INTRODUCCIÓN

Un índice compuesto (IC) es la manera sintética de expresar numéricamente una idea o mensaje complejo sobre un problema específico sin perder de vista el marco general del fenómeno considerado. Este valor sintético solo tiene sentido cuando se compara con otros valores en un lugar, en un momento dado (comparación transversal), o consigo mismo en el tiempo (comparación longitudinal). La comparación transversal o longitudinal es posible gracias a la estandarización de las variables.

Los datos originales, por ejemplo, pueden estar disponibles en porcentajes, kilómetros, personas por cuarto o kilómetro cuadrado, minutos, microgramos por metro cúbico, tasas por mil o cien mil. La estandarización expresa las variables originales en una misma unidad de medida abstracta o general a fin de que sean comparables y agregadas en un IC. Otras funciones de la estandarización son invertir la polaridad negativa de las variables de un IC, controlar los pesos implícitos en el rango de valores y la forma de la distribución, identificar los casos atípicos que dificultan el uso de la estadística paramétrica, y asegurar que las variables sean comparables en el tiempo y espacio. Los procedimientos de estandarización abordados en este escrito cubren estos aspectos, con especial énfasis en tres características que ejercen un peso implícito al agregar variables en un IC: el rango desigual de los valores, los valores máximo y mínimo desiguales entre variables, y la asimetría de cada distribución.

Rango desigual. El rango es la distancia entre el valor máximo y mínimo de la variable. El rango desigual entre variables produce índices distorsionados porque tienen sesgo hacia los valores mayores (ponderación implícita).¹ En las distribuciones de rango desigual domina la mayor amplitud porque los valores bajos en unas variables son relativamente altos en otras. Ejemplo: en la ‘estandarización mín-máx restringida’ (z_MP en esta investigación) de ^{Mazziotta y Pareto (2022)} las variables tienen igual rango, pero el empate de valores en los extremos y la asimetría quedan como problemas sin resolver.

Empate de valores máximo y mínimo. Las variables con mayores valores en los extremos dominan en el índice agregado, aunque tengan el mismo rango. Los valores bajos en variables con valores altos en los extremos (por ejemplo, 50 a 80) parecerán altos para variables con valores bajos en los extremos (5 a 35), aunque haya igual amplitud en las variables (30 en el ejemplo). Ejemplo: en la estandarización mín-máx (z_MM en este estudio), explicado en la ^{OECD (2008)}, empata los valores en los extremos en variables de igual rango sin modificar la asimetría de los valores originales.

Asimetría. Las variables con igual rango e iguales valores máximo y mínimo pueden tener distintos grados de asimetría. La asimetría crea o magnifica el efecto sustitución o compensatorio en la agregación lineal de las variables. Hay dos tipos de asimetría, a la derecha o a la izquierda. La primera también es conocida como asimetría positiva, muestra la concentración de casos en los valores bajos creando una distribución de cola a la derecha. La media aparece a la derecha de (superior a) la mediana de manera tal que la suma o promedio de las variables con mayor valor compensan o ‘esconden’ las variables con menor valor. En las variables con asimetría a la izquierda (asimetría negativa) la mayoría de los casos tiene valores altos en la variable original. En este segundo caso, las variables no diferencian las observaciones significativamente y deben ser omitidas en la investigación (^{Balcerzak, 2016}).

La corrección de la asimetría usualmente ajusta también a la curtosis porque la normalización suaviza y obtiene una distribución simétrica, sin picos exagerados o datos aglomerados en los extremos. Esta corrección puede verificarse con la curtosis estandarizada (zcurtosis), cuyo valor, como en el sesgo estandarizado (zsesgo),² debe estar en el rango ±2.

Hay dos opciones para corregir la asimetría (y la curtosis) de las variables. La primera opción, la tradicional, incluye dos pasos (^{Gilthorpe, 1995}): i) ‘normalizar’ las variables mediante los procedimientos de transformación conocidos, ya sea logs, raíz cuadrada, inversa de la variable, Box-Cox o el arco seno de la variable, y ii) la variable normalizada es estandarizada por un procedimiento usual, como el método mín-máx aplicado al Índice de Desarrollo Humano (IDH). La estandarización mín-máx logra igual rango y empate de valores en los extremos de los datos previamente normalizados.³

La segunda opción para corregir la asimetría consiste en transformar y estandarizar de forma simultánea la variable, como en z_MAD o en tres procedimientos en esta investigación. No es necesario que los procedimientos normalicen los datos, solo que sus rangos sean iguales, los valores en los extremos también sean iguales, y la asimetría estandarizada sea aceptable (±2).

La regla no escrita en los IC es que las variables sean positivas, que un incremento en la variable se refleje en un aumento en el IC. Si no fuera así, cada procedimiento de estandarización debe proporcionar la opción para invertir la polaridad de la variable.

Planteamiento del problema. Hasta ahora no hay un procedimiento que neutralice simultáneamente el peso implícito en la asimetría en cada variable, los rangos desiguales entre variables y los valores máximo y mínimo entre ellas.

Objetivo general. Proponer e ilustrar un procedimiento que controle la asimetría, genere valores iguales en los extremos superior e inferior y, por tanto, igual rango entre variables. La revisión y aplicación de los procedimientos actuales proporciona el marco metodológico y empírico al método propuesto. La investigación ilustra la aportación metodológica del nuevo procedimiento con las variables del rezago educativo que son parte del índice de rezago social en las regiones y los estados de México en el periodo 2000 a 2020.

Los IC son usuales en diversos campos disciplinarios. El procedimiento sugerido de estandardización balanceada es aplicable a variables continuas de índices compuestos de todo tipo, elaborados para distinta escala geográfica y periodo de tiempo.

METODOLOGÍA

La investigación examina versiones transversales y longitudinales de procedimientos de estandarización alternativos. Las versiones transversales de estos índices son primero evaluadas con diagramas de caja y estadística descriptiva básica para seleccionar posteriormente las versiones longitudinales aplicables al estudio de caso.

Los procedimientos de estandarización pueden ser transversales (relativos), si refieren una distribución espacial en un momento en el tiempo (por ejemplo, un año), o longitudinales (absolutos), si consideran una sucesión de momentos (por ejemplo, varios años de un periodo).

La investigación se concentra en índices transversales que tienen también versiones longitudinales. Esta decisión descarta los índices de naturaleza ordinal o jerárquica que alteran la distancia entre los casos, tal como Knox (^{Ricketts, Ilbery y Kneafsey, 2006}), Borda (^{Dasgupta y Weale, 1992}), o percentil (^{Acharya y Porwal, 2020}; ^{Flanagan, Gregory, Hallisey, Heitgerd, y Lewis, 2011}). Estos índices son de uso exclusivo transversal. La única comparación posible espacio temporal de los índices relativos refiere los desplazamientos entre los rangos, sin que ello implique incrementos o disminuciones absolutas en el tiempo de la variable estandarizada. La investigación también omite la indización o ‘distancia a una referencia’ o valor de un año específico por no modificar el coeficiente de variación de los valores originales (^{Mazziotta y Pareto, 2022} y ²⁰²¹).

RESULTADOS

El objetivo de esta sección es ilustrar los procedimientos de estandarización transversal y longitudinal con variables del rezago educativo en las regiones y los estados de México. El rezago educativo es definido por tres variables (componentes, en la terminología del CONEVAL) de uno de los cinco indicadores (dimensiones) del rezago social en México⁴: Población de 15 años o más analfabeta (x1), Población de 6 a 14 años que no asiste a la escuela (x2), y Población de 15 años y más con educación básica incompleta (x3). Los datos provienen del ^{CONEVAL (2021)}. Los estados son agrupados en las tres grandes regiones de México identificadas por ^{Angoa, Pérez-Mendoza, y Polèse (2009)}.

El estudio transversal incluye dos tareas. La primera presenta las características principales de las estandarizaciones en las regiones de México para cada año del periodo 2000 a 2020 (Cuadro 1). En todas las estandarizaciones transversales, en todos los años del periodo, el norte reporta el menor rezago seguido por el centro y el sur, en este orden. En la estandarización clásica, la jerarquía regional es la misma para todos los años y sus rangos son desiguales. En las estandarizaciones mín-máx, mín-máx restringida y la balanceada las regiones tienen el mismo rango, pero en las dos primeras la jerarquía es la misma independientemente de que los valores se incrementen o disminuyan de un año a otro. La estandarización balanceada no permite comparaciones porque todo es igual de un año a otro: Los valores en los extremos (70 y 130), media (100), stdv (24.5) y rango (60) son exactamente los mismos. Estos resultados confirman las principales limitaciones de la estandarización transversal para realizar análisis longitudinal. Es necesario aplicar las estandarizaciones longitudinales para que las comparaciones sean adecuadas, como lo señalan ^{Mazziotta y Pareto (2022)}.

En el nivel de los estados, las estandarizaciones proporcionan mayor detalle geográfico de los procedimientos analizados y generan la información necesaria para la segunda tarea del análisis transversal. El estudio transversal del 2020 confirma que la jerarquía es la misma para todas las entidades federativas, independientemente de la estandarización utilizada. La investigación no proporciona información transversal en los estados para el resto del periodo para evitar redundancia ya que los resultados son similares a los obtenidos al nivel de las regiones.⁵

La segunda tarea transversal, con la información de los estados de México para el 2020, elabora diagramas de caja que combina con estadística básica para evaluar el efecto de cada estandarización en el rango, los valores máximo y mínimo y la asimetría en las tres variables del rezago educativo. Los procedimientos de estandarización, con excepción de z _NR y z _EB , no modifican la asimetría de los datos originales. En las estandarizaciones con amplitud de 70 a 130, solo la mín-máx restringida (z_MP) no tiene valores exactos en los extremos. Los resultados muestran que un igual rango no es garantía de una mejor estandarización. Es necesario considerar también el empate del valor máximo y mínimo entre las variables y la asimetría en cada una de ellas. Solo la estandarización balanceada (z_EB) logra este triple propósito y confirma que la corrección de la asimetría también ajusta a la curtosis (al corregir una se corrige la otra) (Figura 1).

Me = Mediana; Mín y Máx = Valor mínimo y máximo, respectivamente; Rango = Máx - Mín; zSesgo = Sesgo/Error del sesgo; zCurtosis = Curtosis/Error de la Curtosis. Los subíndices en los valores z indican lo siguiente: MM: mín-máx; MP: Mazziotta-Pareto o estandarización MM restringida; EB: estandarización balanceada. El número en z indica la variable de rezago social estandarizada. Los diagramas de caja y valores del sesgo y curtosis estandarizados son obtenidos con Statgraphics, v. 16.1.03.

Fuente: Elaboración del autor en base a los datos disponibles en el enlace de la nota de pie 5.

Figura 1 Variables del rezago educativo en los estados de México, 2020. Efecto de las distintas estandarizaciones en los valores originales (x_i). 

El estudio longitudinal ilustra las estandarizaciones al nivel de las regiones y los estados. En las regiones, en todas las estandarizaciones y todas las variables del rezago educativo, el máximo corresponde a la región Sur en el año 2000. El mínimo corresponde al norte en el 2020, con excepción de la variable z2 cuyo mínimo corresponde al 2015 (Cuadro 2). Estos resultados muestran una tendencia decreciente de las variables z1 y z3 en todas las estandarizaciones. La excepción es z2 cuyo mínimo lo alcanza el norte en el 2015. La media aritmética regional muestra claramente estas tendencias en todas las estandarizaciones. En z1 y z3 el promedio regional disminuye continuamente para todos los años del periodo, mientras en z2 la tendencia se revierte del 2015 al 2020. El promedio de los datos originales es decreciente en todo el periodo sin mostrar el cambio en la dirección de z2 detectado por las estandarizaciones longitudinales. El estudio incluye con fines comparativos una versión de la estandarización balanceada que utiliza como referencia el promedio nacional en el 2010 (z_BR), como lo sugiere la estandarización mín-máx restringida (z_MP). Los resultados no agregan información relevante adicional a la obtenida por la estandarización balanceada con la mediana del periodo como referencia.⁶

La estandarización balanceada modifica los valores originales de forma consistente con el resto de las estandarizaciones. Además, como lo muestra el análisis transversal, la estandarización balanceada neutraliza el peso implícito asociado a los rangos desiguales y los valores máximo y mínimo distintos en los extremos entre las variables, y a la asimetría de cada variable. Estas características revelan que z_EB es un procedimiento atractivo para estandarizar variables de forma transversal o longitudinal, especialmente las que son agregadas en un índice compuesto espacio temporal. Este argumento es suficiente para tomar como base z_EB para describir la trayectoria longitudinal de las variables en los estados.

La desagregación por estados devela movimientos o cambios de dirección no detectados en el nivel regional o agregado⁷. En los estados, la ausencia de valores negativos en las diferencias en dos de las tres variables con estandarización balanceada, la Población de 15 años o más analfabeta (z1_EB) y la Población de 15 años y más con educación básica incompleta (z3_EB), muestra una evolución decreciente en cada uno de los quinquenios y en el periodo 2000 a 2020. La variable Población de 6 a 14 años que no asiste a la escuela (z2_EB), en cambio, reporta un incremento en el quinquenio 2005 a 2010 para los estados de Colima, Cd de Mx, Morelos, Quintana Roo y Sonora, no detectado en el análisis regional. La tendencia regresa al cauce decreciente en todos los estados en el quinquenio 2010 a 2015. La dirección decreciente de z2_EB se detiene en el último quinquenio del periodo para dar lugar a un incremento generalizado de esta variable en todos los estados. Es probable que el incremento de z2_EB del 2015 al 2020 se deba al confinamiento sanitario ocasionado por la pandemia del covid-19. Esta misma explicación aplica a los valores negativos de z2_EB en el periodo 2000 a 2020 para la Cd de Mx y NL, donde la política sanitaria operó de forma inmediata.

Todos los cambios positivos o negativos, quinquenales o de todo el periodo, son estadísticamente significativos. En todos los quinquenios el año previo tiene una media superior al año sucesivo, excepto en z2 en el lapso del 2015 al 2020 (Cuadro 3). Las pruebas t para datos relacionados muestran que el declive en dos de las tres variables del rezago educativo es estadísticamente significativo en todo el periodo y en cada uno de sus quinquenios (Cuadro 3). Los cambios en z2 también son significativos, con la particularidad de que la significancia estadística refiere un cambio de tendencia en el último quinquenio del periodo. Sin embargo, el renglón para el periodo 2000 a 2020 muestra que la tendencia general de z2 es decreciente.

Estos resultados muestran que la estandarización balanceada expresa las variables en una misma medición abstracta, controla las características que generan un peso implícito al agregarlas en un índice compuesto y permite el análisis estadístico de la tendencia espacio temporal.

DISCUSIÓN

Todas las estandarizaciones en esta investigación son adaptaciones de la estandarización clásica (z_t0). En las cajas estandarizadas (z_Q) la mediana reemplaza a la media y el recorrido intercuartílico a la desviación estándar. En la estandarización min-máx (z_MM), el valor mínimo sustituye a la media y el rango máx-mín a la desviación estándar. La estandarización mín-máx restringida (z_MP) es una versión de la estandarización mín-máx donde un referente (media, mediana o una observación destacada) toma el lugar de la media y el rango máx-mín sustituye a la desviación estándar. La normalización robusta (z_NR) toma en cuenta los datos por encima o debajo de la mediana (Me). En ambos casos, el numerador es el mismo: la mediana toma el lugar de la media, (x _i -Me). En datos por debajo de la mediana, el término (Me-Q1) toma el lugar de la desviación estándar; en datos por encima de la mediana, (Q3-Me) remplaza a la desviación estándar. La estandarización balanceada (z_EB) es similar a la z_NR, solo que los valores mínimo y máximo toman el lugar del primer y tercer cuartil, respectivamente. En z_EB el numerador es el mismo para valores por encima o debajo de la mediana: (x _i -Me); en el denominador, (Me-Mín) o (Máx-Me) toma el lugar de la desviación estándar.

Los resultados muestran que solo la estandarización balanceada propuesta en esta investigación corrige simultáneamente los problemas de amplitud desigual, valores mínimo y máximo disparejos y asimetría que implican una ponderación implícita en la agregación de variables (Cuadro 4).

La versión longitudinal de cada estandarización requiere que los parámetros sean fijos en el tiempo. Esto es posible si el procedimiento se aplica a datos apilados, como lo ilustra el estudio de caso.

CONCLUSIÓN

Sin estandarización, transversal o longitudinal, no hay índices compuestos confiables. La selección del procedimiento de estandarización apropiado es un reto actual y un debate en curso. El análisis comparativo de procedimientos muestra que la clave en la extensión longitudinal de las versiones transversales es mantener parámetros fijos para datos apilados, de la siguiente manera:

En las variables de un índice compuesto no basta que la estandarización sea longitudinal o absoluta, es necesario también que controle la ponderación implícita al agregar variables. Los valores máximo y mínimo distintos entre variables, los rangos desiguales entre ellas y la asimetría de cada variable causan la ponderación implícita. La z_EB es el único procedimiento que corrige simultáneamente este problema triple.

La ponderación implícita magnifica el efecto sustitución o compensatorio en la agregación lineal de variables. La medición del efecto de la agregación de variables con y sin ponderación implícita es materia de otra fase en la elaboración de IC: la medición de la estabilidad de un IC. En la fase de estabilidad e importancia de las variables, el efecto de procedimientos distintos de estandarización se evalúa bajo supuestos fijos de ponderación (por ejemplo, igual ponderación, entropía o juicio de expertos), con variables agrupadas o no agrupadas en dimensiones, agregadas por procedimientos compensatorios (por ejemplo, media aritmética o análisis por componentes principales) o no compensatorios (por ejemplo, media geométrica o media contra harmónica y sus componentes).

El estudio propone e ilustra un procedimiento de estandarización; no sugiere ningún procedimiento de ponderación explícita ni de agregación de variables. La medición del efecto de la estandarización balanceada en un IC está fuera del alcance de este trabajo. Esta medición es materia de un escrito que retome sintéticamente las tres fases básicas de un IC: la estandarización, ponderación y agregación de variables. Cada una de estas fases es un tema de investigación por sí misma, como lo muestran el desarrollo y los resultados de esta investigación sobre estandarización.

En suma, la estandarización balanceada tiene varias funciones en un índice compuesto (IC): a) expresar los valores en una misma unidad abstracta que garantice la comparación y agregación transversal y longitudinal de variables; b) identificar casos atípicos; c) invertir la polarización de variables de manera que un incremento en la variable se refleje en un incremento en el IC; d) permitir el análisis estadístico y la prueba de hipótesis de información compatible en el tiempo y espacio; y d) controlar la ponderación implícita en: i) los rangos desiguales entre las variables, ii) los valores desiguales en los extremos entre variables, y iii) la asimetría de cada variable.