2.1 Aspectos generales de la silogística

La silogística es una lógica de términos que tiene sus orígenes en los Primeros Analíticos de Aristóteles y que estudia la relación de inferencia entre proposiciones categóricas. Una proposición categórica es una proposición compuesta por dos términos, una cantidad y una cualidad. El sujeto y el predicado de una proposición se llaman términos: el término-esquema S denota el término sujeto de la proposición y el término-esquema P denota el predicado. La cantidad puede ser universal (Todo) o particular (Algún) y la cualidad puede ser afirmativa (es) o negativa (no es). Estas proposiciones categóricas se denotan mediante una etiqueta (a (para la universal afirmativa, SaP), e (para la universal negativa, SeP), i (para la particular afirmativa, SiP), y o (para la particular negativa, SoP)) que nos permite determinar una secuencia de tres proposiciones categóricas que se conoce como modo. Un silogismo categórico, entonces, es un modo ordenado de tal manera que dos proposiciones fungen como premisas y la última como conclusión. Al interior de las premisas existe un término que ocurre en ambas premisas pero no en la conclusión: este término especial, usualmente denotado con el término-esquema M, funciona como un enlace entre los términos restantes y es conocido como término medio. De acuerdo con la posición del término medio se pueden definir cuatro arreglos o figuras que codifican los modos o patrones silogísticos válidos (Cuadro 1 ¹).

2.2 Term Functor Logic

Para estudiar la relación de inferencia es costumbre hacer uso de lenguajes de primer orden. Ası́, por ejemplo, la lógica proposicional, la lógica de primer orden y la lógica de primer orden con identidad son sistemas lógicos definidos mediante lenguajes de primer orden: {p, q, r, ..., ¬, ⇒}, {a, b, c, ..., x, y, z, ..., f, g, h, ..., A, B, C, ..., ¬, ⇒, ∀, ∃} y {a, b, c, ..., x, y, z, ..., f, g, h, ..., A, B, C, ..., ¬, ⇒, ∀, ∃, =}, respectivamente. El origen de esta costumbre está relacionado con las ventajas de orden representativo que los lenguajes de primer orden ofrecen frente a sistemas más tradicionales. ^{Russell (1937)}, por ejemplo, popularizó la idea de que las limitaciones del programa lógico tradicional, i.e. silogı́stico, se debían al análisis de las proposiciones en clave terminista como triadas de términos sujeto y predicado unidos por una cópula. ^{Carnap (1930)} generalizó esta consideración a toda la lógica tradicional al sostener que la única sintaxis disponible en este tipo de lógica es predicativa.

Ciertamente, la sintaxis de términos ternaria (sujeto-cópula-predicado) de la silogística tradicional es limitada y sus restricciones generan dificultades para representar proposiciones singulares, relacionales o compuestas (cfr. ^{Geach, 1980, p. 64} y ^{1962, p. 54}). Sin embargo, desde finales de la década de los 60’s, Fred Sommers defendió una revisión y una revitalización de la sintaxis ternaria, a la luz de lo que llamamos “el reto de Bar-Hillel”,² mostrando que ninguna de estas limitaciones es de tipo knock-out. Como resultado de esta revisión, el proyecto filosófico de Sommers se diversificó en tres grandes líneas de investigación en ontología, semántica y lógica (cfr. ^{Sommers, 2005}) que se sistematizaron, respectivamente, en una teoría de categorías, una teoría de la verdad y un sistema lógico que hoy conocemos como Term Functor Logic (^{Sommers, 1967}; ^{Sommers, 1982}; ^{Sommers y Englebretsen, 2000}; ^{Englebretsen, 1987}; ^{Englebretsen, 1996}; ^{Englebretsen y Sayward, 2011}).

El sistema Term Functor Logic representa la silogística usando términos en lugar de elementos lingüísticos de primer orden como variables individuales o cuantificadores³. De acuerdo con esta álgebra, las cuatro proposiciones categóricas pueden representarse mediante la siguiente sintaxis:⁴

Dada esta representación, TFL ofrece un método de decisión correcto, completo y simple para la silogística: una conclusión se sigue TFL-válidamente de un conjunto de premisas si y sólo si i) la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión y ii) el número de conclusiones con cantidad particular (viz., cero o uno) es igual al número de premisas con cantidad particular (cfr. ^{Englebretsen, 1996, p. 167}). Así, por ejemplo, si consideramos un silogismo válido, digamos un silogismo tipo aaa-1, podemos ver cómo la aplicación de este método produce la conclusión correcta (Cuadro 2).

En el ejemplo anterior podemos ver claramente cómo funciona este método: i) si sumamos las premisas obtenemos la expresión algebraica (−M+A)+(−P+M)=−M+A−P+M=−P+A, de tal modo que la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión, y la conclusión es igual a −P+A, en lugar de +A−P, porque ii) el número de conclusiones con cantidad particular (cero en este ejemplo) es igual al número de premisas con cantidad particular (cero en este ejemplo).

Esta aproximación algebraica es capaz de representar y modelar proposiciones relacionales, singulares y compuestas sin perder su motivación principal, a saber, que una inferencia es un proceso que ocurre entre términos. Así, por ejemplo, los siguientes casos ilustran cómo representar y modelar inferencias con proposiciones relacionales (Cuadro 3), singulares⁵ (Cuadro 4) o compuestas⁶ (Cuadro 5).

2.3 Silogística intermedia

^{Peterson (1979)} y ^{Thompson (1982)} desarrollaron extensiones para la silogística (SYLL⁺) añadiendo cuantificadores no clásicos como “la mayoría” (para proposiciones mayoritarias), “muchos” (para proposiciones comunes) y “pocos” (para proposiciones predominantes).⁸ Ası́, la silogı́stica intermedia añade las siguientes proposiciones intermedias: p es la predominante afirmativa (Pocos S no son P), b es la predominante negativa (Pocos S son P), t es la mayoritaria afirmativa (La mayorı́a de S es P), d es la mayoritaria negativa (La mayorı́a de S no es P), k es la común afirmativa (Muchos S son P) y g es la común negativa (Muchos S no son P).

Dadas estas nuevas proposiciones, SYLL⁺ añade las siguientes suposiciones de distribución: las proposiciones universales distribuyen su término sujeto; las negativas distribuyen su término predicado; y las proposiciones predominantes, mayoritarias y comunes distribuyen su término sujeto si y sólo si dicho término sujeto es el término menor. Con estas suposiciones básicas, decimos que una conclusión se sigue SYLL⁺- válidamente de un conjunto de premisas si y sólo si:

1. Reglas de distribución.

2. Reglas de cualidad.

3. Reglas de cantidad.

Con estos elementos SYLL+ nos permite extender la silogística básica para lidiar con un rango más amplio de inferencias, tanto válidas (Cuadro 6) como inválidas (Cuadro 7). Además, como es de esperarse, la adición de p, t, k, b, d y g incrementa el número de inferencias válidas (Cuadro 8).

2.4 Intermediate Term Functor Logic

Hasta este momento es claro que el tratamiento algebraico de TFL provee un método simple y correcto para modelar la inferencia silogística; sin embargo, desafortunadamente, este tratamiento no incluye inferencias con cuantificadores no-clásicos como “la mayorı́a”, “muchos”, o “pocos.” Por otro lado, como hemos visto, aunque la silogı́stica intermedia, SYLL⁺, ofrece un rango más amplio de inferencias, carece de un procedimiento algebraico. Dado este estado de cosas, en esta sección exponemos brevemente algunos detalles del sistema Intermediate Term Functor Logic (TFL⁺). Para exponer este sistema proponemos una modificación de la sintaxis de TFL con el fin de representar los cuantificadores adicionales de SYLL⁺ y posteriormente mostramos el método de decisión de TFL⁺.

Así pues, para representar las proposiciones intermedias p, t, k, b, d y g dentro del marco de TFL consideremos la sintaxis del Cuadro 9.

La razón detrás de esta propuesta sintáctica es simple: de acuerdo con el marco lógico de SYLL⁺, las proposiciones intermedias p (b), t (d) y k (g) son particulares hasta cierto punto, tal como lo son las proposiciones tipo i (o), lo cual nos obliga a elegir, siguiendo la sintaxis de TFL, una combinación +/+ de términos para las proposiciones afirmativas; y una combinación +/− para las negativas. Sin embargo, esto no es suficiente porque, de acuerdo con SYLL⁺, las proposiciones p (b), t (d) y k (g) no son convertibles,⁹ y por tanto, no son equivalentes a proposiciones de tipo i (o), lo cual nos obliga a usar algún tipo de bandera para denotar explícitamente este hecho: nosotros proponemos el uso de superíndices.

Ahora, de acuerdo con SYLL+, los nuevos cuantificadores implican un cierto orden (p (b) implica t (d), t (d) implica k (g) y k (g) implica i (o)) y por ende los superı́ndices se usan no sólo como banderas, sino como niveles ordenados de cuantificación. Esta elección sintáctica tiene las siguientes caracterı́sticas: las proposiciones tipo a, e, i y o tienen nivel 0 para denotar el hecho de que se comportan de manera usual, como si no se hubieran hecho modificaciones; los superı́ndices se añaden a cada término con la finalidad de especificar el detalle de que las proposiciones tipo p, t, k, b, d y g no son convertibles; y además, estos ı́ndices nos permiten inducir un orden (3≥2≥1≥0) que indica que a (e) no entraña p (b), t (d), k (g), i (o); pero p (b), t (d), k (g) sı́ entrañan i (o). ¹⁰

Dada esta representación, la modificación del método de decisión es como sigue: una conclusión se sigue válidamente de un conjunto de premisas si y sólo si i) la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión, ii) el número de conclusiones con cantidad particular (viz., cero o uno) es igual al número de premisas con cantidad particular, y iii) el nivel de cuantificación de la conclusión es menor o igual que el máximo nivel de cuantificación de las premisas. Para ejemplificar este procedimiento consideremos un par de ejemplos, uno válido (Cuadro 10), uno inválido (Cuadro 11).

Para ilustrar las ventajas de TFL+ frente a TFL y SYLL+ consideremos algunos ejemplos que ilustran el balance entre la complejidad de las reglas de SYLL+ y el poder expresivo de TFL (Cuadros 13, 14, 15, 16). Notemos además que, como es de esperarse, la adición de p, t, k, b, d y g incrementa el número de modos correctos y permite las inferencias válidas del Cuadro 12.¹¹

Así pues, como se puede observar, TFL⁺ es un sistema que, además de ser confiable, tiene las ventajas algebraicas de TFL y las ventajas expresivas de SYLL⁺.

Con estos elementos estamos en condiciones para introducir, a modo de síntesis, un método analítico de árboles para TFL⁺.

3.1 Ejemplos de silogística intermedia

3.2 Ejemplos de silogística básica

Cuando no usamos superíndices para representar niveles de cuantificación, el método nos permite lidiar con la silogística apodíctica tradicional o básica (Diagramas 8-11).

3.3 Ejemplos de silogística relacional

El método, también, preserva inferencias con proposiciones relacionales. Consideremos, a continuación, el árbol del Diagrama 12 que corresponde al ejemplo del Cuadro 17 (aquí, de nuevo, no necesitamos superíndices para representar niveles de cuantificación).

Diagrama 12 Ejemplo de silogística relacional 

Consideremos, por último, el árbol del Diagrama 13 que corresponde a un silogismo relacional con cuantificadores no clásicos (Cuadro 18).

Diagrama 13 Ejemplo de silogística intermedia relacional 

3.4 Confiabilidad

Adicionalmente, podemos comentar que este método de árboles es confiable en la medida en que preserva las inferencias de TFL⁺, es decir, es confiable en el sentido de que toda inferencia TFL⁺ válida produce árboles completos y cerrados; y viceversa, toda inferencia que produce un árbol completo y cerrado es una inferencia TFL⁺ válida.

Proposición 1. Toda inferencia TFL⁺ válida produce un árbol TFL⁺ completo y cerrado.

Para probar esta proposición consideremos un esquema general con todas las inferencias TFL⁺ válidas que aparecen en el Cuadro 12 (Cuadro 20). Al aplicar las reglas de los árboles a las inferencias del Cuadro 20 obtenemos árboles completos y cerrados (Cuadros 21 y 22).

Cuadro 21 Árboles completos y cerrados de las inferencias TFL⁺ válidas (parte I) 

Cuadro 22 Árboles completos y cerrados de las inferencias TFL⁺ válidas (parte II) 

Proposición 2. Toda inferencia que produce un árbol TFL⁺ completo y cerrado es una inferencia TFL⁺ válida.

Para probar esta proposición supongamos que existe una inferencia que produce un árbol TFL⁺ completo y cerrado pero que no es una inferencia TFL⁺ válida. Entonces existe un árbol completo y cerrado cuya lista inicial incluye un conjunto de proposiciones, digamos Γ, y la negación de la conclusión, pero de Γ no podemos construir una prueba de la conclusión usando las condiciones de validez de TFL⁺, es decir, a partir de Γ, o bien la suma de las premisas no es algebraicamente igual a la conclusión, o el número de conclusiones con cantidad particular no es igual al número de premisas con cantidad particular, o el nivel de cuantificación de la conclusión es mayor que el máximo nivel de cuantificación de las premisas.

Para este caso, considerando únicamente las inferencias TFL⁺ válidas que aparecen en el Cuadro 12, existen dos formas generales de conclusión a considerar, a saber, +X^k±Z⁰ y +X^0±Z⁰. Ahora, como el árbol es completo, las reglas para generar dicho árbol deben haber sido aplicadas; y como el árbol es cerrado, cada árbol debe ser de una de las siguientes siguientes formas (Diagramas 14 y 15):

Supongamos, entonces, que tenemos una instancia del árbol del Diagrama 14 pero que su correspondiente inferencia no es válida, es decir, donde Γ⁺=Γ∪{-X^k∓Z⁰}, Γ⁺⊢⊥, pero la aplicación de las condiciones de inferencia de TFL⁺ a Γ no nos permite producir +X^k±Z⁰, con k<n. Ahora bien, siguiendo las ramas del árbol del Diagrama 14 observamos que las puntas están cerradas, por lo que en nodos previos el árbol tiene que incluir algo de la forma +X^k y ±Z⁰, es decir, Γ={…, +X^k, ±Z⁰, …}. Pero si esto es así, si aplicamos la regla i) (i.e. la suma) a Γ obtenemos algo de la forma +X±Z, y no al revés, por la condición ii) (cantidad de particulares); y por último, por la condición iii) (nivel de cuantificación), la conclusión tiene que ser algo de la forma +X^k±Z⁰ con k<n. Sin embargo, esto último contradice la suposición de que no podemos construir una prueba de tal conclusión usando las condiciones de inferencia de TFL⁺. Lo mismo ocurre para el árbol del Diagrama 15 que es un caso particular del Diagrama 14 cuando k=0.