Simulaciones de radiación atmosféricas

Para analizar y validar los esquemas de corrección atmosférica se realizaron simulaciones de radiación de efectos atmosféricos sobre los patrones de la reflectancia de mezclas suelo-vegetación, reflejando experimentos controlados. Las simulaciones tuvieron las mismas características que los patrones reales de las imágenes de satélite, pero con datos controlados para poder validar los esquemas propuestos (^{de Haan et al., 1993}; ^{Richter, 1996a}, ^b y ^c; ^{Liang et al., 1997} y ²⁰⁰¹; ^{Thome, 2001}).

Simulación del efecto atmosférico

El efecto atmosférico se modeló a través de un sistema de capas en paralelo, con una aproximación de medio turbio semi-infinito unidimensional (^{Chandrasekhar, 1960}):

(1)

Las simulaciones del proceso de transferencia de radiación de la atmósfera se realizaron mediante el uso del modelo 6S (^{Vermote et al., 1997}), que se define como:

(2)

El modelo 6S simula la absorción por los gases y la dispersión por aerosoles y moléculas (de Rayleigh), que son procesos atmosféricos de la radiancia solar que refleja el sistema suelo-vegetación, cuando la capta el sensor en una plataforma espacial. Si la absorción de los gases se desacopla de la dispersión, como cuando los agentes absorbentes se localizan por encima de las capas de absorción, la Ecuación (2) modela la transferencia de radiación para un píxel homogéneo Lambertiano de reflectancia ρ _sv , a nivel del mar, visto por un sensor afuera de la atmósfera e iluminado por el sol.

La Ecuación (2) puede simplificarse, al quitar los argumentos angulares, quedando la Ecuación (3):

(3)

donde λ representa una banda espectral (R o IRC). La constante a es la radiancia de trayectoria y b es una constante multiplicativa que considera la segunda parte del término de la derecha de la Ecuación (2).

Para analizar el esquema de corrección atmosférica se generaron, inicialmente, 82 944 simulaciones de radiación con el modelo 6S, variando los modelos atmosféricos y los tipos de aerosoles (Cuadro 1).

Las bandas espectrales que se usaron fueron las del sensor ETM+ (satélite LANDSAT 7), con 6 bandas, por lo que el ángulo cenital de visión fue de 0º (nadir). Los ángulos cenitales solares fueron 0º, 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º y 70º. No se contempló el efecto del acimut relativo sol-sensor, ya que las simulaciones no mostraron un efecto significativo de esta variable. La altitud varió de 0 a 5 km, en intervalos de 0.5 km. Las visibilidades atmosféricas fueron de 5, 7, 10, 25, 50, 100, 150 y 200 km. Para las simulaciones primero se dejó fijo el ángulo cenital solar, después se modificó la altitud y, para cada altitud, se cambió la visibilidad atmosférica. El proceso se realizó para cada aerosol y atmósfera particular.

Para una atmósfera dada (ángulo cenital solar y altitud fija), con el aerosol fijo, se analizó cada visibilidad atmosférica y se simuló la relación entre las bandas del R e IRC. La Ecuación (2) se utilizó para analizar el efecto de los cambios de las reflectancias de la mezcla suelo-vegetación, con variación de la banda el R de 5 a 25% (intervalos de 2.5%) y la banda del IRC de 5 a 50% (intervalos de 5%). La relación entre las reflectancias terrestres y aquellas con efecto atmosférico (para la visibilidad de interés) se examinó por regresión lineal, con la relación (3). El análisis mostró que el error asociado al uso de la Ecuación (3) fue menor al 4% (banda del IRC) en relación al uso de la Ecuación (2).

Si se considera a las reflectancias terrestres (sin atmósfera) como parte de una escena satelital 1 y a las reflectancias con atmósfera como la escena satelital 2, para las bandas espectrales del R y del IRC, se puede establecer la relación (3):

(4)

(5)

donde los parámetros a y b se definen en función del modelo atmosférico y de aerosol que se use, para una visibilidad atmosférica, ángulo cenital solar y altitud dada. En general, las relaciones (4) y (5) son válidas si se considera la escena 1 con un efecto atmosférico diferente al de la escena 2, por lo que las relaciones pueden considerarse relativas a la atmósfera de la escena 1 de referencia o estándar.

Cabe señalar que sólo se incluyen y discuten los resultados de las simulaciones para las bandas del R e IRC, con una altitud máxima de 4 km. El subconjunto de simulaciones retenidas fue de 12 288, ya que el aerosol marítimo y el estratosférico no se analizaron en este trabajo, por enfocarse solo a la parte terrestre.

Simulación de la reflectancia del sistema suelo-vegetación

La Figura 1 muestra los patrones espectrales, en el espacio del R-IRC, para diferentes mezclas del sistema suelo-vegetación (^{Paz et al., 2005}), que se caracterizaron por el índice de área foliar (IAF). Los datos de la Figura 1 se obtuvieron con el modelo SAIL (^{Verhoef, 1984}) de transferencia radiativa y representan un cultivo con distribución angular foliar erectófila (predominantemente vertical) y propiedades ópticas (reflectancia y transmitancia) de maíz (^{Gausman et al., 1973}). El ángulo cenital solar fue de 30° y el de visión a nadir. Se usaron las reflectancias de cinco tipos diferentes de suelos para las mezclas.

Figura 1: Patrones espectrales de la mezcla suelo-vegetación. R = rojo; IRC = infrarrojo cercano; IAF = índice de área foliar. 

Se observa en la Figura 1, que los suelos caen sobre una “línea de suelo” (^{Baret et al., 1993}) que se define como:

(6)

donde el subíndice s es por suelo. En lo general, si una región (imagen satelital) tiene suelos con propiedades ópticas diferentes y que no se ajustan a una sola línea del suelo, es posible segmentar una imagen de satélite y definir dos o más líneas del suelo. Evidentemente el uso de líneas del suelo se fundamenta en la existencia de suelo desnudo en una imagen satelital y que puedan ser fácilmente identificados (^{Fox et al., 2003} y ²⁰⁰⁴; ^{Palacios et al., 2006}). En el caso de no existir suelo desnudo, como se discute más adelante, es posible utilizar la vegetación densa (cultivos o vegetación natural) (^{Palacios et al., 2006}) para utilizar la metodología propuesta en este trabajo.

En la misma Figura 1 se observa, que los patrones espectrales de la mezcla suelo-vegetación, con igual IAF, son lineales (líneas iso-IAF), lo que coincide con las verificaciones experimentales de otros autores (^{Huete et al., 1985}; ^{Price, 1992} con datos de ^{Huete y Jackson, 1987}; ^{Bausch, 1993}; ^{Gilabert et al., 2002}; ^{Meza Díaz y Blackburn, 2003}) y, a través de modelos de transferencia radiativa (^{Richardson y Wiegand, 1991}; ^{Baret y Guyot, 1991}; ^{Qi et al., 1994}; ^{Yoshioka et al., 2000}).

Para un IAF dado, la curva iso-IAF, se puede aproximar por:

(7)

donde a₀ y b₀ son parámetros que dependen del IAF, la cobertura de la vegetación, las propiedades ópticas de las hojas, el suelo de fondo y de la arquitectura de las plantas.

Para un mismo suelo como fondo de un cultivo, la curva iso-Suelo en la Figura 1 muestra un patrón no-lineal (curvas envolventes que se asocian al suelo más claro y al más oscuro). A la envolvente de la Figura 1 se le llama “sombrero de tres picos” o “Tasseled Cap” (^{Kauth y Thomas, 1976}).

Dado que los patrones de la Figura 1 son lineales, conservan esta propiedad cuando se transforman linealmente, Ecuación (3), como resultado de los efectos atmosféricos (Figura 2). Por lo tanto, la invariancia en los patrones de las reflectancias para el suelo y las mezclas suelo-vegetación, que incluye la vegetación densa (Figura 3), es la que se usa en este trabajo.

Figura 2: Patrones espectrales de la mezcla suelo-vegetación, con y sin atmósfera. R = rojo; IRC = infrarrojo cercano. 

Figura 3: Línea de la vegetación densa (IAF = 8), con y sin atmósfera. R = rojo; IRC = infrarrojo cercano. 

Las simulaciones que se muestran en las Figuras 2 y 3, caso con atmósfera, corresponden a un modelo atmosférico de verano, latitud media, aerosol continental, con una visibilidad de 10 km, ángulo cenital solar de 30º, altitud a nivel del mar (0 km), con valores de a_s = 1.0 y b_s = 1.5.

Los patrones de las Figuras 2 y 3 son similares para otras configuraciones, lo que denota que los efectos atmosféricos tienden a modificar la cantidad de vegetación terrestre, por lo que reducen en forma artificial el índice de área foliar (cantidad de vegetación).

Compactación funcional de las simulaciones atmosféricas

En un enfoque clásico de inversión de la transferencia de radiación atmosférica, los valores de reflectancia que se observan a nivel exo-atmosférico (satélites) son comparados con simulaciones de radiación atmosféricas en matrices de búsqueda, por lo que pueden extraerse las simulaciones que cumplen con alguna condición de mérito impuesta (p. ej. error cuadrático mínimo), de tal manera que el modelo atmosférico (y tipo de aerosol) a invertir (quitar el efecto atmosférico) es función de las observaciones. Más allá de que este problema tiene una solución de “muchos a uno”, tal como se discute más adelante, la búsqueda es muy lenta para realizarse en tiempo real. Una alternativa, por lo tanto, es compactar las simulaciones de radiación mediante el uso de las simetrías que conlleva la función de transferencia de radiación.

Un primer paso para compactar en forma funcional las simulaciones, es establecer relaciones entre los parámetros de las Ecuaciones (4) y (5), en forma independiente de las visibilidades atmosféricas. Así, al considerar un ángulo cenital solar, una altitud, un modelo atmosférico y un aerosol como fijos, además de las visibilidades atmosféricas (8 datos) como puntos comunes, se pueden establecer las siguientes relaciones:

(8)

(9)

(10)

(11)

Las Figuras 4, 5, 6 y 7, muestran los ajustes que se realizaron para un ángulo cenital solar (θ_s) = 0, Altitud (Alt) = 0, Atmósfera (Atm) = 1 y Aerosol (Aero) = 1. Destaca el hecho de que el ajuste resulta óptimo (R²> 0.99) y similar en todos los casos.

Figura 4: Ajuste experimental para determinar A₁ y B₁. (Definidos en las ecuaciones 8 a 11). 

Figura 5: Ajuste experimental para determinar A₂ y B₂. (Definidos en las ecuaciones 8 a 11). 

Figura 6: Ajuste experimental para determinar A₃ y B₃. (Definidos en las ecuaciones 8 a 11). 

Figura 7: Ajuste experimental para determinar A₄ y B₄. (Definidos en las ecuaciones 8 a 11). 

Los parámetros A_i y B_i, i=1, 2, 3, 4 que se determinaron para las condiciones atmosféricas dadas, con el modelo atmosférico y el aerosol fijos, se pueden compactar en:

(12)

De tal manera que para las condiciones descritas, es posible estimar los parámetros de las relaciones (8) a (11) y únicamente se almacena una matriz de 8×7 (8 parámetros y 7 valores del polinomio) por combinación del modelo atmosférico y el aerosol.

En las Figuras 8 y 9 se puede observar que hay un excelente ajuste del polinomio que se usó para ajustar los parámetros con Atm = 6 y Aero = 6.

Figura 8: Ajuste del polinomio que se usó para estimar el parámetro A₁. (Ecuación12). 

Figura 9: Ajuste del polinomio que se usó para estimar el parámetro B₁. (Ecuación 12). 

Para el resto de los parámetros que se modelaron se obtuvieron ajustes similares (R² > 0.99); con excepción del parámetro B₂. Para la Atm = 6 y Aero = 6 (parámetro B₂), la Figura 10 muestra que el modelo polinómico no se comporta adecuadamente en términos de estimación. Esto sucede para todos los casos del aerosol 6 (quema de biomasa).

Figura 10: Ajuste del polinomio usado para estimar el parámetro B₂. (Ecuación 12). 

Inversión del modelo de radiación atmosférico compacto

Con la finalidad de utilizar los patrones invariantes definidos por ^{Paz et al. (2006)}, que parcialmente desarrolló en forma independiente ^{Atzberger (1995)}, la compactación funcional de las simulaciones de radiación se resolvió para los parámetros de las relaciones (8) a (11) y no en función de las visibilidades atmosféricas, como usualmente se hace.

La línea del suelo puede usarse para realizar correcciones atmosféricas relativas entre dos escenas sobre la misma región; esto es, se pueden normalizar o estandarizar los efectos atmosféricos de la escena 2 a una escena 1 de referencia.

Patrones invariantes de las líneas del suelo

Bajo el supuesto de que las líneas del suelo en las dos escenas están dadas por:

(13)

(14)

(donde el subíndice 1 se refiere a la escena 1 y el subíndice 2 a la escena 2), si se sustituyen las Ecuaciones (4) y (5) en la Ecuación (14) y el resultado se compara en relación con la Ecuación (13), las Ecuaciones (15) y (16) conforman los requerimientos básicos que deben cumplirse si se hace un proceso de búsqueda en matrices de efectos atmosféricos simulados, con sólo el uso de las líneas del suelo (^{Paz et al., 2006}).

(15)

(16)

Patrones invariantes de las líneas de la vegetación densa

La Figura 3 muestra que la curva iso-IAF para vegetación densa corresponde a una línea recta vertical. Dado que el promedio de un conjunto de líneas verticales es una línea vertical, se puede usar esta propiedad para analizar la vegetación densa de una zona agrícola, si se consideran los mismos datos (píxeles) de vegetación densa de la escena 1, en la escena 2. Si se representa la línea recta R de la escena 1, la Ecuación queda como:

(17)

donde R_c1 representa el valor promedio de saturación de la banda del rojo.

De acuerdo con ^{Paz et al. (2006)}, al incluir el efecto atmosférico, Ecuación (4), en la Ecuación (17), se tiene:

(18)

Esta ecuación define el requerimiento básico que debe cumplirse si se realiza la búsqueda en matrices de efectos atmosféricos simulados, mediante uso de las líneas de vegetación densa.

Inversión genérica de modelos de radiación de la atmósfera

De las relaciones (8 a 11) que se establecen para distintos modelos atmosféricos y aerosoles, la inversión del modelo de transferencia de radiación de la atmósfera, sin especificar ninguna información, sigue el algoritmo que se describe a continuación:

Líneas del suelo

(19)

Líneas de la vegetación densa

De las relaciones (8) a (11) que se establecieron para distintos modelos atmosféricos y aerosoles, la inversión del modelo de transferencia de radiación de la atmósfera, sin especificar información alguna, sigue el algoritmo:

(20)

Inversiones mediante el uso de las líneas del suelo

De acuerdo con los resultados, las inversiones mediante líneas de suelo resultan relativamente pobres al estimar a_R (Figura 11) y b_R (Figura 12), cuando se usa la base original de simulaciones atmosféricas (12 288). Lo anterior puede atribuirse, principalmente, a que existen soluciones múltiples al sistema de relaciones condicionantes de búsqueda, relaciones (15) y (16), lo que implica que existen combinaciones de modelos atmosféricos y aerosoles que generan prácticamente los mismos resultados.

Figura 11: Estimaciones genéricas de b_R, líneas del suelo. (Ecuaciones 19 y 20). 

Figura 12: Estimaciones genéricas de a_R, líneas del suelo. (Ecuaciones 19 y 20). 

Otra razón para explicar el pobre ajuste que se encontró, es que a_R y b_R se despejaron de otras relaciones, lo que produce un sesgo de estimación. Dicho sesgo puede evitarse al analizar la base de simulaciones de radiación y usar relaciones directas de los parámetros. Finalmente, otro error de estimación es el que se relaciona con el modelo polinómico, mismo que también puede minimizarse. Es importante señalar, que la estimación de (b_IRC/b_R), relación (15), conlleva un mínimo de error: el que se asocia a la estimación de la pendiente de las líneas del suelo.

Inversiones mediante el uso de las líneas de la vegetación densa

Para el caso de los patrones de las líneas de la vegetación densa, se usaron 5376 simulaciones para invertir en forma genérica el modelo radiativo atmosférico, sin considerar el aerosol 6, quema de biomasa.

Los resultados, Figura 13, muestran una relación casi perfecta, lo cual se debió a que b_R se estimó en forma directa y sólo conlleva el error que se asocia al cálculo de A₂ y B₂.

Figura 13: Estimaciones genéricas de b_R, líneas de la vegetación densa. (Ecuaciones 18 y 20). 

Por otra parte, las estimaciones de b_IRC, mostraron ajustes buenos, producto de la óptima estimación de b_R (Figura 14), pero en el caso de las estimaciones de a_R y b_IRC (no se muestran los resultados), las estimaciones fueron pobres, lo cual puede atribuirse al inconveniente de decidir qué modelo atmosférico y qué aerosol usar.

Figura 14: Estimaciones genéricas de b_IRC, líneas de la vegetación densa. (Ecuaciones 18 y 20). 

Inversión particular de modelos de radiación de la atmósfera

Cuando se cuenta con información sobre el modelo atmosférico y aerosol a invertir, la solución es similar al caso de la inversión genérica, pero se utilizan solo las relaciones que corresponden al modelo atmosférico y aerosol que se definan.

Inversiones mediante el uso de las líneas del suelo

Las inversiones particulares de todos los modelos atmosféricos y aerosoles muestran que, para el caso de b_R (Figura 15) y a_R (Figura 16), las estimaciones fueron muy buenas (R² > 0.98) y los errores de estimación pueden atribuirse a las causas que se discutieron para las inversiones genéricas, en las que ahora las soluciones son únicas.

Figura 15: Estimaciones particulares de b_R, líneas del suelo. (Ecuaciones 19 y 20). 

Figura 16: Estimaciones particulares de a_R, líneas del suelo. (Ecuaciones 19 y 20). 

El problema del conocimiento del modelo atmosférico y del aerosol, puede aproximarse con información de perfiles atmosféricos por regiones del país, ya que se define el modelo más probable para esa región. En el caso de México, existe una base de perfiles atmosféricos que se puede utilizar para tal fin (^{CONAGUA, 1999}). Adicionalmente, se pueden desarrollar esquemas iterativos de búsqueda mediante información satelital y la revisión de su congruencia.

Existen distintos métodos para realizar una validación cruzada de los modelos atmosféricos definidos a priori, que consideran el uso de diferentes condiciones de los patrones de crecimiento generales de la vegetación, para realizar estimaciones. Su pertinencia se discute en ^{Paz et al. (2006)}.

Inversiones mediante el uso de las líneas de la vegetación densa

Dado que, cuando se usan las líneas de la vegetación densa, las inversiones de b_R y b_IRC tienen muy poco error en las inversiones particulares, se muestran únicamente las estimaciones a_R y a_IRC (Figuras 17 y 18, respectivamente), para las que, en general, la inversión del modelo atmosférico es aceptable (R² > 0.99).

Figura 17: Estimaciones particulares de a_R, líneas de la vegetación densa. (Ecuaciones 18 y 20). 

Figura 18: Estimaciones particulares de a_IRC, líneas de la vegetación densa. (Ecuaciones 19 y 20).