Modelo Hidrológico de Paz

El modelo de Paz (^{Paz, 2009}) plantea la modelación de la relación P-Q como compuesta por dos fases temporales: una exponencial y una lineal, Figura 1; aunque el modelo puede reproducir cada fase en forma única. Por ejemplo, en la Figura 1 con línea punteada se muestra el caso de un comportamiento lineal entre P-Q, el cual es un caso particular del modelo expo-lineal, tal como se muestra más adelante.

Q = escurrimiento, P = precipitación, Ia = abstracción inicial. Subíndices: mx = máxima, T = transición, L = lineal, b = base.

Figura 1 Esquematización del modelo hidrológico de ^{Paz (2009)}. 

El modelo expo-lineal de ^{Paz (2009)} es simplemente la solución de los dos tipos de patrones representados por dos ecuaciones diferenciales (fases en la Figura 1) sujeta a la condición dada por la relación de igualdad de las tasas de cambio:

donde:

r = una tasa relativa de cambio (mm mm^-1d^-1),

C = tasa máxima de cambio (mm m^-2d^-1)

P_b = precipitación cuando Q(P = 0) en la fase lineal.

Con las siguientes características:

donde:

P_T = precipitación donde la condición de igualdad de las tasas de cambio, Figura 2, se cumple.

dQ = diferencial del escurrimiento, dP = diferencial de la precipitación.

Figura 2 Esquematización simple de las tasas de cambio del modelo expo-lineal. 

La relación Q - (dQ/dP) es un sigmoideo simétrico para el modelo expo-lineal, Figura 2.

Puesto que la fase lineal del modelo expo-lineal, Figura 1, esta representada por la Ecuación 3:

Entonces el valor máximo de C que puede tomar es 1. El punto (P_L, Q_L), Figura 1, define la condición donde el comportamiento entre P-Q es enteramente lineal.

Para analizar el ajuste empírico del modelo expo- lineal a los datos experimentales de las mezclas físicas de suelo-pastos, en términos puramente estadísticos (regresión no lineal), la Figura 3a muestra este caso, donde los resultados del ajuste son excelentes (R² > 0.99).

Figura 3 Ajuste del modelo experimental a los datos de un experimento en un simulador de lluvias (suelos 4 y 5). (a) ajustes en términos puramente estadísticos y (b) ajustes del modelo parametrizado. 

En la Figura 3b se muestran los ajustes realizados con el modelo expo-lineal parametrizado en función del tipo de suelo y cobertura aérea (COB), donde r se dejo constante en función del tipo de suelo y P_b fue estimada de una relación lineal con la cobertura aérea de la vegetación, Figura 4. El parámetro C fue estimado de una relación lineal con Pb, Figura 4, la cual fue forzada a cumplir la condición de C = 1.0 cuando P_b = 0, representando la línea recta punteada de la Figura 1, para el caso donde toda la precipitación que se presenta se convierte en escurrimiento (hipótesis similar a la usada en el planteamiento del método del NC).

COB = cobertura aérea, P_b = precipitación de base, C = tasa máxima de cambio; S = suelo.

Figura 4 Relaciones COB-P_b-C usadas en la parametrización del modelo de Paz, donde S4 y S5 son el suelo 4 y 5, respectivamente, y represente el tipo de suelo usado en el experimento del simulador de lluvia.  

En el modelo de ^{Paz (2009)}, el escurrimiento Q se ha supuesto como igual al escurrimiento directo, en forma similar al caso del método del NC (^{Ponce y Hawkins, 1996}; ^{NRCS, 2004}), de tal forma que éste se define como el residual de los siguientes regímenes de flujo: (a) flujo superficial Hortoniano, que ocurre cuando la tasa de precipitación es mayor que la tasa de infiltración del agua en el suelo (^{Horton, 1933}); (b) flujo superficial de saturación, que ocurre cuando el perfil del suelo esta saturado y toda la precipitación se convierte en escurrimiento; (c) flujo lateral (sub-superficial), que prevalece en medios con mantillo grueso con suelos con capas permeables arriba y abajo menos permeables (^{Kirkby y Chorley, 1967}; ^{Dunne y Black, 1970}); (d) flujo de área parcial, el cual se atribuye a áreas parciales de suelo saturadas que contribuyen al escurrimiento (^{Dunne y Black, 1970}; ^{Boughton, 1987}; ^{Steenhuis et al., 1995}); (e) flujo por intercepción directa por cauces, que es la precipitación que cae dentro de los cauces y se convierte en escurrimiento (^{Dunne y Black, 1970}); y (f) flujo por fenómenos superficiales, donde estos procesos hacen al suelo impermeable promoviendo el escurrimiento.

La Ecuación 3 muestra una fase posterior a la exponencial de tipo lineal y representa la situación donde se ha alcanzado la tasa de cambio máxima y la relación P-Q mantiene una pendiente constante (que puede ser menor a 1). Este tipo de patrón a sido propuesto por ^{Kirkby y Cox (1995)} usando modelos de reservorios (buckets en inglés).

De acuerdo con ^{Paz et al. (2009)}, en lo general, podemos establecer dos patrones generales de la relación P-Q. Un patrón está asociado al caso donde todos los reservorios (áreas parciales en una cuenca o parcelas) están saturados o la precipitación en todos ellos tiene una tasa mayor que la de infiltración, por lo que la respuesta general será una línea recta sin la fase exponencial. El otro patrón es el expo-lineal que está asociada a contribuciones parciales de reservorios, hasta llegar al punto de obtener el máximo de la respuesta conjunta ante el evento de precipitación. Este tipo de patrones se presenta aun para el caso de flujos sub-superficiales en bosques (^{Whipkey, 1965}).

Parámetros Hidrológicos Estimados con Sensores Remotos

En lo siguiente la discusión espectral estará basada en las bandas del sensor ETM+ del satélite LANDSAT 7 (azul o A, centrada en 480 nm; verde o V, centrada en 570 nm; rojo R centrada en 660 nm; infrarojo cercano IRC centrada en 840 nm; infrarrojo medio 1 o IRM1 centrada en 1650 nm; infrarrojo medio 2 o IRM2 centrada en 2200 nm). Los desarrollos mostrados en este apartado están basados en ^{Paz et al. (2009} y ²⁰¹⁰⁾.

En el caso de los suelos desnudos, en las bandas del IRC y del R, las reflectancias forman una línea del suelo (^{Baret et al., 1983}) definida por:

donde:

a_S y b_S = constantes empíricas (valores fijos para diferentes suelos en una zona geográfica).

En la Figura 5 se usó un mismo cultivo (propiedades ópticas de una hoja de maíz) variando su IAF y diferentes tipos de suelos como fondo (^{Paz et al., 2005}). Las líneas iso-IAF (IRC = a₀ + b₀R en la Figura 5) representan la misma cantidad de vegetación, pero con suelos con humedades θ diferentes; donde el caso de IAF = 0 representa la línea del suelo desnudo. Si el suelo permanece constante (sus propiedades ópticas), entonces el crecimiento de la vegetación sigue una curva iso-suelo. El atrayente de la dinámica del crecimiento de la vegetación para la banda del R es el punto de convergencia de todas las curvas iso-suelo. En este punto, la banda del R se satura y representa a un medio ópticamente denso o infinito (^{Ross, 1981}), por lo que se le denomina como R∞. El valor del IRC asociado al R de saturación es IRCR∞. La banda del IRC sigue creciendo hasta alcanzar su propio punto de saturación definido por IRC∞.

R = rojo, IRC = infrarrojo cercano, IAF = índice de área foliar, θ = humedad del suelo, PMP = punto de marchitamiento permanente, CC = capacidad de campo. Subíndice ∞ = condición de medio denso.

Figura 5 Dinámica espectral del crecimiento de un cultivo en el espacio R-IRC. 

Para poder usar las reflectancias en forma útil para las aplicaciones hidrológicas, es necesario conocer el contenido de humedad relativo de los suelos debajo de la vegetación. Para lograr este objetivo, es necesario linealizar las curvas iso-suelo usando el espacio transformado dIRC-IRC (^{Paz et al., 2006}), donde la linea iso-IAF tienen una relación IRC = a₁ + b₁dIRC y el IVPP-R (^{Paz et al., 2009}), donde dIRC = IRC - (a_S + b_SR), IVPP = dIRC/IRC (^{Paz et al., 2010}). En el espacio IVPP-R, las funciones iso-IAF son no lineales, Figura 6.

R = rojo, IRC = infrarrojo cercano, dIRC e IVPP = transformaciones de variables, IAF = índice de área foliar, θ = humedad del suelo, PMP = punto de marchitamiento permanente, CC = capacidad de campo. Subíndice: ∞ = condición de medio denso, T = transición.

Figura 6 Espacios transformados dIRC-IRC e IVPP-R de la Figura 4.  

En la Figura 6, se muestran los espacios transformados IVPP-R y dIRC-IRC para algunos datos mostrados en la Figura 5.

En el espacio transformado IVPP-R, las curvas iso-suelo, transformadas a líneas rectas, convergen el punto {R∞, IVPP_R∞ = [IRC_R∞ - (a_S + b_SR∞)]/IRC_R∞}. Por otro lado, en el espacio dIRC-IRC, las curvas iso-suelo, transformadas a líneas rectas, convergen en el punto (dIRC_R∞, IRC_R∞), que representa los puntos debajo de (R∞, IRC_R∞) en la Figura 5. Para valores de IRC y dIRC más grandes, los puntos caen sobre una línea recta de pendiente unitaria hasta llegar al punto de saturación de la banda del IRC (^{Paz et al., 2006}).

De acuerdo a los patrones observados en la Figura 6, la Figura 7 muestra en forma esquemática un modelo general para la estimación de un índice de la humedad del suelo y de la cobertura y IAF de la vegetación, para cualquier banda espectral. ^{Paz et al. (2009)} propusieron una humedad del suelo usando reflectancias (θsr), la cual puede suponerse como θsr = 0 para la reflectancia en el punto de marchitamiento permanente (PMP) y θsr = 1 a capacidad de campo (CC) (Figura 7).

COB = cobertura aérea, IAF = índice de área foliar, θ = humedad del suelo, PMP = punto de marchitamiento permanente, CC = capacidad de campo.

Figura 7 Modelo esquemático general para la estimación de un índice global equivalente de la humedad del suelo-vegetación. 

De acuerdo al esquema mostrado en la Figura 7, ^{Paz et al. (2009)} propusieron:

La Ecuación 5 muestra que θeq (medio heterogéneo) es función de la cobertura de la vegetación y las propiedades hidráulicas del suelo y la vegetación. En el caso de COB, la vegetación en esta fracción tiene huecos (ley de Beer-Lambert) por lo que θvr (medio homogéneo) varia con el crecimiento de la vegetación (IAF local), hasta llegar a la situación de un medio hidráulicamente denso (COB = 100%) donde θvr = 0, por lo que θeq = 0 (situación que aunque la precipitación es grande, el follaje absorbe ésta durante el día, pudiendo presentarse el escurrimiento al día siguiente).

Experimentos en Lotes de Escurrimiento con un Simulador de Lluvia Tipo Rotatorio

Con el objetivo de analizar y modelar la variación de las reflectancias de los suelos antes y después de un evento de precipitación, se diseñó un experimento en lotes de escurrimiento en un simulador de lluvia de disco rotatorio (^{Morin et al., 1967}). La Figura 8 muestra el arreglo del experimento.

Figura 8 Arreglo experimental para el análisis de la respuesta espectral de mezclas suelo-vegetación bajo iluminación artificial en un simulador de lluvia tipo rotatorio. 

El procedimiento experimental consistió en la selección de cinco suelos con propiedades hidráulicas contrastantes (Cuadro 1), los cuales fueron colocados en lotes de escurrimiento de dimensiones 50 × 30 × 12 cm (Figura 8), colocando en el fondo una capa de grava y gravilla antes del suelo (Figura 8), separadas las capas por una tela permeable, la cual fue compactada para mantener una superficie homogénea en todos los lotes de escurrimiento.

Cuadro 1 Propiedades físicas y químicas de los suelos usados en el experimento. 

Los cinco lotes de escurrimiento fueron montados en una base giratoria dentro de un simulador de lluvias rotatorio (Figura 8), para ser sujetos a un evento de lluvia de 100 mm durante una hora. El estado inicial (suelo seco) corresponde a suelos secados al aire y el final, después del evento de lluvia, a un suelo saturado. Antes de la aplicación del evento de lluvia los suelos fueron llevados a la condición de humedad de capacidad de campo (infiltración por capilaridad).

Para analizar el efecto de la mezcla suelo-vegetación se utilizaron plantas de matorral y pastizal de las especies Palo dulce (Eysenhardtia polystachya) y Pasto navaja (Bouteloa gracilis), respectivamente. Debido a problemas del posicionamiento de los matorrales dentro de los lotes de escurrimiento (follaje fuera del lote), estos datos no son analizados en lo siguiente. A continuación se describe el procedimiento seguido para la colocación de las plantas:

Los sistemas pastizal y matorral se simularon en tres porcentajes de coberturas nominales diferentes (> 75, 50-75 y < 50%), para cada uno de los tipos de suelo del Cuadro 1, Figura 9.

Figura 9 Coberturas para los sistemas pastizal y matorral. 

Para colocar las plantas, primeramente se marcó sobre cada uno de los lotes el patrón de posición que corresponde al sistema a simular.

Una vez marcado la posición de las plantas, se hicieron cavidades en donde se colocaron las plantas posteriormente.

En cualquier caso, antes de realizar la medición de reflectancias, se colocaron los lotes a una pendiente del 3% y el radiómetro a 52 cm de la superficie de los lotes.

Después de aplicado el evento de precipitación o lluvia, los suelos fueron iluminados (única fuente de energía, además de la residual que ocurrió en el cuarto cerrado y rodeado de cortinas para mantener condiciones de oscuridad) con cinco lámparas de halógeno de cuarzo de 500 watts, dispuestas en el arreglo mostrado en la Figura 8. Durante el seguimiento de los cambios en la humedad de los suelos se utilizó un radiómetro hiperespectral, FieldSpec@Pro^MR modelo FR (Analytical Spectral Devices) con rango de medición de 350 a 2500 nm y resolución de proceso de 1 nm, las lámparas se mantuvieron encendidas sólo durante las horas de toma de datos y fueron apagadas posteriormente y el cuarto del simulador sin luces y cerrado.

Durante el evento de precipitación se midió, en cada lote, el escurrimiento (y sedimentos) y la infiltración (Figura 8) cada cinco minutos hasta completar una hora.

Patrones Hidrológicos de las Mezclas Suelo-Vegetación de los Lotes con Pastos

En la Figura 10 se muestran los patrones temporales del escurrimientos y la infiltración acumulada de los suelos analizados.

S = suelo.

Figura 10 Patrones temporales del escurrimiento e infiltración acumulada de los suelos 2, 4 y 5. 

En la Figura 11 se muestra la relación P-Q, supuesta como equivalente a eventos discretos (continuos en la respuesta hidráulica del suelo) de precipitación, para los suelos 2 y 4.

(S = suelo desnudo; M = cobertura mala; R = cobertura regular y B = cobertura buena).

Figura 11 Relación precipitación-escurrimiento para los suelos 2 y 4 para diferentes coberturas del suelo 

De la Figura 10, el suelo 2 y 5 tienen respuestas hidráulicas relativamente similares, por lo que en lo siguiente solo se analizan los casos de los suelos 4 y 5, contrastantes entre si.

En el caso del modelo expo-lineal de la relación precipitación-escurrimiento, los patrones de P-Q de la Figura 11 fueron modelados en términos estadísticos y los resultados están mostrados en la Figura 3, mostrada previamente.

Patrones Espectrales de las Mezclas Suelo- Vegetación de los Lotes con Pastos

En la Figura 12 se muestran dos ejemplos de las reflectancias integradas para el sensor ETM+ del satélite LANDSAT 7, usando las funciones de respuestas correspondientes.

Figura 12 Patrones de las bandas espectrales del sensor ETM+ para diferentes coberturas del suelo 4 y diferentes condiciones de humedad del mismo. 

En la Figura 12 se observa que los valores de las reflectancias para las diferentes coberturas de los pastos tienen asociados valores de reflectancia muy cercanos entre si, contrastando con observaciones en condiciones de iluminación natural donde las reflectancias tienen valores con mayores diferencias. Esta situación es producto del arreglo geométrico de lámparas usadas en las mediciones, Figura 8, donde todas se mantuvieron prendidas durante las mediciones con el radiómetro, provocando una situación de iluminación directa de fuentes múltiples, además del problema de la cercanía de las lámparas a los lotes de escurrimiento y las distancias de medición de reflectancias usadas.

Por otro lado, en las Figura 12 se observa que los valores de las reflectancias en las bandas espectrales del verde, un poco en la del rojo y en la del infrarrojo medio 2 (IRM2), diferencias entre la condición de suelos a capacidad de campo y con exceso de saturación. Esto es un efecto de agua superficial residual sobre la superficie del suelo y en el follaje y no corresponde al caso planteado en Paz et al. (2010) donde se consideró que las reflectancias a CC y a saturación son prácticamente similares.

En lo siguiente, los datos de reflectancias presentados corresponden al promedio de las posiciones A y B, ponderadas por las coberturas específicas en las tomas, Figura 8. Asimismo, las coberturas son promedios aritméticos de las posiciones A y B. Las coberturas fueron estimadas de fotografías digitales usando técnicas de clasificación supervisada.

Considerando que las pendientes de las líneas iso-IAF, definidas en la Figura 5, fueron prácticamente iguales para las diferentes coberturas utilizadas (promedio de 1.31 y desviación estándar de 0.016, n = 18), se utilizó la intersección a₀ para relacionarla con la cobertura de los pastos. La Figura 13 muestra estos resultados, donde el caso del suelo desnudo es discordante del patrón establecido. Esto es producto de la geometría de sombreado generada en las mezclas suelo-pastos, principalmente.

a₀ = intercepto de la ecuación iso-IAF, COB = cobertura aérea.

Figura 13 Relación entre la COB y el parámetro a₀ para los experimentos analizados. 

Tal como se discutió previamente, las curvas iso- IAF (líneas y curvas no lineales) están muy cercanas entre si producto del arreglo experimental usado. No obstante esto, en el Cuadro 2 se muestra las estimaciones de los puntos de convergencia estimados usando la condición de suelo seco al aire y suelo a CC, Figura 14. Se observa en el Cuadro 2 que las estimaciones de los puntos de convergencia son muy similares entre si para el suelo 4 y 5, tal como se esperaría de un sistema de follajes con diferentes coberturas, pero propiedades ópticas y angulares de las hojas similares. El modelo de la Figura 7 sólo ha podido ser validado en forma parcial, dadas las restricciones experimentales, pero los resultados muestran que el esquema es congruente con la evidencia experimental analizada; en especial sus atrayentes o puntos de convergencia.

R = rojo, IRC = infrarrojo cercano, dIRC e IVPP = transformaciones de variables. Subíndice: ∞= condición de medio denso.

Cuadro 2 Puntos de convergencia estimados de la Figura 15. 

R = rojo, IRC = infrarrojo cercano, dIRC e IVPP = transformaciones de variables.

Figura 14 Patrones observados de las mezclas suelo-vegetación en los espacios dIRC-IRC e IVPP-R para los suelos 4 y 5. 

En la Figura 14 el caso de los patrones de las reflectancias asociadas a la condición de exceso de saturación de los suelos muestra un aparente estado de crecimiento adicional de la cobertura de los pastos y de una condición de humedad menor a la de CC, ver Figura 6 y 7. Esto es producto del agua superficial remanente en el suelo y en el follaje y debe considerarse en los análisis de imágenes satelitales inmediatamente posteriores a la ocurrencia de un evento de precipitación. En la Figura 14 se ha usado la hipótesis de que las pendientes iso-suelo de la condición de exceso de saturación tienen una pendiente similar al caso de suelos a CC. Las líneas punteadas ajustadas bajo esta hipótesis representan bien las mediciones experimentales, Figura 14.