Introducción

El volumen es la variable más importante que se estima en los inventarios forestales. La predicción exacta del volumen fustal y comercial es fundamental para la planificación, evaluación y elaboración de programas de manejo con fines de aprovechamiento maderable (^{Torres y Magaña, 2001}); sin embargo, en la mayoría de los casos existe cierto nivel de incertidumbre por parte de los dueños o poseedores de los bosques por conocer las existencias maderables en sus rodales (^{López, Cruz, Nájera y Hernández, 2015}).

Los métodos utilizados para la cuantificación del volumen, son de tipo directo e indirecto; el primero requiere de un muestreo destructivo, cuyo costo y tiempo es elevado; el segundo se refiere a expresiones matemáticas que relacionan variables de diámetros y alturas comerciales para construir modelos tanto para describir el perfil fustal como para estimar el volumen total, el volumen comercial y obtener una distribución porcentual del volumen (^{Prodan, Peters, Cox, y Real, 1997}). El conjunto de estos modelos por especie conforma lo que se denomina sistema de cubicación a nivel de árbol individual y constituye una herramienta poderosa de apoyo para el manejo forestal.

Las funciones de ahusamiento estiman el diámetro a cualquier altura comercial del árbol o viceversa, por integración matemática se genera una expresión que permite estimar el volumen comercial para determinados productos que se destinan a la industria forestal de acuerdo con su diámetro o altura comercial predefinidos (^{Kozak, 2004}). Con la integración matemática se genera un sistema de ecuaciones compatibles d-Vc que al compartir los mismos parámetros y una estructura geométrica similar puede ajustarse por regresión de manera simultánea, con esto, se logra reducir la varianza, por lo que se hace más consistente estadísticamente (^{Cruz-Cobos, De los Santos-Posadas y Valdéz-Lazalde, 2008}).

Las diferentes funciones de ahusamiento son definidas por sus expresiones matemáticas y pueden ser desde un polinomio simple, de exponente variable, trigonométrico, hasta uno de tipo segmentado; siendo mejores, en términos de precisión, estos últimos (^{Trincado y Burkhart, 2006}). Por esta razón, para modelar el perfil diamétrico o fustal del arbolado en las masas forestales comerciales se han utilizado con mayor frecuencia las funciones de ahusamiento de tipo segmentadas compatibles con el volumen comercial; estas funciones además tienen flexibilidad para modelar tanto arboles de bosques naturales como de plantaciones forestales comerciales (^{Hernández, De los Santos, Ángeles, Valdez y Volke, 2013}; ^{Tamarit et al., 2014}; ^{Quiñonez-Barraza, De los Santos-Posadas, Álvarez-González y Velázquez-Martínez, 2014}; ^{Uranga-Valencia, De los Santos-Posadas, Valdez-Lazalde, López-Upton y Navarro-Garza, 2015}).

El volumen de un árbol, el factor de forma y la distribución de los productos están influenciados por las condiciones ambientales del rodal, por la densidad o por la silvicultura aplicada (^{Halord y Hocker, 1984}; ^{Uranga-Valencia et al., 2015}). Por esto, la actualización de las herramientas silvícolas utilizadas en la elaboración y ejecución de programas de manejo forestal es fundamental para un manejo sostenible de los recursos. En Quintana Roo y la Península de Yucatán, las ecuaciones para estimar volumen requieren ser actualizadas, de esta forma, es posible obtener una valoración mejor de los productos forestales.

Objetivos

El objetivo fue generar un sistema compatible de ahusamiento-volumen comercial, a partir del ajuste y evaluación de tres modelos de ahusamiento de tipo segmentados, ajustados en forma compatible con sus respectivas funciones de volumen comercial para Swietenia macrophylla King (caoba) en bosques tropicales de Quintana Roo. El sistema de cubicación será una herramienta de utilidad para construir tablas de volumen total y volumen comercial con distribución de productos, en la elaboración y ejecución de programas de manejo.

Materiales y métodos

La muestra de árboles analizada se colectó en los ejidos de Felipe Carrillo Puerto, Chan Santa Cruz, Naranjal Poniente, X-Hazil, Bacalar y Caobas en el estado de Quintana Roo. El clima es cálido sub-húmedo (Am) y los suelos son de tipo Litosol y Rendzina con topoformas correspondientes a lomeríos bajos y llanuras rocosas (^{Comisión Nacional Forestal [Conafor], 2014}).

El sistema de muestreo fue selectivo y se aplicó un método no destructivo mediante medición indirecta; en predios forestales bajo manejo se seleccionaron 116 árboles monopódicos, sin malformaciones, sin presencia de plagas o enfermedades y sin daños por incendios o rayos. La muestra abarcó la variabilidad de formas y tamaños de la especie en todas las categorías diamétricas. Se midieron de forma directa los diámetros del fuste a 0.3 m, 0.6 m, 0.9 m y 1.3 m de altura, este último corresponde al diámetro normal (D), y luego a 2.5 m de altura, posteriormente, con un telerelascopio de Bitterlich Modelo CP: "Metrisch Correction Porcentaje ®", se midieron en forma indirecta los diámetros a la base del árbol (d ₀ ) y tanto los diámetros como las alturas a distintas secciones (d _i y Hm _i ) del fuste hasta llegar a la altura total (H) y diámetro cero (punta del árbol). El empleo de este tipo de medición indirecta es una opción que permite hacer distribuciones y proyecciones de productos sin emplear un método destructivo (^{Kurinobu, Daryono, Mohanmad y Matsune, 2007})

El volumen de cada sección o troza se calculó con la fórmula de Smalian, el de la punta de cada árbol con la del cono y el volumen total (Vt) por árbol se obtuvo al utilizar el método de trozas traslapadas (^{Bailey, 1995}). Con las variables dasométricas referidas, se conformó una base de datos de ahusamiento-volumen para su análisis y procesamiento estadístico.

En el análisis de regresión, se evaluaron tres sistemas compatibles de ahusamiento y volumen comercial (d-Vc) (Tabla 1); los dos primeros suponen la existencia de dos puntos de inflexión que indican el cambio de cuerpo dendrométrico en el fuste, en tanto que el último supone un solo punto de inflexión.

El ajuste simultáneo de cada sistema compatible se realizó con el programa estadístico SAS 9.2 ®, mediante el procedimiento model y la técnica de máxima verosimilitud con información completa (fiml) de SAS (^{SAS Institute Inc., 2009}). El ajuste con fiml produce estimaciones consistentes en los parámetros cuando el ajuste se realiza de forma simultánea, lo cual minimiza los errores de ambas ecuaciones d - Vc (^{Fang et al., 2000}; ^{Cruz-Cobos et al., 2008}). Para evitar problemas de convergencia al estimar los parámetros cuando Hc _i = H, es decir d _i = 0, se agregó un valor de delta igual a 0.01 en este punto y una variable indicadora en la punta del árbol (^{Fang et al., 2000}).

En estudios de ahusamiento-volumen las variables analizadas tienen múltiples observaciones en una misma unidad de muestreo (fuste del árbol), lo cual viola algunos supuestos de la teoría de regresión, básicamente se presentan problemas de heterocedasticidad y autocorrelación de los errores, situación que ocasiona parámetros ineficientes y errores estándar mayores al mínimo buscado (^{Hernández et al., 2013}). La heterocedasticidad se corrigió con regresión ponderada, la cual proporcionó varianza menor (1/(D ² A)) (^{Fernández, Fassola y García, 2011}); la autocorrelación se corrigió mediante un modelo autorregresivo de tiempo continuo (CAR(X)) (^{Zimmerman y Nunez-Anton, 2001}; ^{Rojo, Perales, Sánchez-Rodríguez, Álvarez-González y Gadow, 2005}).

La evaluación de la calidad de ajuste y selección del mejor sistema se realizó con base en los valores menores de la suma de cuadrados del error (SCE) y de la raíz del cuadrado medio del error (RCME); el valor mayor en el coeficiente de determinación ajustado (R ² _aj. ), además de la significancia de los parámetros a un nivel de confiabilidad de 95% (^{Corral, Bario, Aguirre y Diéguez, 2007}). La homocedasticidad se verificó de forma gráfica y la autocorrelación se evaluó con la prueba de Durbin-Watson (DW) (^{Da Cunha, Vargas y Escalier, 2009}).

Con el mejor sistema seleccionado, se determinó el factor de forma promedio del fuste, al dividir el volumen que estima el sistema y el volumen de un cilindro teórico, de acuerdo con las variables diámetro normal y altura total; esto se realizó por árbol y se obtuvo un promedio. También se calculó el índice de esbeltez para cada categoría diamétrica, tal como lo sugieren ^{Nájera-Luna y Hernández-Hernández (2008)}. Finalmente, con las estimaciones realizadas con el sistema compatible seleccionado, se construyó una tabla de distribución de productos.

Resultados

El ajuste de los tres sistemas se realizó con las correcciones de heterocedasticidad en ambas funciones (ahusamiento-volumen) y de la autocorrelación al usar un modelo autorregresivo de orden CAR (3) (Tabla 2). Los sistemas ajustados con la estructura CAR (3) presentaron parámetros significativos a 95% (p = 0.05) y los valores menores en los estadísticos SCE y RCME, y R ² _aj superior a 0.89.

Los ajustes de los tres sistemas compatibles fueron adecuados para modelar el perfil fustal y para estimar el volumen comercial y total, sin embargo, el mejor sistema d-Vc fue el de ^{Fang et al. (2000)}, porque comparativamente presentó los valores más bajos en la SCE y RCME, y los valores mayores en R ² _aj. , al explicar 97% y 99% de la variabilidad del perfil fustal y del volumen comercial, respectivamente. Las estimaciones realizadas con el sistema de ^{Fang et al. (2000)} no evidenciaron heterocedasticidad en ambos componentes d-Vc (Fig. 1) y presentaron los mejores valores en el estadístico de DW (Tabla 2).

Figura 1 Comportamiento gráfico de los residuales del ahusamiento (izquierda) y del volumen comercial (derecha) del sistema compatible de ^{Fang et al. (2000)} con tendencia homocedástica. 

Los valores de los parámetros b _i obtenidos en el sistema de ^{Fang et al. (2000)} corresponden al modelo de volumen total de Schumacher-Hall: Vt = 0.000071 D ^1.940562 H ^0.831416. El factor de forma (ff) promedio obtenido para los arboles de caoba en Quintana Roo fue de 0.47, cercano a un paraboloide (^{Prodan et al., 1997}). El índice de esbeltez promedio fue de 0.48 y disminuyó a medida que el árbol incrementaba sus dimensiones (Tabla 3).

El sistema compatible seleccionado estima, en promedio, el primer punto de inflexión en los árboles de caoba a 5.6% (p ₁ ) de la altura total y es donde sucede el cambio de cuerpo dendrométrico de neiloide a paraboloide, mientras que el cambio de paraboloide a cono sucede a 83.1% (p ₂ ) de la altura del árbol (Tabla 2).

Al verificar las estimaciones obtenidas con el sistema de ^{Fang et al. (2000)}, se observó un comportamiento lógico porque el diámetro disminuye y el volumen comercial se acumula progresivamente a medida que la altura en el fuste aumenta (Fig. 2).

Figura 2 Distribución del diámetro (izquierda) y del volumen comercial (derecha) estimados con el sistema d-Vc de ^{Fang et al. (2000)} respecto a la altura (Hm) sobre el fuste para árboles de caoba. 

La tabla de distribución de productos para arboles individuales de caoba que se construyó con el sistema compatible seleccionado se muestra en la tabla 4. En su elaboración se establecieron los diámetros comerciales siguientes: para productos primarios (chapa y aserrío), diámetros de 32.5 cm o superiores; para productos secundarios (cortas dimensiones) de 17.5 cm a 32.4 cm; y de 17.5 cm o menores para productos como celulósicos y leña (Tabla 4).

El sistema compatible d-Vc de ^{Fang et al. (2000)} estima con precisión el volumen total y comercial en árboles de caoba; por ejemplo, para un árbol promedio con 55 cm de diámetro normal y 20 m de altura total, se estima un volumen total de 2.0429 m³ (al aplicar el modelo de Vt=0.000071D ^1.940562 H ^0.831416). En su respectiva distribución de productos que se destinaría a la industria forestal, se tendría que el mayor volumen se concentra para productos primarios (trocería comercial) con 1.707 m³; para productos secundarios con 0.2806 m³; y para celulosa y leña se estima un volumen mínimo con valor de 0.0555 m³ (Tabla 4).

Lo anterior permite obtener una valoración económica por tipo de producto, de acuerdo con los precios de los productos maderables para caoba señalados por la Secretaría de Medio Ambiente y Recursos Naturales y la

Conafor ^{[Semarnat-Conafor] (2016)} para el segundo trimestre del año 2016. El valor de producto primario para el árbol del ejemplo es de MXN 4077.85 y el de secundarios de MXN 1472.22, en tanto que la leña en la zona de estudio se ocupa para consumo local y no tiene valor económico para la industria, por tanto, no se consideró para la proyección económica. De esta manera, para un árbol de 55 cm de diámetro normal y 20 m de altura total se estiman un valor total de MXN 7373.18, donde 94.3 % se obtiene con trocería comercial y 5.6 % con trocería secundaria.

Discusión

Los resultados obtenidos al utilizar un modelo de orden CAR(3) en los sistemas compatibles de ahusamiento-volumen comercial evaluados, son similares a los publicados por ^{Milena, Barrios y Trincado (2015)}, quienes utilizan en los modelos de ahusamiento una estructura autorregresiva de orden 3 en Eucalyptus tereticornis y los resultados estadísticos mejores se obtuvieron con los modelos mencionados, debido a que los modelos autorregresivos de orden 1 y 2 no reducen adecuadamente la autocorrelación de los errores en el sistema.

El sistema d-Vc segmentado compatible de ^{Fang et al. (2000)} presentó los estadísticos de ajuste mejores, este sistema ha mostrado resultados similares en otros estudios, por ejemplo en bosques manejados de Pinus patula en Hidalgo, México (^{Hernández et al., 2013}); en seis especies de bosques naturales del género Pinus en Durango, México (^{Quiñonez-Barraza et al., 2014}); al comparar la forma y el rendimiento maderable de P. patula en bosques naturales en los estados de Hidalgo y Oaxaca (^{Uranga-Valencia et al., 2015}), México; y al emplear estos mismos modelos para construir sistemas compatibles en bosques de Pinus ayacahuite en Oaxaca (^{Ramírez-Martínez, Santiago-García, Quiñonez-Barraza, Ruiz-Aquino y Rodríguez-Ortiz, 2016}).

La regresión ponderada utilizada redujo la varianza en los modelos que conforman el sistema compatible y presentó una distribución homogénea de los residuales, lo cual de acuerdo con ^{Fernández et al. (2011)} no evidenció problemas de heterocedasticidad. Con base en ^{Rojo et al. (2005)} y ^{Da Cunha et al. (2009)}, el estadístico de DW con valor ≥ 1.5 indica que no existe correlación espacial entre los datos y que los errores son independientes.

El sistema compatible propuesto tiene una capacidad alta para describir el perfil fustal y estimar el volumen comercial; además del volumen total. Con este sistema de cubicación se actualizan los modelos que hasta ahora siguen siendo utilizados para elaborar y ejecutar programas de manejo forestal y que fueron generados para diferentes especies tropicales maderables por ^{De los Santos (1976)} para la Península de Yucatán y por ^{Patiño, López y Gómez (1994)} bajo condiciones ambientales y físicas diferentes a las actuales.

El factor de forma promedio determinado para la muestra de árboles de esta especie fue de 0.47, lo cual pone de manifiesto que han sobreestimado los volúmenes fustales aprovechados en los programas de manejo debido a que, para las dos ecuaciones propuestas por ^{De los Santos (1976)}, se estima un ff de 0.80 y 0.72, y de 0.57 para los modelos señalados por ^{Patiño et al. (1994)}. El valor menor del ff calculado en este estudio puede probablemente ser atribuido al cambio de las condiciones de la composición, estructura y manejo silvícola de los bosques tropicales de Quintana Roo, en donde las dimensiones del arbolado de esta especie se han reducido, debido a un sobre aprovechamiento o a un manejo inadecuado de estos bosques.

El índice de esbeltez (IE) promedio obtenido, de 0.48, indica mayor estabilidad en los árboles ante los efectos de vientos fuertes. Esto coincide con ^{Arias (2004)}, quien refiere que IE bajos son más estables ante daños mecánicos por la asociación de la forma geométrica que los individuos tienen, mientras que individuos con IE altos (1:1 o superiores) son menos estables (^{Durlo, Jaques y Denardi, 1998}). El valor de IE muestra una relación proporcional de crecimiento promedio en los árboles de la especie donde, por cada centímetro que aumentan en diámetro normal, aumenta 0.48 metros de altura total.

Los puntos de inflexión encontrados en los árboles de caoba (5.6% y 83.1% de la altura total) son similares a los hallados por ^{López et al. (2015)} con el sistema de ^{Fang et al. (2000)} en Pinus douglasiana, donde el primer y segundo punto de inflexión ocurrieron a 5.4% y 66.8% de la altura total, respectivamente; sin embargo, difiere con los resultados de ^{Milena et al. (2015)} que van desde 3.9% hasta 48.0% para el primer punto de inflexión y de 80.0% a 96.2% para el segundo punto, al utilizar los modelos segmentados de ^{Max y Burkhart (1976)}; ^{Cao, Burkhart y Max (1980)} y ^{Parresol et al. (1987)} en E. tereticornis. Esta diferencia puede ser atribuible a las especies, tasas de crecimiento, calidades de estación, densidad o los tratamientos silvícolas utilizados.

Las modelaciones del perfil fustal y las estimaciones del volumen comercial y total obtenidas con el sistema de ^{Fang et al. (2000)} presentan un comportamiento lógico y el patrón es similar al que encontraron ^{Li y Weiskittel (2010)} en Canadá para las principales especies de coníferas, y también a los hallados por ^{Tamarit et al. (2014)} en México para plantaciones de Tectona grandis (teca). El sistema de cubicación generado a partir de un modelo de ahusamiento que es compatible con su respectiva función de volumen comercial es una herramienta cuantitativa importante para la planeación del manejo técnico de los bosques donde esta especie se desarrolla, punto de vista que coincide con lo referido por ^{Tapia y Návar (2011)}, por ^{Santiago-García, De los Santos-Posadas, Ángeles-Pérez, Valdez-Lazalde y Ramírez-Valverde (2013)} y por ^{López et al. (2015)}, en el sentido de que los sistemas compatibles de ahusamiento y volumen comercial, juegan un papel importante en la planeación, evaluación y aprovechamiento forestal.

Conclusiones

El sistema compatible de ahusamiento y volumen comercial de ^{Fang et al. (2000)} presentó la mejor calidad de ajuste de entre los sistemas evaluados y fue seleccionado como el mejor para describir de forma confiable y precisa el perfil fustal y para estimar el volumen comercial de los árboles de S. macrophylla. Este sistema contiene en forma explícita al modelo de volumen total de Schumacher-Hall.

El sistema de cubicación generado es una herramienta cuantitativa de alta utilidad por los prestadores de servicios técnicos forestales en la planeación y ejecución de los programas de manejo forestal en los bosques tropicales, porque S. macrophylla es una de las especies guía para la aplicación de sistemas silvícolas en la región, además permite realizar una valoración financiera de los productos a obtener de un aprovechamiento forestal maderable con esta especie. Esta herramienta puede integrarse como un paquete tecnológico y complementarse con información de inventarios forestales operativos para obtener las existencias maderables por tipos de productos para cada unidad de manejo.