Método del número de curva: mitos y falacias

El método del NC establece una relación empírica entre el escurrimiento directo Q (mm) y la precipitación P (mm), a escala diaria (evento de precipitación), como:

donde: Ia (mm) es la abstracción inicial antes del escurrimiento (almacenamientos superficiales, intercepción por la vegetación, evapotranspiración, infiltración antes de la saturación del suelo y otros factores) y S (mm) es un parámetro de retención, el cual varía espacialmente por cambios en el tipo y uso del suelo, manejo y pendiente; así como por cambios temporales en la humedad del suelo. El parámetro Ia es expresado generalmente en función de S

donde: k es supuesto como igual a 0.2 en la mayoría de las aplicaciones. El parámetro S se estima como:

donde: NC (0 a 100, adimensional) es función del tipo de suelo, la humedad antecedente del suelo, la pendiente del terreno, el uso del suelo y sus prácticas de manejo, principalmente.

La Ecuación 1 permite establecer una relación funcional entre P y Q que puede ser usada en forma práctica, ya que depende sólo de NC y éste puede estimarse de información disponible (mapas temáticos del INEGI, por ejemplo, aunque no actualizados) en las cuencas hidrográficas; con excepción del uso de sensores remotos. Esta ecuación da una falsa apariencia de funcionalidad, particularmente cuando se tiene el soporte institucional del SCS/NRCS. ^{Paz (2009)} argumentó que las bases hidrológicas del método del NC son inexistentes y parten de supuestos incoherentes. Para entender estos planteamientos, se muestran dos relaciones esquemáticas entre P y Q, Figura 1.

Ia = es la abstracción inicial antes del escurrimiento;

P = precipitación; Q = escurrimiento.

Figura 1 Esquema de las relaciones entre P y Q, caso de Ia = 0.  

La hipótesis básica planteada en el método del NC es que a medida que la precipitación se incrementa, entonces el suelo se saturará rápidamente y todo lo que se precipita escurrirá (Q = P, λ = 1 en la Figura 1), representado por la línea punteada que pasa por el origen en la Figura 1. En la misma figura se presenta una curva, con línea sólida, que tiene una fase no lineal y después una lineal que intersecta el eje P en P_b (= S en el método del NC) y es paralela a la línea Q = λ P (donde λ puede ser cualquier pendiente: 0 < λ ≤ 1).

Así, sin pérdida de generalidad, se puede asumir que la relación P-Q está compuesta de dos fases: una no-lineal inicial y después una lineal, cuya transición está dada por el punto (P_T, Q_T). La fase lineal se presenta en forma completa, más allá de la transición suavizada, a partir del punto (P_L, Q_L). De la Figura 1 resulta aparentemente claro que el método del NC aproxima el patrón mostrado, de alguna forma, en la relación no lineal y lineal (supuesta como de dos fases).

En esencia, el método del NC parte de la idea de que la relación no-lineal deberá tender a una línea que cumpla la condición genérica Q = P cuando P sea grande (saturación del suelo). La relación de la línea punteada de la Figura 1 establece que:

En el caso de la línea recta continua (fase lineal en la Figura 1) se tiene que (usando S = P_b):

que puede ser multiplicada en ambos lados por (λ /S), para quedar como:

Así, igualando las relaciones (4) y (6) se obtiene:

que para el caso de Ia=0 y λ =1 es igual a la relación (1) del método del NC (en lo general, si se sustituye P = λ P se obtiene la relación (1). Resultados similares se obtienen usando una precipitación efectiva Pe = P‑Ia en vez de P (solo implica una traslación al origen de las relaciones). La relación (1) y (7) parte de hacer iguales dos líneas rectas paralelas con diferentes orígenes (que por definición nunca se juntan; es decir, no pueden ser iguales), lo cual es un absurdo. Esto solo se da cuando S = 0, tal como se muestra en la Figura 1. El método del NC no supone nada de la relación funcional entre P y Q en la fase no lineal mostrada en la Figura 1, la relación no lineal (1) es solo consecuencia de la hipótesis absurda utilizada y no tiene algún sustento hidrológico. Esto es claro en los gráf icos de las relaciones P y Q en función del NC, donde la supuesta hipótesis de λ = 1 no se obtiene nunca (^{Mishra y Singh, 1999}). La consideración de utilizar un valor de λ arbitrario de la relación (7) fue planteada por ^{Mishra et al. (2005)} para hacer mas flexible el método del NC, pero adolece de las mismas limitaciones que el método original. ^{Mishra et al. (2006)} plantearon la generalización del método del NC para considerar la dependencia entre Ia y el efecto combinado de S y la humedad antecedente del suelo, bajo las mismas restricciones ya discutidas. Los resultados de esta aproximación han sido pobres en los ajustes empíricos. En lo común, los intentos de generalizar el método del NC tienen hipótesis restrictivas similares al planteamiento original, por lo que su validez teórica es cuestionable.

Es importante enfatizar que la discusión previa solo considera la estructura matemática implicada en la relación del método del NC y no los ajustes empíricos realizados por numerosos autores. El punto central de discusión es que el método es incoherente y que cualquier otra relación funcional entre P y Q, con bases hidrológicas, tendrá un mejor sustento teórico y no será arbitrario. Esto evita la discusión de consideraciones “practicas” del método y plantea el problema de desarrollar una relación simplificada e hidrológicamente sólida entre P y Q, que fundamentalmente sea dependiente de un solo parámetro para que tenga las bondades del método del NC. En el aspecto de las aplicaciones empíricas del método del NC, es interesante señalar que su autor principal Mockus, en una entrevista con Víctor ^{Ponce (Ponce, 1996)} señaló que la relación implicada en el método del NC, (P-Q)/S = Q/P, se utilizó después de probar muchas relaciones empíricas y los resultados obtenidos en el ajuste a los datos experimentales fueron satisfactorios. Este argumento puramente empírico es circular, ya que la relación utilizada tiene ambas variables en los dos lados de la ecuación, por lo que se obtienen resultados estadísticos mejores en forma artificial que en las relaciones con formato normal (P versus Q).

Modelo expo-lineal de la relación precipitación-escurrimiento

Aunque se pueden proponer muchas aproximaciones a la relación precipitación-escurrimiento (directo) usando funciones matemáticas, en lo siguiente se presenta un esquema de modelación (^{Paz, 2009}) que puede justificarse en términos teóricos, además de que se obtienen excelentes ajustes empíricos a los datos experimentales.

Tal como se muestra en forma esquemática en la línea continua de la Figura 1, el patrón entre la precipitación y el escurrimiento se puede aproximar como compuesta de dos fases: una exponencial y una lineal (ver textos de ecuaciones diferenciales):

Crecimiento exponencial:

Crecimiento lineal:

donde: r es una tasa relativa de cambio, C es la tasa máxima de cambio y P_b es la precipitación cuando Q = 0 (proyección de la fase lineal).

La relación (8) muestra que los cambios instantáneos de escurrimiento por cambios instantáneos en la precipitación son función del escurrimiento previo. En las versiones originales del método del NC (SCS, 1972), la relación P-Q se propuso como dependiente de la condición de humedad antecedente del suelo (CHA). Posteriormente, el concepto de CHA se reconoció como limitado y se cambió por el de condición de escurrimiento antecedente (CEA) (SCS, 1986) y es el que actualmente prevalece (NRCS, 2004). La ecuación (8) utiliza el mismo concepto y lo hace operativo a través de una relación exponencial. Más adelante se justifica este punto usando la hidrología de área variable.

La relación (9) muestra una fase posterior a la exponencial de tipo lineal y representa la situación donde se ha alcanzado la tasa de cambio máxima y la relación P-Q mantiene una pendiente constante (que puede ser menor a 1.0). ^{Fogel y Duckstein (1970)} y ^{Kirkby y Cox (1995)} propusieron este tipo de patrón usando modelos de reservorios (buckets en inglés). El modelo expo-lineal propuesto tiene como solución el patrón exponencial y el lineal como únicos, por lo que puede reproducir comportamientos exponenciales, lineales y expo-lineales. Eso le da una gran versatilidad en los ajustes a datos experimentales.

Las dos fases planteadas pueden analizarse en forma independiente haciéndolas compatibles en los puntos de transición (Figura 2), o podemos generar un modelo con una transición gradual entre ambos tipos de patrones. En el último caso, en el momento de la transición del patrón exponencial al lineal las tasas de cambio deben ser iguales:

El modelo expolineal es simplemente la solución de los dos tipos de patrones representantes por las ecuaciones diferenciales anteriores sujeta a la condición dada por la relación de igualdad de las tasas de cambio:

Con las siguientes características:

donde: PT es la precipitación donde la condición (12) se cumple. La relación Q - (dQ/dP) es un sigmoideo simétrico para el modelo expo-lineal (^{Paz, 2009}).

C = tasa máxima de cambio; Q = escurrimiento; r = tasa relativa de cambio.

Figura 2 Tasas de cambio del modelo expo-lineal. 

El modelo expo-lineal fue propuesto inicialmente por ^{Ferrandino (1989)} y ^{Goudriaan y Van Lar (1994)} para el desarrollo de un esquema que asociara los patrones del índice de área foliar y la biomasa aérea de la vegetación para caracterizar la evolución temporal del crecimiento de la biomasa. ^{Paz (2009)} propuso por primera vez este modelo en el contexto de modelar la relación precipitación-escurrimiento, bajo el concepto generalizado de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales planteadas, sujeta a las restricciones impuestas.

Bases teóricas del modelo expo-lineal

La utilización del concepto de la hidrología de área variable fue propuesta para modelar la relación precipitación-escurrimiento, particularmente con parámetros de control topográfico y geomórficos (^{Beven y Kirkby, 1979}; ^{Fennessey y Hawkins, 2001}), simplificando la parametrización de los modelos al utilizar información generalmente disponible.

Para analizar los fundamentos teóricos del modelo expo-lineal, se puede considerar una cuenca hidrológica cualquiera, la cual puede dividirse en reservorios o compartimentos conectados a la red de cauces, Figura 3. Cada reservorio i (unidad hidrológica homogénea) de área A_i tiene una capacidad máxima de almacenamiento CA_i antes de empezar a escurrir. El área total de la cuenca es A = A₁ + A₂ + …. + A_n.

Figura 3 Esquema de una cuenca hidrológica con i = 1, 2, …, n reservorios. 

En relación con los flujos a considerar en el modelo esquemático de la Figura 4, se pueden incorporar varias situaciones:

P = precipitación; Q = escurrimiento; CA = capacidad máxima de almacenamiento.

Figura 4 Relación P-Q para el modelo de reservorios. (a) un solo reservorio y (b) dos reservorios. 

El esquema presentado es suficientemente general para incorporar la variabilidad espacial y temporal de las propiedades de la cuenca y de la precipitación. El flujo sub-superficial y dentro de los cauces se considera en forma implícita, bajo la hipótesis de que no altera los patrones funcionales entre P y Q.

^{Kirkby y Cox (1995)} y ^{Kirkby et al. (2000)} consideraron este tipo de esquemas interrelacionados de reservorios (“buckets”). Para el caso de un solo reservorio, se tiene que:

donde: h es un valor umbral (CA) para que se presente el escurrimiento y K es dependiente de las propiedades del reservorio (suelo-vegetación).

Usando h = 0, ^{Hawkins (1979} y ¹⁹⁹³⁾ plantearon el modelo lineal como de mejor ajuste que el método del NC. ^{Paz et al. (2013)}, en el contexto del uso del modelo expo-lineal, usaron un enfoque similar, variando la pendiente en función de la cobertura del follaje de los cultivos.

En el caso de una serie de reservorios de dimensiones aleatorias distribuidas exponencialmente, con dimensión media h, tenemos que:

que aproxima, burdamente, el modelo expo-lineal propuesto.

Para generalizar el modelo de reservorios espacialmente distribuidos de la Figura 3, considérese el caso de que un solo reservorio esta contribuyendo al escurrimiento, Figura 4a.

En el caso de un solo reservorio, con capacidad de almacenamiento CA₁, la relación P-Q es de tipo lineal, con pendiente 1 (dependiente de la cobertura y densidad de la vegetación, en su respuesta para amortiguar y desfasar el escurrimiento), esto para el caso de que la respuesta de solo un reservorio se mantenga. La relación P-Q para el caso de un solo reservorio, en relación a la respuesta global, esta dada por

En la Figura 4b se muestra la relación precipitación-escurrimiento para el caso del escurrimiento simultáneo de dos reservorios, donde el valor de la pendiente de la fase lineal final puede ser o no igual a la del reservorio 1 (es igual en el caso de tener las mismas propiedades hidrológicas del sistema suelo-vegetación). En el caso general, la pendiente es un promedio ponderado, subíndices p en la Figura 4b, de las respuestas de ambos reservorios. Algo similar ocurre para el caso de CA.

Si consideramos la ocurrencia simultánea y al azar de n reservorios (n tiende a infinito), entonces obtendremos como resultado el modelo expo-lineal discutido previamente, donde se obtiene un comportamiento exponencial en la primera fase y uno lineal en la segunda, Figura 1.

En lo general, se puede establecer dos patrones generales de la relación P-Q. Un patrón que se asocia al caso donde todos los reservorios están saturados o la precipitación en todos ellos tiene una tasa mayor que la de infiltración, por lo que la respuesta general será una línea recta sin la fase exponencial. El otro patrón es el expo-lineal que se asocia a las contribuciones parciales de reservorios, hasta llegar al punto de obtener el máximo de la respuesta conjunta ante el evento de precipitación. Este tipo de patrones se presenta aún para el caso de flujos sub-superficiales en bosques (^{Whipkey, 1965}).

Patrones de las variables hidrológicas medidas

En la Figura 7 se muestran los patrones temporales de escurrimiento e infiltración (acumulada) obtenidos de la simulación con suelo desnudo (suelos 2, 4 y 5).

Figura 7 Patrones temporales del escurrimiento y precipitación para los suelos desnudos. 

En la Figura 8 se muestran los patrones temporales del escurrimiento e infiltración (acumulados) obtenidos de la simulación con pastizal (suelos 2 y 4), así como la variación de estos patrones con relación a las coberturas consideradas (S = suelo desnudo, M = cobertura baja o mala, R = cobertura media o regular y B = cobertura alta o buena). En el Cuadro 2 se muestran los valores estimados de las diferentes condiciones de cobertura aérea (COB) de la vegetación. Se puede observar en la Figura 8 que la vegetación mejora la respuesta hidrológica de los lotes de escurrimiento (a mayor cobertura aumenta la infiltración y disminuye el escurrimiento). En algunos de los casos mostrados en la Figura 8, los incrementos en la cobertura aérea (mismas dimensiones de altura y cobertura individual de las plantas) no se aprecian en la respuesta hidrológica y los valores para incrementos de coberturas están muy cercanos entre si, mostrando un efecto de contribuciones marginales de la cobertura de la vegetación.

Figura 8 Patrones del escurrimiento y la infiltración para diferentes niveles de cobertura aérea de la vegetación para el suelo 2 y 4. 

Cuadro 2 Resultados del ajuste genérico del modelo expo-lineal. 

^† S = suelo desnudo; M = cobertura mala; R = cobertura regular; B = cobertura buena.

Ajuste del modelo expo-lineal: caso genérico

En la Figura 9 se muestran los patrones P-Q de las simulaciones realizadas con pastizal y suelos 2 y 4).

Figura 9 Patrones P-Q del suelo 2 y 4 para diferentes niveles de cobertura de pastos. 

Para establecer la relación entre P y Q, se asumió que las curvas generadas durante el evento de precipitación simulado se pueden usar como equivalentes a muchos eventos de precipitación que partían de una condición antecedente de escurrimiento. Esto es razonable si consideramos que la condición inicial del suelo fue a capacidad de campo.

Independientemente de las limitaciones de este ejercicio de validación del modelo expo-lineal, los patrones P-Q medidos permiten realizar una primera aproximación de la congruencia del modelo propuesto y permiten establecer guías generales para su calibración posterior en experimentos más específicos a este fin.

En el Cuadro 2 se muestran los parámetros ajustados del modelo expo-lineal usando un proceso de regresión no lineal minimizando el error cuadrático medio de estimación. Los resultados obtenidos son puramente empíricos y corresponden al mejor ajuste estadístico.

En la Figura 10 se muestran en forma global el resultado de los ajustes estadísticos genéricos del modelo expo-lineal a las diferentes condiciones de cobertura aérea de pastos para los suelos 2, 4 y 5. Se observa de esta figura que el modelo expo-lineal ajustado tiene excelentes resultados para representar las diferentes condiciones hidrológicas simuladas.

Figura 10 Ajuste estadístico global del modelo expo-lineal genérico a las simulaciones. 

Ajuste del modelo expo-lineal: caso paramétrico

Con el objetivo de desarrollar una metodología que permita parametrizar el modelo expo-lineal en función de un solo parámetro (cobertura de la vegetación o COB y tipo de suelo), en un formato similar al método del NC, se procedió al ajuste de los datos experimentales a través de un proceso de prueba y error bajo las siguientes consideraciones:

Se dejó fijo el valor del parámetro r para cada tipo de suelo analizado, bajo la hipótesis de que el tipo de suelo y su respuesta hidráulica se asocian con r. Para esto se utilizaron los patrones de infiltración y escurrimiento acumulado de la Figura 7 y las estimaciones del Cuadro 2. En el Cuadro 3 se muestran los valores de r utilizados, los cuales se dejaron fijos al ajustar el modelo expo-lineal (parámetros C y P_b).

Cuadro 3 Resultados del ajuste paramétrico del modelo expo-lineal. 

^† S = suelo desnudo; M = cobertura mala; R = cobertura regular; B = cobertura buena; COB = cobertura de la vegetación; r = tasa relativa de cambio; C = tasa máxima de cambio; P_b = precipitación cuando Q = 0.

Las estimaciones de C y P_b se realizaron bajo el supuesto de una relación lineal con la cobertura aérea de la vegetación.

La relación entre C y P_b fue forzada a una del tipo C = 1.0 - mP_b, para considerar el caso de un patrón solo lineal con origen en (0, 0) del modelo expo-lineal. El valor de 1.0 se usó como el límite de un proceso hidrológico (Q = P), independientemente que en el experimento este valor no fue alcanzado, que define el valor máximo teórico que el modelo puede asumir. En el Cuadro 3 se muestran los resultados obtenidos del proceso de ajuste del modelo expo-lineal discutido y en la Figura 11 se presentan los ajustes globales del modelo para las diferentes condiciones hidrológicas asociadas a los suelos 2, 4 y 5.

Figura 11 Ajuste estadístico global del modelo expo-lineal paramétrico a las simulaciones. 

En lo general, el ajuste del modelo expo-lineal paramétrico mostrado en la Figura 11 es satisfactorio, si consideramos que fue parametrizado solo en función de la COB. La Figura 12 muestra las relaciones entre C y P_b y la COB utilizadas para la Figura 11.

C = tasa máxima de cambio; Pb = precipitación cuando Q = 0.

Figura 12 Relaciones entre C y P_b con COB para las simulaciones realizadas. 

En la Figura 13 se muestra la relación P_b-C para los suelos 2, 4 y 5, para diferentes niveles de la cobertura aérea de la vegetación, donde las regresiones fueron forzadas a pasar por C = 1 cuando P_b = 0.0.

P_b = precipitación cuando Q = 0; C = tasa máxima de cambio.

Figura 13 Relación entre P_b y C para las simulaciones realizadas. 

Los desarrollos mostrados permiten parametrizar el modelo expo-lineal en función del tipo de suelo (hidrológico) y de la cobertura de la vegetación, en forma similar al caso del método del NC. Otros parámetros a considerar, como la pendiente del terreno y el escurrimiento antecedente siguen los mismos lineamientos que en el método del NC.