Introducción

Una de las cuestiones fundamentales en la economía forestal es la determinación del turno óptimo de una plantación forestal (^{Posavec, Beljan, Krajter y Persun, 2012}) y este problema ha captado la atención de gestores forestales a lo largo de los últimos 40 años (^{Bettinger, Boston, Siry y Grebner, 2009}). Según ^{Bauhaus, Puettmann y Messier (2009)}, esta edad de corta de los árboles puede variar entre 25 años y 150 años en dependencia de las prácticas silvícolas en la producción maderera; ^{Schneider (2009)} atribuye esta gran variación al hecho de que la rotación en sí misma depende de factores como especie, sitio, meta económica y meta técnica definidos por el sistema de manejo y los objetivos de la producción (tipo de madera).

El turno es el tiempo transcurrido entre la realización de la siembra y el corte raso de un bosque coetáneo (^{Clutter, Fortson, Pienaar, Brister y Bailey, 1983}; ^{Bettinger et al., 2009}; ^{Posavec et al., 2012}), definido conforme a criterios de madurez biológica o económica (^{Gagnon, 2013}). ^{Bettinger et al. (2009)} identifican siete tipos de rotaciones o turnos: la física, la técnica, la silvicultural, la biológica, la basada en la generación de ingresos, la económico-financiera y la basada en el valor del crecimiento porcentual. De todos estos turnos, los más populares son los técnicos basados en el criterio de máxima productividad (incremento medio anual [IMA] = incremento corriente anual [ICA]) y los económicos generalmente basados en el valor presente líquido (VPL), en la máxima renta del bosque o en el valor esperado de la tierra (VET), también conocido como el paradigma Faustmann-Pressler-Ohlin (FPO) o criterio de ^{Faustmann (1995)}. Este último criterio consiste en maximizar el VPL del proyecto no tomando en consideración el costo de la tierra.

Dos aspectos motivaron la realización de la presente investigación: un aspecto teórico relacionado con el antiguo, pero aún actual conflicto existente entre los criterios de determinación del turno forestal y otro práctico relacionado con la no coincidencia de los turnos predeterminados con los turnos finales realmente adoptados. Este último aspecto, según ^{Schneider (2009)}, se atribuye a razones económicas y de disponibilidad de madera que pueden llevar las empresas a anticipar o prolongar su ciclo de rotación. Por lo tanto, se consideró que el carácter monocriterio de la mayoría de los métodos clásicos de determinación del turno (edad de rotación) puede ser considerado como una limitación, recurriendo a alternativas más sofisticadas que permitan la combinación de los criterios generalmente utilizados (IMA y VET).

Las técnicas de optimización son herramientas que facilitan la planificación estratégica ideal, resolviendo problemas como la determinación de la edad de rotación (^{Diaz-Balteiro, Bertomeu y Bertomeu, 2009}). De estas técnicas, las de toma de decisión multicriterio son las más usadas en las últimas décadas y entre las numerosas investigaciones que se han desarrollado usándolas, se pueden citar las de ^{Romero, Ros y Diaz-Balteiro (1998)}, ^{Ríos, Díaz-Balteiro y Romero (1998)}, ^{Dragoi y Borlea (1998)}, ^{Diaz-Balteiro, Martell, Romero y Weintraub (2014)}, basadas en el uso múltiple de los bosques, utilizando como método de análisis multiobjetivo, para remover las divergencias entre los óptimos, la programación compromiso.

Ante el expuesto y bajo la hipótesis de que los turnos bicriterio (criterios volumétricos de máxima productividad y criterios económicos) serían más realistas y prácticos en la gestión de plantaciones forestales, el presente estudio fue realizado con el objetivo que se presenta a continuación.

Objetivos

Proponer alternativas de determinación de turnos técnicos, económicos y técnico-económicos a través del uso de métodos de programación lineal entera, programación por metas ponderadas y programación por metas lexicográficas en plantaciones de Pinus caribaea Morelet var. caribaea Barr. & Golf. de la Empresa Forestal Integral (EFI) Macurije, Pinar del Río, Cuba.

Materiales y métodos

Modelos de programación matemática para la determinación de la edad de rotación

Los modelos de programación matemática propuestos fueron: el modelo R-01, basado en la programación lineal entera para la determinación de las edades monocriterio, y los modelos R-02 y R-03 para la determinación de las edades multicriterio.

En los modelos propuestos, los índices caracterizan a aquellos factores controlables que influyen directamente en la maximización del IMA o del VET:

CDIRIS: valor del criterio de determinación de la edad de rotación de la plantación en la edad i y en el índice de sitio s (IMA o VET);

I: edad máxima que puede ser alcanzada por la plantación o edad hasta donde llega la ecuación de crecimiento y producción

S: cantidad de clases de sitio identificadas en el área de estudio

IMAIS y VETIS: incremento medio anual y valor esperado de la tierra en la edad i, en el sitio s

XIS: variable entera binaria, que toma el valor “0” si la plantación no debe ser cortada en la edad i en el sitio s y el valor “1” en el caso contrario.

wmxs: ponderación (relativa a importancia) atribuida a la meta mx en los sitios s; con x=1 para el IMA y x=2 para el VET

λ: coeficiente de ponderación de las metas. Estos coeficientes son complementarios y suman 1, siguiendo la relación: wm1+wm2=1

tmxs: niveles de aspiraciones de la meta mx en cada uno de los sitios s

hmnms;pms: variables de desvíos positivos pms y negativos nms en el intento de alcanzar los niveles de aspiraciones tmxs de la meta mx en cada uno de los índices de sitio s

Modelo de programación lineal entera (Modelo R-01)

MAX Z= CDIRIS* XIS

Sujeto a:

Restricción de una ocasión única de corte por calidad de sitio en el período considerado

∑i=1I Xis=1 ;s=1,…, S

Condición binaria de las variables de decisión

 Xis ≥0; Xis ≤1 , con i=1,…,I  y  s=1,…, S

Modelos de programación por metas ponderadas (R-02) y de programación por metas lexicográficas (R-03) para la determinación de los turnos técnico-económicos

Las funciones objetivo FO1 y FO2 corresponden a los modelos de programación por metas ponderadas (PMP) y programación por metas lexicográficas (PML), respectivamente. En la formulación de los modelos, cada una de estas funciones fue sujeta a las mismas restricciones (R1 y R2), que representan las metas y sus variables de desvío. La inclusión de las variables de desvío convierte esas restricciones en “restricciones blandas” que confieren a esos modelos una flexibilidad ausente en los modelos de programación lineal. Las restricciones duras R3 y R4 representan la condición binaria de las variables de decisión y R5 representa la restricción de ocasión única de corte por calidad de sitio en el período considerado.

Min⁡∑mwmxstmxshmn1S;n2S (F01)

Lexmin⁡a=∑Sn1S;∑Sn2S (F02)

Sujeto a:

Meta1: ∑SIMAIS*XIS+n1S-p1S=T1S;

i=1,…,I ;  s=1,…, S (R1)

Meta2: ∑SVETIS*XIS+n2S-p2S=T2S ;

i=1,…,I ;  s=1,…, S (R2)

XIS≥0i=1,…,I      ;     s=1,…, S (R3)

XIS≤1i=1,…,I      ;     s=1,…, S (R4)

∑i=1IXIS=1i=1,…,I     ;   s=1,…, S (R5)

Un algoritmo es un conjunto de operaciones lógicas y matemáticas, realizadas en una secuencia especificada (^{Dykstra, 1984}). Los algoritmos seguidos para la aplicación de los modelos de programación matemática propuestos se encuentran resumidos en la Figura 1.

Figura 1 Flujogramas de determinación de los TTO, TEO (B) y TTEO (A). 

Resultados

Turnos técnicamente óptimos (TTO) para Pinus caribaea var. caribaea

El error de muestreo fue de 2,19%; al ser inferior al error permisible del 10%, la muestra piloto fue considerada suficiente para la realización de las estimaciones y ajustes de los modelos.

En la Tabla 4 se presentan las estimaciones de los parámetros de cada uno de los modelos después de la realización de los ajustes. Las pruebas de Kolmogorov-Smirnov no fueron significativas únicamente para los modelos de Schumacher y Silva-Bailey. Este resultado indicó que el supuesto de normalidad fue observado apenas en estos modelos. La prueba de Durbin-Watson indicó que solo el modelo de Schumacher presentó residuos libres de autocorrelación serial. Los modelos de Chapman-Richards y Silva-Bailey presentaron una autocorrelación serial negativa. En cuanto a la homocedasticidad, los modelos que cumplieron con ese supuesto fueron los de Schumacher y Chapman-Richards. Estos resultados fueron confirmados por la distribución de los residuos (Fig. 2).

Figura 2 Distribución de los residuos de los modelos de crecimiento forestal ajustados. 

Esos resultados, sumados al alto coeficiente de determinación ajustado y menor error típico de estimación (Tabla 4), favorecieron la selección de la ecuación obtenida del ajuste del modelo de Schumacher como la más adecuada para la predicción precisa del crecimiento y producción en las plantaciones de Pinus caribaea var. caribaea en la empresa Macurije.

El modelo de Schumacher linealizado y ajustado permitió obtener las ecuaciones de la Tabla 5. Por el método gráfico se obtuvieron turnos (Fig. 3 y 4) coincidentes con los alcanzados con el método analítico (Tablas 4 y 5). Los resultados indican TTO comprendidos entre 31 años y 35 años, inversamente proporcionales al índice de sitio (Tabla 5; Fig. 3).

Figura 3 Edad de Rotación Técnica (ERT) por índice de sitio para Pinus caribaea var. caribaea. 

Figura 4 Turnos técnicamente óptimos (TTOs) para Pinus caribaea Morelet var. caribaea 

Turnos económicamente óptimos para P. caribaea var. caribaea

En el turno económico, los resultados son muy divergentes ya que dependen de muchos factores económicos, siendo la principal, la tasa de interés adoptada. Los resultados del presente trabajo fueron TEO de 18 años para el sitio I, de 19 años para los sitios II y III, de 20 años para el sitio IV y de 21 años para el sitio V (Fig. 5) con VET proporcionales al índice de sitio.

Figura 5 Edades de Rotación Económica (EREs) por índice de sitio para P. caribaea var. Caribaea. 

Modelo R-01 para la determinación de las edades de rotación de P. caribaea var. caribaea

Como se puede apreciar en la Tabla 6, las edades de rotación determinadas tanto por el criterio técnico y por el económico dieron resultados semejantes a los obtenidos con los enfoques analíticos y gráficos generalmente utilizados.

Modelo R-02 para la determinación de los turnos óptimos para P. caribaea var. caribaea

Los escenarios C ₁ y C ₅ , en los cuales una de las metas se elimina por recibir el peso cero, redujo el modelo de programación por metas ponderadas a un modelo monoobjetivo de programación lineal. Esto explica el alcance de las metas (nmx=0) a pesar de la utilización de los niveles de aspiraciones máximas de VET e IMA obtenidos en los enfoques clásicos (analíticos y gráficos). Los turnos del escenario 1 (ICC1) fueron similares a los turnos económicamente óptimos (Fig. 5), variando entre 18 años y 21 años e inversamente proporcionales al índice de sitio. El mismo comportamiento se observó en el escenario 5 con una variación de los turnos (ICC5) entre 31 años y 35 años (Tabla 7), conforme a lo observado en la determinación de los turnos técnicos utilizando los enfoques clásicos (Tabla 5; Fig. 3).

En los escenarios 2, 3 y 4, los niveles de aspiración adoptados para cada una de las metas fueron los máximos alcanzados (Tabla 6) cuando se optimizó cada una de las metas de forma independiente con el modelo R-01 o cuando fueron utilizados los enfoques clásicos. Debido a eso y, como era de esperarse, no se alcanzó ninguna de las metas (nmx≠0) en estos tres escenarios en los cuales las dos metas o criterios (VET e IMA) fueron combinados.

La clave del éxito del uso de los modelos de programación por metas está en la determinación de los niveles de aspiraciones alcanzables (^{Romero, 1993}). Con el fin de alcanzar soluciones viables, los niveles de aspiraciones fueron bajados a IMA = 12 m³/ha/año y VET = 700 USD/ha. Los resultados (Tabla 8) indicaron una mejor satisfacción de las metas en los sitios.

En el primer sitio, todas las metas fueron alcanzadas en los diferentes escenarios. Pero en el segundo sitio, se observó que la meta 1 (IMA) quedó 0,13 m³/ha/año por debajo de su nivel de aspiración en los escenarios 2, 3 y 4. En el sitio III, el nivel de aspiración de esta misma meta tampoco fue alcanzado; esta vez, quedó 0,76 m³/ha/año por debajo del nivel de aspiración en los escenarios 2 y 3 y en 0,65 m³/ha/año por debajo en el escenario 4. En este mismo escenario 4 del sitio III, se registró que la meta 2 (VET) quedó debajo del nivel de aspiración en 15,66 USD/ha. Ninguna de las metas fue alcanzada en los sitios IV y V, como era de esperar, ya que los mismos presentaron productividades máximas y VET inferiores a los niveles de aspiración preestablecidos (IMA = 12 m³/ha/año y VET = 700 USD/ha).

En los escenarios de los sitios IV y IV, se registraron incumplimientos mínimos de la meta 1. Estos incumplimientos fueron disminuyendo a medida que la meta 1 fue teniendo la mayor importancia (peso). En cuanto a la meta 2 en esos sitios, los niveles de incumplimientos fueron mayores y crecientes a medida que esa meta fue perdiendo su importancia, es decir a medida que se va evolucionando del escenario 1 (máxima importancia al VET) al escenario 5 (mínima importancia al VET) (Tabla 8).

Modelo R-03 para la determinación de los turnos óptimos para P. caribaea var. caribaea

En el nivel 01 del escenario A, los resultados indicaron el alcance de la primera meta (IMA=12m3/ha/año), con turnos (en años) de 31, 32, 33, 35 y 35 para los cinco sitios, respectivamente (Tabla 9). Los mismos resultados indicaron que en este nivel, el nivel de aspiración de la meta 1 no fue alcanzado en los sitios IV y V.

En el nivel 02 del escenario A, solamente se consideraron los tres primeros sitios en los cuales se alcanzaron los niveles de aspiraciones de la primera meta en el nivel 01. Los resultados obtenidos (Tabla 9) indican la satisfacción de la segunda meta únicamente en el sitio I con un turno de 22 años. En los sitios II y III, se observó que en los turnos de 24 años y 25 años indicados en la solución del modelo, la segunda meta no fue alcanzada. Las faltas de alcance fueron de 35,18 USD/ha y 322,75 USD/ha para los sitios II y III, respectivamente.

El escenario B presentó resultados similares. En el nivel 01, la primera meta (VET = 700 USD/ha) fue satisfecha solo en los tres primeros sitios con turnos variando entre 18 años y 19 años. Esos turnos están en consonancia con los anteriormente encontrados en esos sitios por los enfoques analíticos, gráficos y por los modelos de programación lineal entera y de programación por metas ponderadas. En los últimos dos sitios de este mismo nivel, la meta no fue alcanzada en n24=48,32 USD/ha en el sitio IV y  n25=483,51 USD/ha en el sitio V, con turnos de 20 años y 21 años, respectivamente.

Pasando al nivel 02 de este escenario B, en los sitios I, II y III por ser los únicos que tuvieron sus niveles de aspiración satisfechos en el nivel 01, la segunda meta (IMA=12m3/ha/año) fue alcanzada solo en el sitio I con un turno de 22 años, resultado en conformidad con los encontrados en los enfoques anteriores. Aunque en los sitios II y III no se hayan alcanzado los niveles de aspiraciones por valores mínimos, se observaron turnos similares de 24 años.

Discusión

La ecuación resultante del ajuste del modelo de Schumacher indica que los plantíos de Pinus caribaea var. caribaea presentaron una producción de 375,734 m³/ha correspondiendo a un IMA de 11,051 m³/ha/año. Ese incremento es superior al señalado por ^{Aldana, Puentes y Romero (2006)} para la especie en el plan de ordenación de la empresa (6,5 m³/h /año), pero está en consonancia con resultados más recientes como los de ^{Barrero, Peraza, Álvarez y Guera (2011)}, quienes encontraron incrementos comprendidos entre 10 m³/ha/año y 12 m³/ha/año.

Todas las ecuaciones indican TTO comprendidos entre 32 años y 34 años (Tabla 4) para la especie en la empresa. Este resultado está en conformidad con los turnos encontrados por ^{Alder, Drichi y Elungat (2003)}, ^{Aldana, Padilla y Rodríguez (2011)} y ^{Barrero et al. (2011)} que fueron 22 años - 33 años, 31 años y de 30 años - 35 años, respectivamente. Los estudios de ^{Peraza (2011)} indicaron TTO más cortos de 27 años.

Las expresiones de determinación del TTO de los modelos de Schumacher y Chapman-Richards indicaron turnos únicos. Sin embargo, la expresión del TTO del modelo de Silva-Bailey indicó dos edades de rotación (turnos) (Fig. 4). Es común que, a lo largo del crecimiento de las plantaciones, el ICA y el IMA se igualen más de una vez. Esto ocurre en las predicciones realizadas con ciertos modelos y queda evidente en su expresión de determinación del TTO. Si el argumento de la función de Lambert, que es una función no inyectiva contenida en la expresión del TTO, pertenece al intervalo (-1/e; 0), esta será doble-valuada y cada uno de estos valores permitirá obtener un determinado TTO. En el presente estudio, el argumento de la función de Lambert es 1/b_1 =1/(-5,711)=- 0,1751. Este valor pertenece al intervalo (-1/e; 0), por ello, la función de Lambert tomó los valores -2,76 y -0,22 que proporcionan TTOs de 32,21 años y 2,54 años, respectivamente. La invalidez del menor turno es evidente ya que la madera es producida para aserrío y a esa edad las plantaciones aún no alcanzaron las características dendrométricas exigidas. Los resultados obtenidos por este enfoque analítico (Tabla 4) coinciden con los observados por el método gráfico (Fig. 4). En cuanto a los TEO, los resultados económicamente consistentes de la Figura 5 y la Tabla 6 difieren de los de ^{Peraza (2011)}, que encontró turnos que variaron entre 22 años y 34 años.

En los puntos A y B de la Figura 6 ocurren los turnos económicos (19 años) y técnicos (33,57 años), respectivamente. Según ^{Rodriguez, Bueno y Rodriges (1997)}, existen valores específicos de volumen de madera, valor esperado de la tierra, precio por unidad de volumen, coinciden y generan una única edad de rotación volumétrica y económicamente óptima. Las técnicas multicriterio aplicadas en la presente investigación no buscan esos valores, sino una edad en la cual, niveles de aspiraciones de IMA y VET deseados por el productor o el tomador de decisión sean satisfechos. Es de esperarse que los niveles de aspiración alcanzables, considerando ambos criterios, sean menores que los alcanzados en los óptimos individuales.

Figura 6 Edades de rotación económica (A) y técnica (B) para P. caribaea var. caribaea 

La Figura 7, como resultados de la implementación del modelo R-02, indicó turnos que variaron desde los turnos económicamente óptimos (p = 0) (18-21) años a los técnicamente óptimos (p = 1) (31-35) años. Se percibe en esos resultados que los escenarios en los que el VET tiene mayor peso han generado turnos más próximos del TEO y en caso contrario, turnos mayores hasta llegar a los TTO encontrados en el escenario 5 (C5).

Figura 7 Variación de las edades de rotación en función de las ponderaciones y del índice de sitio 

La combinación de los dos criterios permitió obtener turnos intermedios entre el técnico y el económico. Es importante especificar que estos resultados son específicos de los presentes escenarios analizados y no son generalizables, existiendo la posibilidad de obtener, conforme lo señalado por ^{Rodriguez et al. (1997)}, turnos económicos más largos que turnos técnicos o volumétricos para determinados escenarios económicos.

Un turno intermedio fue obtenido también por ^{Romero et al. (1998)}. Considerando la captura de carbono como un servicio público a ser respetado en la gestión de los bosques, para resolver la divergencia entre la rotación económica de Faustmann (VET) y la rotación social (máximo ingreso generado por créditos de CO₂), que dieron respectivamente turnos de 50 años y 100 años para Fagus sylvatica, los autores propusieron un modelo de programación compromiso que permitió obtener un turno intermedio de 80 años que maximiza el peso de ambos criterios.

En los bosques templados de coníferas de la Columbia Británica, añadiendo el riesgo de incendios forestales a los criterios anteriores y utilizando la programación compromiso, ^{Diaz-Balteiro et al. (2014)} encontraron un turno económico de 65 años reducido a los 48 años por la consideración del riesgo de incendio; y un turno o rotación social que pasó de 122 años a 82 años debido al mismo factor.

Comparación de los diferentes enfoques en la determinación de los turnos óptimos

En los tres enfoques utilizados en el presente trabajo, los turnos fueron inversamente proporcionales a las cualidades de sitio, es decir a medida que la calidad del sitio aumenta, la edad de corte disminuye. Esta coherencia en los resultados es indicativa de la consistencia de las técnicas tradicionalmente utilizadas y de los modelos propuestos (Fig. 8).

*** indican combinaciones (enfoque + criterio y/o ponderación) que proporcionan TTOs

**las que proporcionan TEOs y

* las que generan turnos intermedios (TTEOs) por la combinación de ambos criterios (IMA y VET).

Figura 8 Variación de la edad de rotación del P. caribaea var. caribaea en función del índice del sitio y del enfoque empleado. 

El modelo de programación lineal entera (R-01) maximizando el IMA y el modelo de programación por metas ponderadas (R-02) con la máxima ponderación atribuida al IMA (λ = 1) presentaron resultados similares a los obtenidos con los enfoques clásicos - AC- (IMA), generalmente utilizados para determinar el turno técnicamente óptimo. Tendencias similares se observaron en los turnos económicos, ya que los resultados de estos modelos maximizando el VET fueron similares a los de los enfoques clásicos maximizando el mismo criterio.

En cuanto al modelo de programación por metas lexicográficas, sus resultados fueron similares a los del modelo de programación por metas ponderadas cuando el mismo peso o importancia fue atribuido a los dos criterios (IMA y VET), es decir cuando λ = 0,5.

Se percibió, a través de los resultados obtenidos, una mayor versatilidad del modelo de programación por metas ponderadas, pues el mismo permitió una mejor manipulación de las ponderaciones o pesos a ser atribuidos a cada una de las metas (criterios) y así simular y determinar los turnos óptimos en todos los posibles escenarios.

Conclusiones

Los turnos técnicamente óptimos del Pinus caribaea var. caribaea variaron entre 31 años y 35 años, según la calidad del sitio y los económicamente óptimos entre 18 años y 21 años.

Los turnos técnico-económicos están altamente influenciados por el criterio de mayor importancia en el enfoque de metas ponderadas.

Los turnos técnico-económicos encontrados para el Pinus caribaea var. caribaea en la EFI Macurije con ambos enfoques fueron edades intermedias entre los turnos económicos y los técnicos, variando entre 23 años y 25 años en función de la capacidad productiva del sitio.

El modelo programación por metas ponderadas fue el más versátil en la determinación del turno técnica y económicamente óptimo en los diferentes escenarios.