Principales enfoques sobre la transmisión de efectos financieros

Algunos ejemplos de estudios sobre la propagación de efectos entre mercados financieros incluyen los trabajos de ^{Calvo y Reinhart (1996)}, ^{Rigobón (2002)}, ^{Forbes y Rigobon (2002)}, ^{Ning (2008)}, por mencionar solamente algunos.

Por ejemplo, según ^{Calvo y Reinhart (1996)} la mayoría de los estudios sobre el tema de contagio financiero pueden agruparse como: a) aquellos cuyo interés se concentra en el “comportamiento de rebaño” de los agentes económicos; y b) aquellos interesados en comprender los canales de transmisión del contagio. En éste último grupo se incluyen estudios que destacan el nivel de integración de los mercados de capital, acuerdos comerciales, prácticas institucionales, sesgo por mercados desarrollados, factores tecnológicos e inestabilidad política, como determinantes de la intensidad del contagio.

^{Rigobon (2002)}, asegura que la medición del contagio es una de las tareas más complicadas de las finanzas internacionales; analiza la definición clásica de contagio²: “Contagion is the propagation of shocks among markets in excess of the transmission explained by fundamentals”, y sostiene que es ambigua³, y que no puede ser probada. Argumenta que las propiedades estadísticas de las series financieras -heterocedasticidad, autocorrelación y ausencia de normalidad-impiden utilizar las herramientas tradicionales para capturar el contagio. Pero, aunque tales herramientas-coeficientes de correlación, componentes principales, regresiones lineales y probabilidades condicionales-, podrían ajustarse para resolver dichas limitaciones, la existencia de factores comunes no observables en la dinámica conjunta de los rendimientos complica el análisis. Él clasifica los esfuerzos por definir y capturar el contagio en dos grupos: a) “shift contagion”; y, b) “pure contagion”. El primero refleja cambios en la intensidad de la transmisión de shocks, y abarca los cambios en los mecanismos de propagación durante una crisis financiera. En contraste, el “pure contagion” se refiere al mecanismo a través del cual se propagan los efectos. La clave está en identificar la proporción del shock que se transmite por los canales fundamentales; así, la parte no identificada constituirá el contagio propiamente dicho. La transmisión, más que una contingencia de corto plazo que responde a periodos de crisis focalizadas, es un proceso más o menos estable. Por lo tanto, el contagio se presenta sólo cuando la magnitud de la transmisión es inusualmente grande. Sobre la base de lo anterior se puede argumentar que las estrategias de política económica de corto plazo sólo sirven para retrasar el ajuste o recepción del shock externo.

A lo largo de los años 1990s, varios países emergentes experimentaron episodios de crisis y “contagio” no atribuibles a cambios en los fundamentales macroeconómicos hacia otras economías (^{Ffrench-Davis, 2001}). ^{Calvo y Reinhart (1996)} encuentran que el contagio en mercados emergentes responde en mayor medida a factores regionales. ^{Chan-Lau, Mathieson y Yao (2004)} también documentan el efecto contagio y concluyen que éste es mayor cuando los mercados van a la baja (bear), que cuando hay rendimientos positivos (bull). Asimismo, presentan evidencia de que el contagio difiere en intensidad entre regiones; por ejemplo, los mercados de América Latina son más propensos a contagiarse, que lo que sucede con las economías de Asia.

En un trabajo de gran envergadura, ^{Bekaert et al., (2014)} estudian los efectos de la crisis subprime, y la manera como se transmitió rápidamente desde Estados Unidos hacia prácticamente todas las economías del mundo. Al analizar por medio de un modelo de factores el efecto de la crisis sobre el rendimiento de 415 portafolios integrados con activos financieros de distintos países, identifican correlaciones residuales y aumentos inexplicados en las cargas factoriales, las cuales confirman el contagio. Adicionalmente, el análisis revela que la crisis no se transmitió uniformemente, sino que tuvo mayor impacto en mercados con desequilibrios macroeconómicos y baja calificación crediticia.

No obstante, la abundante evidencia en validación de la existencia de contagios, algunos estudios señalan desventajas y limitaciones en su concepción o, incluso, como sugieren ^{Lorenzo y Massa (2013)}, afirman que el contagio se confunde con las relaciones de dependencia. O bien, ^{Rigobon (2002)} donde al abordar las implicaciones teóricas y empíricas sobre el contagio, destaca algunos inconvenientes sobre su medición como, por ejemplo: a) las pruebas ignoran los efectos de la heterocedasticidad, por lo que son sesgadas y tienden a exagerar las interacciones normales entre los mercados; b) existen transmisiones posteriores a los shocks inesperados que son perfectamente normales y que, en ocasiones, se confunden con contagio; c) no obstante que el comercio explica casi la mitad de la transmisión de los shocks, una porción importante se debe a que los instrumentos financieros objeto del análisis cotizan simultáneamente en los mismos mercados de capital. Por su parte ^{Uribe (2011)} al señalar que el coeficiente de correlación de Pearson, modelos de vectores autorregresivos -VARy funciones de estímulorespuesta, suponen un comportamiento normal multivariado, supuesto poco realista en series financieras, asegura que carecen de utilidad inferencial.

Contagio vs Dependencia

En un análisis sobre la transmisión de efectos entre mercados financieros, ^{Rigobon (2002)} revisa algunas de las crisis financieras de los últimos decenios⁴, y comprueba que tuvieron eco en el comportamiento de los mercados financieros globales, lo cual puede interpretarse como una clara manifestación de contagio. No obstante, asegura, dicha interpretación puede ser errónea pues el contagio es más que la sola presencia de un elevado nivel de correlación entre mercados, aun cuando se vea incrementado después de un periodo de crisis en alguno de ellos. Al final de su estudio, ^{Rigobon (2002)} propone el término de “interdependencia” para definir tales relaciones.

^{Hu (2003)} señala que la mayoría de los estudios sobre dependencia se ha orientado a capturar el “nivel” de dependencia, pero no se han preocupado por aislar la “estructura” de la misma. En su estudio, documenta que aun cuando los niveles de correlación son idénticos entre determinados mercados, es posible identificar diferentes estructuras de dependencia. ^{Lorenzo y Massa (2013)} analizan la dependencia entre mercados de capitales de economías emergentes latinoamericanas y coinciden con estudios previos en que tales estructuras no son estables. En particular, concluyen que dichas relaciones se han incrementado en el tiempo, especialmente después de la crisis subprime. Los autores sostienen que los rendimientos de activos financieros de las economías de América Latina presentan colas pesadas, es decir, tienen mayores probabilidades de presentar grandes pérdidas, y que los vínculos de dependencia se fortalecen en periodos de crisis, reduciendo los beneficios de la diversificación. ^{Ning (2008)} reconoce que durante periodos de crisis los vínculos entre los mercados se pueden volver más estrechos, y analiza las relaciones de dependencia en mercados accionarios internacionales. El análisis revela la presencia de dependencia asimétrica y relaciones directas con el estado de la economía. Asimismo, se reportan mayores niveles de dependencia en Europa y el Sudeste asiático, que en América.

Dos estudios recientes en los cuales se documentan diferencias regionales significativas en las relaciones dinámicas de dependencia entre mercados de capitales son los de ^{Boubaker y Sghaier (2014)} y ^{Sosa, Bucio y Cabello (2015)}. En el primero de ellos se aborda el estudio de las relaciones de Estados Unidos, Japón, Reino Unido, Alemania y Francia, en tanto en el segundo se estudia la magnitud de las relaciones de dependencia entre los mercados de capitales pertenecientes al BRIC+M (Brasil, Rusia, India, China y México. Ambos estudios sugieren que los activos de los mercados de capital analizados ofrecen posibilidades de diversificación. Asimismo, en ambos casos se enfatiza que el enfoque más común para cuantificar el fenómeno de dependencia es utilizar el coeficiente de correlación de Pearson.

Dificultades en la medición: coeficiente de correlación y falta de normalidad

Una de las medidas más utilizada para evaluar la transmisión de efectos financieros es el coeficiente de correlación, pero varios autores sugieren que presenta limitaciones importantes. Por ejemplo, los trabajos de ^{Forbes y Rigobon (2002)}, ^{Hu (2003)}, ^{Chan-Lau, Mathieson y Yao (2004)}, ^{Lorenzo y Massa (2013)}, ^{Sosa, Bucio y Cabello (2015)} se han ocupado de profundizar en el análisis. ^{Forbes y Rigobon (2002)} señalan como debilidad importante del coeficiente de correlación su alta dependencia respecto a la volatilidad por lo que, durante los episodios de crisis, cuando ésta tiende a incrementarse, el parámetro tiende a sobreestimar la asociación entre mercados. ^{Hu (3003)} demuestra que el nivel de dependencia capturada en una distribución normal bivariada a partir de coeficientes de correlación, puede generar resultados que ofrezcan una idea errónea sobre las relaciones modeladas. ^{Sosa, Bucio y Cabello (2015)} también critican el uso de la correlación como medida de dependencia, aseguran que los parámetros estimados tienden a sobreestimarlas relaciones entre mercados, y destacan la incapacidad de las correlaciones para capturar relaciones no lineales y eventos extremos; en ello coinciden con ^{Chan-Lau, Mathieson y Yao (2004)} y ^{Lorenzo y Massa (2013)}.

Otro aspecto a considerar es la heteroscedasticidad en el comportamiento de los rendimientos de las series financieras. ^{Rigobon (2002)}, al estudiarla transmisión de efectos financieros, resalta la heterocedasticidad, autocorrelación y comportamiento no-normal de los rendimientos. ^{Hu (2003)} y ^{Chan-Lau, Mathieson y Yao (2004)} coinciden en que la modelación de distribuciones conjuntas para capturar las relaciones entre los rendimientos de activos intercambiados en distintos mercados, al asumir un comportamiento normal, produce resultados incorrectos. ^{Ning (2008)} critica los métodos que emplean correlaciones condicionales para capturar la dependencia, y coincide con ^{Boubaker y Sghaier, (2014)}; ^{Ortiz,Bucio y Cabello, (2016)} y ^{Oh y Patton, (2017)}.

Ventajas de la metodología del análisis de cópulas

Entre las alternativas propuestas para resolver las limitaciones metodológicas de los enfoques gausianos destacan dos conceptos estrechamente relacionados: las teorías de valores extremos⁵ y el análisis de cópulas; en este estudio se aborda únicamente el segundo de ellos. En particular, el análisis de cópulas representa una alternativa robusta para analizar las relaciones de dependencia. Para ello, se apoya en medidas de correlación no paramétricas como la r de Spearman, y la t de Kendall (^{Hu, 2003}; ^{Chan-Lau, Mathieson y Yao, 2004}).

^{Hu (2003)} afirma ser el pionero evidenciar las relaciones de dependencia entre mercados internacionales mediante un enfoque de cópulas mixtas, el cual favorece los patrones de la estructura de dependencia, pero no la intensidad de ésta. Su análisis revela que existen mayores posibilidades de “caídas” conjuntas versus comportamientos a la alza.

Alternativamente, ^{Chan-Lau, Mathieson y Yao (2004)} miden la dependencia con valores extremos y el uso de cópulas. Estos autores, concluyen que el efecto de contagio es mayor cuando los mercados van a la baja y presentan rendimientos negativos, que cuando hay rendimientos positivos; además, dicho efecto difiere de una región a otra.

^{Ning (2008)} también propone la utilización de cópulas como una herramienta que permite capturar de una manera más robusta las relaciones de dependencia entre mercados financieros ante la presencia de valores extremos, y cuyo análisis revela la presencia de dependencia asimétrica en las colas. ^{Alouiet al. (2013)}, Analizan las interdependencias extremas, y utilizan para ello cópulas que permiten analizar los patrones dinámicos de las colas pesadas y las interdependencias lineales y no lineales, y reportan dependencia variante en el tiempo entre los mercados BRIC y el mercado de Estados Unidos; vale la pena destacar que dichas relaciones son más intensas en aquellos mercados sensibles al precio de commodities, mientras que son menos intensas en economías exportadoras de productos manufacturados. ^{Boubaker y Sghaier (2014)}, documentan diferencias regionales significativas en las relaciones dinámicas de dependencia entre los mercados de capitales de Estados Unidos, Japón, Reino Unido, Alemania y Francia, y para ello, utilizan la metodología de cópulas, generando las distribuciones marginales mediante la teoría de valores extremos, ajustando la dependencia en media y varianza condicionales. Un estudio reciente, de ^{Oh y Patton (2017)}, emplea nuevos modelos de cópula condicional variable en el tiempo para vincular las distribuciones marginales condicionales.

Estudios en mercados emergentes

^{Ortiz, Bucio y Cabello (2016)} aseguran que la mayoría de los estudios sobre relaciones de dependencia entre mercados financieros publicados reportan evidencia empírica generada en economías desarrolladas, mientras que son pocos los estudios relaizados en el contexto de mercados emergentes y menos aún, en mercados de América Latina.

Entre los trabajos publicados sobre las relaciones de dependencia en América Latina se incluye el de ^{Christofi y Pericli (1999)}, quienes investigan la dinámica de corto plazo y analizan las distribuciones conjuntas con un modelo VAR con innovaciones que siguen un proceso GARCH exponencial. Los resultados de revelan dependencia entre los países estudiados así como mayores problemas de derrames de volatilidad (spillover) que en otras regiones del mundo. Otro trabajo que aborda la dependencia entre mercados de América Latina es el de ^{Edwards y Susmel (2001)}, quienes responden la pregunta de si durante los períodos de alta volatilidad los mercados se correlacionan de manera diferenciada y centran su atención en los regímenes de codependencia de la volatilidad. El análisis revela volatilidad de estado-cambiante. En la misma línea, ^{Arouri, et al. (2010)} estudian las rupturas estructurales en la trayectoria de las correlaciones condicionales de los mercados de capital en la región, y encuentran que la intensidad de co-movimientos entre mercados ha cambiado a lo largo del tiempo, no obstante lo cual persisten las oportunidades de diversificación internacional de portafolios. Un último ejemplo de éste enfoque es el trabajo de ^{Lorenzo y Massa (2013)}, quienes analizan el caso de los mercados de México y Brasil y proponen la cópula como una alternativa que considera la dependencia asintótica y que resuelve la falta de linealidad de la correlación simple. Además de hacer un llamado a no confundir la dependencia con el contagio, aseguran que los rendimientos de activos financieros de las economías de América Latina presentan colas pesadas.

Como exponente de una línea de investigación en la cual se abordan las relaciones de dependencia entre mercados de América Latina y mercados de otras regiones, el trabajo de ^{Uribe (2011)} estudia la incidencia del comportamiento del mercado de Estados Unidos sobre la economía colombiana. Mediante la utilización de cópulas y valores extremos su análisis revela que, en términos generales, la evidencia sobre contagio es incipiente, por lo que la inclusión de activos financieros del mercado colombiano puede contribuir a la diversificación de portafolios norteamericanos. Lo anterior puede explicarse, según el autor, como el resultado de la política económica de Colombia, que regula escrupulosamente el tránsito de capitales hacia el mercado doméstico. En el contexto del estudio del riesgo de crédito, ^{Uribe y Ulloa (2012)} también documentan la importancia de considerar la información contenida en las colas pesadas de las distribuciones a fin de mejorar los resultados ofrecidos por el VaR (Valor en Riesgo) tradicional, mediante la aplicación de la metodología GARCH y la estimación de parámetros mediante máxima verosimilitud. Dicho estudio compara los principales mercados de América Latina (Argentina, Brasil, México, Chile y Colombia) con algunos de economías desarrolladas y de otros mercados bursátiles emergentes. En el caso de ^{Valenzuela y Rodríguez (2015)}, se analiza la existencia de interdependencias entre los seis principales mercados bursátiles de América Latina y los Estados Unidos, y se utiliza el estimador de ^{Garman y Klass (1980)} para analizar la volatilidad de los rendimientos bursátiles. Los resultados reportados por estos autores sugieren que existe una fuerte relación entre volatilidad y las correlaciones positivas entre los rendimientos de los mercados. ^{Sosa, Bucio y Cabello (2015)} estudian la magnitud de las relaciones de dependencia entre los mercados de capitales pertenecientes al BRIC+M (Brasil, Rusia, India, China y México), mediante cópulas y presentan evidencia sobre la existencia de niveles moderados de dependencia; es decir, sugieren que los activos de los mercados analizados ofrecen beneficios a la diversificación de portafolios. También, ^{Ortiz, Bucio y Cabello (2016)} analizan los rendimientos observados en economías del continente Americano: Canadá, Estados Unidos, México, Venezuela, Colombia, Perú, Brasil, Chile y Argentina, y estiman pérdidas potenciales, mediante la metodología de Value at Risk (VaR), a través de un enfoque de cópulas. El análisis permite concluir, entre otros aspectos, que las relaciones de dependencia son más fuertes en los países que integran el TLCAN, mientras que en el resto de las economías tal relación de dependencia es limitada por lo que la región, aseguran, ofrece interesantes posibilidades de diversificación. Finalmente, el trabajo de ^{Bucio, De Jesús y Cabello (2016)} reporta que un VaR soportado por análisis de cópulas captura de una manera más precisa los valores extremos típicamente observados en la dinámica de los activos financieros. Los autores resaltan la importancia de abordar el análisis de los rendimientos de los activos financieros respetando la naturaleza inherente a dicha información, es decir, considerando su comportamiento asimétrico y leptocúrtico.

Un hallazgo interesante de la revisión bibliográfica anterior es la confirmación la utilización cada vez más frecuente de la metodología de análisis de cópulas para modelar los patrones de dependencia entre variables financieras. Sin la necesidad de suposiciones previas sobre la distribución que siguen las series de rendimientos financieros, la teoría de cópulas permite incluir en la modelación de la dependencia los valores extremos observados y, utiliza las relaciones observadas en las colas pesadas (^{Hu, 2003}; ^{Chan-Lau, Mathieson y Yao, 2004}; ^{Kostadinov, 2005}; ^{Ning, 2008}; ^{Boubaker y Sghaier, 2014}; ^{Uribe y Ulloa, 2012}; ^{Ortiz, Bucio y Cabello, 2016}; ^{Bucio, De Jesús y Cabello, 2016}).

Metodología utilizada y resultados obtenidos

Una copula asocia una función de distribución multivariada a sus distribuciones marginales uniformes, lo cual la convierte en una herramienta adecuada para modelar y simular variables aleatorias correlacionadas. El principal atractivo de las cópulas es que permiten capturar la estructura de dependencia y las distribuciones marginales por separado; por esta razón, se les llama también funciones de dependencia (^{Yan 2007}).

Puesto que las distribuciones marginales de las cópulas son en todos los casos uniformes, su distribución de probabilidad se encuentra en el intervalo (0,1), y dado un vector aleatorio U de p-dimensiones sobre el cubo unitario [0,1]ⁿ x [0,1], la copula puede definirse como sigue:

De acuerdo con el Teorema de ^{Sklar (1959)}, existe una cópula C de p-dimensiones tal que para toda x en el dominio de F:

En el caso particular en el cual F1 ,..., Fp son continuas, entonces C es única; es decir, C está unívocamente determinada por las distribuciones marginales. El Teorema de Sklar permite establecer la relación entre cópulas y funciones de distribución de variables aleatorias. Asimismo, no solo permite considerar a las cópulas como funciones de distribución conjuntas, sino que el argumento inverso también es cierto, por lo que a partir de las inversas de las distribuciones marginales F1-1x1,…Fp-1xp definidas en [0,1], se obtienen las simulaciones de las variables aleatorias estudiadas.

Existe una amplia variedad de cópulas, pero las más utilizadas son las elípticas y las arquimedianas⁶. Sea F la Función de Distribución Acumulada (FDA) de una distribución elíptica y sea Fi la FDA de la i-ésima marginal y F1-1 el cuantil (o función inversa), i=1,..., p. La cópula elíptica determinada por F está dada por:

Entre las copulas elípticas, se incluye la cópula Gaussiana, la cual presenta una distribución normal, como sigue:

Donde F es la distribución normal conjunta y ф^-1 es el cuantil de la distribución normal univariada. Asimismo, entre las cópulas elípticas está la t-Student, que presenta una distribución:

Donde t _v,R es la distribución conjunta t-Student y tv-1 es el cuantil de la distribución t-Student univariada con grados de libertad. A su vez, las cópulas arquimedianas, toman la forma:

Donde φ(t) es la función generadora y φ^-1(t) es la inversa. A diferencia de las cópulas elípticas, las arquimedianas presentan amplios rangos de propiedades de dependencia a partir de la función generadora. Las más utilizadas son las conocidas como Clayton, Gumbel y Frank debido a que permiten modelar diferentes patrones de dependencia mediante formas funcionales simples. Dicho patrón de dependencia se denota por el parámetro , el cual representa el nivel o fuerza de dependencia.

En el caso particular de la presente investigación, se hace uso de cópulas bivariadas, por lo que se ajustan cópulas a los rendimientos de pares de mercados. En ese sentido, las tres principales cópulas arquimedianas más utilizadas presentan la forma:

Para los fines del presente estudio se estiman tres cópulas bivariadasque vinculan al IPC de México con cada una de las otras tres bolsas latinoamericanas (IBOVESPA, MERVAL e IPSA).

La Figura 1 muestra el comportamiento de los índices bursátiles de referencia, destacando que los datos fueron homogeneizados considerando sus días coincidentes de cotización. En lo que respecta al IPC y al IBOVESPA, se observa un comportamiento similar, por lo que a priori, se puede suponer alguna forma de correlación entre dichos índices. Sin embargo, esto no es fácilmente perceptible en el caso de los índices MERVAL e IPSA.

Fuente_Elaboración propia con base en Ryan J, Ulrich, J and Thielen, W. (2016): Quantitative Financial Modellling. R package versión 0.4-10.

Figura 1 Comportamiento de los índices bursátiles latinoamericanos 21/01/2005 a 20/01/2016 

La Figura 2 muestra los rendimientos de los índices de referencia durante el periodo analizado, y permite observar que los periodos de mayor volatilidad se presentaron durante el último trimestre del año 2008, como consecuencia de la crisis financiera originada en el sector inmobiliario de Estados Unidos. Es de llamar la atención que en el caso del IPSA, la turbulencia se observa durante un periodo más corto. Asimismo, en la Figura 2 se observa que el índice chileno es el que presenta menor volatilidad a lo largo de todo el periodo. Para México y Brasil, los rendimientos presentan mayor inestabilidad a finales de 2006 y durante 2008 y 2012 mientras que el MERVAL, además de los años mencionados, presenta un episodio de alta volatilidad en 2015, el cual no termina por mitigarse completamente aún en enero de 2016, y que se explica en alguna medida por los problemas políticos suscitados en ese país con el cambio de gobierno Kirschner-Macri.

Fuente_Elaboración propia con base en Ryan J, Ulrich, J and Thielen, W. (2016): Quantitative Financial Modellling. R package versión 0.4-10.

Figura 2 Rendimiento de los índices bursátiles 21/01/2005 a 20/01/2016 

La Figura 3 es una gráfica de cuantiles de las series de rendimientos y corrobora que ninguno de los índices se ajusta a una distribución normal. Este hecho resultaba evidente desde las figuras anteriores ya que, al presentarse clústers de volatilidad, existen problemas de heterocedasticidad en las series graficadas.

Fuente: Elaboración propia con base e R Core Tea (2013): The Stats R package versión 3.3.0.

Figura 3 Gráfico Q-Q con distribución normal 

Para modelar la estructura de dependencia, en primera instancia, se utiliza una gráfica Chi-plot, mediante la cual se representa la dependencia local⁷ entre las variables. Propuesta por (^{Fisher & Switzer, 1985}),esta representación indica que si yi es una función estrictamente creciente de x_i, entonces χ = 1 y, en el caso opuesto, χ = -1. A su vez, si las variables aleatorias son independientes, cuando n→∞, la distribución asintótica de λ_i está uniformemente distribuida en un rango de ±41n-1-0.5.

Similar al caso de la correlación de Pearson, cuando existe independencia entre y_i y x_i, entonces Xi se distribuye aleatoriamente con un valor cercano a cero. La correlación positiva se da cuando λ > 0 y, en el caso opuesto λ < 0. La Figura 4 muestra los Chi-plots asociados a los índices bursátiles, tomando al IPC como variable de contraste. En los tres casos (IPCIBOVESPA, IPC-MERVAL e IPC-IPSA), se observa una dependencia negativa, aunque llama la atención la dispersión de los datos cuando λ > 0 (correlación positiva), y las estructuras de dependencia positivas.

Fuente: Elaboración propia con base a Statistical Inference of Vine Copulas (2015): Schepsmeie. Ulf. R package versión 1.6.1

Figura 4 Chi-plot 

La Tabla 2, reporta la correlación entre el IPC y los demás índices bursátiles de la muestra con el coeficiente de correlación de Spearman y la Tau de Kendal.

Aunque dichas medidas de correlación tienen diferentes valores para la misma muestra, si los test de significancia se basan en sus distribuciones de muestreo, se obtienen los mismos valores p⁸ (^{Siegel y Castellan, 1988}). Si bien ambas pruebas se utilizan para medir el nivel de correlación de datos no paramétricos entre dos variables, la más apropiada para muestras con colas correlacionadas es la Tau de Kendall (^{Gilpin, 1993}), la cual se representa como sigue:

es decir, se trata de una función de la cópula. Para la estimación de los parámetros correspondientes, se aplica una metodología de máxima verosimilitud. Retomando la Ecuación (2) se puede deducir que Cx1,x2=FF1-1x1,F2-1x2 Para estimar tanto los parámetros de las marginales como los parámetros de las cópulas (representados por θ), se maximiza su función log-verosimilitud:

El estimador de máxima verosimilitud está dado por:

con θ, el espacio de los parámetros. Selección de distribuciones marginales

Selección de distribuciones marginales

Para seleccionar las distribuciones marginales, se hace uso de una gráfica de asimetríacurtosis propuesta por (^{Cullen & Frey, 1999}), basada en un re-muestreo o bootstrap para aproximar la distribución empírica de una muestra (en este caso, de cada uno de los índices bursátiles). Tanto los valores de asimetría como de curtosis correspondientes al re-muestreo están representados por un círculo en la Figura 5, como sigue:

Figura 5 Gráfico de Cullen & Frey para cada uno de los índices bursátiles 

La Figura 5 sugiere que, en todos los casos, las distribuciones marginales se aproximan más a una distribución logística. En este punto, vale la pena resaltar que la distribución logística es similar a la distribución normal, sólo que presenta colas más pesadas y curtosis más pronunciada, por lo que tiene la ventaja de ser más robusta, comparativamente. La función de densidad de una distribución logística está dada por:

Donde α es el parámetro de localización,(-∞ ≤ α ≤ ∞) y β es el parámetro de escala (0 < β). Una vez obtenidas las distribuciones marginales, se hace uso de las pseudo observaciones de los indicadores bursátiles, es decir, las observaciones de las muestras transformadas sobre el intervalo [0,1] con base en las marginales empíricas para discriminar entre las distintas familias de cópulas posibles, por medio de los criterios de Akaike (AIC) y el Bayesiano de Schwarz (BIC). Los resultados del proceso de selección se presentan en la siguiente Tabla.

De acuerdo con la Tabla 3, la familia que se ajusta mejor a la relación de dependencia entre el IPC-IBOVESPA y el IPC-MERVAL es la BB7 en tanto que para la relación IPCIPSA se obtuvo la misma cópula, pero rotada 180 grados (es decir, se trata de una cópula de supervivencia) cuyas propiedades se presentan en la Tabla 4.

θ y δ se refieren a los parámetros asociados a la cópula BB7, caracterizada por tener diferentes valores de dependencia en las colas superior e inferior. Quepa recordar que la familia Clayton no permite dependencia en la cola superior en tanto que la cópula Joe tiene la restricción de impedir dependencia en la cola inferior⁹. Por esa razón, el uso de la cópula BB7 permite modelar ambas estructuras de dependencia.

A partir de la utilización de la copula BB7 y de la cópula de supervivencia BB7, la Tabla 5 muestra los parámetros asociados a los índices bursátiles, el valor teórico la tau de Kendal para cópulas bivariadas, y los coeficientes de dependencia de las colas, dados los parámetros estimados.

La Tabla 5 presenta la correlación estimada con la cópula BB7 y las distribuciones marginales logísticas. Es importante destacar que se obtienen resultados similares a los presentados en la Tabla 2, lo cual sugiere que el ajuste de la cópula es adecuado para modelar la estructura de dependencia; asimismo, se presenta el nivel de dependencia de las colas para cada cópula. Por ejemplo, la relación IPC-BVSPA, la cópula en donde se observa mayor dependencia, depende en 47% de la cola superior y 53% de la cola inferior. En la relación IPC-MERVAL se tiene una dependencia de la cola superior de 37%, en tanto que en la cola superior de 31%. Finalmente, la relación IPC-IPSA tiene una estructura de dependencia en la cola superior de 43% y la cola inferior de 29%. Para los casos de Brasil y Argentina, la interacción tiene mayor efecto en la cola inferior, en tanto que la relación del IPC con el IPSA se concentra mayormente en los rendimientos positivos.