por lo que las relaciones entre sus intersecciones I y pendientes P deben ser de tipo lineal, tal como se muestra en la Figura 4.

Este espacio meta-parámetrico define una relación simétrica general (cualquier modelo atmosférico) tipo:

donde, M_i es un parámetro que es función del modelo atmosférico i (que varía en función del ángulo cenital solar y de visión, así como de la altitud).

La relación (2) ofrece una forma muy compacta para caracterizar las variaciones de b_R/b_IRC con los espesores ópticos (visibilidades atmosféricas), asociadas a una combinación (i, J). Su aplicación para realizar correcciones atmosféricas no será analizada en este trabajo.

Para el caso del aerosol genérico ( =1, 5 y 6), pueden ser analizadas las pendientes P e intersecciones I de la variación de b_R/b_IRC con la transmitancia atmosférica, para diferentes modelos atmosféricos (Figura 5).

El aerosol genérico definido tiene la ventaja de tener doble simetría en relación a los modelos atmosféricos (Figura 6) por lo que:

donde, N depende sólo de los ángulos cenitales solares y de visión, así como de la altitud.

 

OPTIMIZACIÓN POR EFECTOS ATMOSFÉRICOS DEL ÍNDICE NDVIcp

El índice de vegetación NDVIcp está basado en los patrones espectrales, espacio del R-IRC, de las líneas de igual vegetación (iso-IAF), Figura 1. Se observa de la Figura 1 que los suelos (IAF=0) caen sobre una línea de suelo (Baret et al., 1993), definida como:

donde, el subíndice S denota suelo.

El índice NDVIcp desarrollado por Paz et al. (2007), puede formularse como (no atmósfera o atmósfera de referencia):

donde, la pendiente de las líneas iso-IAF es estimada de:

donde c₁ y d₁ son constantes empíricas que relacionan las intersecciones y pendientes de las líneas iso-IAF:

O en forma inversa, como:

Usando datos de un experimento de maíz (Bausch, 1993) y algodón (Huete et al., 1985), Paz et al. (2007) propusieron usar los valores c₁=1.0 (a_S=0.0 y b_S=1.0) y d₁= - 0.022 (d₁= - 2.2 para reflectancias en proporciones). El NDVIcp es válido hasta la transición de la fase exponencial a la lineal (plantas individuales), en la etapa vegetativa del crecimiento de la vegetación.

Paz et al. (2005b) han demostrado que un cambio atmosférico entre un par de imágenes satelitales (atmósferas diferentes; 1 para la de referencia y 2 para la que se quiere estandarizar), usando la línea iso-IAF y sustituyendo las relaciones (1) en ésta, implica las siguientes relaciones:

La relación (10) define el método de corrección atmosférica directa de las b₀.

Al sustituir las relaciones (9) y (10) en la relación (8), se obtiene:

La ecuación (11) es no lineal e implícita en b_0,2 y puede aproximarse por:

En el presente caso los parámetros m₂ y p₂ fueron estimados de simulaciones radiativas atmosféricas del modelo 6S, usando valores de 0.3≤(1/b₀₂)≤0.9, con intervalos de 0.1 (para 1/b₀₂<0.4 el comportamiento es no lineal; aunque puede aproximarse en forma lineal). En general, el modelo de la relación (12) se comporta muy bien en los ajustes de regresión lineal (R²>0.99), Figura 6.

En la Figura 7 se muestra la relación lineal entre m₂ y p₂, para las diferentes visibilidades obtenidas al dejar fijo el aerosol y modelo atmosférico.

Considerando que para una atmósfera dada, todos los tipos de aerosoles convergen en el punto m₂= m₁ y p₂= p₁ (no atmósfera), Figura 7, entonces el patrón de todos los aerosoles de un modelo atmosférico forman un abanico radial desde el punto de convergencia para el caso de no atmósfera. Este patrón implica que hay una relación lineal entre m₂ y p₂ de cada atmósfera (Figura 8):

Usando un esquema de compactación estadística, se puede parametrizar AA y BB en función del ángulo cenital solar (θs, en grados) y la altitud (ALT, en km), para un ángulo de visión a nadir:

De esta forma se puede determinar AA y BB en función de la altitud y ángulo cenital solar de cada píxel, usando solamente una matriz de coeficientes k_i, i = 1,2,...,7. En general los ajustes del polinomio de la ecuación (14) muestran excelentes ajustes a las simulaciones radiativas atmosféricas (R²>0.99). Debe notarse que la argumentación desarrollada en este trabajo es independiente de la precisión de las relaciones (14), u otras mostradas adelante; ya que se puede usar en forma directa las simulaciones atmosféricas para estimar AA y BB y no utilizar las relaciones definidas.

En la aplicación del índice espectral NDVIcp se requiere conocer las constantes m₂ y p₂ para la condición atmosférica de la imagen satelital, a nivel global o por ventanas dentro de la imagen. Puesto que esta información no está disponible, ya que es dependiente del modelo atmosférico, del tipo de aerosol y de la visibilidad atmosférica o espesor óptico a 550nm, no es posible optimizar en forma global el NDVIcp y sólo puede aproximarse si se considera fija la atmósfera y aerosol y se selecciona una visibilidad promedio (alrededor de 25 km, por ejemplo).

Asi, considerando que es posible obtener el espesor óptico de las relaciones anteriores (Figura 2), usando el esquema desarrollado por Paz et al. (2005b), se puede parametrizar m₂ y p₂ en función del espesor óptico:

Al igual que los casos de AA y BB, las constantes e, f, g y h pueden ser parametrizadas usando un polinomio (con interacciones):

El ajuste de los polinomios (16) muestra una R²>0.99 a los valores de las simulaciones radiativas atmosféricas.

Con los desarrollos hasta este punto, se puede usar una estrategia de corrección atmosférica donde el espesor óptico a 550 nm se obtiene de b_R/b_IRC y con este valor se obtienen las constantes e, f, g y h; y asi m₂ y p₂ (c₂ y d₂) requeridos para estimar el efecto atmosférico en b₀₂ (y NDVIcp). No obstante, en la Figura 2 se muestra que la corrección atmosférica en el NDVIcp tiene soluciones múltiples para cuando no se conoce el aerosol (y modelo atmosférico). Asi, conocido el modelo atmosférico, el modelo de aerosol genérico de la Figura 2 implica que para un mismo espesor óptico hay valores diferentes de m₂ y p₂ (c₂ y d₂) y, por tanto, valores diferentes del NDVIcp.

 

EFECTO DE LA VISIBILIDAD ATMOSFÉRICA (ESPESOR ÓPTICO)

En la Figura 9 se muestra la relación a_0,1- (1/b_0,1) para un experimento de maíz (Bausch, 1993), donde se utilizó una regresión sin forzarla a pasar por el punto (0, 1), por lo que c₁=0.968 y d₁ = -0.0207.

Usando la base de datos experimentales del R e IRC para el maíz, fueron realizadas simulaciones atmosféricas (modelo verano latitud media, aerosol continental; altitud a 0 km y ángulo cenital solar de 30°), para visibilidades de 7 a 200 km. Las curvas espectrales iso-IAF fueron ajustadas por regresión lineal para cada visibilidad atmosférica simulada.

En la Figura 10 se muestran las constantes c₂ y d₂ para las visibilidades simuladas, donde estas tienen una relación lineal (Figura 7).

Aunque el uso de una VIS= 25 km reduce los efectos atmosféricos (punto intermedio de los caso de VIS= 7 km y VIS=no atm), éstos todavía son notorios. Una alternativa es usar un valor de c₂= 1.0 y d₂=- 0.0144 (obtenido de la relación mostrada en la Figura 10), la cual considera una constante c₂ similar al caso sin atmósfera (que también puede ser aproximado por c₂=1.0 y d₂=-0.022; Paz et al., 2007). En la Figura 11 se muestran los resultados obtenidos usando esta estrategia, donde también se muestra el caso del NDVI clásico. En la Figura 11a el valor del NDVIcp tiene un rango de variación de 0 a alrededor de 0.2 (efecto atmosférico), producto de usar una estrategia donde se uso c₂= 1.0.

Para el caso del NDVI clásico, los resultados muestran un muy pobre desempeño para reducir los efectos atmosféricos. Por tanto, se puede concluir que este índice resulta inadecuado para estimar variables biofísicas asociadas a la vegetación, bajo efectos combinados del suelo y de la atmósfera.

 

CONCLUSIONES

En este trabajo se desarrolló una modelación de los patrones estructurales asociados a los efectos atmosféricos, de modo que puedan ser usados a partir del conocimiento únicamente del modelo atmosférico y el tipo de aerosol. Usando el concepto de un aerosol genérico (aerosol continental, quema de biomasa y desértico), se demostró que para una razón de las pendientes (efectos atmosféricos) de las bandas del R e IRC, se obtiene un espesor óptico muy similar. Esto implica que una estimación del espesor óptico, caso del aerosol genérico, no es suficiente para corregir el efecto atmosférico en el NDVIcp; requiriéndose el conocimiento del modelo atmosférico y del tipo de aerosol para optimizar este índice.

En la situación contraria, conocido el modelo atmosférico y el tipo de aerosol, pero no el espesor óptico o visibilidad, es posible optimizar el NDVIcp usando una estrategia de aproximar la constante c para el caso atmosférico, a un valor similar al del caso sin atmósfera.

Así, la búsqueda de un IV óptimo, para los efectos atmosféricos y del suelo es una tarea indeterminada, a menos que se conozca el modelo atmosférico y el tipo de aerosol. Dicha información no está disponible en las imágenes satelitales y sólo aproximada en algunos productos operacionales, como los del sensor MODIS.

 

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