1. Introducción

Desde que Gustavo ^{Cassel (1918)} postulo la teoría de la paridad del poder adquisitivo (PPP) que vincula los tipos de cambio con los precios, la PPP sigue siendo un referente teórico importante en el campo de la economía internacional. Además de las implicaciones en el ámbito internacional, la PPP sugiere la igualación de precios o de la inflación, al interior de los países, inclusive de regiones geográficas que conforman alguna unión monetaria en la que prevalece una moneda común.

Si la paridad del poder adquisitivo (PPP) o la ley de un solo precio se cumple al interior de un país, o bien si hay convergencia a nivel de índices de precios dentro de un país o unión monetaria, es un tema que ha propiciado un gran interés para muchos economistas. No obstante, también se han brindado diversas razones por las que es posible que no se cumpla la PPP, las cuales van desde diversos motivos clásicos como es la presencia de barreras comerciales (véase, por ejemplo, ^{Dumas, 1992}), pasando por diferencias de productividad entre regiones que pueden propiciar heterogeneidad en los precios regionales (conocido como el efecto ^{Balassa-Samuelson, Balassa, 1964}), hasta consideraciones sobre la composición heterogénea de los bienes, así como la ponderación que se les asigna para ser incorporados en la cesta empleada para calcular los índices de precios agregados, ^{Rogoff (1996)}.

La convergencia de precios internacional es relevante ya que, si las desviaciones de los precios relativos son persistentes, pueden propiciar diferentes tasas de interés real y salarios reales distintos a nivel regional (^{Gómez y Rodríguez, 2013}). Además de que, en presencia de diferencias en estas variables, una política monetaria única puede no ser la mías conveniente.

En la literatura sobre el tema se han brindado diferentes definiciones sobre la PPP. De acuerdo con la definición que se someta a prueba será la especificación del termino determinista que se incor pora en la prueba de raíz unitaria para el contraste de este principio, por ejemplo, si se pretende probar la versión débil no se incorpora ningún termino de esta índole en la ecuación de prueba, mientras que, si lo que se desea es probar la versión fuerte, se incluye una constante y si se incorporan una constante y una tendencia lineal lo que se verifica es el efecto Balassa-Samuelson. En este trabajo sometemos a prueba la versión fuerte de la PPP para una muestra de bienes y servicios a nivel de ciudades para México.

En dicho contexto se investiga la convergencia de los niveles de precios locales en México a través de un enfoque de pares. Para tal fin aplicamos pruebas de raíces unitarias a los niveles de precios relativos entre todas las posibles combinaciones de ciudades de diferentes bienes seleccionados. Una de las principales virtudes de este enfoque es que no se elige una ciudad de referencia como base de los niveles de precios relativos para el análisis de la estacionariedad o de algún promedio al cual los niveles de precios de todas las ciudades tienen necesariamente que converger. El enfoque es aplicado a series mensuales de los índices generales y desagregados de precios al consumidor (IPC) en el periodo 1982-2016. Una de las principales ventajas de esta prueba, propuesta por ^{Pesaran (2007)} y ^{Pesaran et al. (2009)}, es que al calcular la fracción de pares cuyos índices de precios convergen para cada bien y servicio considerado permite tener una idea del grado o magnitud de la convergencia para cada uno de ellos.

Otra de las innovaciones del estudio es que analizamos el cumplimiento de la ley de un solo precio con una muestra de los índices de precios de distintos bienes y servicios, de los cuales algunos son los suficientemente homogéneos y otros no. De igual forma, algunos de ellos se pueden clasificar como transables y no transables. De esta manera, se considera que es más apropiado probar la ley de un solo precio con índices de bienes específicos, en lugar de índices agregados de distintos segmentos, como se realiza en algunos trabajos, ya que no hay razón válida para suponer que una variedad de bienes o servicios diferentes muestren el mismo proceso de convergencia.

2. Revisión de los trabajos empíricos sobre el tema

Una de las metodologías frecuentemente empleada para probar la ley de un solo precio han sido las pruebas de raíces unitarias en panel. Quienes han recurrido a ellas sostienen que las pruebas de raíces unitarias en panel poseen mayor potencia para rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria que las pruebas de raíz unitaria univariadas. En esta línea se encuentran los trabajos de ^{Cecchetti, Mark y Sonora (2002)}, ^{Sonora (2008} y ²⁰⁰⁹⁾ y ^{Yazgan y Yilmazkuday (2011)}, quienes aplican pruebas de raíces unitarias en panel a los índices de precios relativos de las principales ciudades de Estados Unidos. La mayoría de estos trabajos encuentran evidencia que tiende a soportar la PPP en este país. ^{Carrión, del Barrio, López (2004)} brindan evidencia sobre la PPP para 50 ciudades de España y encuentran que la PPP se cumple al nivel de índices de precios de dicho país. ^{Esaka (2003)} y ^{Nagayasu e Inakura (2009)} examinan la convergencia en los niveles de precios de Japón a través de estas pruebas, sus resultados muestran convergencia en los índices de precios general y desagregados para una diversidad de bienes, sin embargo, observan una tasa de convergencia diferente entre los bienes y servicios, lo cual sugiere la presencia de costos de transacción entre las ciudades. ^{Ikeno (2014 a)} mediante el enfoque de pares propuesto por ^{Pesaran (2007)} y ^{Pesaran et al. (2009)} corrobora los resultados para Japón y brinda evidencia sobre la magnitud de la convergencia de los precios de los bienes y servicios por él analizados. Por su parte, ^{Goes y Matheson (2015)} examinan la integración de los mercados de Brasil a través de la ley de un solo precio, sus resultados muestran el cumplimiento de esta ley para la mayoría de los bienes transables, en contraposición con lo que ocurre para los no transables.

Otros trabajos también han considerado el enfoque de pares para analizar la convergencia de un bien en particular. Por ejemplo, ^{Holmes, Otero y Panagiotidis (2011)} examinan la convergencia de los precios de la vivienda a largo plazo en Estados Unidos, sus resultados muestran evidencia a favor de la convergencia y concluyen que la velocidad de ajuste hacia el equilibrio a largo plazo está inversamente relacionada con la distancia. ^{Abbott y de Vita (2013)} someten a prueba la convergencia estocástica en los índices de precios regionales de las casas del Reino Unido a través de este enfoque, su principal resultado es que no encuentran evidencia de convergencia de largo plazo en estos precios o de una relación de equilibrio en torno de la cual tiendan a gravitar.

En el caso de México, ^{González y Rivadeneyra (2004)} analizan el grado del cumplimiento de la PPP para distintos tipos de bienes con base en la metodología de cointegración de ^{Engle y Granger (1987)}. Argumentan que, barreras al comercio, tipo de cambio e índices asimétricos, generan un lento ajuste al nivel de equilibrio y encuentran un alto grado de cumplimiento de la PPP para bienes comerciables como frutas y verduras y alimentos en general, pero para los servicios la PPP no se cumple.

^{Sonora (2005)} y ^{Vargas (2008)} a través de pruebas de raíces unitarias en panel brindan evidencia a favor de la PPP a nivel de ciudades para México. Los resultados de ^{Sonora (2005)} muestran evidencia de que los precios relativos para 35 ciudades de México son estacionarios y que tanto la demanda regional como la homogeneidad de la oferta implican fuerte evidencia para la PPP dentro de regiones, no obstante, argumenta que la evidencia de convergencia de precios regional no garantiza una mayor convergencia, ya que sus estimaciones de la vida media son de alrededor de 2.5 años. Mientras que los resultados obtenidos por ^{Vargas (2008)} le permiten concluir que hay evidencia de la paridad del poder adquisitivo en las 16 ciudades mexicanas para todos los mercados con excepción del mercado de ropa y calzado y evidencia mixta para el de alimentos y bebidas.

^{Rodríguez, Hernández y López (2015)} examinan la hipótesis de convergencia de precios intranacional para 15 ciudades de México con respecto a la ciudad líder, el Distrito Federal. Con tal fin ellos aplican pruebas de estacionariedad en panel, propuesta por ^{Carrion-i-Silvestre, del Barrio y López (2005)}, al diferencial de precios relativos y encuentran evidencia de la hipótesis de convergencia de precios. Además, emplean pruebas de cointegración en panel entre los índices de precios de las ciudades y el índice de precios del Distrito Federal, sus resultados revelan que estos poseen una raíz unitaria, se encuentran cointegrados y que el valor estimado de la pendiente para el panel en su conjunto es prácticamente igual a la unidad, lo cual confirma los resultados anteriores.

Otros trabajos han probado la ley de un solo precio mediante pruebas de raíces unitarias en panel con cambio estructural. ^{Huang, Liu y Yeh (2010)} prueban la hipótesis de convergencia en los índices de precios al consumidor de Estados Unidos con base en las pruebas LM de ^{Im, Lee y Tieslau (2005)} y de ^{Bai y Carrion-i-Silvestre (2009)}. Ambas pruebas toman en cuenta la presencia de rupturas estructurales, pero la segunda considera, además, la posibilidad de dependencia de sección cruzada entre las unidades, sus resultados ofrecen evidencia que tiende a soportar la hipótesis de convergencia en los precios de las ciudades de Estados Unidos.

Recientemente otra vertiente de trabajos ha empleado la prueba no paramétrica de convergencia propuesta por ^{Phillips y Sul (2007)} para probar la ley de un solo precio. Entre los que han empleado esta metodología se encuentra ^{Nagayasu (2011)}, quien aplica la prueba a los índices de precios regionales de Japón, sus resultados no muestran evidencia de convergencia de precios en todo el grupo de regiones, aunque hay cierta evidencia de convergencia en subgrupos que sugiere la existencia de inflación regional diversificada dentro de una unión monetaria. ^{Ikeno (2014b)} confirma estos resultados también para el caso de Japón. Otros trabajos estudian la presencia de convergencia para el precio de un bien particular, con esta metodología. Por ejemplo, ^{Kim y Rous (2012)} investigan si hay convergencia en los precios de las casas en Estados Unidos a nivel de estados y aéreas metropolitanas encontrando poca evidencia de convergencia global, no obstante, también brindan evidencia de ciertos clubs de convergencia, los cuales son determinados tanto por la regulación de la oferta como por el clima. Por otro lado, ^{Apergis y Payne (2012)} examinan la convergencia de los mismos precios en Estados Unidos con la misma técnica, sus resultados indican la presencia de tres clubes de convergencia.

Adicionalmente, ^{Nagayasu (2017)} analiza la inflación regional en Japón, particularmente se enfoca en la localización geográfica de las regiones y la productividad con el fin de probar el efecto Balassa-Samuelson como una explicación de la dinámica de la inflación regional. Para tal fin, se basa en un modelo espacial que le permite confirmar que, a pesar de tratarse de un país relativamente pequeño en términos de área terrestre, tanto la locación espacial como la pro ductividad son determinantes importantes de la inflación regional.

3. Metodología econométrica

El logaritmo del nivel de precios relativos en la ciudad i con respecto a la ciudad j en el periodo t se obtiene a través de:

La propuesta de ^{Pesaran (2007)} empleada en este artículo se enuncia a continuación. Si N denota el número de ciudades investigadas, entonces el número de todos los posibles pares de ciudades es igual a N(N - 1)/2. El procedimiento consiste en efectuar pruebas de raíces unitarias univariadas con el fin de examinar estacionariedad en todos los pares posibles de niveles de precios relativos. Para tal fin, es necesario considerar la fracción de los N(N - 1)/2 pares para los cuales la hipótesis nula de raíz unitaria es rechazada a un nivel de significancia a. La fracción se denota por:

donde Z_ij;T = 1 si la hipótesis nula de la raíz unitaria de p _ij es rechazada al nivel de significancia a y Z_ij;T = 0 de otra forma. Entonces, bajo la hipótesis nula de que todos los p _ij s son no estacionarios, la fracción Z _NT converge a a conforme N y T tienden conjuntamente al infinito, mientras que las pruebas de raíz unitaria individuales no son transversalmente independientes. De esta forma, la hipótesis nula relevante de la propuesta de ^{Pesaran (2007)} es que no hay convergencia entre las ciudades investigadas.

Para calcular Z_NT se efectuaron las pruebas de raíces unitarias Dickey-Fuller aumentada (ADF), la prueba Dickey-Fuller aumentada basada sobre los mínimos cuadrados generalizados con eliminación de tendencia (ADF-GLS) desarrollada por ^{Elliott, Rothenberg y Stock (1996)}, la prueba ADF simétrica ponderada (ADF-WS) propuesta por ^{Park y Fuller (1995)} y la prueba no lineal de raíz unitaria (KSS) elaborada por ^{Kapetanios, Shin y Snell (2003)}. De las cuales, las pruebas ADF-GLS y ADF-WS se consideran mías potentes para rechazar la hipótesis nula de la raíz unitaria que la prueba ADF. ^{Pesaran et al. (2009)} sostienen que la prueba ADF-WS se comporta mejor que la prueba ADF-GLS al rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria, mientras que ^{Cheung y Lai (1998)} al analizar los tipos de cambio reales de los principales países con estas pruebas concluyen que la prueba ADF-GLS rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria con mayor amplitud que la prueba ADF-WS.

La prueba de KSS considera un ajuste de precio no lineal por medio de un proceso autorregresivo de transición suave exponencial no lineal. Dicha prueba toma como hipótesis nula que no hay ajuste, lo que implica un proceso no estacionario, mientras que la hipótesis alternativa es el ajuste no lineal, es decir, que el proceso es estacionario. Las pruebas se efectuaron con una constante y sin tendencia y el número de rezagos en cada una de ellas se determinó a través del criterio informativo de Akaike (AIC).

Con el fin de determinar si la fracción Z_NT es estadísticamente diferente de a recurrimos al bootstrapping, como lo sugiere ^{Pesaran et al. (2009)} e ^{Ikeno (2014a)}, en lugar de la derivación analítica de la distribución de la fracción Z_NT, la cual no es recomendable emplear debido a que las Z _ijT no son independientes.

El proceso de generación de datos a través del método de boot-straping se basa en el modelo de factor comín propuesto por ^{Pesaran et al. (2009)}, ^{Holmes, Otero y Panagiotidis (2011)} e ^{Ikeno (2014a)}. Si p_i;t es el logaritmo natural del nivel de precios de la ciudad i, es decir, p_i;t = ln(P_i;t). El modelo comprende las siguientes ecuaciones:

Donde d_t = (1,t)´ es un vector de componentes determinísticos que pueden ser intercepto o tendencia e intercepto, f_t es un vector m x 1 de factores no observables, con elementos f _S;t, y α i , 𝛾 𝑖 y μs son vectores de coeficientes. Los factores f_S;t y los componentes idiosincráticos e_i;t pueden ser I(0) o I(1), ^{Holmes, Otero y Panagiotidis (2011)}.

Como proxy del factor común se emplea el promedio de sección cruzada, p-t=N-1∑i=1Npit, el cual se considera induce la dependencia de sección cruzada en virtud de que es fácil de interpretar y es menos probable a que se encuentre sujeto al sesgo de pre-estimación en lugar de otras variables, ^{Pesaran et al. (2009)}. Posteriormente, el nivel de precios de cada ciudad se regresa sobre una constante y el factor común estimado, es decir, se estima la siguiente ecuación para todas las i´ s:

^{Holmes, Otero y Panagiotidis (2011)} e ^{Ikeno (2014a)} analizan el caso en el que se incorpora una tendencia en la ecuación (6) sólo si esta es significativa, lo que corresponde al caso II/III (Linear Trend if Significant) propuesto por ^{Pesaran et al. (2009)}. A diferencia de estos autores, en este artículo analizamos únicamente el caso II (Intercept) que, como se mencionó anteriormente, corresponde a la versión fuerte de la PPP e implica que asumimos que los precios de los distintos bienes y servicios aquí estudiados no poseen tendencia. Posteriormente, se examinan las propiedades del factor común p_t a través de la siguiente regresión correspondiente a la prueba ADF:

En donde el número de rezagos se determina de acuerdo con el criterio de Akaike. Si el valor estimado de ϕ es positivo, su valor es reemplazado por cero, y entonces se estima el siguiente modelo con el fin de evitar un proceso explosivo:

Las series muestrales resultantes del bootstraping de p-t, denotadas por p-t(b), son generadas mediante:

O bien por:

Donde e^t(b) se obtiene por muestreo con reemplazo del conjunto de residuales estimados e^t provenientes ya sea de (7) u (8). Los primeros valores de Δp-t-1(b) - se reemplazan por los valores observados, para inicializar la generación de las series resultantes del muestreo por boot-straping.

La siguiente regresión se estima con la diferencia de los residuales ε^i,t de la ecuación (6):

En la que el número de rezagos también se determina por el criterio informativo de Akaike.

Las series resultantes del proceso de muestreo por bootstraping de p_i;t, se generan a partir de:

En donde ε^i,t(b) se obtiene a través de:

y v^it(b) se genera por medio de un muestreo aleatorio con reemplazo del conjunto de residuales estimados v^it de la ecuación (11). De manera análoga al procedimiento previo, los primeros valores de v^it(b) se sustituyen por los valores observados, para inicializar la generación de las series muestrales resultantes del bootstraping.

Por último, los pares de pruebas de raíces unitarias se llevan a cabo sobre los niveles de precios, de precios relativos entre las ciudades, empleando las series generadas del bootstraping, pi,t(b),i=1,…,N, y se calcula la fracción de rechazos de la hipótesis de raíz unitaria, ZNT(b).

Este proceso de generación de muestras a través del bootstraping y de aplicar las pruebas de raíces unitarias se repite 1000 veces, mediante el cual se calcula la distribución de la fracción de rechazos, ZNT(b). Dicha distribución es la que se emplea para examinar si la fracción de rechazos difiere estadísticamente de a.

4. Datos

La base de datos utilizada en este trabajo son los índices de precios generales y desagregados de 35 ciudades de México, la fuente de esos índices de precios es el Banco de Información Económica (BIE) que publica el Instituto Nacional de Estadística y Geografía (INEGI) y su periodicidad es mensual. Una ventaja de considerar datos con esta periodicidad, a diferencia por ejemplo de su promedio anual, es que se cuenta con un mayor número de observaciones. El periodo de análisis está determinado por la disponibilidad de los datos y comprende de enero de 1982 a diciembre de 2016. De esta manera se tienen 420 observaciones para cada bien o servicio seleccionado en cada ciudad.

Las 35 ciudades consideradas son: Área Metropolitana de la Cd. de México; Acapulco, Gro.; Aguascalientes, Ags.; Cd. Jiménez, Chih.; Cd. Juárez, Chih.; Colima, Col.; Córdoba, Ver.; Cortázar, Gto.; Culiacán, Sin.; Chetumal, Q.R.; Chihuahua, Chih.; Fresnillo, Zac.; Guadalajara, Jal.; Hermosillo, Son.; Huatabampo, Son.; Iguala, Gro.; Jaconá, Mich.; La Paz, B.C.S.; León, Gto.; Matamoros, Tamps.; Mérida, Yuc.; Mexicali, B.C.; Monclova, Coah.; Monterrey, N.L.; Morelia, Mich.; Puebla, Pue.; San Luis Potosí, S.L.P.; Tampico, Tamps.; Tapachula, Chis.; Tijuana, B.C.; Toluca, Edo. de Méx.; Torreón, Coah.; Tulancingo, Hgo.; Veracruz, Ver. y Villahermosa, Tab.

Es preciso señalar que no todos los bienes tienen la misma cobertura en cuanto a ciudades se refiere, ya que algunos de ellos excluyen de 1 a 4 ciudades en el periodo de estudio. En el cuadro 1 se muestra la lista de los 35 bienes y servicios seleccionados y se especifica para qué ciudades no está disponible la información. Además de la disponibilidad del periodo de estudio, otro criterio que se empleó en la selección del conjunto de bienes y servicios fue el de seleccionar aquellos bienes que fueran lo más homogéneos posibles, como algunos alimentos, por ejemplo, la manzana, los plátanos, la naranja o la zanahoria y algunos otros más genéricos que engloban bienes con una mayor diferenciación, como pueden ser los que pertenecen a los "muebles, aparatos y accesorios domésticos" y también algunos servicios.

5. Resultados

6. Conclusiones

En este artículo utilizamos el enfoque de pares (^{Pesaran, 2007}; Pesaran et al., 2009), el cual evalúa directamente la proporción de niveles de precios relativos convergentes, en lugar de utilizar alguna prueba de raíz unitaria de panel. Es preciso señalar que Pesaran (2007) y Pesaran et al. (2009) no emplearon esta metodología para analizar la convergencia de los niveles de precios locales al interior de un país, no obstante, es posible aplicar su metodología en el análisis de la convergencia en los precios locales.

Entre las ventajas de considerar dicha metodología se encuentra la de permitir investigar la convergencia de todas las combinaciones binarias de los niveles de precios locales, en lugar de elegir una cierta ciudad como líder o referencia. Es decir, las pruebas de raíz unitaria se ejecutan en todas las combinaciones binarias de ciudades investigadas. Esta propiedad es relevante ya que la mayor parte de los trabajos empíricos que intentan probar la PPP se han basado en pruebas de raíces unitarias en panel las cuales, necesariamente, tienen que definir una ciudad como base o líder o bien un promedio de las ciudades consideradas para probar la PPP a nivel local e internacional.

El enfoque de pares lo aplicamos a series mensuales de los índices generales y desagregados de precios al consumidor, por tipo de bien, para el periodo 1982-2016. Los resultados de las pruebas del enfoque de pares efectuadas sobre los distintos bienes permiten rechazar la hipótesis nula de la no convergencia para la mayoría de los precios relativos de los bienes y servicios analizados de las ciudades consideradas, de manera análoga a como lo muestra la evidencia encontrada por las pruebas de raíces unitarias en panel, con y sin rupturas, que se han aplicado para México y otros países, no obstante, la convergencia es limitada. Quizá sea esta la principal ventaja del enfoque empleado, a diferencia del de las pruebas de raíces unitarias en panel, ya que estas últimas sólo permiten aceptar o rechazar la hipótesis de raíz unitaria o de estacionariedad, según sea el caso, entre todas las unidades que conforman el panel, pero no dicen nada sobre la magnitud de la convergencia, como es el caso del enfoque elegido en este trabajo.

Sin embargo, en el caso de uno de los bienes analizados que engloba prendas de vestir para dama además de dos servicios, servicio doméstico y renta de vivienda, los resultados obtenidos no permiten rechazar la hipótesis de no convergencia. Por el contrario, algunos de los bienes pertenecientes al rubro "alimentos, bebidas y tabaco" como: manzana, plátanos y naranjas, mostraron un alto porcentaje de pares convergentes en sus precios relativos.

Los resultados anteriores revelan que la mayoría de los mercados de los bienes y servicios analizados se encuentran integrados en México, pero hasta cierto punto. Por otra parte, es necesario precisar que el análisis también se puede realizar con datos anuales, obtenidos a través del promedio de los índices mensuales, no obstante las pruebas resultantes en este caso pueden estar sujetas al denominado sesgo de agregación temporal, lo que está bien documentado por ^{Taylor (2001)}, quien argumenta que analizar o estudiar la PPP con los promedios anuales conseguidos a partir de datos mensuales ocasiona sesgo en los estadísticos de prueba empleados.

Debido a la ausencia de barreras comerciales e impuestos al interior de un país, se considera que los costos de transacción son el principal factor responsable de que no se cumpla la hipótesis de convergencia a niveles de precios dentro de un país. No obstante, tanto la diferencia en el crecimiento poblacional entre las ciudades, así como la distancia geográfica entre las ciudades son factores que puede desempeñar un papel importante en este proceso, ^{Ikeno (2014b)}.