Modelos Semi-Empíricos Lineales

Los modelos SEL postulan que la señal registrada por un sensor a bordo de una plataforma satelital está constituida por tres elementos: un componente isotrópico, uno geométrico y uno volumétrico. Su construcción se basa en kernels, los cuales son expresiones matemáticas que dependen exclusivamente de la geometría sol-sensor, y en factores que incluyen información sobre las propiedades ópticas y estructurales de la superficie bajo consideración. Estos modelos fueron desarrollados con la intención de producir estimaciones de albedo y otros parámetros biofísicos en tiempo cuasi-real a partir de imágenes satelitales con resolución espacial entre los 250 y los 1000 m, su estructura genérica es la siguiente (^{Wanner et al., 1995}):

(1)

donde: R representa la reflectancia medida por el sensor, la cual es producto de las contribuciones isotrópica (f_iso) geométrica (f_geo ) y volumétrica (f_vol) en el proceso de dispersión de la radiación solar incidente. k_geo y k_vol representan, respectivamente, un kernel derivado a través de óptica geométrica y uno obtenido a través de teoría de transferencia radiativa. Los factores f permiten diferenciar la contribución de cada componente en el proceso de dispersión.

Kernel Ross-Thick. Bajo el enfoque de la teoría de transferencia radiativa, en una aproximación de dispersión simple, este kernel describe las interacciones de la energía solar que incide sobre un dosel horizontal homogéneo y denso (IAF >> 1). Su expresión matemática es la siguiente:

(2)

donde: R_thick representa el valor de la reflectancia bidireccional de acuerdo con la aproximación planteada; θ_s es el ángulo cenital de iluminación y θ_v el ángulo cenital de visión; ξ representa el ángulo de fase entre las direcciones de iluminación y de visión; IAF es el índice de área foliar, s la reflectancia de las hojas; p₀ la reflectancia Lambertiana de la superficie y B = 1⁄2 (sec θ_s + sec θ_v) es sustituido por un valor promedio, alrededor de 1.5, debido a que el valor del índice de área foliar domina el argumento de la función exponencial en c₁ (^{Wanner et al., 1995}).

Kernel Ross-Thin. Este kernel fue desarrollado por ^{Wanner et al. (1995)}. Describe las interacciones de la radiación incidente sobre un dosel con aperturas entre sus componentes de tal manera que los fotones viajan hasta la capa inferior para ser absorbidos por este medio o sufrir interacciones múltiples y ser irradiados hacia el sensor de manera isotrópica (IAF << 1).

(3)

donde: p_l representa la reflectancia Lambertiana promedio de la capa debajo del dosel.

Kernel Li-Sparse. Este kernel describe el campo de radiación medido por un sensor en función de las características geométricas de los objetos sobre la superficie (por ejemplo, esferoides) y de las distintas configuraciones bajo las cuales estos objetos son iluminados y observados. En su construcción se asume que no existe sombreado mutuo entre doseles. Su formulación es la siguiente:

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donde: t es un parámetro que permite expresar la ecuación de la elipse (proyección del dosel sobre la superficie) en forma paramétrica; b es el semi-eje mayor y h es la distancia desde el centro del esferoide hasta el suelo. θ' es una transformación que permite tratar los esferoides (dosel de los árboles) como esferas, r es el radio de dichas esferas, C es la reflectancia de la porción iluminada del dosel, λ es la densidad de individuos presentes en la escena por unidad de área y ϕ es el acimut relativo entre las direcciones de iluminación y visión.

Kernel Li-Dense. Al igual que los dos anteriores, este kernel fue desarrollado por ^{Wanner et al. (1995)}, quienes propusieron una serie de modelos SEL basados en estos kernels para ser utilizados en la generación de estimaciones de albedo a partir de los datos colectados con el sensor MODIS. Los principios de su derivación consideran la posibilidad de sombreado mutuo. Su estructura matemática es la siguiente:

(5)

Los kernels Li-Sparse y Li-Dense representan en realidad una familia de kernels; diferentes combinaciones de valores para los parámetros b/r y h/b originan una respuesta distinta para los valores de reflectancia. Cuatro combinaciones son las más comunes: (1) b/r = 2.5 y h/b = 2.5 para designar individuos altos cuyo dosel puede ser aproximado como un elipsoide con semi-eje mayor orientado verticalmente (prolato); (2) b/r = 0.75 y h/b = 2.5 individuos altos con un dosel que puede ser modelado como un elipsoide cuyo semi-eje mayor está orientado horizontalmente (oblato); (3) b/r = 2.5 y h/b = 1.5 para designar individuos prolatos de baja estatura y, (4) b/r = 0.75 y h/b = 1.5 lo cual representa individuos oblatos de baja estatura (^{Wanner et al., 1995}).

Los factores isotrópico, geométrico y volumétrico de los cuatro modelos SEL utilizados en este estudio se muestran en el Cuadro 1. Para todos los modelos, a representa la proporción de cobertura que caracteriza a la componente geométrica y la proporción correspondiente a la componente volumétrica (1 - α). Los kernels presentados y su combinación para formar modelos SEL, describen distintas configuraciones del subsistema suelo-vegetación y la respuesta de éste ante la radiación solar incidente. El kernel Ross-Thick fue construido considerando un dosel ópticamente denso (es decir IAF >> 1) mientras que el Ross-Thin fue derivado pensando en el escenario opuesto (IAF << 1); de manera similar, el kernel Li-Sparse caracteriza un bosque donde los individuos están suficientemente separados entre sí, de tal forma que sus doseles no se traslapan (λ < 1), en tanto que el Li-Dense parte del supuesto contrario (λ < 1), en el caso de estos últimos kernels, es posible determinar la forma del dosel y la altura de los individuos ajustando los parámetros b/r y h/b.

Cuadro 1 Expresiones matemáticas de los factores utilizados en las simulaciones. 

Modelo Uni-Paramétrico de la BRDF (UPB)

Tomando como base la simetría sugerida por el hot spot cuando se analiza el comportamiento de las reflectancias en el plano principal, como función del ángulo de visión (Figura 1), ^{Bolaños y Paz (2010)} proponen un modelo para normalizar la geometría sol-sensor en las bandas contenidas entre las porciones visible e infrarrojo del espectro electromagnético. El planteamiento del modelo parte de la geometría sol-sensor y de la introducción de una variable de posición relativa que depende del ángulo cenital de visión (θ_v) y del ángulo cenital de iluminación (θ_s). Los dos puntos señalados en la Figura 1, el hot spot (HS) y el dark spot (DS), permiten definir la expresión matemática para la variable de posición relativa. El HS se presenta cuando la radiación es dispersada en el mismo ángulo desde el cual fue irradiada, mientras que el DS ocurre a 90° del HS.

Figura 1 Variación de la reflectancia con el ángulo de observación (θ_v) en el plano principal. 

La formulación del modelo es la siguiente:

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donde: R representa la reflectancia de cualquier banda en la porción del espectro comprendida entre el visible y el infrarrojo, R_n es el valor normalizado para la banda R y g es la pendiente del patrón lineal que forman las reflectancias normalizadas en el espacio conformado por χ y R_n .

Evaluación del Modelo Uni-Paramétrico de la BRDF

Se evaluó el desempeño del modelo UPB en relación a escenarios simulados mediante modelos SEL, cada uno de los modelos discutidos fue implementado y se realizaron simulaciones proponiendo valores para los parámetros involucrados en los factores isotrópico, geométrico y volumétrico de cada modelo. Los escenarios fueron simulados considerando tres ángulos de iluminación distintos (0°, 30° y 60°) en un rango de visión comprendido entre los 0° y los 60° a la izquierda y derecha de nadir. Esta configuración de la geometría sol-sensor fue analizada tanto en el plano principal como en el ortogonal (es decir, diferencia de ángulos acimutales igual a 90°). Un enfoque similar de análisis fue presentado por ^{Lucht (1998)}, quien simuló mediciones de los sensores MODIS y MISR (aún no estaban operacionales), utilizando un modelo físico (^{Myneni et al., 1992}). Posteriormente invirtió los datos así generados utilizando modelos SEL para evaluar la precisión que se podía alcanzar en estimaciones de reflectancia bidireccional y albedo a partir del muestreo angular ofrecido por estos instrumentos.

Los valores de reflectancia generados con cada modelo SEL a partir de la Ecuación 1, junto con la geometría asociada, fueron utilizados como insumo para el modelo UPB. El ajuste de este modelo mediante regresión lineal simple fue evaluado a través del coeficiente de determinación.

Un primer conjunto de valores utilizados para simular escenarios se muestran en el Cuadro 2. Los valores asignados a cada parámetro fueron elegidos de tal forma que representaron los supuestos implicados en la derivación de cada kernel y de cada modelo en su conjunto. Por ejemplo, si se considera el modelo Ross- Thick y Li-Dense, entonces el escenario simulado estará constituido por una superficie cubierta con un gran número de árboles de dosel cerrado, por lo tanto, la contribución de la superficie debajo del dosel a la reflectancia total de la escena será mucho menor (p₀ = 0.3) que la correspondiente al dosel en sí (IAF=6.0;s=0.7;C=0.7).

IAF = índice de área foliar; s = reflectancia de las hojas; p_l = reflectancia Lambertiana promedio de la capa debajo del dosel; p₀ = reflectancia Lambertiana de la superficie; C = reflectancia de la porción iluminada del dosel; λ = densidad de individuos presentes en la escena por unidad de área; r = radio de las esferas que idealizan los doseles de los individuos; α = proporción de cobertura que caracteriza a la componente geométrica; (1-α) = proporción de cobertura que caracteriza a la componente volumétrica; b/r y h/b = proporciones geométricas para designar individuos con dosel oblato o prolato.

Cuadro 2 Valores utilizados en la simulación de escenarios. 

Por otro lado, las proporciones b/r y h/b fueron escogidas de tal manera que representaran individuos de dosel oblato y baja altura; el radio de las esferas que aproximan el dosel de los árboles (r) fue asumido como unitario. Finalmente, se asignó igual peso a las componentes geométricas y volumétricas de cada modelo (α = 1 - α = 0.5).

Un mayor número de escenarios fueron simulados al considerar variaciones en los parámetros ópticos y estructurales de cada modelo SEL. Los valores asignados a las propiedades ópticas representan el comportamiento dispersor en las bandas del rojo (R) y del infrarrojo cercano (IRC), mientras que los estructurales varían configurando distintos niveles de cobertura. Los escenarios fueron construidos al combinar cada uno de los tres valores enlistados en el Cuadro 3 para los parámetros que se encuentran en el Cuadro 2.

IAF = índice de área foliar; s = reflectancia de las hojas; p_l = reflectancia Lambertiana promedio de la capa debajo del dosel; p₀ = reflectancia Lambertiana de la superficie; C = reflectancia de la porción iluminada del dosel; λ = densidad de individuos presentes en la escena por unidad de área; r = radio de las esferas que idealizan los doseles de los individuos; α = proporción de cobertura que caracteriza a la componente geométrica; (1-α) = proporción de cobertura que caracteriza a la componente volumétrica; b/r y h/b = proporciones geométricas para designar individuos con dosel oblato o prolato. Los sub-índices r e irc se refieren a las bandas en la porción del rojo y del infrarrojo cercano del espectro electromagnético, respectivamente.

Cuadro 3 Dispersión simulada en las bandas R e IRC considerando distintos niveles de cobertura. 

Como se ha mostrado, existen diversas aproximaciones al tratamiento de los efectos angulares en la señal captada por un sensor remoto espacial, cada una con fortalezas y debilidades. En el caso de los modelos SEL, los cuales han sido utilizados con relativo éxito en la generación de productos a partir de imágenes satelitales (por ejemplo estimaciones de albedo a escala global), aún quedan preguntas fundamentales sin resolver, entre otras cosas, no se ha establecido un marco teórico que justifique el desarrollo de la BRDF en kernels (^{Pokrovsky y Roujean, 2002}). Además, esta clase de modelos requieren información captada con diferente geometría sol-sensor para ser calibrados, por tanto, utilizan imágenes acumuladas en un periodo de 10 a 16 días (^{Huete et al., 1999}). Este enfoque implica suponer condiciones de homogeneidad en el sistema SVA (^{Bolaños et al., 2007}). Finalmente, mientras que ^{Barnsley et al. (1997)} encontraron que la componente direccional en datos multi-angulares provee un importante medio de discriminación para ciertos tipos de cobertura, ^{Bacour y Bréon (2005)} mencionan que diferentes tipos de coberturas terrestres presentan patrones angulares altamente semejantes, lo cual atribuyen a la correlación que existe entre los factores geométricos y volumétricos de los modelos SEL utilizados en su estudio.

Las gráficas a, c y e en las Figuras de la 2 a la 5 muestran los escenarios que describen el comportamiento de cada modelo SEL bajo las condiciones impuestas por los parámetros presentados en el Cuadro 2 y las variaciones de la geometría sol-sensor; en el eje de las abscisas se muestra la variación del ángulo cenital de visión (θ_v) mientras que en el eje de las ordenadas el valor de reflectancia (R). La gráfica a corresponde a un ángulo cenital de iluminación igual a 0°; la gráfica c representa una iluminación a 30° y la gráfica e a 60°.

Figura 2 Comportamiento dispersor de una cobertura arbórea según el modelo Ross-Thin y Li-Sparse y ajuste correspondiente del modelo UPB. 

Figura 3 Comportamiento dispersor de una cobertura arbórea según el modelo Ross-Thin y Li-Dense y ajuste correspondiente del modelo UPB. 

Figura 4 Comportamiento dispersor de una cobertura arbórea según el modelo Ross-Thick y Li-Sparse y ajuste correspondiente del modelo UPB. 

Figura 5 Comportamiento dispersor de una cobertura arbórea según el modelo Ross-Thick y Li-Dense y ajuste correspondiente del modelo UPB. 

En cada figura se observa que el máximo valor de reflectancia ocurre cuando el ángulo cenital de iluminación coincide con el cenital de visión (efecto hot spot), después, este valor disminuye a medida que el ángulo de visión aumenta. Este comportamiento se debe a que el proceso de dispersión en óptica geométrica es regulado por la presencia de sombras en la escena, éstas aparecen a medida que el ángulo de visión se aleja del ángulo de iluminación. En transferencia radiativa ocurre lo contrario; el ángulo de fase entre las direcciones de iluminación y visión modula la cantidad de energía dispersada, la cual disminuye de acuerdo con un coeficiente de extinción. El efecto combinado de los comportamientos descritos es el responsable de lo que se aprecia en las gráficas a,c y e de la Figura 2 a la Figura 5. Nótese que, en los modelos donde interviene el kernel Li-Dense, el descenso en el valor de reflectancia es más abrupto que en aquellos donde aparece el kernel Li-Sparse, esto puede ser interpretado como un mayor efecto de sombreado en la escena a causa del gran número de individuos presentes (λ > 1).

Por otra parte, las gráficas b, d y f representan el ajuste obtenido mediante el modelo UPB para cada condición de iluminación. El eje de las abscisas muestra los valores de la reflectancia normalizada por el modelo (Rn) y el de las ordenadas las variaciones de la geometría sol-sensor correspondientes (χ).

Los valores presentados en el Cuadro 3 permiten estudiar el ajuste del modelo UPB en relación al comportamiento dispersor de las bandas rojo e infrarrojo cercano bajo diversas condiciones de cobertura y variaciones en las propiedades ópticas. En los modelos donde interviene el kernel Li-Sparse, 19 683 escenarios fueron simulados, mientras que en los otros dos se consiguieron 6561. En cuanto a la geometría sol-sensor, el ángulo cenital de iluminación osciló entre 0° y 45° con pasos de 15°, mientras que para el cenital de visión los incrementos fueron de 5° en un rango de 0° a 50°. Dada esta configuración de valores, se obtuvieron más de 800 mil valores para los modelos que involucran al kernel Li-Sparse y cerca de 300 mil para los demás, esto para cada una de las bandas analizadas. Del conjunto total de datos, se seleccionaron 27 154 en forma aleatoria para presentar la correspondencia entre los valores de reflectancia descritos por cada modelo SEL bajo distintas configuraciones de cobertura y aquellos obtenidos una vez ajustado el modelo UPB.

Los resultados del ejercicio realizado se muestran en la Figura 6; los ajustes experimentales son excelentes para todos los escenarios simulados y los coeficientes de determinación alcanzados son congruentes con los reportados por ^{Bolaños y Paz (2010)} al validar el modelo con datos de experimentos en campo, lo cual sugiere que el modelo Uni-Paramétrico de la BRDF puede ser utilizado en aplicaciones donde actualmente se emplean modelos SEL.

Figura 6 Correspondencia entre reflectancias simuladas a partir de modelos SEL y su correspondiente normalización mediante el modelo UPB. 

Los kernels descritos en este trabajo son utilizados en la generación del producto BRDF/Albedo de MODIS. El algoritmo combina datos de reflectancia de la superficie terrestre captados por el sensor MODIS y el Multi-angle Imaging Spectro-Radiometer (MISR) para ajustar los modelos utilizados en este estudio, la calibración se realiza en siete bandas espectrales a una resolución espacial de 1 km cada 16 días. Los kernels elegidos para construir los modelos, son aquellos que presentan la estimación más baja del error cuadrático medio (ECM) durante el proceso de inversión, posteriormente, las integrales direccional-hemisférica (black-sky albedo) y bi-hemisférica (white-sky albedo) del modelo construido son calculadas (^{Strahler et al., 1996}).