Base de datos de las simulaciones de radiación atmosféricas

Las simulaciones del proceso de transferencia radiativa de la atmósfera se realizaron con el modelo 6S (^{Vermote et al., 1997}), que se define como:

donde:

ρ _EXO = Reflectancia exo-atmosférica

ρ _sv = Reflectancia del sistema suelo-vegetación

S = Albedo esférico

τ = Transmitancia atmosférica

θ _s = Ángulo cenital solar

θ _v = Ángulo cenital de visión del sensor

ϕ _s = Ángulo acimutal solar

ϕ _v = Ángulo acimutal de visión

τ _g = Transmisión total de gases

ρ _R+A = Reflectancia de trayectoria (Rayleigh + Aerosoles)

El modelo 6S simula la absorción por los gases y la dispersión por aerosoles y moléculas (de Rayleigh), que son procesos atmosféricos de la radiancia solar que refleja el sistema suelo-vegetación, cuando la capta el sensor en una plataforma espacial. Si la absorción de los gases se desacopla de la dispersión, como cuando los agentes absorbentes se localizarán por encima de las capas de absorción, la Ecuación 1 modela la transferencia de radiación para un píxel homogéneo Lambertanio de reflectancia ρ _sv , a nivel del mar, visto por un sensor afuera de la atmósfera e iluminado por el sol.

La Ecuación 1 puede simplificarse al quitar los argumentos angulares como:

donde: λ representa una banda espectral (R o IRC). La constante a es la radiancia de trayectoria (radiación que no tiene contacto con la superficie terrestre) y b es una constante multiplicativa que considera la segunda parte del término de la derecha de la Ecuación 1.

Para analizar el esquema de corrección atmosférica se generaron, inicialmente, 82 944 simulaciones de radiación con el modelo 6S, variando los modelos atmosféricos y los tipos de aerosoles (Cuadro 1). Las bandas espectrales que se usaron fueron las del sensor ETM+ (satélite LANDSAT 7), con 6 bandas, por lo que el ángulo cenital de visión fue de 0º (nadir). Los ángulos cenitales solares fueron 0º, 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º y 70º. No se contempló el efecto del acimut relativo sol-sensor, ya que las simulaciones no mostraron un efecto significativo de esta variable. La altitud varió de 0 a 5 km, en intervalos de 0.5 km. Las visibilidades atmosféricas fueron de 5, 7, 10, 25, 50, 100, 150 y 200 km. Para las simulaciones primero se dejó fijo el ángulo cenital solar, después se modificó la altitud y, para cada altitud, se cambió la visibilidad atmosférica. El proceso se realizó para cada aerosol y atmósfera particular. Para una atmósfera dada (ángulo cenital solar y altitud fija), con el aerosol fijo, se analizó cada visibilidad atmosférica y se simuló la relación entre las bandas del R e IRC. La Ecuación 2 se utilizó para analizar el efecto de los cambios de las reflectancias de la mezcla suelo-vegetación, con variación de la banda el R de 5 a 25% (intervalos de 2.5%) y la banda del IRC de 5 a 50% (intervalos de 5%). La relación entre las reflectancias terrestres y aquellas con efecto atmosférico (para la visibilidad de interés) se examinó por regresión lineal, con la relación (2). El análisis de los resultados mostró que el error asociado al uso de la Ecuación 2 fue menor al 4% (banda del IRC) y menor al 1% (banda del R) en relación al uso de la Ecuación 1.

En lo siguiente sólo se incluyen y discuten los resultados de las simulaciones para las bandas del R e IRC, con una altitud máxima de 4 km. El subconjunto de simulaciones retenidas fue de 12 288, ya que el aerosol marítimo y el estratosférico no se analizaron en este trabajo, por enfocarse solo a la parte terrestre.

Para la realización de correcciones atmosféricas relativas; es decir, hacer que dos imágenes tengan los mismos efectos atmosféricos o ninguno (cuando la imagen de referencia ha sido corregida atmosféricamente con otra técnica), es necesario definir las relaciones entre ambas imágenes.

Si se consideran las reflectancias terrestres (sin atmósfera) como correspondientes a una escena satelital 1 y a las reflectancias con atmósfera como de la escena satelital 2, para las bandas espectrales del R y del IRC, se pueden establecer las relaciones:

donde: los parámetros a y b se definen en función del modelo atmosférico y de aerosol que se use, para una visibilidad atmosférica, ángulo cenital solar y altitud dada. En general, las relaciones 3 y 4 pueden considerarse como relativas a la atmósfera que se usó en una escena 1 de referencia o estándar.

Compactación funcional de las simulaciones atmosféricas

Todas las simulaciones se compactaron funcionalmente (se definió una relación entre la variable dependiente y las independientes) con las visibilidades atmosféricas (espesor óptico de la atmósfera) como puntos comunes, para obtener relaciones genéricas entre los diferentes parámetros, que se definen en las relaciones 3 y 4:

Los parámetros A_i y B_i, i=1, 2, 3, 4, que se determinaron para diferentes visibilidades atmosféricas, posteriormente se compactaron y se dejó fijo el modelo atmosférico y el aerosol:

Así, para un ángulo cenital solar y altitud dada, con el modelo atmosférico y el aerosol fijos, es posible estimar los parámetros de las relaciones 5 a 8.

Restricciones de búsqueda para las inversiones radiativas

Con el uso de los patrones espectrales del crecimiento de la vegetación, que se define por el índice de área foliar o IAF, se pueden establecer propiedades invariantes (líneas iso-IAF; ^{Huete et al., 1985}; ^{Yoshioka et al., 2000}; ^{Paz, 2018}). La Figura 1 muestra simulaciones de la mezcla suelo-vegetación (^{Paz et al., 2005a}), donde se observa que los suelos (línea más inferior) caen sobre una “línea de suelo” (^{Baret et al., 1983}), que se define como:

donde: el subíndice s es por suelo.

Figura 1: Patrones espectrales de la mezcla suelo-vegetación, donde R es la reflectancia del rojo e IRC la del infrarrojo. IAF = índice de área foliar. 

En la Figura 1 se observa, también, que los patrones espectrales de la mezcla suelo-vegetación, con igual IAF, es del tipo lineal (líneas iso-IAF). Asimismo, a medida que la vegetación se incrementa o se vuelve más densa (IAF grande), la banda del R se satura (no cambia de valor), por lo que solo el IRC sigue creciendo y forma una línea recta vertical (ápice de la Figura 1), denominada línea de la vegetación densa. Los patrones de las líneas del suelo y de la vegetación densa forman patrones invariantes; es decir, siguen siendo líneas rectas con o sin efecto atmosférico; aunque sus parámetros varían. ^{Paz et al. (2005b)} utilizan dichos patrones invariantes para desarrollar métodos de correcciones atmosféricas relativas.

Restricciones asociadas a las líneas del suelo

^{Paz et al. (2005b)} establecieron que las inversiones de los modelos radiativos de la atmósfera deberán cumplir condiciones para que puedan considerarse válidas:

donde: en la escena 1 y 2 se supone que se conocen los parámetros de las líneas del suelo.

Restricciones asociadas a las líneas de la vegetación densa

^{Paz et al. (2005b)} mostraron que para una línea de vegetación densa definida por R = R_c, la restricción que se asocia a las inversiones de modelos radiativos está dada por:

donde: se supone que los parámetros de las líneas de vegetación densa en la escena 1 y 2 se conocen.

Tanto para las líneas del suelo, como para las de la vegetación densa, se puede usar un clasificador genérico de objetos (^{Palacios et al., 2006}) para definir las clases “suelo desnudo” y “vegetación densa”. Así, para las clases de interés se estiman por regresión lineal los parámetros de las líneas del suelo y de la vegetación densa. De esta manera es posible obtener los datos de dichas líneas, para cualquier conjunto de escenas satelitales y analizar cada una para una escena de referencia.

Para probar las estrategias de inversiones radiativas de la atmósfera se usó un subconjunto de 5376 simulaciones, al no considerar el aerosol de quema de biomasa por presentar problemas en la compactación funcional (^{Paz, 2018}).

Inversiones radiativas asociadas a las líneas del suelo

Para invertir el modelo radiativo de la atmósfera, parámetros de las relaciones 3 y 4, para el caso de las líneas del suelo se utilizaron las relaciones 11 y 12 como criterios de restricción de búsqueda en las relaciones (compactación) funcionales de las simulaciones radiativas, relaciones 5 a 8. Con base en lo anterior, el uso conjunto de las relaciones 11 y 12 y 5 a 8, se pueden analizar en forma combinada (solución de un par de ecuaciones) o independiente, para establecer las ecuaciones de las inversiones (estimaciones) como las siguientes (donde el subíndice e significa estimación):

Las estimaciones del conjunto (14) se pueden condicionar, adicionalmente, a otro sistema de ecuaciones de congruencia (subíndice c) del mismo sistema global de ecuaciones disponibles:

Del sistema de ecuaciones 14 y 15, es posible establecer un sistema de errores cuadráticos de estimación (función de mérito):

Así, el problema de estimación o inversión puede establecerse como:

Las Figuras 2 y 3 muestran estimaciones razonables para b_R y b_IRC, respectivamente, y que mejoran las estimaciones realizadas por ^{Paz (2018)} mediante el uso de la relación (11) únicamente. Para el caso de las Figuras 4 y 5, las estimaciones de a_R y a_IRC resultan relativamente pobres, lo que deja en claro la dificultad de las soluciones múltiples del problema de inversión de los modelos radiativos. Este problema de soluciones múltiples lo enfatizó previamente ^{Paz (2018)} para aclarar que existe un conjunto de modelos atmosféricos y aerosoles (además de visibilidades atmosféricas o espesores ópticos) que satisfacen las restricciones que se le impongan a un problema de inversión. Evidentemente, a medida que el número de restricciones es mayor, el problema de soluciones múltiples se reduce. Así, es crítico usar el máximo número de restricciones que puedan extraerse en forma directa de una imagen satelital.

Figura 2: Resultado de la estimación de b_R, líneas del suelo. 

Figura 3: Resultado de la estimación de b_IRC, líneas del suelo. 

Figura 4: Resultado de la estimación de a_R, líneas del suelo. 

Figura 5: Resultado de la estimación de a_IRC, líneas del suelo. 

El Cuadro 2 muestra los estadísticos de los errores de estimación (porcentaje en relación al del modelo) de las inversiones, con el uso de las restricciones de las líneas del suelo, donde resulta evidente que las estimaciones de b_R y b_IRC son aceptables (95% con errores menores a 9%). Para el caso de las estimaciones de a_R, los errores son también aceptables (90% con errores menores a 16%, aproximadamente). Para el caso de las estimaciones de a_IRC las estimaciones tienen un comportamiento más pobre (75% con errores menores a 21%).

Para analizar la confusión presentada en las estimaciones, con respecto a la selección correcta del modelo atmosférico y aerosol, el Cuadro 3 muestra la matriz de confusión de las estimaciones realizadas.

En la diagonal del Cuadro 3 se muestra el número de casos congruentes, con respecto a los disponibles (448) del proceso de seleccionar el modelo atmosférico y aerosol mediante el uso de la técnica de estimación o inversión propuesta.

En el Cuadro 4 se muestra la precisión de las estimaciones (porcentaje de aciertos) para el caso del binomio atmósfera-aerosol y para el caso de sólo atmósfera.

Se observa en el Cuadro 4 un promedio del 64.2% de precisión de las inversiones, que contrasta con los errores de estimación relativamente bajos de las estimaciones que se realizaron; a excepción de las de a_IRC. Esto es producto del problema de soluciones múltiples que se discutió anteriormente.

Inversiones radiativas asociadas a las líneas del suelo y de la vegetación densa

Si se sigue un procedimiento similar al que se discutió para las inversiones a través de las líneas del suelo, es posible analizar el uso conjunto de las restricciones que se asocian a las líneas del suelo y a la vegetación densa, relaciones 11 a 13. Para este caso, el conjunto de las relaciones de estimación, si se usan los resultados de ^{Paz (2018)}, está dado por:

Al igual que el caso de las líneas del suelo, las estimaciones del conjunto (18) se pueden condicionar, adicionalmente, a otro sistema de ecuaciones de congruencia del mismo sistema global de ecuaciones disponibles:

La función objetivo que se utilizó es similar al caso de las líneas del suelo, pero sin usar e2, b_IRC.

Para b_R y b_IRC, Figuras 6 y 7, las estimaciones son aceptables (por el diseño de las ecuaciones que se utilizaron) y para a_R y a_IRC, Figuras 8 y 9, los resultados son parecidos a los que se encontraron al usar solo las líneas del suelo, pero con estimaciones más precisas.

Figura 6: Resultado de la estimación de b_R, líneas del suelo y vegetación densa. 

Figura 7: Resultado de la estimación de b_IRC, líneas del suelo y vegetación densa. 

Figura 8: Resultado de la estimación de a_R, líneas del suelo y vegetación densa. 

Figura 9: Resultado de la estimación de a_IRC, líneas del suelo y vegetación densa. 

Un punto central implícito en las estimaciones que se realizaron, es que aún con un buen conocimiento de b_R y b_IRC, hay soluciones múltiples en las estimaciones de a_R y a_IRC. Así, las estrategias de mejora algorítmica deben orientarse a una mejor estimación de las constantes aditivas de la atmósfera (radiancias de trayectoria).

La mejoría en la precisión de las estimaciones que se realizaron se destaca en el Cuadro 5, donde se muestra que aun las estimaciones de a_IRC mejoraron a un nivel aceptable (85% con un error menor a 19%).

El Cuadro 6 muestra la matriz de confusión del binomio atmósfera-aerosol.

El Cuadro 7 muestra la precisión de la selección correcta del binomio en las estimaciones. Se observa que el promedio de la selección correcta del modelo atmosférico y el aerosol en las estimaciones fue del 82.8%, lo que resulta congruente con los valores que se estimaron de las constantes aditivas y multiplicativas asociadas a los modelos atmosféricos y aerosoles.

Los modelos de inversión radiativa atmosférica propuestos por ^{Paz (2018)} se extendieron para la consideración de las dos restricciones de búsqueda de soluciones asociadas a los patrones invariantes de las líneas del suelo y al uso conjunto de todas las restricciones disponibles asociadas a las líneas del suelo y de la vegetación densa. Si se consideran solo las restricciones de las líneas del suelo, los resultados que se obtienen del esquema de inversión o estimación, dan resultados aceptables para las constantes multiplicativas de las perturbaciones atmosféricas, pero relativamente pobres para las constantes aditivas. Al usar en forma conjunta las restricciones de las líneas del suelo y de la vegetación densa, las estimaciones mejoran substancialmente, en especial para el caso de las constantes multiplicativas.

Es importante destacar, que las soluciones óptimas de los esquemas de inversión para las dos situaciones que se analizaron están dentro de los mejores cinco valores que minimizan las funciones objetivo propuestas, por lo que hay espacio para mejorar los algoritmos utilizados y las funciones objetivo o de mérito.

En particular, resulta interesante explorar el uso de relaciones funcionales de compactación de los modelos radiativos que consideren en forma simultánea tres variables, ya que la segunda restricción que se asocia a los patrones invariantes de las líneas del suelo está en función de tres variables.