Valor en Riesgo (VaR)

^{Jorion (2001)} define el Valor en Riesgo como la máxima pérdida esperada en un horizonte temporal determinado, para un nivel de confianza dado.

Definición. Dada X una variable aleatoria continua definida sobre el espacio muestral Ω que representa el cambio en el valor del activo (rendimiento). Supongamos que X : Ω → ℝ, está definida sobre un espacio de probabilidad fijo (Ω, A, P). Entonces, el Valor en Riesgo de X al nivel 1-q se define como la mínima de las cotas superiores para un intervalo de confianza del (1-q) % tal que

Esta definición señala que es posible obtener el VaR dada la función de distribución acumulada de los rendimientos del activo:

donde FX-1(·) es la inversa de la función de distribución acumulada de los rendimientos del activo en un período. Es decir, el VaR es el cuantil q de Fx . Por lo cual, la esencia de los cálculos del VaR es la estimación de los cuantiles inferiores de la función de distribución acumulada de los rendimientos del activo, que en la práctica es desconocida.

Los métodos de estimación del VaR sugieren diferentes formas de construir esta función. Los más comunes son, el método paramétrico basado en el supuesto de que los cambios en el valor del portafolio son caracterizados por una distribución paramétrica; la simulación histórica en cuya implementación no es necesario asumir una distribución específica de los rendimientos, las predicciones de su comportamiento se infieren empleando el comportamiento histórico de los datos; y la simulación Montecarlo en la cual se obtienen aproximaciones del comportamiento del rendimiento esperado de un portafolio o instrumento financiero, mediante simulaciones que generan trayectorias aleatorias de los rendimientos del portafolio o instrumento financiero, considerándose ciertos supuestos iniciales sobre las volatilidades y correlaciones de los factores de riesgo.

En el presente trabajo la estimación del VaR se realiza mediante simulación Montecarlo, bajo la hipótesis estable, t-Student generalizada asimétrica y normal.

Distribución α-estable y t-Student Generalizada Asimétrica

En la gestión del riesgo es esencial encontrar una distribución que describa los datos financieros de una manera adecuada. Comúnmente los rendimientos financieros no son descritos adecuadamente por la distribución normal, ya que los resultados empíricos muestran que los datos financieros son por lo general asimétricos y presentan colas pesadas (^{Fama, 1965}; ^{Bollerslev, 1986}; ^{Bali y Theodossiou, 2007}; ^{Champagnat et al., 2013}). Sin embargo, esta característica no es exclusiva de los activos financieros, las series de rendimientos de los energéticos también comparten estas características (^{Giot y Laurent, 2003}; ^{Hang et al., 2007}; ^{Fan et al., 2008}).

Actualmente, la mayoría de los estudios que estiman la volatilidad de los rendimientos del petróleo lo hacen bajo la hipótesis gaussiana (^{Sadeghu y Shavvalpour, 2006}). La literatura existente relativa a la estimación de la volatilidad en el sector energético aplicando distribuciones alternativas a la normal es muy escasa (^{Giot y Laurent, 2003}; ^{Hang et al., 2007}; ^{Fan et al., 2008}; ^{Hung et al., 2008}; ^{Marimoutou et al., 2009}; ^{Aloui y Mabrouk, 2010}; ^{Cheng y Hung, 2011}; ^{Youssef et al., 2015}).

En este trabajo presentamos dos familias de distribuciones: la distribución estable y la distribución t-Student generalizada asimétrica (GST), los cuales nos permiten describir las características de asimetría y curtosis de los rendimientos en el sector petrolero.

Distribución t-Student Generalizada Asimétrica

Existen diversas parametrizaciones de la distribución t-student generalizada asimétrica propuestas en investigaciones previas, en este estudio debido a su simplicidad, seguimos la parametrización propuesta por ^{Hansen (1994)}. Este sugiere un enfoque paramétrico alternativo para modelar la función de densidad condicional del error normalizado. Este consiste en seleccionar una distribución que dependa de un vector de parámetros de pocas dimensiones, y permitir que este vector varíe en función de las variables condicionales.

Definición. La distribución t-Student generalizada asimétrica (GST) es la generalización de la distribución t-student, la cual considera asimetría. La función de densidad de probabilidad de la distribución estándar GST se define como:

En ^{Hansen (1994)} se demuestra que esta es una función de densidad apropiada con media 0 y varianza 1. El parámetro η controla el grosor de la cola y λ controla la asimetría. Cuando η→∞, la distribución se reduce a la distribución normal asimétrica. Cuando λ=0, se reduce a la distribución t-student.

Si una variable aleatoria Z sigue una distribución estándar GST con parámetros η y λ, se denota como Z◻GST(η, λ). Si la variable aleatoria Z sigue una distribución no estándar GST con media μ y varianza σ2 se denota como Z◻GST(μ, σ, η, λ).

Distribución α-estable

La familia de distribuciones α-estable o simplemente estables es una clase de distribuciones de probabilidad que permiten asimetría y colas pesadas. En 1920, el matemático francés Paul Lévy caracterizó esta clase de distribuciones en su estudio de sumas de términos independientes idénticamente distribuidos. Las distribuciones estables no poseen expresiones analíticas explícitas para la función de densidad de probabilidad (PDF) ni para la función de distribución acumulada (CDF), sin embargo estas son descritas por su función característica (CF).

Definición. Una variable aleatoria α-estable X, es comúnmente descrita por su función característica (CF), la cual se define como:

donde, sgn(t)= {1 si t > 0,0 si t = 0, -1 si t < 0}, 0 < α ≤ 2 es el índice de estabilidad o exponente característico que nos refleja el tamaño de las colas de la distribución, -1 ≤ β ≤ 1 es el parámetro de asimetría que nos índica la simetría de la distribución, γ ≥ 0 es un parámetro de escala también denominado dispersión, δ ∈ R y es el parámetro de posición.

Si una variable aleatoria Z sigue una distribución estable se denota como Z◻S(α, β, γ, δ) entonces una variable aleatoria α-estable estándar se denota como Z◻S(α, β, 1, 0).

Modelos GARCH

La volatilidad es la variable principal sobre la que se desarrollan los modelos económicos y financieros de fijación de precios y coberturas, por lo cual realizar estimaciones con las especificaciones correctas de la distribución condicional es crucial para mejorar la eficiencia de los mismos. En este trabajo, implementamos el GARCH(1,1) bajo la hipótesis estable, GST y normal para describir la volatilidad de los rendimientos petroleros. ^{Sadorsky (2006)} afirma que el modelo GARCH (1,1) posee un buen desempeño en la estimación de la volatilidad en el sector petrolero.

Modelo GARCH(1,1)-estable

Para describir las características empíricas de los rendimientos del petróleo como lo son colas pesadas, asimetría y clúster de volatilidad, empleamos la distribución estable para describir el proceso de innovación en el modelo GARCH(1,1). Debido a que en el caso de la distribución estable no todos los momentos están definidos, empleamos el modelo TS-GARCH propuesto por ^{Taylor (1986)} y ^{Schwert (1989)}, en el cual los rendimientos son modelados como se describe a continuación:

donde R _t es la serie de rendimientos de la acción en el tiempo t, δ _t y γ _t son los parámetros de posición y de dispersión condicional respectivamente, y z _t son variables aleatorias estandarizadas estable idéntica e independientemente distribuidas, z _{t ~ S(α, β, 1, 0) 1 < α < 2.}

Los parámetros son estimados por máxima verosimilitud, empleando el programa STABLE descrito en ^{Nolan (1997)}.

Modelo GARCH(1,1)-GST

Similarmente, empleamos la distribución GST en el modelo GARCH para describir los hechos estilizados característica de la serie de rendimientos petroleros. El modelo es descrito a continuación:

Para estimar los parámetros del modelo GARCH, utilizamos el método de máxima verosimilitud (MLE), donde la función de densidad de probabilidad de zt se aproximó utilizando el enfoque propuesto por ^Hansen(1994).

Modelo GARCH(1,1)-normal

En este modelo, los rendimientos de las acciones son modelados como:

Evaluación del desempeño del VaR

En esta investigación la evaluación del desempeño del VaR se realiza en términos de su probabilidad de cobertura empírica, mediante el estadístico de ^{Kupiec (1995)}. Este estadístico es una prueba incondicional que cuenta el número de violaciones del VaR durante todo el período, estimando si la proporción esperada de violaciones es igual al nivel de significancia α.

El estadístico de prueba de Kupiec para muestras grandes se distribuye como una Ji-cuadrada con un grado de libertad y está dado por:

donde T representa el tamaño de la muestra, n el número de violaciones y p=n/T es el porcentaje de violaciones. La hipótesis nula H ₀ : n/T=α, se rechaza con un nivel de significancia del 1% si el valor del estadístico de Kupiec excede o es igual al valor crítico de una distribución Ji-cuadrada con un grado de libertad, es decir LR_UC ≥6.635.

Descripción de los datos y análisis estadístico

El presente trabajo utiliza los precios diarios de cierre del petróleo West Texas Intermediate (WTI), del Mar del Norte (Brent) y de la mezcla de petróleo mexicana de exportación (MME), la muestra cubre el período del 2 de enero del 2013 al 29 de diciembre del 2017, obteniendo un total de 1275 observaciones y la moneda de referencia es el dólar estadounidense. Las series de precios fueron obtenidas de Bloomberg en el caso de la mezcla de petróleo mexicana y en caso del WTI y Brent se obtuvieron del sitio web Energy Information Administration (EIA).

Se seleccionaron estas tres mezclas de petróleo debido a que en el caso del Brent su precio es el referente en los mercados europeos, el WTI es el más aceptado como referencia mundial del precio del barril de petróleo y el MME es el referente en el mercado mexicano.

El período de la muestra se seleccionó por dos razones: primero analizar el desempeño del VaR bajo las distintas funciones de distribución consideradas en este trabajo en períodos de alta volatilidad y segundo hasta donde es de nuestro conocimiento no existe referencia alguna de la medición del VaR en este período específico, para este tipo de crudos bajo la hipótesis de estabilidad. Además, durante este período se registró un severo desplome de los precios del crudo, los cuales experimentaron la tercera mayor depreciación semestral de los últimos 24 años. El World Bank (Global Economic Prospects January 2015) identificó cuatro razones para la caída de los precios del petróleo 2014-2015 señalando a los primeros tres factores como dominantes: 1) el exceso de oferta en un momento de debilitamiento de la demanda, 2) un cambio en los objetivos de la OPEP, 3) la disminución de la preocupación en torno a las interrupciones de suministro por causas geopolíticas, y 4) la apreciación del dólar estadounidense.

Se estimaron los rendimientos logarítmicos de la siguiente forma: Rt=100ln⁡PtPt-1 donde P _t es el precio en el día t. En la Figura 1 se muestra la gráfica del comportamiento de los precios diarios de cierre de los petróleos y sus respectivos rendimientos logarítmicos. En esta figura se observa que las series de rendimientos logarítmicos muestran heterocedasticidad y clusters de volatilidad.

Fuente: Elaboración propia.

Figura 1 Precios diarios y rendimientos logarítmicos. 

En la Tabla 1 se muestra la estadística descriptiva de los rendimientos, se contrasta la normalidad de los mismos y se presentan las pruebas de raíz unitaria, de estacionariedad y de efectos ARCH. Se observa que las medias de los tres rendimientos son pequeñas, negativas y muestran valores similares, en contraste la desviación estándar correspondiente es alta en comparación a la media, y además la curtosis indica un comportamiento leptocúrtico de las series. Los estadísticos ^{Jarque-Bera (1980)}, ^{Shapiro-Wilks (1965)} y Anderson-Darling rechazan la hipótesis de normalidad en las series y las pruebas de raíz unitaria ADF (^{Dickey-Fuller, 1979}), y PP (^{Phillips-Perron, 1988}), rechazan la hipótesis de raíz unitaria para las series de tiempo estudiadas, es decir las series son estacionarias. Además, los resultados de la prueba KPSS (^{Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin, 1992}) revelan que no podemos rechazar la hipótesis nula de estacionariedad en tendencia determinística en un nivel significativo del 1%, es decir todas las series presentan estacionariedad en tendencia. Finalmente, la prueba ARCH-LM rechaza la hipótesis de la no existencia de efectos ARCH (^{Engle, 1982}), es decir las series de rendimientos estudiadas manifiestan efectos ARCH.

Pruebas de bondad de ajuste

Para comparar la bondad de ajuste de las distribuciones alternativas consideradas en este documento se considera la prueba de Kolmogorov-Smirnov (KS)), cuya hipótesis nula es H0: Los datos analizados siguen la distribución señalada. La hipótesis nula no se rechaza si el p-value excede o es igual al nivel de significancia elegido.

La Tabla 2 muestra los valores del estadístico de contraste de la prueba KS y su respectivo p-value, los cuales indican un no rechazo de la hipótesis nula con un nivel de significancia α=.01, excepto para la serie MME en el caso de la distribución GST.

Estimación de los parámetros de las distribuciones de probabilidad

Los parámetros de las distribuciones alternativas consideradas, se estimaron por el método de máxima verosimilitud (MLE). La Tabla 3 muestra los valores obtenidos.

Para describir las características empíricas de los rendimientos del petróleo como lo son colas pesadas, asimetría y clúster de volatilidad implementamos el modelo GARCH(1,1) bajo la hipótesis estable, GST y normal. Los parámetros de los modelos GARCH son estimados por MLE y son significativos al 1%, estas estimaciones se muestran en la Tabla 4.

Los valores de la prueba de efectos ARCH sobre los residuales estandarizados se reportan en la Tabla 5, los resultados muestran la ausencia de heterocedasticidad condicional en la serie de los residuales estandarizados para cada uno de los respectivos modelos GARCH.

De las Tablas 4 y 5, concluimos que los modelos GARCH analizados describen de manera adecuada los clusters de volatilidad condicional, característica empírica de los rendimientos del petróleo, además que los parámetros a1 y b1 satisfacen la condición de estacionariedad e indican un alto grado de persistencia de la volatilidad en los rendimientos.

Estimaciones del VaR

Como ya se mencionó previamente, en la estimación del VaR, la elección de la distribución apropiada del proceso de innovación es crucial ya que impacta directamente en la calidad de la estimación de los cuantiles requeridos para estimar el riesgo, además, el supuesto sobre la distribución en el modelo GARCH es también clave en el pronóstico del VaR, ya que en base a éste se construyen las funciones de verosimilitud requeridas para estimar los parámetros y se determina la distribución futura del riesgo condicionada a la volatilidad pronosticada.

En el presente documento se estima el VaR a un día considerando tres distribuciones alternativas en el proceso de innovación: estable, t-Student generalizada asimétrica y normal. En la Tabla 6 se observa que las estimaciones del VaR-estable son mayores que las estimaciones del Var-normal y VaR-GST, además es importante señalar que las estimaciones del VaR-normal al 95% de confianza son mayores que las del VaR-GST, en contraste, para el nivel de confianza del 99% estas estimaciones muestran un comportamiento opuesto.

Evaluación del desempeño del VaR

La evaluación del desempeño de predicción del VaR bajo los modelos GARCH-estable, GARCH-GST y GARCH-normal fuera de la muestra se realiza empleando los datos históricos del último año de la muestra para predecir el VaR actual. La Tabla 7 muestra los resultados del estadístico de Kupiec, cuya hipótesis nula H0: n/T=α, se rechaza con un nivel de significancia α=1% si el valor del estadístico excede o es igual al valor crítico de una distribución Ji-cuadrada con un grado de libertad, es decir LRUC ≥6.635. Los valores en negritas indican el modelo con mejor desempeño para estimar el VaR según el estadístico de Kupiec.

En la Tabla 7 se observan los siguientes resultados: