2.1 ¿Cuál es la clase de ítem del que debe ocuparse primeramente la lógica?

En general, la noción de proposición ha tenido un papel central en el análisis de argumentos, haciendo referencia principalmente a la relación que existe entre los argumentos del lenguaje natural y su reconstrucción en argumentos de los lenguajes formales. Según ^{Haack (1978, cap. 6)}, el problema de la proposición hace referencia directa a la pregunta acerca de cuál es la clase de ítem del que debe ocuparse primeramente la lógica, que ha sido ampliamente tratado desde una perspectiva sintáctica o semántica y, en menor medida, desde una perspectiva pragmática.

Aristóteles(en Peri hermeneias) fue el primero en introducer el concepto de proposición. La noción de proposición que manejaba Aristóteles era simplemente la de una “expresión lingüística” del juicio emitido por un pensamiento (^{Aristóteles, 1938, p. 119 [III]}; cfr.^{Barnes, 1993}; ^{Corcoran, 1974}; ^{Łukasiewicz, 1957}). A partir de esta idea, algunos continuadores de Aristóteles (cfr. ^{Tomás de Aquino, 2001, p. 199}) entendieron que el juicio es el acto por medio del cual se afirma o se niega algo de algo y la proposición es el producto lógico de dicho acto (es lo pensado en el juicio). Esta concepción resultó del interés de Aristóteles por saber cuándo, en realidad, tenemos un enunciado verdadero.

Desde la Conceptografía de ^{Frege (1879)}, la fundamentación de las proposiciones lógicas en toda argumentación ha intentado sustentarse en la fuerza de la demostración o prueba que establece la conexión de verdades a través de las cadenas de inferencia dadas en un argumento. Según Frege, el conocimiento de una verdad científica radica -en última instancia- en una prueba lógica pura, “la cual, prescindiendo de las características particulares de la cosa, solo se funda en las leyes sobre las que descansa todo conocimiento” (^{Frege, 1972a, p. 3}). En efecto, la importancia de la noción de proposición abarca una cuestión filosófica fundamental referente a la relación que se establece entre lenguaje y mundo (^{Frege, 1972b}). Los diferentes sistemas formales han intentado capturar dicha relación.

Específicamente, a partir de las primeras consideraciones de ^{Bolzano (1837)}, ^{Brentano (1874}, ¹⁹²³⁾ y ^{Frege (1879)} se ha discutido sobre qué es aquello que hace verdadero al enunciado con el que se habla con verdad. Con ello surgió la pregunta: ¿cuál es la unidad lógica mínima de conocimiento verdadero?¹ Estos autores pusieron el acento distintamente en el juicio o en la proposición; no obstante, concordaron en la idea de que el único camino a seguir era el del análisis lógico del lenguaje. Entendieron la lógica como el estudio de una estructura compuesta de proposiciones (objetos independientes) y de relaciones entre esas proposiciones (la de consecuencia lógica es la más importante). Se inauguraba así un nuevo tratamiento lógico-filosófico del problema para una nueva lógica, a finales del siglo XIX.

En el seno de la lógica matemática del siglo XX surgió un conjunto de técnicas, conceptos y resultados que constituyeron un enfoque (teoría de juegos) desde el cual la idea de inferencia lógica es un caso particular de la interacción entre los participantes de un diálogo crítico (cfr. ^{Von Neumann y Morgenstern, 1953, pp. 88-97}). La dialógica participará de este enfoque, que abarca un conjunto de lógicas que pueden ser llamadas “las lógicas de la interacción” (cfr. ^{Van Benthem, 2010}), ya que tienen un interés por la teorización y sistematización del diálogo. A partir de modelos matemáticos que describen las interacciones, estudian las estrategias y las decisiones de jugadores sobre sistemas o estructuras matemáticas formalizadas.

El enfoque dialógico le concede a la noción de diálogo un rol protagónico, cuestión que se remonta a la antigua concepción griega de la lógica como estudio sistemático de los diálogos en los que dos agentes intercambian argumentos sobre un mismo tema en discusión (como en Platón). Actualmente, el interés está en diseñar juegos de diálogo que proporcionen una semántica para una amplia gama de sistemas lógicos (cfr. ^{Keiff, 2009}). Según ^{Van Benthem (2014)}, el atractivo que tienen los juegos es que proporcionan un enfoque dinámico y fructífero de los procesos cognitivos. En este sentido, tienen una estrecha y natural conexión con el campo de la lógica. El acento en lo dinámico, con el que se caracteriza a este enfoque, hace hincapié en lo dicho por ^{Martin-Löf (1996)}, quien sugiere que el vocabulario filosófico ha presentado a menudo la siguiente ambigüedad: un mismo término designa a la vez una acción y el contenido o resultado de dicha acción. Es el caso, entre otros, de ‘conocimiento’, ‘razonamiento’ y ‘proposición’. En efecto, para Van Benthem, en lógica se ha dado esa ambivalencia de términos que oscila entre un polo “estático”, el contenido, y otro “dinámico”, la acción, confirmando las diferentes representaciones de lo que debe ser la tarea propia de la lógica. En el pragmatismo dialógico se pone el acento en la acción; por este motivo, cuestiones como las reglas de juego, estrategias, conjunto de movimientos de ataque, conjunto de movimientos de defensa, niveles de juego, niveles de estrategia y aserción (entre otros) serán muy importantes y marcarán el rumbo del análisis lógico.

2.2 Intuicionismo, constructivismo y giro dinámico

La teoría de juegos tiene como base lógico-filosófica una crítica directa contra el enfoque clásico (“estático”) de la lógica, que aquí identificamos con la lógica y filosofía de Frege, con el enfoque de teoría de modelos y con el enfoque de teoría de la prueba. Su principal fuente es el intuicionismo de L. E. J. Brouwer, que se desarrolla especialmente a partir de una crítica al concepto de verdad lógica (cfr. ^{Brouwer, 1975a}, ^1975b). La idea central es que la cuestión de la verdad de las proposiciones de la matemática sólo se sustenta en una “evidencia intuitiva” que no hace referencia a ninguna clase de hechos u objetos externos o de clase superior, como las proposiciones a priori. La matemática no sería nada más que una construcción del espíritu humano y su única limitante es la posibilidad de esa construcción: “la existencia de un objeto matemático es equivalente a la posibilidad de su construcción” (^{Heyting, 1971, pp. 1-12}). Por este motivo, Brouwer sostiene que “las matemáticas no pueden lidiar con ninguna otra cuestión más que con la que ella misma ha construido” (^{Brouwer, 1975a, p. 51}).

Según ^{Read (1995, pp. 203-240)}, la teoría de la verdad que critica el intuicionismo es una teoría de la correspondencia en dos sentidos:

Este realismo ontológico resulta del intento de explicar esa independencia de las proposiciones; desplaza el problema desde el valor de verdad objetivo de las proposiciones hacia la existencia objetiva de los hechos con la intención de lograr abordarlo de una manera más sencilla: “la existencia de los hechos es una perogrullada que nadie querría negar” (^{Read, 1995, p. 204}). Esta concepción particular de los hechos y de sus relaciones con las proposiciones fue (y sigue siendo) un aspecto distintivo del realismo lógico. Fundamentar una teoría en los objetos autosubsistentes y autónomos ontológicamente ha sido, históricamente, la forma estándar de afirmar la creencia en la objetividad sobre esta zona del discurso.

El constructivismo (intuicionismo) ha intentado mostrar que una noción epistémica de verdad sin restricciones es incoherente, no por sus consecuencias ontológicas, sino por sus consecuencias epistémicas. Su incoherencia emerge por la pretensión de objetividad de su noción de verdad, no por su compromiso con los objetos. El problema central se refiere al compromiso del realismo con la existencia de proposiciones cuya verdad no podemos, de ninguna manera, demostrar o verificar.

El constructivismo intuicionista es un antirrealismo. En efecto, esto quiere decir que afirma que la verdad no es una característica intrínseca de una proposición como algo que ocurre independientemente de nosotros y como resultado de alguna estructura objetiva (v. g. de los números reales o de una estructura espacio-extensional, geométrica). La verdad es sólo una noción epistémica: la verdad de una proposición consiste en nuestra capacidad para demostrarla o verificarla. A partir de aquí, la prueba ocupará un lugar central para la teoría constructivista. Entonces, afirmar una proposición como verdadera es tener una prueba de ello, o ser capaz de ofrecer un procedimiento efectivo para encontrarla.

En el enfoque clásico la prueba es concebida como una noción puramente sintáctica, como una forma de generar verdades lógicas (teoremas) por medio de un procedimiento que sólo se fija en las propiedades formales de las expresiones lógicas, abstraídas completamente de las consideraciones de su significado. La semántica está pensada aquí para introducir fórmulas con significado, correlacionándolas con propiedades de otras varias estructuras. Esta dicotomía entre semántica y sintaxis, en relación con la noción de prueba, no será aceptada por el constructivismo: la prueba es una noción semántica (cfr. ^{Read, 1995, p. 222}; ^{Lorenz, 2010, pp. 71-79}). La prueba es la que nos entrega expresiones que significan. Por lo tanto, las estructuras matemáticas no tienen ninguna realidad más allá de lo que podemos probar por medio de ellas. Lo que es real son los procedimientos que generan nuevos casos y las pruebas que los verifican.

De todo esto se desprende que la restricción epistémica de la verdad del constructivista se convierte en una concepción epistémica del significado. La teoría realista del significado se caracteriza a menudo por su énfasis en las “condiciones de verdad”; en cambio, el antirrealista lo vincula con una noción epistémica restringida como garantía de asertividad (^{Read, 1995, p. 222}). Esto se debe a que las “condiciones de verdad” son una concepción realista, una creencia en hechos que determina el significado sin hacer referencia a nuestra capacidad para descubrir hechos.

Ahora bien, hay al menos dos principios que son considerados como válidos para la lógica clásica pero que se presentan como problemáticos para quienes pretenden considerar el modo de aprehensión de la verdad de un enunciado por un sujeto de conocimiento: el primero es la doble negación, el segundo es el tercero excluido (cfr. ^{Iemhoff, 2013}).

El primero es el núcleo de un modo de inferencia crucial en matemáticas: el razonamiento por el absurdo. Deducir A a partir de su doble negación (~~A), según los intuicionistas, genera problemas que conciernen directamente el cuantificador existencial (∃): podemos mostrar por el absurdo la existencia de entidades matemáticas sin necesidad de exhibirlas o de construirlas, lo cual pone en duda la significación del cuantificador. Parece más razonable, si lo que nos interesa es el modo de aprehensión de la verdad de un enunciado, exigir que la condición de reconocimiento de la verdad de un existencial sea la capacidad de determinar un valor particular para la variable cuantificada, de tal modo que el enunciado de la formula correctamente instanciada sea verdadero.

Respecto del tercero excluido, el argumento que demuestra su validez esconde una sutileza inaceptable para los intuicionistas: la demostración de la disyunción principal es realizada sin que ninguno de los dos miembros de la disyunción sea probado. Lo razonable, argumentan, es que la demostración se lleve a cabo como una demostración por un miembro o por el otro (tal y como es definido el comportamiento de una disyunción en teoría de la demostración).

En otras palabras: la demostración del tercero excluido se apoya en el razonamiento por el absurdo, o en una estructura más compleja en la cual no se tiene en cuenta la demostración de los componentes de la disyunción. Como bien lo remarca ^{Dummett (1977)}, si no queremos considerar una teoría de la verdad de modo independiente de una teoría del modo de reconocimiento de esa verdad, el tercero excluido resulta entonces inaceptable.

Por todo esto, el lógico que decide tener en cuenta el reconocimiento de la verdad, bajo la forma de una teoría de la construcción de demostraciones o de una epistemología de los medios de verificación, es conducido sin retraso a modificar su concepción de las leyes de la lógica, lo que da lugar a las lógicas no clásicas. El criterio teórico del intuicionismo será entonces que toda definición dentro de la teoría (o sistema) es constructiva, es decir, que debe indicar la manera de obtener o conocer los objetos definidos en los sistemas. De ello se desprende que la matemática no depende de la lógica porque el razonamiento lógico intuitivo es un tipo especial de razonamiento matemático que, teniendo presente las estructuras matemáticas, se limita a las relaciones de todo y parte de esas estructuras. En sí mismas, las estructuras matemáticas no tienen una característica elemental especial (en su origen), por lo que no hay ninguna justificación respecto de la prioridad del razonamiento lógico sobre el razonamiento matemático ordinario (cfr. ^{Brouwer, 1975a, p. 73}).

En efecto, el punto de partida de la estructura del conocimiento matemático se encontrará entonces en los números naturales, los cuales se construyen de inmediato en la mente del matemático ya que su verdad se basa en la evidencia intuitiva a partir de la cual se construye toda la estructura (cfr. ^{Brouwer, 1975a, p. 75}). El enfoque lógico-matemático clásico tenía la convicción de que la matemática se ocupa de verdades eternas. La justificación de esa convicción ha tenido que lidiar con enredos metafísicos como, por ejemplo, los de la semántica de Tarski.

Siguiendo a Brouwer, ^{Heyting (1971)} reafirma que las matemáticas no pueden depender de un dominio a priori. Sostiene que, si bien es cierto que los matemáticos en general -e incluso los intuicionistas- están convencidos que “en algún sentido” las matemáticas suponen verdades eternas, al intentar definir con precisión dicho sentido no les cabe más remedio que enredarse en un laberinto de cuestiones metafísicas respecto de la objetividad de las proposiciones matemáticas. La lógica clásica la considera inadecuada para evitar este problema, porque ahora se hace necesario asumir que en matemáticas sólo se estudian construcciones (^{Heyting, 1971, p. 3}). Como señalamos anteriormente, la lógica intuicionista no admite que toda proposición tenga que ser verdadera o falsa. Algunas no serán ni verdaderas ni falsas, pero tampoco tendrán algún otro valor (como en las lógicas polivalentes). Entonces parece ser necesario elaborar un criterio de verdad muy diferente, que afectaría por consecuencia e inmediatamente a los criterios de negación y de existencia -incluso tendría una nueva interpretación del cuantificador existencial- (cfr. ^{Heyting, 1971, pp. 101-26}). No obstante, afirmará que no necesitaremos explicitar ningún criterio de verdad lógica.

Para ^{Heyting (cfr. 1971, pp. 9-12}; ¹⁹⁶⁸⁾, la característica principal del pensamiento matemático es que no transmite la verdad acerca de un mundo externo, ya que sólo puede referirse a construcciones mentales: v. g. cuando miramos un árbol en una plaza, estamos convencidos de que vemos un árbol allí, y cuesta un entrenamiento considerable sustituir esta convicción por el conocimiento de que, en realidad, son las ondas de luz las que llegan a nuestros ojos y las que nos llevan a construir una imagen mental del árbol. De la misma manera, al hablar con alguien estamos convencidos de que expresamos e imprimimos nuestras opiniones en él, pero en realidad son las vibraciones en el aire las que le causan algunas reacciones, por ejemplo, que él produzca otras vibraciones. En ambos casos el primer punto de vista es natural y el segundo es una construcción teórica. Por este motivo, para Heyting “la verdad” de esas construcciones depende del estado actual de las ciencias; lo que referimos con la palabra “realidad” debe ser mejor traducido como ‘de acuerdo con la visión contemporánea de los científicos’. Lo mismo ocurre con las matemáticas desde un punto de vista intuicionista: lo que hacemos en matemáticas no debe tomarse en un sentido filosófico, metafísico, sino en el sentido de lo que hacemos cotidianamente con ellas (cfr. ibid.).

Entonces, la verdad será una construcción teórica que depende de cómo han sido relacionados los símbolos en la estructura en la que participan, o de cómo se establecen las relaciones entre estructuras o sistemas de inferencia. En efecto, Brouwer sostenía que era infructuoso hacer un estudio matemático de los símbolos lingüísticos para saber qué son las matemáticas, sin importar si son palabras o símbolos de Peano. De esta manera, ningún tipo de fórmula debe ser considerada como una verdad que exista independientemente, como los axiomas de Hilbert (cfr. ^{Hilbert, 2005a}, ^2005b), a menos que lo hagamos sólo como un recurso para entender y recordar cómo, por medio de los símbolos, una determinada estructura fue incrustada en otra. Por ejemplo, la fórmula (ejemplo de Brouwer) 13 = 6 + 7 nos recuerda el hecho de que un conjunto originado por yuxtaposición de otros dos conjuntos a lo largo de lo que podríamos contar hasta 6, de lo que podríamos contar hasta 7, fue incrustado en un conjunto a lo largo del cual podríamos contar hasta 13 (cfr. ^{Brouwer, 1975a, p. 96}). Esto lo podemos captar simplemente por una intuición natural al realizar la acción de contar. El entendimiento de lo realizado en la operación es sólo una construcción teórica.

El intuicionismo considerará entonces que la matemática es independiente de la lógica ya que no necesita de ella para justificar la existencia de los objetos con los cuales trata. La existencia de un objeto matemático es equivalente a la posibilidad de su construcción. “Verdadero” o “falso” sólo podrían estar por la posibilidad o imposibilidad de hallar una prueba constructiva de una proposición dentro del sistema. Por consiguiente, la validez del sistema depende de la posibilidad de que sus proposiciones hayan sido probadas. Este concepto de prueba no es asimilable con el de ^{Hilbert (cfr. 1950}, ^2005a), ya que en este último la prueba se sustenta en la independencia de los axiomas de cualquier construcción mental, en un apriorismo de proposiciones lógicas que son la primera fuente del conocimiento.

Esta crítica generará un giro en la tradición de la lógica, una nueva corriente que concebirá que la teoría de la significación y de los contenidos del pensamiento debe ir acompañada de la teoría del acto de pensar o de significar, que es una construcción. Las construcciones lógico- matemáticas son, por característica propia, dinámicas. En contraposición, la tradición sólo pone el énfasis en los aspectos estáticos, es decir, en la estructura a priori de proposiciones verdaderas como contenido lógico del pensamiento (cfr. ^{Van Benthem, 1994, pp. 108-109}).

En toda la tradición estática, la estructura proposicional se define semánticamente como una estructura booleana, donde las proposiciones son consideradas como valores de verdad y las constantes lógicas como operadores sobre esos valores; sintácticamente, como un álgebra de signos puros sobre los cuales operamos vía reglas de cálculo. Dicha estructura se basa en las propiedades de los conectores lógicos de conjunción, disyunción y negación, a la par de las propiedades de la intersección, unión y complemento sobre el conjunto de proposiciones o valores. La existencia de tales estructuras es considerada como un hecho matemático, y su adecuación para dar las normas del razonamiento como una evidencia. Según Van Benthem, esta concepción pone el énfasis en el hecho de que o de “si” ciertas oraciones son verdaderas respecto de una situación, pero no pone el interés en cómo llegaron a ser consideradas como verdaderas (cfr. ^{Van Benthem, 1994, p. 109}; ^{Redmond, 2015, pp. 178-180}).

En el enfoque dinámico la cuestión del ‘cómo’ resulta muy importante. Introducir esta idea como una interrogante principal de la lógica posee consecuencias tanto filosóficas como técnicas muy importantes. Es aquí, justamente, donde la lógica intuicionista entra en juego en tanto que es ella la primera tentativa de desarrollar estas consecuencias. Sin embargo, según ^{Redmond (2015)}, el desarrollo de la lógica intuicionista encuentra una dificultad mayor de orden semántico. Para la estructura proposicional, que es objeto de estudio de la lógica clásica, se proporciona una noción de semántica desarrollada a partir de la teoría de modelos de ^{Tarski (1983)}. Esta teoría se hace cargo de la noción de verdad vía la noción de referencia: a partir de una función de interpretación de términos individuales y de predicados, es posible hacer explícito el valor de verdad de un enunciado relativo a la estructura. Pero he aquí lo problemático: la definición tarskiana de modelos presupone la validez del tercero excluido y, por tanto, la lógica intuicionista emerge como un cálculo puro sin que se le pueda asociar una semántica entendida en el sentido de una teoría de la referencia (de una semántica referencialista). En este sentido, emerge la lógica dialógica en 1950 como un programa, desarrollado por ^{Paul Lorenzen (1955}, ¹⁹⁵⁸⁾, con la intención de dar a la lógica intuicionista una semántica propia.

Es importante hacer aquí la siguiente observación. La característica de la semántica dada por la lógica dialógica a la lógica intuicionista debe entenderse a partir del enfoque pragmático del significado inaugurado por el segundo ^{Wittgenstein (1953/2009)} con su concepción del significado por el uso. La idea es que el significado de las constantes lógicas está dado por las reglas para su uso. La terminología puede ser engañosa ya que induce a pensar que la teoría del significado que subyace a la lógica dialógica no es una semántica en absoluto. Por esto, es más apropiado concebirla a partir de la formulación pragmatista de la semántica (cfr. ^{Fontaine y Redmond, 2008, p. xiv}; ^{Rahman y Clerbout, 2013}; ^{Rahman and Rückert, 2001}). Veremos esto más adelante.

2.3 El enfoque dialógico de la lógica: Lorenzen y Lorenz

El enfoque dialógico surge en el marco del programa constructivista de la escuela de Erlangen a finales de la década del cincuenta. Su propósito principal era dar una semántica a la lógica intuicionista, pues ni la teoría de modelos ni otros proyectos renunciaban al principio del tercero excluido. El proyecto se desarrolla alrededor de la obra de Paul Lorenzen (1915-1994). Junto con Kuno Lorenz (1932-presente) propuso una semántica de juegos (cfr. ^{Lorenzen y Lorenz, 1978}) a partir de las ideas del carácter constructivo de las pruebas lógicas de Brouwer y Heyting y las ideas sobre le significado del segundo Wittgenstein. Intentan dar una mejor salida a los problemas de las semánticas tradicionales. Como señala ^{Marion (2009)}, Lorenzen estaba insatisfecho con las definiciones semánticas habituales en lógica (“in the usual Tarski- style”), especialmente con la noción de verdad lógica de Tarski. “Como dijo una vez Jean-Yves Girard: para entender a Tarski se necesita a ‘Mr. Metatarski’, y así sucesivamente” (^{Marion, 2009, p. 9}; cfr. ^{Girard, 1999, p. 220}).

El objetivo de ^{Lorenzen (1955)} era poder dar una definición más precisa de los conceptos lógicos fundamentales; creía que lo desarrollado por el intuicionismo entregaba un mejor abordaje para las matemáticas y la lógica, específicamente como abordaje constructivista que inicia con el análisis de la dimensión procedural de la prueba o derivación, donde vislumbra la necesidad de una mejor semántica de los enunciados. Cabe señalar que una definición procedural u operacional es una demostración de un proceso (variable, un término o un objeto) en términos de proceso o sistema específico de pruebas de validación, usadas para determinar su presencia y cantidad.

^{Keiff (2009)} señala que la noción procedural de derivación, que es esencial para la definición de una noción operacional de proposición, es -en general- indecidible. Además, incluso si el predicado de derivación fuera decidible, seguiría existiendo aún un grave problema: la definición de una proposición vía la noción de prueba tiene la extraña consecuencia de que las proposiciones indecidibles no son proposiciones en absoluto. Para hacer frente a estos problemas, Lorenzen y Lorenz propusieron el concepto de diálogo. La clave es traer a colación la noción de juego, juego de diálogo. La noción de prueba de la dialógica se basará en la concepción finitista de los sistemas de la teoría de juegos: una prueba se logra después de un número finito de movimientos de acuerdo con unas reglas definidas y según un conjunto de estrategias. Lo que está en juego en un diálogo es una fórmula. En ese proceso el conjunto de reglas hace que una fórmula sea válida si y sólo si el jugador que defiende esa fórmula tiene una estrategia ganadora. El problema que señala Keiff se resolverá entendiendo que el juego dialógico se define como un juego abierto de suma cero de dos personas, P y O (Proponente y Oponente).

La noción de diálogo les permite a ^{Lorenzen y Lorenz (1978)} dar el significado de las constantes lógicas guardando intactas las intuiciones lingüísticas corrientes y remarcando la importancia de la dimensión procedural y epistémica de la noción de prueba. Los diálogos son juegos de lenguaje matemáticamente definidos para que establezcan la interfaz entre la actividad lingüística concreta y la noción formal de demostración. Dos interlocutores, P y O (Proponente y Oponente), intercambian movimientos que son concretamente actos lingüísticos. P enuncia una tesis, la tesis del diálogo, y se compromete a defenderla respondiendo a todas las críticas de O. Las críticas permitidas son definidas en términos de la estructura de los enunciados afirmados en el diálogo. Por ejemplo, si un jugador afirma la conjunción A B, al mismo tiempo concede al adversario la posibilidad de elegir uno de los dos y de exigirle que lo afirme. La noción misma de afirmar se encuentra definida por el contexto de la interacción crítica: afirmar significa comprometerse a proporcionar una justificación a un interlocutor crítico. Pero en los diálogos no hay una teoría general de la justificación sino sólo en la medida en que se trate de enunciados lógicamente complejos que encuentran su justificación a partir de enunciados simples. A su vez, los enunciados simples se justifican en acción recíproca con el interlocutor crítico. Esto es, según la regla, P podrá considerar justificado un enunciado elemental si y solamente si O ha concedido esa justificación. Esta regla confirma la formalidad de los diálogos: P gana sin presuponer justificaciones por ningún enunciado particular.

3.1 Lógica proposicional dialógica

Definición de verdad en dialógica

Según ^{Rückert (2011, pp. 7-8)}, la validez clásica (estándar) es entendida como una generalización de la verdad: una proposición A es lógicamente verdadera si y sólo si es verdad bajo todas sus interpretaciones. Por ello, aquí la noción de verdad es llamada “verdad formal”, porque la verdad depende de la forma lógica de la proposición en cuestión y no de la interpretación de sus componentes.

En dialógica, el concepto de verdad lógica se dividirá en dos nociones conceptualmente diferentes: verdad general, que corresponde a la concepción común de verdad, y verdad formal, donde ‘formal’ se entiende en sentido estricto.

Así, la verdad debe ser entendida en dialógica simplemente como la existencia de una estrategia ganadora para P. Entonces para la noción de validez en cuanto “verdad general” se introducirán los llamados diálogos materiales mediante la introducción de la siguiente regla estructural del marco semántico de Rahman:

SR 6 (regla para diálogos materiales): sólo una fórmula atómica que ocupe el lugar de una proposición verdadera puede ser afirmada. Una fórmula que ocupe el lugar de una proposición falsa no deberá ser jamás afirmada, o enunciada.

Entonces, definimos la validez para las dos acepciones:

Validez como verdad general: una fórmula es válida si y sólo si existe una estrategia ganadora para P en todos los diálogos materiales sobre esa fórmula.

De esta manera se muestra claramente cómo la lógica dialógica resulta efectivamente un marco semántico general. Tal como lo señala ^{Rückert (2011, p. 8)}, para este concepto de validez no hay diferencia entre un uso intuicionista o uno clásico de SR 6.

Validez como verdad formal: una fórmula es válida si y sólo si existe una estrategia ganadora formal de P en un diálogo sobre esa fórmula. En otras palabras, P debe tener una estrategia ganadora cuando la regla estructural formal esté en uso.

Esta noción de validez es en sentido estricto (podríamos llamarla “validez estricta”) porque exige la existencia de una estrategia ganadora para P en un determinado juego de diálogo, que es un diálogo formal específico para esa fórmula en cuestión. Además, aquí no se presupone que todas las proposiciones elementales tienen un valor de verdad. En este sentido, el concepto de formalidad de la dialógica es más estricto: la forma no es sólo independiente de la verdad o falsedad de las proposiciones elementales, sino que incluso es independiente de que esas proposiciones tengan o no un valor de verdad.

5.1 Proposiciones y diálogos asociados

En nuestro trabajo tomamos distancia de la concepción dialógica de proposición propuesta por ^{Kuno Lorenz (2001, p. 258)}. Según el autor, para que una entidad sea considerada como proposición debe existir un juego dialógico asociado con esta entidad. En sus palabras:

Fully spelled out it means that for an entity to be a proposition there must exist a dialogue game associated with this entity, i.e., the proposition A, such that an individual play of the game where A occupies the initial position, i.e., a dialogue D(A) about A, reaches a final position with either win or loss after a finite number of moves according to definite rules: the dialogue game is defined as a finitary open two-person zero-sum game. Thus, propositions will in general be dialogue-definite, and only in special cases be either proof-definite or refutation-definite or even both which implies their being value-definite (^{Lorenz, 2001, p. 258}).

Específicamente, en nuestra propuesta tomamos distancia de la idea de Lorenz de pensar en una proposición en -lo que nosotros entendemos como- la línea clásica (Frege y Russell). Por eso el detalle de que puede haber estrategia ganadora o no, al modo como se define que las proposiciones pueden ser V o F. en este sentido nos parece más acertado hablar de aserción con todos los compromisos que conlleva (ver más abajo) y no de proposición.

5.2 El inferencialismo pragmatista de Brandom y la inferencia comunicativa de Sundholm

El inferencialismo pragmatista de Brandom se configura a partir de lo que él llama o podría llamarse su enfoque filosófico de múltiples capas (multilayer). Estas capas corresponden a las siguientes cuatro ideas principales (cfr. ^{Koreň y Kolman, 2018}): (i) la primacía de juicio o aserción (Kant); (ii) la normatividad del lenguaje (Wittgenstein y Sellars); (iii) un enfoque pragmático del significado (Peirce); (iv) un logocentrismo fregeano, todo junto con la visión general de Hegel de la naturaleza social de la razón. De modo resumido este entramado conceptual se articula en las siguientes ideas: (1) los juicios o aserciones son las unidades fundamentales del conocimiento; (2) la cognición y la acción humanas se caracterizan por cierto tipo de evaluación normativa implementada por los juegos de dar y pedir razones;³ (3) la comunicación se concibe principalmente como cooperación en una actividad social conjunta⁴ en lugar de compartir solo unos contenidos determinados.

El punto crucial de este enfoque epistémico para nuestro trabajo es que la aserción o juicio equivale a una afirmación de conocimiento. De esta manera, si se considera que el significado de una expresión depende de su rol como aserciones, entonces estamos dentro de un enfoque epistémico del significado.

Respecto del punto (2), Brandom implementa el aspecto normativo con la ayuda de la noción de Sellars (1954) de juegos de dar y pedir razones. En efecto, según Brandom (2000), lo que conecta la aserción con las inferencias es la cadena de compromisos y derechos establecida en un juego de dar y pedir razones.⁵

Podemos presentar esto de modo esquemático señalando las condiciones que deben cumplir los juegos de dar y pedir razones:

A este respecto, convenientemente, Sundholm (2013) proporciona la siguiente formulación de la noción de inferencia en un contexto comunicativo y que puede ser entendida como una descripción del núcleo del inferencialismo pragmático de Brandom: “When I say “Therefore” I give others my authority for asserting the conclusion, given theirs for asserting the premisses” (Sundholm, 2013, p. 17).

Como antecedente en dialógica cabe señalar que algunos trabajos recientes implementan este tipo de juegos entre compromisos (commitments) y derechos (entitlements) en el contexto de una teoría pragmática del significado de las ficciones con la ayuda de la noción de existencia como elección. En efecto, en el enfoque dialógico general de la ficción (introducido por primera vez en Rahman, Rückert y Fischer, 1997) se dice que el uso de un término singular tiene un compromiso ontológico si y sólo si se ha elegido sustituyendo una variable ligada que aparece en una expresión existencialmente cuantificada. Sin embargo, en un contexto argumentativo, el Proponente no tiene derecho a sostener, por ejemplo, la expresión los vampiros existen a menos que el Oponente le haya concedido el derecho de hacerlo eligiendo un individuo que satisfaga la variable ligada de la expresión. Además, ^{Rahman (2001)}, Redmond (2010) y Fontaine (2011; cfr. también Fontaine y ^{Redmond, 2011}) -junto con otros de sus últimas publicaciones- han profundizado tanto en la estructura dialógica de varias lógicas libres como en los aspectos dinámicos propios de los contextos argumentativos.

5.3 Inferencialsimo y dialógica: Rahman y el immanent reasoning

Como señalamos anteriormente, con los estudios sobre la interfaz entre juegos, lógica y epistemología -en palabras de ^{Van Benthem (1994)}- se ha producido un giro dinámico donde los aspectos epistémicos de la inferencia se vinculan ahora con enfoques del significado desde la teoría de juegos.⁶ Este giro tiene como base los nuevos estudios en historia y filosofía de la lógica, que van desde la teoría lógica medieval de las obligationes (cfr. Vincent, 2014), pasando por el razonamiento lógico indio, griego y árabe, hasta la lógica medieval y de los desarrollos más contemporáneos en la teoría informática y la lingüística computacional o aplicada (cfr. ^{Rahman, 2014}; ^{Rahman et al., 2018}). Además, se han desarrollado estudios relacionados con la inteligencia artificial, las ciencias sociales y el razonamiento jurídico (cfr. ^{Rahman et al., 2019}).

Nuestro punto es que el nacimiento de este giro se ubica en la dialógica de Lorenzen y Lorenz de la década de 1960, inspirada en los juegos de lenguaje de Wittgenstein y en la teoría matemática de juegos. Posteriormente, Hintikka (1962, 1973) combinó la semántica teórica de juegos con la lógica epistémica (modal). Sin embargo, aunque el enfoque de Hintikka se basa en una semántica de teoría de modelos, el marco dialógico está más relacionado con los principios filosóficos que subyacen al constructivismo. De hecho, una forma posible de vincular diálogos y constructivismo es utilizando el enfoque pragmático de ^{Robert Brandom (1994}, ²⁰⁰⁰⁾ sobre el inferencialismo. Esto último fue propuesto originalmente por ^{Mathieu Marion (2006}, ²⁰⁰⁹, 2010).⁷

En efecto, Marion afirma que “In the Erlangen School, attacks were indeed described as ‘rights’ and defences as ‘duties’, so we have the following equivalences: Right to attack↔asking for reasons; Duty to defend↔giving reasons” (Marion, 2010, p. 490). En efecto, el enfoque dialógico entiende que el razonamiento y el significado se constituyen a través de la interacción. ^{Rahman (2018}, ²⁰¹⁹⁾ desarrolla esta idea dentro de la TCT de Martin-Löf (1984) y sostiene que de este modo emerge una nueva concepción de conocimiento que posee una relación significativa con el inferencialismo pragmático de ^{Brandom (1994}, ²⁰⁰⁰⁾.

De este modo, el objetivo central del trabajo de Rahman consistió en elaborar juegos dialógicos de dar y pedir razones que a través de ciertas jugadas específicas (moves) completaran las condiciones mencionadas en el punto anterior. Esto último lo implementa a través de las siguientes correspondencias:

Estas correspondencias están reflejadas en el llamado “nivel de partida dialógico” (reglas locales y generales) y ofrecen un sistema formal que hace explícitas las características principales de los juegos epistemológicos de Brandom. Sin embargo, como hace notar ^{Rahman (2019)}, este sistema no hace explícitas las razones que están por detrás fundamentando las aserciones. Para lograr esto es necesario incorporar en dialógica expresiones que estén en lugar de esas razones. Esto último debe emerger en el marco de la combinación entre dialógica y la TCT de Per Marin-Löf (1984). El resultado es un aumento en el poder expresivo de la dialógica (cfr. ^{Rahman et al., 2018}) y lleva por nombre “Diálogos para el razonamiento inmanente” (Dialogues for Immanent Reasoning), precisamente porque las razones que respaldan una aserción, ahora explícitas en el lenguaje-objeto de las jugadas, son internas al desarrollo de la interacción dialógica en sí misma.

En efecto, Rahman distingue en dialógica dos niveles: el de partida (Play-Level) y el estratégico (Strategy-Level). El nivel estratégico consiste en la tesis más la receta de cómo construir razones para justificarla. En efecto, lo que está en potencia en el nivel estratégico (cómo ganar una partida) se funda en lo que está en acto en el nivel de partida (que son las reglas mismas: locales y generales). Esto significa que en potencia se encuentran ahí las razones para respaldar una afirmación. Por ejemplo, P para ganar conmutativa (A ∧ B ⊢ B ∧ A ) sigue la siguiente “receta (nivel estratégico)”: “cualquiera que sea la razón que O dé para la izquierda [derecha], P la puede usar para la derecha[izquierda]”. Esto nos daría, de acuerdo con lo desarrollado por ^{Rahman (2018)}, para las razones individuales d:A∧B y e:B∧A la siguiente fórmula: ‘[Izq(d)=Der(e)]: A’. Respecto de esta receta, al jugar e instanciar las jugadas se actualiza la estrategia en un diálogo particular de acuerdo con el nivel de partida.

En nuestra propuesta la aserción dialógica, el diálogo completo (según lo que proponemos), corresponde sólo al nivel de partida. En este sentido podemos afirmar que la UMC dialógico corresponde a la actualización de la estrategia ganadora de P para la tesis p de acuerdo con el nivel de partida.

Apéndice

Una presentación técnica condensada de lógica dialógica estándar⁸

Sea L un lenguaje de primer orden construido con base en conectivas proposicionales, cuantificadores, un conjunto numerable de variables individuales, un conjunto numerable de constantes individuales y un conjunto numerable de símbolos de predicado (cada uno con una aridad fija).

Extendemos el lenguaje L con dos etiquetas O y P que corresponden a los participantes del diálogo, y el signo de interrogación ‘?’. Cuando la identidad del jugador no importa, utilizamos variables X o Y (con X≠Y). Un movimiento es una expresión de la forma X-e, donde e es o bien una proposición A de L o una de las expresiones siguientes:

Hay dos tipos distintos de reglas, llamadas reglas de partículas (que proveen el significado local) y reglas estructurales (que proveen el significado global). Comenzamos con las reglas de partículas.

En esta tabla, una expresión de tipo ai es una constante individual y A(ai / x) expresa la proposición obtenida mediante la sustitución de cada ocurrencia de x en A por ai. Cuando un movimiento consiste en una pregunta de la forma ‘?[A1, ..., An]’ o de la forma ‘?∨’, el otro jugador elige una proposición entre A1, ..., An y la juega. Así, podemos -en términos de qué jugador tiene una opción- distinguir entre la conjunción y disyunción, por una parte, y la cuantificación universal y la existencial, por otra parte. En los casos de la conjunción y la cuantificación universal, el retador (o atacante) elige, mediante un ataque de la forma ‘?∧i’ (para la conjunción) o de la forma ‘?[A(a/x)]’ (para el universal) la proposición por la cual preguntar. Por el contrario, en los casos de disyunción y cuantificación existencial, el defensor es el único que puede elegir entre varias proposiciones. Obsérvese que no hay defensa en el caso de la regla de partículas para la negación.

Las reglas de partículas proporcionan una descripción abstracta de cómo se procede en el diálogo a nivel local: especifican el modo en el que una proposición puede atacarse y defenderse de acuerdo con su constante lógica principal. Decimos que tales reglas gobiernan el nivel local del significado. En rigor, las expresiones que aparecen en la tabla más arriba no son movimientos reales porque tienen proposiciones esquemáticas y los jugadores no están especificados. Además, estas reglas son indiferentes al rol de la proposición en las diversas variedades de diálogos en los que pueda intervenir: por ejemplo, las reglas locales de las constantes lógicas no varían si los diálogos son clásicos o intuicionistas. Por este motivo decimos que la descripción dada por las reglas de partículas es en cierto modo abstracta.

Las expresiones “ataque” y “defensa” son convenientes para prescribir ciertas interacciones entre movimientos. Tales interacciones pueden ser definidas con precisión de la forma siguiente. Sea Σ una secuencia de movimientos. La función pΣ asigna una posición para cada movimiento en Σ, comenzando con 0. La función FΣ asigna un par [m, Z] para ciertos movimientos N en Σ, donde m denota una posición menor que pΣ(N) y Z es o bien A (un ataque) o bien D (una defensa). Es decir, la función FΣ permite seguir la “historia” de las interacciones ataque- defensa que originaron un movimiento dado. Un diálogo (o partida) es una secuencia legal de movimientos, es decir, una secuencia de movimientos que observa las reglas del juego. La segunda clase de reglas que hemos mencionado, las reglas estructurales, dan las condiciones exactas en las que una oración dada genera un juego dialógico. Un juego dialógico para A, escrito D(A), es el conjunto de todas las partidas con A como la tesis (ver la regla de inicio más abajo). Las reglas estructurales son los siguientes:

Ejemplos de formas extensivas

Las formas extensivas de juegos dialógicos y de estrategias son árboles generados infinitamente (árboles con un número infinito de ramas). Así, no es posible representarlos en su totalidad. Pero una ilustración sigue siendo útil, por lo que añadimos las siguientes figuras 1 y 2 a continuación:

Figura 1 

Figura 2 

La Figura 1 representa parcialmente la forma extensiva del juego dialógico para la proposición ∀x(Q (x)→Q (x)). Cada partida en este diálogo se representa como una rama en la forma extensiva: hemos dado un ejemplo en el que la rama de la izquierda representa una de las partidas más simples y cortas en el juego dialógico. La raíz de la forma extensiva se etiqueta con la tesis. Después de eso, el oponente tiene un número infinito de opciones posibles para su rango de repetición: esto está representado por el número infinito de sucesores inmediatos en la raíz de la forma extensiva. Lo mismo vale para el rango de repetición del Proponente, y por cada vez que un jugador va a elegir una constante individual.

La Figura 2 representa parcialmente la forma extensiva de la estrategia del Proponente en este juego. Se trata de un fragmento del árbol de la Figura 1 en la que cada nodo etiquetado con un movimiento de O tiene a lo sumo un sucesor. No mantenemos más que un registro de todas las opciones posibles para P: cada vez que el Proponente tiene una opción en el juego, la estrategia selecciona exactamente uno de los movimientos posibles. Pero como todas las formas posibles para que el Oponente juegue deben ser tomadas en cuenta por una estrategia, las otras ramificaciones se mantienen. En nuestro ejemplo, la estrategia prescribe la elección del mismo rango de repetición que el Oponente. Por supuesto que hay un número infinito de otras estrategias disponibles para P.