Generalización de la ecuación de Black-Scholes a opciones arcoíris

Un tipo más general de opciones no depende solo de uno, sino de un conjunto de activos subyacentes n . Tales opciones son llamadas opciones de activos múltiples, o bien, a partir de Stulz, opciones arcoíris.

Para la valuación de opciones arcoíris se pueden utilizar los mismos principios que en el caso de las opciones con un solo activo subyacente. Todos los supuestos del modelo Black-Scholes se aplican en este tipo de opciones, excepto que ahora se supone que los precios de los n activos subyacentes S _t1 , ..., S _tn siguen un movimiento browniano geométrico n -dimensional, es decir, las tasas de rendimiento satisfacen las ecuaciones diferenciales estocásticas:

con tendencias constantes μ ₁ , ..., μ _n y volatilidades σ ₁ , ..., σ _n , respectivamente. Los procesos dX ₁ , ..., dX _n son de Wiener y están correlacionados con coeficientes de correlación constantes ρ _ij para cada par dX _i y dX _j . La matriz de varianzas-covarianzas correspondiente está dada por:

Se requiere que sea definida positiva, es decir:

Si se denota S_n=(S_t1,...,S_tn) y se considera el precio Vⁿ(S_n,t) en el tiempo t de una opción europea tipo arcoíris con fecha de vencimiento T , una derivación análoga al caso de una opción sobre un activo subyacente, basado en el principio de no arbitraje, con la versión n -dimensional de la fórmula de Itô, muestra que V _ⁿ es solución de la ecuación diferencial parcial (^{Karatzas y Shreve, 1991}):

La cual se conoce como la ecuación parcial diferencial n -dimensional de Black-Scholes, sujeta a la condición terminal:

donde V0n (Sn) es la función de pago de la opción.

Las opciones arcoíris más importantes pueden clasificarse en:

Opciones Exchange. El comprador al vencimiento recibirá, si su expectativa fue correcta, la diferencia de lo rendimientos o precios de 2 activos. Este tipo de opción fue introducido por ^{Margrabe (1978)}.

Opciones sobre el mejor o peor de 2 activos. Son opciones que a su vencimiento entregan el activo que mayor o menor rendimiento o valor haya alcanzado a la fecha de expiración comparado con el precio de ejercicio. Este tipo de opciones fueron introducidas por ^{Stulz (1982)} considerando solo 2 activos subyacentes, y posteriormente ^{Johnson (1987)} extiende los resultados a n activos.

Para ejemplificar las diferentes modalidades de opciones arcoíris y obtener su respectivo precio se utilizarán los parámetros que se muestran en la tabla 1.

En la tabla 2 se resumen las funciones de pago de las principales opciones arcoíris.

Activos con saltos

El objetivo de esta subsección es obtener la ecuación parcial integro-diferencial (EPID) que satisface el precio de una opción arcoíris. Por medio del generador infinitesimal del proceso de Lévy en 2 dimensiones se obtiene la ecuación de determinación de primas. Al mismo tiempo se muestra que el valor de la opción es la solución de la EPID a través de métodos martingala.

Cuando el comprador intercambia activos, por ejemplo acciones, con el vendedor, puede provocar saltos en el precio de las acciones, sobre todo si el vendedor se quiere deshacer de un volumen grande de poco en poco. Black-Scholes supone que todos los movimientos de precios son pequeños, por lo menos en el día a día. Pero los precios a veces saltan. Por ejemplo, los anuncios de adquisición presentan un salto hacia arriba o hacia abajo, como sucedió durante la crisis subprime a partir de 2007. Un salto incrementa la volatilidad en un tiempo corto de tiempo. La posibilidad de un salto tiene más efecto en opciones a corto plazo que en opciones a largo plazo, y más cuando el precio de las acciones está lejos del precio de ejercicio que cuando se encuentra cerca.

Las desviaciones del paradigma Black-Scholes se observan ubicuamente en subyacentes de renta variable, renta fija, divisas, mercados de crédito y de materias primas, y dan lugar a estructuras de volatilidad dependientes. Varios modelos han sido propuestos para explicar este fenómeno. Si bien muchos de estos modelos incorporan la característica estática y/o estocástica de la dinámica de volatilidad, muy pocos de ellos toman en cuenta los saltos en el subyacente o, más generalmente, muy pocos utilizan los procesos de Lévy en lugar de los procesos estocásticos de Wiener como conductores del precios de los activos.

Los modelos de difusión con saltos, sin duda, captan una realidad que no aparece en el modelo Black-Scholes, y los saltos son cada vez más utilizados en la teoría. Sin embargo, todavía hay varios problemas con los modelos de saltos: la dificultad en la estimación de parámetros, su solución, y la imposibilidad de cobertura perfecta.

Modelo de Merton sobre subyacentes con difusión y saltos para valuar una opción arcoíris

^{Robert C. Merton (1976)} fue el primero en establecer, bajo ciertos supuestos, el precio de una opción europea en subyacentes conducidos por difusiones con saltos, es decir, combinando una distribución lognormal con saltos Poisson. ^{Kou y Wang (2004)} complementan este trabajo y estudian el caso de saltos distribuidos de acuerdo con el logaritmo de la doble exponencial. El modelo de Merton ha sido extendido por varios autores que han calculado precios de las opciones europeas con subyacentes dirigido por el proceso de Lévy.

Si se sigue el postulado de no-arbitraje en la derivación del modelo de Black-Scholes-Merton, y se considera una opción arcoíris con procesos de difusión con saltos, se tiene (^{Andersen y Andreasen, 2000}):

donde μ_i(t)>0 es la tendencia, σ_i(t) es la volatilidad y (W_t1,W_t2) es un movimiento browniano bidimensional correlacionado con ρ _ij :

donde ℚ es una medida neutral al riesgo y el proceso de Poisson dq _i está definido por:

El parámetro λ _i es la media del tiempo entre llegadas del proceso de Poisson. El tamaño del salto J _i sigue una distribución normal con media m _i y desviación estándar Γ _i . Aquí se supone que los tamaños de los saltos no están correlacionados.

A continuación se toma el caso particular de n = 2. Se supone que los activos se pueden comprar y vender sin restricción. Se desea determinar el valor de V²(t) en el tiempo t de una opción europea que garantiza un pago en el tiempo T . Se usa la notación V²(t), que indica lo que sucede con V²(S_t1,S_t2,t) a lo largo de la superficie (S₁(t),S₂(t),t) a medida que avanza el tiempo. Para hacer esto se construye un portafolio Π compuesto por una unidad de V y una cierta cantidad (−Δ₁−Δ₂) de los activos subyacentes. En lo que sigue, por simplicidad V(t) se denotará mediante V²(t). Así:

En cada punto en el tiempo se va a ajustar el valor de Δ _i , y el objetivo será reducir la incertidumbre (riesgo) en el portafolio Π . Considerando la ecuación diferencial estocástica satisfecha para Π(t):

Como t cambia, también lo hace (S₁(t), S₂(t), t), por lo que hay 3 fuentes de cambio en V , uno desde los cambios en t que contribuirán al término ∂V∂tdt y otros 2 cambios en (S₁(t), S₂(t), t). Este término, por el lema de Itô, será:

Así:

Si se elige:

Se tiene que:

El argumento de no arbitraje establece que:

Por lo tanto,

Donde:

Así, se tiene la siguiente ecuación:

Donde;

Esta es la ecuación parcial integro-diferencial (EPID). Se nota que la clásica ecuación diferencial parcial de Black-Scholes para la fijación de precios de una opción arcoíris es un caso especial cuando λ ₁ = 0 y λ ₂ = 0.

Ecuación parcial integro-diferencial para establecer el precio de una opción arcoíris

Aunque la valuación de opciones con modelos exponenciales de Lévy se discute ampliamente en ^{Andersen y Andreasen (2000)} y ^{Geman (2002)}, estos autores están principalmente centrados en la metodología de valuación de opciones vainilla con un solo activo subyacente. En realidad, este enfoque no puede satisfacer las necesidades de un mercado financiero altamente desarrollado y diversificado. En virtud del argumento de no arbitraje, para determinar el valor de opciones arcoíris en modelos exponenciales de Lévy se requiere el uso de ecuaciones parciales integro-diferenciales (EPID) en 2 dimensiones que se propusieron por primera vez por ^{Fujiwar y Kunita (1989)}. Por su parte, ^{Amin (1993)} propuso un método numérico explícito basado en árboles multinomiales, y ^{Zhang (1997)} presentó un esquema de diferencias finitas para PIDE en el modelo de difusión con saltos de Merton. Sin embargo, estos métodos solo tienen precisión de primer orden.

En los mercados de Lévy, los rendimientos logarítmicos de los activos de riesgo se modelan como un proceso de Lévy bajo un espacio de probabilidad Ω,ℱ,ℚ equipado con una filtración ℱ _t .Puesto que no existe una medida martingala equivalente a ℚ por la hipótesis de no arbitraje, se puede suponer sin pérdida de generalidad que ℚ es ya una medida martingala. Si {S_t1(t),S_t2(t)}_{t [ ∈0,T ]} es el precio spot de los subyacentes involucrados en una opción arcoíris, cuyo vencimiento es el tiempo T , entonces la dinámica subyacente de los 2 activos riesgosos S_i(t),i=1,2 satisface:

donde r es la tasa de interés libre de riesgo, X(t)=(X₁(t), X₂(t))′ es un proceso de Lévy en ℝ² con características (Σ, Γ, ν) y S_i(0)=s_i, X_i(0)=0, i=1,2. A partir del teorema de representación de Lévy-Khinchine para X(t) ∈ ℝ² se cumple que:

Donde:

Aquí,

es una matriz simétrica positiva semidefinida en M _2×2 , y

Asimismo v es una medida en ℝ² que satisface:

En la literatura de valuación de opciones, Σ y Γ representan la matriz de covarianza y el exceso de rendimiento de los activos de S _t1 y S _t2 , respectivamente, y v(dx) es una medida de Lévy que muestra la actividad de saltos de los activos. El proceso de Lévy X _t es también un proceso de Markov; entonces, a partir de la representación de Lévy-Khinchine se obtiene el generador infinitesimal:

Por la hipótesis de ausencia de arbitraje, se supone que los precios reducidos de Ŝ(t)= (Ŝ_t1(t), Ŝ_t2(t))′=e^−rt. (S_t1(t), S_t2(t))′ son martingalas cuadradas integrables bajo ℚ. Esto es equivalente a la siguiente propiedad con Σ,Γ,v:

Si se supone que las condiciones anteriores son válidas para Σ,Γ,v, entonces el generador infinitesimal L ^X puede ser reescrito como:

Donde:

y v₁(dy), v₂(dy) son las medidas de Lévy para describir la actividad de saltos de tamaño y de S _t1 y S _t2 , respectivamente. Puesto que se supone que los componentes de salto de S _t1 y S _t2 son independientes, se tiene que v(dy₁×dy₂)=v₁(dy₁)×v₂(dy)₂. De lo anterior, la dinámica del riesgo neutral de los activos

satisface

donde J~xidt⋅dx, i=1, 2 es la medida compensada por la captación de saltos de X_i(t) y porque los procesos de Lévy son estacionarios, y tiene la forma v_i(dx_i)×dt. Una vez que el generador infinitesimal para X _t se obtiene, entonces el generador de S _t en su espacio de estado (0,+∞)×(0,+∞) también se puede expresar de la siguiente manera:

Como se sabe, el valor de una opción arcoíris en el tiempo t con precio de ejercicio K y fecha de vencimiento T se define como una expectativa condicional de su pago final H(S_T1(T), (S_T2(T)) bajo la medida martingala ℚ, es decir:

donde H(S_T1, S_T2) es el pago de unas opciones arcoíris, como se describieron en la tabla 2. A partir de la hipótesis del mercado eficiente, el valor de la opción solo depende del precio actual de los activos S_t1(t) y S_t2(t). Por lo tanto, el valor de la opción arcoíris en el tiempo t es:

donde T≙T−t. Para ilustrar la valuación de opciones arcoíris con difusión y saltos, se va a considera la opción canasta o cesta. Una opción canasta (basket option) de venta es similar a una opción vainilla, excepto que el subyacente se sustituye por la suma ponderada de los activos que componen la cesta. La función de pago de este tipo de opciones con pesos positivos w₁,w₂,...,w_n y precio de ejercicio K está dada por:

Con el fin de facilitar la comparación con simples opciones vainilla, es conveniente descomponer el precio de ejercicio K como una función de los pesos w_i, los precios iniciales de los activos subyacentes y un vector de parámetros k _i que pueden ser interpretados como indicadores de monetización de una opción vainilla sobre los activos subyacentes:

Si todos los parámetros k _i son iguales a 1, es decir, si las opciones vainilla individuales están at the money ², el pago de la cesta de la opción de venta puede ser reescrito como:

lo que lleva a la conclusión de que una opción cesta de venta será siempre más barata que un portafolio de opciones vainilla (con pesos w_i) escrito sobre los mismos subyacentes. Y la función de pago para este tipo de opción será:

Para ilustrar la valuación de opciones arcoíris con difusión y saltos se presentan 3 casos: una opción cesta de venta, una opción put sobre el máximo de 2 activos y una opción put sobre el mínimo de 2 activos, para diferentes volatilidades del activo subyacente 2: (0.1, 0.1), (0.1, 0.2), (0.1, 0.3), (0.2, 0.2), (0.2, 0.3), (0.3, 0.3), en 2 diferentes tiempos de vencimiento diferentes 0.1 y 0.9 y con una correlación positiva de 0.3. Es necesario recordar que las opciones son at the money , es decir, que el precio de ejercicio es igual al precio del subyacente, dichos precios están en miles de pesos y que para la opción cesta el peso de los activos w₁ y w₂ satisfacen w₁+w₂=1, como se muestra en la tabla 3.

Los parámetros presentados en la tabla 3 se han introducido mediante el programa MATLAB para la obtención del precio de las opciones a distintas volatilidades, y los resultados se muestran en la tabla 4. A partir de este cuadro se puede concluir que:

lo que implica que, en cualquier momento, el precio de la opción cesta de venta es mayor que un put sobre el máximo de 2 activos pero menor que una opción de venta en el mínimo de 2 activos. También se puede percibir que mientras las volatilidades sean más altas y el tiempo de vencimiento sea mayor, el precio de la opción se irá incrementando.

Por último, las soluciones gráficas para la opción cesta de venta, y las opciones put sobre el máximo y el mínimo de 2 activos bajo el modelo de difusión con saltos, se muestran en las figuras 1-³, respectivamente.