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Introducción
La así llamada compuerta cuántica de Toffoli (denotada por CCNOT) (Nielsen & Chuang, 2000) fue descubierta por Tommaso Toffoli (1980b) y es una compuerta lógica universal reversible. El que sea reversible significa que existe su operación inversa; esto es, existe CCNOT -1 tal que CCNOT×CCNOT -1 =1. El que sea universal quiere decir que cualquier circuito reversible puede ser descompuesto en términos de compuertas de Toffoli (de Bakker & van Leeuwen, 1980a). Su representación matricial es la siguiente:
Hay que observar de la ecuación (1) que la compuerta de Toffoli coincide con su inversa, es decir, CCNOT= CCNOT-1. La compuerta CCNOT opera sobre estados de tres qubits y es tal que solo cambia el tercer qubit solo si los dos qubits de control son 1, esto es:
La compuerta de Toffoli ha sido estudiada intensivamente en Información Cuántica (Barenco et al., 1995), también ha sido estudiada experimentalmente a través de la técnica de átomos neutros (Jeongwan & Matthew, 2018; Lloyd & Terhal, 2016; Shi, 2018) donde los momentos angulares de espín juegan un papel central. Por otra parte, ha sido implementada experimentalmente a través de la técnica de iones atrapados (Monz et al., 2009).
La computadora cuántica de diamante es un prometedor dispositivo para hacer las funciones de una computadora cuántica operativa. La red cristalina de diamante se calienta y se bota un átomo de carbono, quedando un hueco o vacante que, junto con un átomo de nitrógeno, forman un centro nitrógeno-vacante (NV) que, en lugar de contener dos átomos de carbono, contiene un átomo de nitrógeno y una vacante. El centro NV define un qubit, ya que tiene una carga eléctrica -1 y dos valores de espín que es ½ para Nitrógeno-15 inmerso en átomos de Carbono-13, tal como es ilustrado en la Figura 1. La computadora cuántica de diamante ha sido propuesta en criptografía cuántica (Dynes et al., 2009). En 2006, se propuso que los centros NV fueran pensados como qubits (Gaebel et al., 2006). Un comportamiento interesante es que la dinámica entre el espín electrónico y el espín nuclear de átomos de Carbono-13 cercanos al centro NV están protegidos por la decoherencia, razón por la cual se les puede considerar una memoria cuántica (Gurudev et al., 2007). En este punto vale la pena preguntarse ¿qué tan eficiente es la computadora cuántica de diamante para ejecutar la compuerta de CCNOT dada por la ecuación (1)? En el presente trabajo se propone un Hamiltoniano H de tres centros NV sobre los cuales actúa un campo magnético, tal como lo ilustra la Figura 1, sometidos a pulsos de Rabi que cambian el espín de cada uno de los tres qubits. Se resuelve la respectiva ecuación de Schroedinger y se calcula el respectivo operador potencia dH/dt. Se verifica que el operador potencia es testigo de la decoherencia que impide la ejecución de la compuerta de Toffoli. El manuscrito está organizado de la siguiente manera. Primero, se propone el modelo; luego, se calcula el operador potencia para, posteriormente, verificar que este es testigo de que la compuerta CCNOT no se ejecuta eficientemente; finalmente, se da una discusión de los resultados obtenidos.
Fuente: Elaboración propia.
Figura 1 Centros Vacante-Nitrogeno (VN) en los átomos del diamante. Cada
centro es un qubit, el cual es sometido a un campo magnético
Materiales y Métodos
La investigación fue de tipo cualitativo y se utilizó la técnica de análisis de contenido, teniendo como objeto de estudio los mensajes publicitarios de los programas y campañas de prevención del sobrepeso y la obesidad. A partir de una revisión en línea de material bibliográfico y de documentos oficiales, se hizo una selección de los programas y campañas de prevención de sobrepeso y obesidad que cumplieran con los siguientes criterios de búsqueda: estuvieran dirigidos a la población en general, tuvieran cobertura nacional, pertenecieran o estuvieran en convenio con la Secretaría de Salud (SS), implementados entre 2008 y 2013, y con una permanencia de al menos tres años.
En total fueron cinco los programas o campañas que cumplieron tales criterios (tabla 1): cinco pasos para la salud; chécate, mídete y muévete; cinco pasos en 11 jugadas para tu salud; lucha libre contra la obesidad; y semáforo de la alimentación (Asistencia, Asesoría y Administración de Espectáculos [AAA], 2013; Federación Mexicana de Futbol [Femexfut], 2014; Instituto Mexicano del Seguro Social [IMSS], 2015; Secretaría de Salud del Distrito Federal [Sedesa], 2013; Secretaría de Salud [SS], 2013).
Se llevó a cabo un análisis de contenido de los mensajes publicitarios identificados. El análisis de contenido es una técnica cualitativa que permite examinar documentos en diferentes sentidos. Uno de ellos es el semántico, que busca el sentido de las palabras, temas y categorías propuestas (Amezcua & Gálvez, 2002). Se consideraron como unidad base las frases publicitarias de los mensajes y se categorizaron de acuerdo a quiénes van dirigidas, qué promueven y si hacen referencia de la gravedad. En el caso de tener imágenes, se examinaron cuáles eran las características corporales que definían a la obesidad y al cuerpo saludable.
El modelo
Se propone un Hamiltoniano para tres centros NV como sigue:
donde se elige un sistema de unidades tal que ħ=1, wk son las frecuencias de
Larmor,
Ecuación de Schroedinger
En orden de simular la compuerta de Toffoli, se resuelve la ecuación de Schroedinger asociada al Hamiltoniano de la ecuación (1). Para ello, hay que observar primero que el estado de tres qubits más general es el siguiente:
donde en la ecuación anterior se ha empleado la notación decimal, los
coeficientes
para todo tiempo (
Substituyendo (4) en (6), es inmediato concluir que la ecuación de Schroedinger se convierte en un sistema de ocho ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, dado por:
Los valores de las constantes son σ=0.1 y B0=0.7 T, siendo las frecuencias de
Larmor w1=σB0, w2=σw1 y w3=σw2, mientras que las constantes de acoplamiento son
J=0.01 y
En el presente trabajo se resolverá la ecuación (7) usando las siguientes condiciones iniciales:
De la ecuación (2) se puede observar que las transiciones CCNOT son las siguientes:
Luego entonces, de las ecuaciones (4) y (7) se puede observar que idealmente la compuerta Toffoli se ejecuta si existe un tiempo (T), tal que
La situación ideal anterior se bosqueja en la Figura 2.
Operador potencia y solución de la ecuación de Schroedinger
Resolviendo la ecuación de Schroedinger dada por la ecuación (7), sujeto a las condiciones iniciales (ecuación [8]), se obtiene la solución ilustrada en la Figura 3. De dicha figura se puede observar que la situación ideal de la Figura 2 no se cumple.
Fuente: Elaboración propia.
Figura 3 Solución de la ecuación de Schroedinger dada por el sistema de ecuaciones (7) sujeta a las condiciones iniciales de las ecuaciones (8).
De la ecuación (3) se puede observar que el Hamiltoniano depende del tiempo; entonces, es posible calcular el operador potencia, el cual está dado por
Dado que
entonces el operador potencia será
Con el propósito de dar una estimación del valor físico del operador potencia, en el presente trabajo se calcula la potencia promedio, la cual está dada por
Donde se ha usado la ecuación (4) y los coeficientes Cj(t) de la ecuación (10), son las soluciones de la ecuación de Schroedinger dada por el sistema de ecuaciones (7). La gráfica de la ecuación anterior como función del tiempo es mostrada en la Figura 4. En el Apéndice se deriva la ecuación (11) de manera explícita. Como se puede apreciar de las Figuras 3 y 4, el operador potencia (que representa intercambio de energía con los alrededores) es testigo de la decoherencia que hace que la compuerta de Toffoli no se ejecute.
Resultados
El operador potencia es testigo de la decoherencia en la no ejecución de la compuerta de Toffoli por una computadora cuántica de diamante de tres qubits.
Discusión
Los pulsos de Rabi en el Hamiltoniano (ecuación (3)) hacen que la computadora cuántica de diamante se vea sometida a un baño de fotones que hacen que el indeseable ruido se haga presente. Es decir, hay un intercambio de energía con los alrededores; por lo tanto, la energía del sistema de tres qubits no se conserva. Hay potencia disipada que hace que las señales de los tres qubits se enturbien. Para mejorar la tecnología es necesario implementar una reingeniería donde se introduzcan qubits físicos que protejan los qubits lógicos. Lo anterior haría la computadora cuántica de diamante operativa.
Conclusiones
La computadora cuántica de diamante ha sido empleada satisfactoriamente en muchos protocolos de información cuántica. No obstante, se ha presentado una situación muy particular donde la compuerta CCNOT no se ejecuta. Lo anterior sugiere que los pulsos de Rabi son una tecnología con limitaciones. Esto se debe a que, en la compuerta de Toffoli, el tercer qubit gira su espín, por lo que la conservación del momento angular requiere que haya interacción de un fotón con el tercer qubit. Esto quiere decir que la interacción dependiente del tiempo qubit-fotón sea necesaria y no se pueda evitar.
