Introducción

Las matemáticas son un conjunto de conceptos, reglas, métodos y técnicas mediante los cuales es posible analizar fenómenos y situaciones en contextos diversos (^{SEP, 2017}). Están presentes en la naturaleza, la cultura, el arte y la vida cotidiana, por ende, su conocimiento es indispensable para el desarrollo personal (^{Cardoso y Cerecedo, 2008}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}; ^{SEP, 2017}; ^{UNESCO, 2016}); asimismo, son necesarias para el crecimiento y el desarrollo económico de cualquier país, pues fungen como punta de lanza para abatir la pobreza y la inequidad (^{Kim y Hodges, 2012}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}). El aprendizaje de las matemáticas, por tanto, constituye uno de los ejes rectores de todo sistema educativo (^{Cardoso y Cerecedo, 2008}; ^{UNESCO, 2016}).

En México, las matemáticas ocupan un lugar central en los programas de estudio en todos los niveles educativos. De acuerdo con el Plan de Estudios (^{SEP, 2011}; ²⁰¹⁷), las escuelas de educación básica dedican a la enseñanza de esta asignatura entre 20 y 26 por ciento del tiempo total de trabajo en el aula, sólo por debajo del asignado a español. A pesar de esta amplia atención curricular, es una de las materias con mayor problemática en el desempeño, de acuerdo con lo identificado por el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE) y la Secretaría de Educación Pública (SEP) a través de evaluaciones referidas a criterio, como los Exámenes para la Calidad y Logro Educativos (EXCALE), Evaluaciones Nacionales de Logro Académico en Centros Escolares (ENLACE) y el actualmente vigente Plan Nacional para la Evaluación de los Aprendizajes (PLANEA), aplicados por primera vez en 2005, 2006 y 2015, respectivamente.

En la última evaluación nacional de PLANEA, en el 2018, a estudiantes de sexto año de educación básica se encontró que 59 por ciento obtuvo el nivel I (logro insuficiente), es decir que sólo pueden resolver operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división con números naturales; 18 por ciento se ubicó en el nivel II (logro indispensable), capaces de resolver operaciones básicas con números naturales y decimales; 15 por ciento en el nivel III (logro satisfactorio), que pueden resolver operaciones básicas con números decimales y multiplicaciones con fracciones por un número natural; y, únicamente 8 por ciento obtuvo el nivel IV (sobresaliente), que son quienes solucionan problemas que requieren operaciones básicas con números decimales y fraccionarios que implican conversiones (^{INEE, 2018}).

No obstante que en México las evaluaciones iniciaron a finales de los años noventa (^{INEE, 2015}) y que forman una parte indispensable del proceso de enseñanza-aprendizaje (^{Capote y Sosa, 2006}; ^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Elizar y Khairunnisak, 2020}; ^{Webb, 1992}), las problemáticas que impiden alcanzar la calidad y el nivel de logro satisfactorio que se esperaría en esta materia siguen presentes (^{INEE, 2013}, ²⁰¹⁴; ^{Martínez-Rizo, 2015}; ^{SEP, 2013}).

La evaluación se refiere a la acción permanente por medio de la cual se busca apreciar, estimar y emitir juicios sobre procesos educativos con el fin de tomar decisiones. Entre las características más importantes que señalan algunos autores sobre la evaluación se encuentran (^{Capote y Sosa, 2006}; ^{Martínez-Rizo, 2015}; ^{Martínez-Rojas, 2008}; ^{Gobierno de Colombia, 2002}; ^{Webb, 1992}): la identificación de los contenidos a evaluar; la periodicidad de la instrumentación de la evaluación durante el proceso de enseñanza-aprendizaje; y, por último, su función formativa. A pesar de que estas características son necesarias, no todas estuvieron presentes en las evaluaciones nacionales mencionadas, y probablemente ésta sea la razón de que su impacto aún no se observe en el sistema educativo del país.

Respecto al primer punto, la identificación de contenidos a evaluar, ^{Martínez-Rizo (2015)}, ^{Dickinson y Adams (2017)}, ^{Romberg (1989)} y ^{Webb (1992)} afirman que una prueba que tenga como objetivo valorar el aprendizaje necesita un referente que oriente su planeación y desarrollo, así como que se remita a los propósitos establecidos en los planes y programas de estudio. Para las evaluaciones oficiales del país, lo anterior genera una gran problemática, ya que los currículos se distinguen por tener demasiados contenidos, sin diferenciar su importancia, además de que se modifican constantemente. Por esta razón, las pruebas no han tenido un referente estable en el tiempo, lo que genera que el criterio de las evaluaciones haya sido diferente en cada aplicación y que no exista la posibilidad de realizar comparaciones en diferentes momentos (^{Martínez-Rizo, 2015}).

A partir de la identificación de esta problemática se realizó una revisión a las pruebas EXCALE y ENLACE, y como resultado se diseñó PLANEA, de manera que, a partir del 2015, los criterios de referencia fueron los aprendizajes clave (^{Martínez-Rizo, 2015}; ^{SEP, 2017}). Los aprendizajes clave son conocimientos relevantes, facilitadores en la adquisición de nuevos aprendizajes y relativamente estables en el tiempo (^{INEE, 2015}). Por ejemplo, para los alumnos de cuarto grado se consideran dos ejes temáticos esenciales para matemáticas: 1) sentido numérico y pensamiento algebraico, con tres unidades de análisis, número y sistemas de numeración, problemas aditivos y problemas multiplicativos; 2) forma, espacio y medida, con una unidad de análisis, figuras y medición de longitud y tiempo (^{SEP, 2017}). Con lo anterior, los criterios de la evaluación fueron delimitados tácitamente.

El segundo elemento importante que se debe de considerar en la evaluación es la periodicidad de la instrumentación. Es necesario que las evaluaciones sean permanentes, aplicadas en diferentes momentos de la formación, debido a que la evaluación y la instrucción coexisten y se refuerzan mutuamente (^{Elizar y Khairunnisak, 2020}; ^{Heredia, 2009}; ^{Webb, 1992}; ^{Flores y Gómez, 2009}). La ejecución oportuna de la evaluación permite al profesor y a la institución conocer el progreso del estudiante, comprobar la eficacia de la enseñanza y establecer pautas correctas y oportunas (^{Capote y Sosa, 2006}; ^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Elizar y Khairunnisak, 2020}; ^{Leyva, 2011}; ^{Tejedor, 1992}). En México se encontró que las evaluaciones fueron instrumentadas de manera continua respecto al tiempo, sin embargo, no se aplicaban en todos los grados de educación básica (^{INEE, 2013}, ²⁰¹⁴, ²⁰¹⁵, ²⁰¹⁸; ^{Martínez-Rizo, 2015}; ^{SEP, 2013}).

En el caso concreto de PLANEA, que es la evaluación oficial vigente, la prueba tiene tres modalidades, con objetivos, tiempos y poblaciones diferentes para la educación primaria (^{INEE, 2015): 1}) la evaluación del logro referida al sistema educativo nacional (ELSEN) se aplica a una muestra de alumnos de sexto grado a nivel nacional cada cuatro años al final del ciclo escolar. Su objetivo es informar a la sociedad y a las autoridades educativas sobre el logro de aprendizaje; 2) la evaluación del logro referida a los centros escolares (ELCE) es censal para niños de sexto grado al finalizar el ciclo escolar. Tiene el propósito de ofrecer información a los centros escolares; y, 3) la evaluación diagnóstica censal (EDC) la aplican los docentes a sus grupos al inicio de cuarto grado. Con esta prueba se pretende obtener información pertinente y oportuna que ayude al profesor a mejorar sus prácticas de enseñanza-aprendizaje. Al enfocar la mirada hacia la población que evalúa PLANEA se observó que nuevamente no son considerados los primeros grados de primaria, al igual que las evaluaciones antecesoras. Esta misma ausencia se percibió en las investigaciones realizadas en el país respecto a la evaluación del aprendizaje de las matemáticas en dicha población (^{Alsina y Coronata, 2015}; ^{García, 2014}; ^{Guevara y Macotela, 2006}).

Dado que todo conocimiento nuevo se genera a partir de conocimientos previos (^{Alfiyansah et al., 2020}; ^{García, 2007}; ^{Guevara y Macotela, 2006}; ^{Guevara et al., 2008a}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}), la limitada asimilación de los elementos fundamentales del aprendizaje en el área matemática puede generar consecuencias negativas para el desarrollo académico de los estudiantes (^{Alfiyansah et al., 2020}; ^{García, 2007}; ^{Guevara et al., 2008a}; ^{Orratia, 2006}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}; ^{SEP, 2017}), tanto en el momento de la enseñanza como un retraso que puede permanecer a lo largo de la formación académica (^{Díaz y García, 2007}; ^{García, 2007}; ^{Huber et al., 2013}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}; ^{SEP, 2017}) e incluso podría agudizarse conforme el estudiante avance en los grados escolares (^{Díaz y García, 2007}; ^{INEE, 2015}; ^{Larrazolo et al., 2013}; ^{Martínez-Rizo, 2015}; ^{OCDE, 2015}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}). Por lo tanto, es indispensable que la evaluación empiece desde los primeros años escolares para conocer el desempeño académico matemático, como lo señalan ^{Guevara et al. (2008a)}.

La tercera característica relevante de la evaluación es su función formativa, debido a que la evaluación orienta el proceso de enseñanza-aprendizaje y aporta a las autoridades educativas información relevante para el monitoreo, la planeación, programación y operación del sistema educativo y sus centros escolares (^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Elizar y Khairunnisak, 2020}; ^{INEE, 2015}; ^{Maldonado et al., 2020}; ^{Popham, 2014}; ^{Tejedor, 1992}). En México se ha observado un limitado impacto de las evaluaciones en los planes y programas de estudio, así como en la aplicación de las políticas educativas y de estrategias que ayuden a prevenir o remediar los retrasos escolares de los niños, como lo realizan algunas otras naciones (^{Guevara y Macotela, 2006}; ^{Morrison et al., 2003}). Lo mismo sucede en los salones de clase: los resultados no permiten construir una visión general del aprendizaje en matemáticas de los estudiantes como consecuencia de su escolarización formal, y tampoco proporcionan información de fortalezas o debilidades del aprendizaje que ayuden a la mejora continua (^{INEE, 2015}; ^{Martínez-Rizo, 2015}; ^{Guevara et al., 2008b}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}).

Para subsanar esta problemática se diseñó la modalidad Evaluación Diagnóstica Censal (EDC) en PLANEA. Tiene el objetivo principal de ofrecer al docente información que le permita mejorar sus prácticas de enseñanza en los centros escolares (^{INEE, 2015}). Lo anterior, sin embargo, no se cumple por completo, pues al utilizar pruebas criteriales como herramienta de evaluación, la información recabada es sobre el nivel de logro que el estudiante alcanzó con respecto al número de aciertos que obtuvo (^{Heredia, 2009}; ^{Leyva, 2011}). Dado que el propósito de la evaluación no es clasificar a los alumnos, sino obtener información precisa sobre el grado de adquisición de una determinada tarea de aprendizaje y señalar con exactitud la parte de la tarea no dominada (^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Díaz y García, 2007}; ^{Heredia, 2009}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}) para que el profesor pueda diseñar herramientas que promuevan el aprendizaje y la mejora en la calidad de la didáctica (^{Elizar y Khairunnisak, 2020}; ^{García, 2014}; ^{Heredia, 2009}; ^{Webb, 1992}), el diseño criterial del instrumento de la EDC no brinda información suficiente para lograr los objetivos formativos de la evaluación.

Para la evaluación de las matemáticas existen diferentes alternativas de instrumentos que van desde exámenes, portafolios de evidencias, bitácoras y observaciones (^{Bed, 2017}; ^{Flores y Gómez, 2009}), hasta listas de cotejo a docentes (^{Alsina y Coronata, 2015}), entre otros. Sin embargo, dado que el aprendizaje de las matemáticas es un proceso (^{Cortés et al., 2004}; ^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Flores y Gómez, 2009}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}) y que la evaluación tiene como objetivo ofrecer al docente y a la comunidad escolar retroalimentación específica para mejorar el aprendizaje del estudiante y las condiciones del curso con respecto a la actuación del profesor (^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Díaz y García, 2007}; ^{Elizar y Khairunnisak, 2020}; ^{Flores y Gómez, 2008}; ^{Heredia, 2009}), se consideró que las rúbricas podrían aportar elementos para favorecer dichas demandas.

Las rúbricas o matrices de verificación son escalas de evaluación en las que se establecen niveles progresivos de dominio o pericia relativos al desempeño que una persona muestra respecto a un proceso o producción determinada (^{Chan y Simone, 2019}; ^{Díaz-Barriga, 2006}; ^{Dickinson y Adams, 2017}). Las rúbricas cubren un doble propósito: evaluar y apoyar los procesos de formación de los alumnos. Ofrecen retroalimentación específica y centrada sobre el desempeño de los estudiantes (^{Chan y Simone, 2019}; ^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{García, 2014}; ^{Jönsson y Svingby, 2007}), y respecto de la efectividad de las estrategias de enseñanza utilizadas (^{Díaz-Barriga, 2006}; ^{Martínez-Rojas, 2008}). Asimismo, permiten identificar las áreas de oportunidad y con ello realizar planeaciones para orientar esfuerzos hacia mejores niveles de ejecución, lo cual implica generar condiciones en los procesos de enseñanza-aprendizaje fundamentados en los logros alcanzados y las metas a conseguir (^{Cano, 2015}; ^{Chan y Simone, 2019}; ^{De la Cruz, 2011}; ^{Capote y Sosa, 2006}; ^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Gatica-Lara y Uribarren-Berrueta, 2013}).

En síntesis, es trascendental que los estudios se dirijan a la evaluación de los aprendizajes clave, no sólo para algunos alumnos, sino en todos, en especial aquéllos que inician su tránsito por la educación básica; esto debido a que el retraso del aprendizaje de destrezas elementales y un bajo nivel de rendimiento tiene efectos acumulativos que, de no intervenir, originarán dificultades para abordar los contenidos siguientes (^{Bed, 2017}; ^{Díaz y García, 2007}), como se observó en los resultados de las evaluaciones (^{INEE, 2013}, ²⁰¹⁴, ²⁰¹⁵, ²⁰¹⁸; ^{Martínez-Rizo, 2015}; ^{SEP, 2013}). También puede impedir o limitar el acceso hacia niveles educativos más avanzados (^{SEP, 2017}; ^{OCDE, 2015}), o incluso incidir en el abandono escolar (^{COPEEMS, 2012}). En cualquiera de los casos, el retraso del aprendizaje de destrezas elementales y un bajo nivel de rendimiento escolar restringe el desarrollo económico del sujeto y, con ello, del país (^{SEP, 2017}; ^{OCDE, 2011}).

Por otro lado, la selección del instrumento de evaluación también es un elemento de interés, pues se requiere que los resultados proporcionen retroalimentación sobre el grado de adquisición de una determinada tarea de aprendizaje y señalen con exactitud la parte de la tarea no dominada (^{Díaz y García, 2007}; ^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Heredia, 2009}) que oriente el proceso de enseñanza-aprendizaje (^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Popham, 2014}; ^{Webb, 1992}). De lo contrario, si la evaluación no cumple su función formativa entonces se pone en una situación de indefensión a alumnos, profesores, familias, al sistema educativo y a la sociedad en general (^{Bed, 2017}; ^{Díaz y García, 2007}), pues no cuentan con conocimiento acerca de sus aciertos, ni de las áreas de oportunidad que permitirían mejorar la actividad educativa (^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Guevara et al., 2008b}). Por lo anterior, el objetivo del presente trabajo de investigación fue conocer el perfil de desempeño matemático de los aprendizajes clave en alumnos de los tres primeros grados de educación primaria a través de un sistema de rúbricas como instrumento de evaluación.

Método

Resultados

A continuación, se presentan los resultados obtenidos respecto del desempeño de los alumnos para los aprendizajes curriculares clave en el área de matemáticas. En la Tabla 3 se puede observar que, en construcción del número, la mayoría de los alumnos (63.26 por ciento) de la muestra total se ubicó en el nivel consolidado, realizó representaciones no convencionales y convencionales de los objetos, e identificó adecuadamente cantidades de acuerdo con su grado escolar: para primero hasta 100, segundo 1,000 y tercero 10,000 (^{SEP, 2017}). Entretanto , 28.25 por ciento de los niños se encontró en proceso, de manera que sólo pudo representar objetos de manera no convencional y leer algunas cantidades. El 7.57 por ciento de esta muestra se situó en el nivel inicial: aún no pudo representar ni leer cantidades adecuadamente. El .92 por ciento de los alumnos se ubicó en el nivel insuficiente: no pudo contestar.

La Tabla 4 muestra los porcentajes de alumnos por nivel de desempeño respecto del Sistema Decimal de Numeración (SDN). Como puede verse, únicamente 27.18 por ciento de la muestra total logró consolidar la habilidad: los alumnos comprenden el valor posicional absoluto y relativo de acuerdo con su grado escolar (para primero hasta decenas, segundo centenas y tercero unidades de millar), y dominan equivalencias directas e indirectas, además de que son capaces de codificar y decodificar la información. El nivel de desempeño en proceso lo alcanzó 43.45 por ciento de la muestra; la mayoría de estos alumnos sólo comprende el valor posicional absoluto, domina equivalencias directas y es capaz de codificar o decodificar la información. Los resultados coinciden con los encontrados por ^{García (2007)}, ^{Guevara et al. (2008b)} y ^{Aunio y Räsänen (2015)} en el sentido de que los alumnos están lejos de comprender el valor posicional, incluso los de alto rendimiento (^{García, 2007}). El 28.44 por ciento se ubicó en un nivel inicial: no comprenden aún el valor posicional, ni dominan equivalencias, codificación y decodificación. Por último, 0.92 por ciento de los alumnos mostró un desempeño insuficiente.

En los Programas de Estudio de la ^{SEP (2011)} de los tres primeros grados de educación básica se incluyen los patrones de sucesiones, que se utilizan de dos formas diferentes: figurativa y numérica. En la Tabla 5 se puede observar que únicamente 16.89 por ciento consolidó la habilidad, es decir, contestó ambas sucesiones adecuadamente de acuerdo con su grado escolar: para primero fue figuras simples y progresión ascendente; para segundo, sucesión por formas y progresión decreciente; para tercero, figuras compuestas y sucesiones aritméticas crecientes y decrecientes. El grueso de los participantes se ubicó en proceso (57.21 por ciento), ya que contestó correctamente una de las sucesiones. El 25.45 por ciento se ubicó en el nivel de desempeño inicial, por contestar ambos tipos de sucesiones con algún error; y 0.45 por ciento no pudo contestar.

En la Tabla 6 se puede observar que sólo 20.14 por ciento de la muestra total logró el nivel consolidado en el uso de cálculo mental exacto con utilización de alguna estrategia, mientras que 7.49 por ciento se ubicó en proceso, dado que realizó un cálculo mental aproximado. El 22.16 por ciento se ubicó en el nivel inicial, por realizar el cálculo, pero de manera errónea. Por último, una alta cantidad de la muestra (50.21 por ciento) no utilizó el cálculo mental.

En el plan de estudios del año 2011, el pensamiento algebraico se enmarca en dos puntos importantes: el cálculo algorítmico y la resolución de problemas. En la Tabla 7 se describen los resultados del desempeño de los alumnos con respecto al cálculo algorítmico de suma, resta, multiplicación y división.

En el algoritmo de la suma se observa que un muy bajo porcentaje (13.74 por ciento) de la muestra total contestó de manera correcta por lo menos seis de las nueve operaciones, que incluyeron sumas simples y el manejo de composición aditiva y valor posicional; el 27.48 por ciento se encontró en proceso, al resolver hasta seis algoritmos adecuadamente. Entretanto, la mayoría de la muestra, 56.98 por ciento, se ubicó en una etapa inicial, ya que únicamente contestó correctamente tres operaciones, en su mayoría aquéllas que no incluían acarreo. El porcentaje restante (1.80 por ciento) se ubicó en el nivel de desempeño insuficiente, dado que no respondieron adecuadamente ninguna de las sumas.

Respecto al algoritmo de la resta se encontraron desempeños más bajos en comparación con los resultados anteriores: sólo 11.94 por ciento de la muestra total contestó adecuadamente los cuatro algoritmos, los cuales incluían restas básicas y restas de composición aditiva y valor posicional; 40.09 por ciento respondió correctamente entre dos y tres, mientras que 41.89 por ciento se ubicó con un desempeño inicial, al contestar correctamente sólo una resta. Por último, 6.08 por ciento obtuvo un desempeño insuficiente porque ninguno de los resultados anotados fue el adecuado.

La multiplicación se enseña a partir de segundo grado. El desempeño de este algoritmo fue muy interesante, pues supera al desempeño de la suma y la resta: 25.90 por ciento de la muestra alcanzó el nivel de desempeño consolidado, es decir, contestaron adecuadamente las cuatro multiplicaciones, de hasta tres dígitos en uno de los factores; por su parte, 40.33 por ciento se ubicó en proceso, al responder apropiadamente entre dos y tres operaciones; 18.03 por ciento logró el nivel inicial, por responder correctamente sólo una multiplicación. El resto de la muestra (15.74 por ciento) se ubicó en el nivel insuficiente, ya que todos sus resultados fueron erróneos.

El algoritmo de la división se enseña hasta tercer grado (^{SEP, 2017}). Los resultados de este grado escolar indican que 30.66 por ciento alcanzó el nivel de consolidación a través de la resolución correcta de dos divisiones de un solo dígito, tanto de uso del repertorio multiplicativo como del algoritmo; 23.36 por ciento tuvo una de las dos divisiones de manera correcta; 21.17 por ciento se encuentra en nivel inicial, por contestar ambas divisiones, pero con errores. El 24.82 por ciento se ubicó en el nivel insuficiente, ya que no respondieron correctamente el algoritmo.

De acuerdo con la ^{SEP (2011)}, la enseñanza de la resolución de problemas recorre toda la educación básica: en el primer grado el programa se enfoca en los problemas aditivos con diferente estructura, y en segundo y tercero se adicionan problemas con multiplicaciones y divisiones para su resolución. En la Tabla 8 se disponen los resultados obtenidos por grado escolar.

En el caso del rubro de problemas aditivos se observa que tan sólo 2.51 por ciento de los alumnos se ubica en el nivel consolidado, ya que fueron capaces de representar de forma convencional algorítmica la solución, además de realizar la comprobación de sus resultados. El 33.54 por ciento resolvió correctamente al representar de manera convencional algorítmica, pero no realizaron la comprobación en sus resultados; 12.95 por ciento representaron de manera no convencional su solución, es decir, utilizaron elementos gráficos o alguna otra herramienta no convencional. Por último, 51 por ciento de los alumnos realizó una operación no adecuada para contestar el problema.

Respecto a los problemas cuya solución requiere multiplicación se observó que 15.98 por ciento de la muestra total mostró un conocimiento consolidado respecto a la multiplicación por arreglos rectangulares y por combinación. En ambos casos utilizaron representación convencional a través del algoritmo de multiplicación y resultado correcto. El 14.35 por ciento se ubicó en proceso, ya que solucionó el problema mediante representación convencional a través de suma iterada. La gran mayoría (58.62 por ciento) se ubicó en nivel inicial, dado que resolvieron el problema a través de representación no convencional. El 11.05 por ciento restante realizó una operación no adecuada para contestar el problema.

Por último, respecto a la utilización de la división para resolver problemas matemáticos, sólo 9.20 por ciento de los alumnos de tercero logró representar la solución de manera convencional con el algoritmo de la división; 14.80 por ciento se ubicó en proceso, al utilizar la representación convencional del algoritmo de la multiplicación para llegar a la respuesta correcta; 17.40 por ciento se ubicó en inicial, ya que su representación fue a través de imágenes o elementos no convencionales. Por último, más de la mitad de la muestra de segundo y tercer año (58.70 por ciento) realizó una operación no adecuada para contestar el problema.

Como se pudo observar en las tablas anteriores, el porcentaje en cada uno de los niveles de desempeño de los aprendizajes curriculares clave varió de acuerdo al grado escolar, sin embargo, no fueron estadísticamente significativas para todos los rubros: mediante la prueba Kruskal-Wallis, no se encontraron diferencias para sistema decimal numérico (χ2=3.92, gl=2, p>.05), algoritmo de suma (χ2=2.47, gl=2, p>.05), algoritmo multiplicación (χ2=.63, gl=2, p>.05), problemas de multiplicación (χ2=.53, gl=2, p>.05), así como para problemas de división (χ2=3.92, gl=2, p>.05). Sí hubo diferencias para construcción del número (χ2=35.56, gl=2, p<.05), sucesiones (χ2=6.11, gl=2, p<.05), cálculo mental (χ2=41.45, gl=2, p<.05), algoritmo de restas (χ2=24.44, gl=2, p<.05), problemas de aditivos (χ2=27.25, gl=2, p<.05).

Para determinar el grado escolar en que se presentaron las diferencias se realizó la prueba U de Mann Whitney por parejas (Tabla 9). Al comparar primer grado con segundo se encontraron diferencias en número y problemas aditivos: el desempeño de los alumnos de primer año fue superior respecto al de segundo en la construcción del número; por otro lado, el segundo grado obtuvo puntajes a favor en la resolución de problemas aditivos. No hubo diferencias para sucesiones, cálculo mental ni para el algoritmo de la resta.

Al contrastar primero con tercero se encontraron diferencias en todos los desempeños excepto en sucesiones: a favor de los alumnos de primer año se ubicó el conocimiento del número y el cálculo mental; en tercero el desempeño fue superior en el algoritmo de la resta y la resolución de los problemas aditivos; por último, entre segundo y tercero hubo diferencias para sucesiones, cálculo mental y algoritmo de la resta. El segundo año tuvo a favor los puntajes medios en los dos primeros aprendizajes mencionados: sucesiones y cálculo mental. En tercero, el desempeño fue superior en algoritmo de la resta.

Recapitulando, a través de las rúbricas se observó que el desempeño de los aprendizajes curriculares clave puede ser constante a través de los grados académicos, pero esto oscurece el incremento gradual de las dificultades que se presentan de acuerdo con el Programa de Estudios de Educación Básica (^{SEP, 2011}; ²⁰¹⁷), como es el caso del SDN, algoritmo de la suma, algoritmo de la multiplicación y resolución de problemas multiplicativos. Asimismo, los resultados permiten observar el perfeccionamiento de algunos aprendizajes curriculares a través del aumento de la consolidación del conocimiento al incrementar el grado educativo, como es el caso del algoritmo de la resta y los problemas aditivos; sin embargo, también se aprecia la disminución en el desempeño de ciertos rubros, en el caso específico de número y cálculo mental, en los cuales los alumnos de primero tuvieron mejores puntajes que los de grados superiores.

Discusión

El presente estudio tuvo como propósito conocer el perfil de desempeño matemático de los aprendizajes clave en alumnos de los tres primeros grados de educación primaria a través de un sistema de rúbricas como instrumento de evaluación. Para este objetivo se analizaron las diferencias por grado escolar y rubro relativas a los aprendizajes curriculares clave.

Respecto al desempeño de dichos aprendizajes, se encontró que, independientemente del grado académico existe una limitada consolidación del conocimiento en los rubros evaluados con respecto a los esperados en los objetivos de los Planes y Programas de Estudios de la ^{SEP (2011}, ²⁰¹⁷⁾; esto coincide con las evaluaciones criteriales realizadas por instancias oficiales del país (^{INEE, 2013}, ²⁰¹⁴, ²⁰¹⁸; ^{SEP, 2013}). Por otro lado, la evaluación realizada a través del sistema de rúbricas permitió visualizar los desempeños en dos sentidos: un perfil por grado académico y por rubro evaluado.

Al analizar las fortalezas por grado académico y por las áreas con un mayor número de alumnos que consolidan el dominio, se encontró lo siguiente: para el primer año, los aprendizajes de mayor a menor fortaleza fueron: construcción de número, sucesiones, cálculo mental, SDN, algoritmo de suma y resta y, por último, resolución de problemas aditivos. Para segundo grado: construcción de número, SDN, multiplicación, cálculo mental, suma, resta, sucesiones, resolución de problemas con división, multiplicación y aditivos. Para tercer grado: construcción de número, SDN, problemas con división y multiplicación, algoritmo de multiplicación, suma y resta, cálculo mental, sucesiones, problemas con división y aditivos. Como se puede observar, la construcción de número es la fortaleza de los tres grados y el área de mayor dificultad la resolución de problemas aditivos.

Respecto al perfil por rubro se encontraron tres patrones, que fueron progresivos, estáticos y recesivos. En relación con los rubros con patrones progresivos, sólo se identificaron el algoritmo de la resta y los problemas aditivos como aquéllos que se perfeccionan gradualmente de manera paralela con el grado académico, tomando en cuenta el incremento de la complejidad que establece el Programa de Estudios de la ^{SEP (2017)} y la expectativa de que todas las áreas evaluadas se comporten de esta manera. Respecto al algoritmo de la resta en el primer grado, se observó mayor dificultad en las operaciones que utilizan procedimiento de transformación o con acarreo, es decir, en el manejo de la composición aditiva y el valor posicional, mientras que en los grados posteriores se observó mayor dominio. Estos resultados coinciden con lo encontrado por ^{García (2007}; ²⁰¹⁴⁾, así como con ^{Aunio y Räsänen (2015)}.

En el caso de la resolución de los problemas con operaciones aditivas los resultados fueron preocupantes, ya que es el aprendizaje que se identificó con mayor dificultad en los tres grados escolares. Es probable que dichos resultados se deban a que su respuesta involucra diversos pasos de un proceso: inicia en la comprensión del problema de un texto lingüístico, pasa por una operación que dé lugar a una solución y termina por examinar la solución obtenida (^{Godino et al., 2003}; ^{Orratia, 2006}; ^{SEP, 2017}). Por lo tanto, la respuesta lleva un proceso que involucra varios pasos, de manera que si en alguno se tienen dificultades los resultados se verán mermados. A pesar de lo anterior, es un aprendizaje que mostró maduración y evolución de manera creciente, como se esperaba.

Por otro lado, los rubros con niveles de desempeño estables, aquellos que no tuvieron diferencias a pesar del incremento de dificultad y de grado académico fueron: el SDN, algoritmo de la suma y multiplicación, así como la resolución de problemas que utilizan multiplicación y división. Respecto al SDN, los resultados probablemente se deban a que su enseñanza ha sufrido cambios desde los años sesenta a la fecha: en algunas décadas se ha enfatizado desde el primer grado y en otras se ha limitado (^{Block y Álvarez, 1999}). En el Programa de Estudios (^{SEP, 2017}) de los tres primeros grados no es considerado de forma explícita; sin embargo, sería relevante enseñarlo, ya que diversos autores (^{Botello et al., 1988}; ^{Meavilla y Oller, 2014}; ^{Orrantia, 2006}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}; ^{SEP, 1984}) lo consideran determinante para que el alumno comprenda desde los números hasta los algoritmos de las operaciones básicas.

Respecto al cálculo de los algoritmos, se observó que el porcentaje de alumnos que consolidó el aprendizaje de la multiplicación fue superior al porcentaje de la suma y el de la resta, quizá debido a la presión que ejercen padres y maestros sobre el aprendizaje de este tema (^{Bed, 2017}; ^{Lotero et al., 2011}). Es menester indicar que también el porcentaje de alumnos que se ubicaron en desempeño insuficiente fue mayor en la multiplicación que en la suma y la resta; este resultado es el que se esperaba, dadas las propias dificultades que se presentaron en los rubros anteriores, en especial la dificultad del SDN (^{García, 2007}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}). Un fenómeno parecido sucedió con la división, donde se observaron altos porcentajes de desempeño en los dos niveles extremos: consolidado e insuficiente. Estos resultados también fueron esperados, pues la enseñanza de la división en tercer grado se basa en la multiplicación a través del reparto y agrupamiento. ^{Vergnaud (2013)}, ^{Aunio y Räsänen (2015)} y ^{SEP (2011)} refieren que el algoritmo de la división requiere del conocimiento de la suma, la resta y la multiplicación, por lo tanto, si no se logran afianzar los conocimientos de base, las dificultades se verán incrementadas.

Los rubros con patrones de desempeño recesivos fueron: conocimiento del número, cálculo mental y sucesiones. En estos tres rubros el nivel de desempeño fue mayor para los alumnos de primer grado en contraposición con los de tercero. En construcción del número, a pesar de ser el área de mayor fortaleza para los tres grados, se observó que los alumnos de primero obtuvieron mejor desempeño que los de segundo y tercero, posiblemente debido al incremento de la dificultad planteada por la ^{SEP (2017)} respecto de la cantidad de dígitos que debe manipular el alumno. Las implicaciones que conlleva esta falta de consolidación en el número radican en el limitado desempeño que tendrá en los otros rubros de aprendizaje, como son los algoritmos y la resolución de problemas (^{Godino et al., 2003}; ^{Guevara et al., 2008a}; ^{Orrantia, 2006}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}).

Por último, en el caso de cálculo mental se observó una disminución en su utilización al incrementar el grado escolar; esto concuerda con el estudio realizado por ^{Gálvez et al. (2011)}, en el que los autores concluyen que los niños pierden de manera progresiva la espontaneidad para el cálculo mental y van dejando como única vía de acción la reproducción de técnicas previamente memorizadas de los algoritmos en papel. Sin embargo, el cálculo mental debería fomentarse, pues de acuerdo con ^{Broitman (1999)} y ^{García (2014)} el cálculo previo a los resultados de un problema ayuda al alumno a tomar decisiones sobre los cálculos exactos que deberá realizar. Por otro lado, las sucesiones son complicadas de aprender para los niños de primer grado debido a que no logran identificar los aspectos que cambian y los que permanecen invariantes; asimismo, tienen dificultad para establecer conexiones entre las diferentes formas y su transformación (^{Castro et al., 2002}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}); es por ello que la consolidación de esta habilidad en grados superiores será aún más laboriosa, dado el incremento de complejidad, y se obtendrán resultados negativos como los observados en el presente trabajo.

En conclusión, a través de los resultados empíricos de la presente investigación se puede afirmar que el sistema de rúbricas es capaz de delimitar el dominio de los aprendizajes clave señalados por diferentes planes, programas y materiales de estudio. En segundo lugar, las rúbricas, como instrumento de evaluación, pueden utilizarse desde los primeros grados de educación básica, etapa considerada como pilar que sustentará el conocimiento matemático posterior (^{Cardoso y Cerecedo, 2008}; ^{Castro et al., 2002}; ^{Chan y Simone, 2019}; ^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{García, 2014}; ^{Godino et al., 2003}). Finalmente, los datos resultantes de las rúbricas permiten cumplir con la función formativa de la evaluación (^{Bed, 2017}), pues no sólo proporcionan información sobre las respuestas correctas o incorrectas, sino que permiten saber con exactitud el nivel de adquisición de los diferentes aprendizajes clave diseñados por la SEP y discriminan los puntos fuertes y las áreas en proceso de consolidación, tanto por grado académico como por rubro evaluado, elementos importantes para mejorar la tarea educativa (^{Dickinson y Adams, 2017}; ^{Guevara et al., 2008b}).

Por lo tanto, el sistema de rúbricas como instrumento de evaluación de los aprendizajes clave es una alternativa cuando los resultados se dirigen al profesor, como es el caso de la evaluación diagnóstica censal (EDC). Al obtener información más detallada del desempeño a través de cada uno de los criterios de evaluación basados en los aprendizajes clave de matemáticas señalados por el sistema educativo, los docentes tendrán la posibilidad de generar estrategias preventivas y remediales adecuadas y oportunas para facilitar los aprendizajes planeados (^{Chan y Simone, 2019}). Por último, dado que las matemáticas son un componente importante de la educación formal (^{Bed, 2017}) y que su conocimiento es indispensable para el desarrollo personal (^{Aunio y Räsänen, 2015}; ^{SEP, 2017}; ^{UNESCO, 2016}) y del país (^{Kim y Hodges, 2012}; ^{Aunio y Räsänen, 2015}), su continuo estudio sobre la adquisición y evaluación constituye una tarea prioritaria para investigadores, instituciones y autoridades educativas.