Conocimiento del profesor

Los trabajos de ^{Shulman (1986}; ¹⁹⁸⁷⁾ se han convertido en clásicos en la literatura relativa a los conocimientos del profesor. ^{Shulman (1986)} afirma que quien enseña una materia a los niños debe demostrar conocimiento de dicha materia como requisito para enseñarla, y además propone una clasificación del conocimiento del profesor con énfasis en los contenidos. Las tres categorías que sugiere y sus características son:

^{Petrou y Goulding (2011)} exponen un modelo que no sólo retoma la clasificación de ^{Shulman (1986)}, sino que incluye aspectos de modelos más recientes (^{Ball et al., 2008}; ^{Fennema y Franke, 1992}; ^{Rowland et al., 2003}) de manera que hace evidente las similitudes e interacciones entre los conceptos, mantiene una clasificación sencilla y enfatiza la relevancia del contexto. Las autoras señalan que los modelos se han centrado en diferentes aspectos del conocimiento del profesor, pero todos coinciden en la importancia del dominio de los contenidos que serán enseñados; indican, además, que estos modelos parecen haber descuidado un poco la importancia del conocimiento del currículo y lo reconocen como primordial para entender qué necesita saber el profesor de matemáticas. El modelo propuesto por ^{Petrou y Goulding (2011)} se muestra en la Figura 1.

Fuente: ^{Petrou y Goulding, 2011: 21} (traducción propia).

Figura 1 Síntesis de modelos de conocimiento matemático para la enseñanza 

En el centro del modelo se aprecia el contexto, que se refiere a la estructura que define los conocimientos fundamentales para la enseñanza de las matemáticas (^{Fennema y Franke, 1992}). De acuerdo con ^{Petrou y Goulding (2011)}, el contexto incluye el sistema educativo, los objetivos de la enseñanza de la matemática, el currículo, los materiales didácticos y el sistema de evaluación; también debe considerarse el contexto local, por ejemplo, los recursos materiales, las instalaciones, la ubicación de la escuela, el personal, etc. Al igual que nosotros, ^{Petrou y Goulding (2011)} coinciden con ^{Fennema (1992)} al indicar que es indispensable conocer el contexto en el que el profesor desarrolla sus actividades para comprender el conocimiento que tiene.

^{Ruthven (2011)} reconoce lo valioso de la comparación realizada por ^{Petrou y Goulding (2011)}, sin embargo, señala que comparar entre las distintas categorías no es menos problemático que distinguir entre las categorías dentro de cada marco de forma independiente. ^{Silverman y Thompson (2008)} sostienen que no existen marcos teóricos para la investigación en la formación de profesores de matemáticas que sean comúnmente aceptados, por ello, las investigaciones sobre profesores de matemáticas en formación o en servicio han emergido de forma relativamente lenta.

Conocimiento del profesor sobre perímetro y área

Los conocimientos de perímetro y área suelen considerarse conocimientos básicos, sin embargo, las investigaciones evidencian que existen dificultades en comprender y diferenciar ambos conceptos. Por ejemplo, ^{Baturo y Nason (1996)} analizan el conocimiento que tienen 13 docentes en formación en esta materia. Los autores concluyen que los sujetos del estudio presentan conocimientos y habilidades limitados sobre área; además, señalan que sus conocimientos sobre la matemática y su naturaleza parecen basarse en que: a) las matemáticas son una colección arbitraria de reglas; b) la mayoría de las ideas matemáticas tienen poca o nula relación con objetos reales; y c) el principal propósito de aprender a calcular áreas parece ser el propósito utilitario de determinar el área de figuras regulares.

También respecto al tema de área, ^{Berenson et al. (1997)} analizan planes de clase de docentes de primaria y secundaria en formación de Estados Unidos, Suecia, Irlanda y los Países Bajos. En el estudio se identifican futuros profesores hábiles para analizar el contenido y vincular ideas al concepto de área, sin embargo, varios sujetos muestran ideas incorrectas o incompletas sobre el concepto e incluso algunos parecen no haber aprendido todos los aspectos del currículo que deben enseñar. Por ejemplo, varios docentes en formación perciben el concepto de área únicamente desde un punto de vista procedimental: al parecer ellos piensan en la noción de área como una definición, como una serie de procedimientos, o como una fórmula.

En la literatura se identifican algunas concepciones erróneas recurrentes. ^{Ma (1999)} mues- tra que algunos docentes consideran que, si el perímetro de una figura aumenta, su área también debe aumentar. Esta suposición ha sido identificada en otros estudios, por ejemplo, al observar las clases impartidas por un profesor principiante de cuarto grado no se identificó evidencia de que reconozca que no hay una relación constante entre el área y el perímetro de una figura, es decir, el profesor no identifica que al disminuir el perímetro de la figura no necesariamente disminuirá el área, y viceversa (^{Yeo, 2008}). ^{D’Amore y Fandiño (2007)} profundizan en esta cuestión con docentes y estudiantes de distintos niveles educativos y listan elecciones didácticas que fortalecen esta concepción errónea, por ejemplo, utilizar sólo figuras convexas o figuras estándar, además de que pocas veces se realizan transformaciones o se estudian las relaciones entre perímetro y área de una misma figura.

Así, ^{D’Amore y Fandiño (2007)} proponen que el obstáculo no sólo es epistemológico, sino básicamente de naturaleza didáctica. Respecto a esta idea equivocada sobre la relación entre perímetro y área, ^{Livy et al. (2012)} encuentran que 72 por ciento de los profesores en formación incluidos en uno de sus proyectos indican que, si incrementa el perímetro de un rectángulo, el área también lo hará.

La publicación de ^{Livy et al. (2012)} reporta resultados de tres proyectos distintos sobre el entendimiento de conceptos de área y perímetro de docentes de primaria en formación. Además de lo señalado en el párrafo anterior, las autoras destacan que la mayoría de estos docentes logran calcular perímetro y área de rectángulos, sin embargo, algunos cometen errores al diferenciar perímetro y área y existe una tendencia a describir el área de acuerdo con su fórmula, y no con su definición. ^{Livy et al. (2012)} hacen referencia al estudio denominado TEDS-M (Teacher Education and Development Study in Mathematics) y destacan que ^{Tatto et al. (2012)} indican que, aunque los profesores involucrados en el estudio generalmente son capaces de determinar áreas y perímetros de figuras simples, suelen tener dificultades para responder problemas que relacionan varios conceptos matemáticos o que requieren un razonamiento más complejo.

Para esta investigación consideramos pertinente tomar como punto de partida la síntesis que realizan ^{Petrou y Goulding (2011)}, ya que conserva los conceptos tradicionales definidos por Shulman e identifica similitudes con modelos de investigaciones más recientes; así, pese a las diferencias que declaran los autores de cada modelo, ^{Petrou y Goulding (2011)} evidencian que es posible definir un marco teórico que reconozca la interacción entre las distintas dimensiones, mantenga una clasificación simple que permita reducir la superposición de conceptos, y enfatice la importancia del contexto.

Conocimiento de la materia

^{Shulman (1986)} define el conocimiento del contenido de la materia como la cantidad y organización del conocimiento en la mente del profesor. Por su parte, ^{Fennema y Franke (1992)} describen lo que ellos denominan “contenido de matemáticas”, e indican que este componente incluye el conocimiento del profesor sobre conceptos, procedimientos y procesos de resolución de problemas dentro de la matemática, así como las interrelaciones entre dichos conceptos, procedimientos y problemas.

En cuanto a las estructuras sintácticas y sustantivas del conocimiento propuestas por ^{Schwab (1978)}, y destacadas en la síntesis de ^{Petrou y Goulding (2011)}, ^{Shulman (1986)} describe las estructuras sustantivas como la variedad de formas en las que se organizan los conceptos básicos y principios de la disciplina y señala que la estructura sintáctica se refiere al conjunto de reglas para establecer la validez dentro de una disciplina. Con base en el plan de estudios de la licenciatura en Educación Primaria, determinamos que sólo es pertinente analizar las estructuras sustantivas, puesto que el conocimiento sintáctico de la matemática va más allá de las competencias declaradas en el perfil de egreso del docente de primaria en formación.

La síntesis de ^{Petrou y Goulding (2011)} también menciona el concepto de creencias. ^{Fennema y Franke (1992)} consideran que es imposible separar las creencias del profesor respecto del conocimiento, puesto que las primeras influyen en su percepción de la matemática y en las decisiones que toma en el aula. Para esta investigación es suficiente tener en cuenta que las creencias del docente están estrechamente relacionadas con el conocimiento que posee, sin embargo, si se desea profundizar en este aspecto se sugiere consultar a ^{Thompson (1992)}, quien presenta una síntesis sobre investigaciones relativas al tema en el caso del profesor de matemáticas y la influencia de dichas creencias en el conocimiento y en la práctica docente, o a ^{Pepin y RoeskenWinter (2015)} para una revisión mucho más profunda y actualizada sobre creencias y actitudes en la educación matemática.

Finalmente, el concepto de fundamento se refiere a una de las categorías del cuarteto del conocimiento definido por ^{Rowland et al. (2003)}. Esta categoría consiste en el conocimiento, las creencias y la comprensión adquiridas en la preparación académica. Debido a que la noción de fundamento excede el alcance del objetivo de esta investigación, no se considera dentro del análisis.

Respecto a los medios o metodologías para analizar el conocimiento, ^{Hunt (2003)} señala que el conocimiento no puede observarse directamente, pero puede inferirse a través del desempeño en un examen o en algún otro tipo de prueba. ^{Buschang et al. (2012)} concluyen que ninguna evaluación puede medir el conocimiento del profesor en su totalidad. Pese al abanico de modelos existentes relativos a los conocimientos del profesor, es complicado determinar si el conocimiento que el docente posee es suficiente o no para el nivel educativo en el que se desempeña, es decir, el conocimiento deseable del profesor debe tener como referente el currículo del curso que imparta. ^{Schön (1983: 15, traducción propia)} menciona que “a medida que las tareas cambian, también cambiarán las demandas de conocimiento utilizable, y los patrones de tarea y conocimiento serán inherentemente inestables”. Así, ante una modificación curricular, los conocimientos matemáticos que el docente requiera pueden ser distintos.

En un esfuerzo por clasificar las habilidades necesarias para enfrentar una tarea matemática, ^{Smith et al. (1996)} proponen una taxonomía para evaluar el desempeño en tareas matemáticas. Consideramos que el uso de esta taxonomía puede resultar útil para analizar las características del conocimiento de la materia de docentes en formación. Se detalla a continuación.

Taxonomía MATH

La taxonomía propuesta por ^{Smith et al. (1996)} pretende clasificar tareas matemáticas de acuerdo con la naturaleza de la actividad que se requiere para completar la tarea de forma exitosa. Los autores denominan a esta taxonomía MATH, en referencia a las siglas de Mathematical Assessment Task Hierarchy. Las categorías que se incluyen en la taxonomía se muestran en la Tabla 1.

^{Smith et al. (1996)} puntualizan que la jerarquía no se basa en la dificultad del reactivo, sino en la naturaleza de la actividad que debe realizarse. En esta investigación exploramos las tres categorías del grupo A, mismas que, con base en las características proporcionadas por los autores, se describen a continuación:

Conocimiento factual. La dificultad y profundidad del material puede abarcar un amplio rango, desde recordar una fórmula o definición hasta aprender un teorema complejo, pero la única habilidad requerida es recordar información aprendida previamente.

Comprensión. Para demostrar comprensión del conocimiento factual, el sujeto debería ser capaz de decidir qué condiciones de una definición simple se satisfacen (se entiende por definición simple, aquélla que se refiere a una cuestión de terminología, y que hace uso de conocimientos o habilidades adquiridos previamente), comprender el significado de los símbolos de una fórmula y mostrar habilidad para sustituir en ella y ser capaz de reconocer ejemplos y contraejemplos.

Uso rutinario de procedimientos. Requiere habilidades que van más allá del simple recuerdo fáctico. La característica esencial es que cuando el procedimiento se utiliza correctamente, todos los sujetos que resuelven una tarea mediante dicho procedimiento obtienen el mismo resultado; esto no excluye la posibilidad de que pueda haber más de un procedimiento rutinario aplicable a un problema determinado. Así, decimos que un procedimiento es rutinario cuando el estudiante lo ha interiorizado y es capaz de aplicarlo de forma automática.

Uso de la taxonomía MATH en el diseño de un instrumento y código de evaluación de tareas matemáticas

Consideramos que la taxonomía MATH resulta útil en la elaboración de reactivos y tareas matemáticas y facilita el establecimiento de indicadores de logro que contribuyen en la evaluación de actividades matemáticas, en particular, aquéllas vinculadas al conocimiento de la materia. Con el propósito de identificar algunas características del conocimiento de la materia que poseen los docentes en formación que participan en esta investigación, las categorías del grupo A de la taxonomía MATH se utilizaron para el diseño de un instrumento y para la elaboración de un código que permitió clasificar y caracterizar las respuestas de los sujetos de estudio.

Considerar el contexto para el diseño del marco conceptual implicó tomar en cuenta las características del sistema educativo mexicano, los objetivos de la enseñanza en las escuelas normales, los rasgos del perfil de egreso del docente de primaria y el currículo de geometría de la licenciatura en Educación Primaria y de educación básica. Con base en esto, se espera que el docente de primaria en formación posea conocimientos sobre perímetro y área de polígonos regulares e irregulares. Esta investigación se centra en estudiar dicho conocimiento a partir de la manifestación de habilidades asociadas a tres categorías: conocimientos factuales, comprensión y uso de procedimientos rutinarios.

Para la categoría de conocimiento factual, se espera que el docente en formación defina los conceptos de área y perímetro sin ambigüedades y sin omitir sus características; esto es, el sujeto asocia el concepto de perímetro con la longitud del contorno de una figura cerrada, y define el área como la medida de una superficie acotada.

En la categoría de comprensión, la expectativa es que sea capaz de identificar condiciones e implicaciones vinculadas a los conceptos de perímetro y área. Por ejemplo, reconocer el concepto de unidad cuadrada como la unidad para determinar el área de una superficie y representarla como un cuadrado cuyos lados miden una unidad lineal; también se espera que identifique que es posible calcular el área de cualquier figura cerrada de dos dimensiones, sin importar las características del contorno, así como la posibilidad de calcular el área de las caras de una figura tridimensional. En cuanto a perímetro, un par de ejemplos que muestran comprensión del concepto son identificar que disminuir la medida del contorno de un terreno implica disminuir su perímetro y percibir que esta disminución en el perímetro no necesariamente generará una disminución en el área del terreno.

El uso exitoso de procedimientos rutinarios puede identificarse cuando el docente en formación resuelve tareas cuyo planteamiento es cotidiano en los programas de educación básica, por ejemplo, calcular perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares de cinco o más lados. Se espera que el futuro docente calcule áreas a partir de retículas, utilizando fórmulas o realizando transformaciones en las figuras.

A partir de esta descripción es posible establecer las expectativas respecto al conocimiento de la materia sobre perímetro y área del docente de primaria en formación. A continuación se presentan detalles sobre el instrumento y la aplicación del mismo.

Descripción y aplicación del instrumento

Con base en las explicaciones anteriores, elegimos reactivos considerando su posible contribución para caracterizar el conocimiento sobre perímetro y área de estudiantes de la licenciatura en Educación Primaria. Además de incluir tareas utilizadas en otras investigaciones que estudian el conocimiento de la materia, incorporamos problemas con planteamientos similares a los presentados en libros de texto de educación básica con el propósito de garantizar la cohesión entre el instrumento y el currículo nacional.

El cuestionario presenta 12 tareas: dos referentes a conocimiento factual, cuatro a comprensión y seis a uso rutinario de procedimientos. Las tareas se distribuyen en 10 reactivos. En la Tabla 2 se muestran los 10 reactivos, los objetivos y la categoría a la que pertenecen

Tabla 2 Planteamiento, categoría y objetivo de cada reactivo del instrumento 

Reactivos	Categoría de la taxonomía MATH	Objetivo Determinar si el docente en formación:
1. Defina el concepto de perímetro	Conocimiento factual	Define apropiadamente el concepto de perímetro
2. Defina el concepto de área	Conocimiento factual	Define apropiadamente el concepto de área
3. Dibuje un polígono de 20 unidades cuadradas. Especifique las dimensiones de sus lados	Comprensión	Posee una idea clara del concepto de unidad cuadrada
4. En la columna de la derecha, encierre en un círculo todas las letras que correspondan a figuras que sea posible calcular su área	Comprensión	Identifica las condiciones para calcular el área de una figura
5. Para las tareas 5, 6, 7 y 8, considere un terreno rectangular de 20 metros de largo por 12 de ancho. Si se desea cercar el terreno, ¿qué cantidad de malla se necesita para cercarlo?	Uso rutinario de procedimientos	1) Relaciona el concepto de perímetro con la medida del contorno de un terreno rectangular; y 2) calcula apropiadamente el perímetro de un rectángulo
6. Determine el área del terreno	Uso rutinario de procedimientos	Calcula correctamente el área de un rectángulo
7. Considere un segundo terreno con menor perímetro. ¿Requerirá menor o mayor cantidad de malla para cercarlo? Explique	Comprensión	Reconoce que disminuir el perímetro es equivalente a disminuir la medida del contorno del terreno
8. ¿El área del terreno con menor perímetro será mayor o menor que la del primer terreno? Explique	Comprensión	Reconoce que al disminuir el perímetro no necesariamente disminuye el área
9. Calcule perímetro y área del hexágono con apotema y lado	Uso rutinario de procedimientos	Calcula correctamente el perímetro de un hexágono
		Calcula correctamente el área de un hexágono
10. Calcule el área de cada uno de los triángulos que se muestran en la figura	Uso rutinario de procedimientos	Calcula correctamente el área de un triángulo rectángulo basándose en una retícula
		Calcula correctamente el área de triángulos obtusángulos basándose en una retícula

Fuente: elaboración propia.

El cuestionario se aplicó sin previo aviso para evitar que los estudiantes revisaran conceptos o fórmulas minutos antes de la aplicación. Los reactivos se entregaron impresos y se pidió a los docentes en formación que incluyeran procedimientos o justificaciones. Se estableció un máximo de 100 minutos para resolver las tareas de forma individual y, aunque las operaciones necesarias eran sencillas, estaba permitido el uso de calculadora para evitar que errores en las operaciones influyeran en los resultados.

Junto con el instrumento, diseñamos un código que permitiera realizar un análisis de acuerdo con las características de las respuestas. Se elaboró una tabla para cada reactivo, en la que se indica el objetivo de la tarea, la categoría a la cual corresponde de acuerdo con la taxonomía propuesta por ^{Smith et al. (1996)} y qué respuestas son consideradas correctas, parcialmente correctas o incorrectas. El diseño del código está inspirado en el reportado por ^{Senk et al. (2008)}.

Las respuestas correctas corresponden a códigos que inician con la letra A, las respuestas parcialmente correctas inician con la letra B, las respuestas incorrectas se representan con códigos cuya inicial es X y, en caso de que el estudiante no haya proporcionado respuesta alguna, el código es simplemente N. Por ejemplo, la Tabla 3 corresponde a la tarea de calcular el área de un hexágono regular, planteada en el reactivo 9. En ella se muestran los indicadores para clasificar las respuestas de los sujetos de estudio.

De acuerdo con ^{Petrou y Goulding (2011)}, los modelos del conocimiento del profesor parecen enfatizar el conocimiento del individuo, sin embargo, resultaría enriquecedor dirigir la atención al análisis de un determinado contexto. En este sentido, los 39 sujetos de estudio son una muestra representativa del contexto de esta investigación, razón por la cual, aunque recuperamos respuestas individuales a las tareas, establecemos conclusiones sobre el conjunto de docentes en formación.

Dado que pretendíamos identificar características del conocimiento que poseen los docentes en formación, al analizar las respuestas de los individuos prestamos especial atención a las semejanzas entre las respuestas de distintos sujetos a un mismo reactivo y planteamos hipótesis sobre las posibles fuentes de error; además, comparamos los hallazgos con lo reportado en la literatura y planteamos conclusiones a partir del objetivo de cada reactivo y la categoría a la que corresponde en la jerarquía de evaluación de tareas propuesta por ^{Smith et al. (1996)}.

Categoría: conocimiento factual

Para caracterizar el conocimiento factual de los docentes en formación que participaron en esta investigación, les solicitamos definir los conceptos de perímetro y área. En el caso de perímetro, sólo diez sujetos proporcionan una definición consistente con el concepto, sin embargo, las respuestas sugieren que tienen una idea de a qué se refiere el concepto, aunque omiten características importantes. Sólo 5 sujetos proporcionaron respuestas que no corresponden al concepto de perímetro, por ejemplo: “medida del espacio que ocupa un cuerpo”. El resto de las respuestas se consideraron parcialmente correctas: al buscar similitudes, se encontró que 14 sujetos hacen referencia al perímetro como el resultado de sumar la longitud de los lados de una figura, por ejemplo “es el borde de una figura y la suma de sus lados”, “es la suma de los lados de una figura”. Esto evidencia que el concepto de perímetro se vincula con el procedimiento para obtenerlo, además de relacionarlo sólo con figuras poligonales.

Al definir el concepto de área ocurre algo similar a lo que sucede con el concepto de perímetro: seis sujetos proporcionan respuestas que pueden asociarse al concepto como la medida de una superficie acotada, por ejemplo “es la medida de la superficie de una figura”; siete más indican que el área es la superficie de la figura, sin mencionar el concepto de medida. La respuesta más popular es aquélla que relaciona el área con el “interior” de una figura; además, tres alumnos definen el área como “el espacio que ocupa una figura”.

Algunos otros ejemplos de las definiciones de área que proporcionan los docentes en formación son: “se logra sacar con multiplicación y especifica la capacidad que tiene un cuerpo plano de contener unidades”, “unidad o concepto que sirve para medir el interior de una figura”, “es toda la parte interior de una figura, todo el espacio que abarca”, “el área es la superficie de un polígono”, “es la medida interna de una figura”, “es la superficie de una figura plana”. Las palabras que los sujetos eligen para definir qué es el área sugieren que están más relacionados con los procedimientos o las fórmulas que con la comprensión del concepto. Esta idea parece confirmarse al analizar respuestas a otros reactivos, por ejemplo, 38 de los 39 sujetos de estudio calculan correctamente el área de un terreno rectangular, pero les cuesta trabajo definir con precisión el concepto.

Las definiciones que proporcionan los sujetos de estudio se caracterizan por ser poco precisas, sin embargo, sus respuestas muestran que tienen ideas acertadas sobre los conceptos de perímetro y área. Así, la vaguedad de sus definiciones pudiera atribuirse a un dominio limitado de términos matemáticos que permitan estructurar una definición más precisa, y no a la ignorancia total de qué es el área y qué es el perímetro. En ambos casos, pareciera que la interacción de los sujetos con estos tópicos matemáticos ha sido principalmente procedimental.

Categoría: comprensión

Para analizar la categoría de comprensión se propusieron cuatro tareas que pretendían determinar si el docente en formación posee una idea clara del concepto de unidad cuadrada, si identifica figuras a las cuales se les puede calcular el área y si reconoce que disminuir el perímetro de un terreno es equivalente a disminuir la medida del contorno sin que esto implique una disminución del área del terreno.

La respuesta de 87 por ciento de los docentes en formación que participan en este estudio sugiere que comprenden el concepto de unidad cuadrada; 34 estudiantes realizan la tarea correctamente y trazan un rectángulo de 20 unidades cuadradas. Dos sujetos trazan un polígono que no tiene área de 20 unidades cuadradas, pero no fue posible identificar la relación del polígono trazado con la tarea solicitada; otro estudiante dibuja un cuadrado de 5 cm de lado, uno más dibuja un prisma rectangular de 20 unidades cúbicas y sólo un sujeto no proporciona respuesta.

En el reactivo 4 (Figura 2), la selección esperada respecto a las figuras a las que es posible determinar su área eran A, B, C, E, G, H y K, sin embargo, de los 39 sujetos de estudio únicamente ocho seleccionaron las siete figuras; siete sólo omitieron la figura E y seis seleccionaron sólo las figuras bidimensionales. Además de lo ya mencionado, algunas cuestiones destacables son:

Fuente: elaboración propia.

Figura 2 Figuras presentadas en el reactivo 4 

Las características señaladas en los puntos anteriores sugieren que el abordar el tema de área únicamente con figuras convencionales, como polígonos, o incluso sólo con polígonos regulares produce que los futuros docentes no sepan cómo enfrentarse a figuras no poligonales, irregulares o tridimensionales. Pareciera que las figuras tridimensionales están reservadas para abordarlas únicamente cuando se trata del volumen y que las figuras no poligonales quedan fuera del estudio de la geometría, particularmente del tema de área, por no tener asociada una fórmula o procedimiento convencional.

En cuanto al terreno rectangular de 20 metros de largo por 12 metros de ancho, 37 sujetos proporcionan una breve explicación que evidencia que, si se desea cercar un terreno con menor perímetro, la cantidad de malla requerida para cercarlo será menor; un sujeto indica que será menor, pero no explica por qué; y, finalmente, un estudiante indica que no es posible determinar si se requerirá mayor o menor cantidad de malla, pero no proporciona argumentos que permitan un análisis más detallado.

Al cuestionar si el área del segundo terreno será menor que el área del primero, sólo 11 reconocen que no existe una relación directa entre el área y el perímetro; 24 indican que si el perímetro disminuye el área también lo hará; un alumno menciona que no es posible saber la respuesta pero su argumento es contradictorio, puesto que indica que existe una relación entre perímetro y área; por último, un estudiante establece que el perímetro y el área sí están relacionados aunque no declara si el área será mayor o menor.

A partir del análisis de las respuestas a estas tareas se identifica que los sujetos de estudio comprenden cuestiones como el concepto de unidad cuadrada o el hecho de que disminuir el perímetro de una figura hace referencia a una disminución en la longitud del contorno de dicha figura, sin embargo, se manifiesta una concepción errónea al indicar que si el perímetro disminuye el área también lo hará. Además, se evidencian dificultades para identificar figuras a las cuales se les puede calcular el área; destaca la inclusión de curvas abiertas y la omisión de figuras tridimensionales y figuras de contornos irregulares.

Se estima que, para posibilitar una comprensión más profunda de los conceptos de perímetro y área, es indispensable enfatizar las características de dichos conceptos y cómo se vinculan a otros conceptos matemáticos, además de proponer figuras y tareas que desafíen a los estudiantes y los hagan reflexionar sobre su conocimiento matemático.

Categoría: uso de procedimientos rutinarios

Para analizar el uso de procedimientos rutinarios se solicitó a los estudiantes determinar el perímetro y el área de un rectángulo y de un hexágono regular con dimensiones conocidas; además se pidió que calcularan el área de triángulos a partir de una retícula. Calcular perímetro y área del rectángulo resultó sencillo para los sujetos de estudio y, aunque en la tarea de calcular el perímetro del hexágono se registraron menos aciertos, también es una tarea que resuelven correctamente: se registraron 38 respuestas correctas en el cálculo del perímetro y el área del terreno rectangular, y en el perímetro del hexágono se registraron 32.

Determinar el área del hexágono resultó más desafiante: de los 39 sujetos de estudio, 14 respondieron correctamente, es decir, determinaron que el área del hexágono es 93.6 cm2; tres sujetos más utilizaron un procedimiento correcto, pero cometieron un error en las operaciones; cuatro no proporcionaron respuesta y los 18 restantes utilizaron una fórmula incorrecta para determinar el área del hexágono.

De los 18 estudiantes que utilizaron fórmulas incorrectas, ocho multiplicaron lado por apotema (l∙α), ocho más multiplicaron perímetro por apotema (p∙α), uno propuso multiplicar perímetro por lado y dividir este resultado entre la apotema ((p∙l)/α) y, por último, un estudiante proporcionó dos opciones p∙α² y l∙α².

El uso de fórmulas equivocadas podría clasificarse en dos posibles situaciones: 1) el sujeto está convencido de que la fórmula es correcta; y 2) el sujeto no está seguro de si la fórmula es la adecuada. En el primer caso, el estudiante actuaría con la certeza de realizar un procedimiento correcto, lo cual propiciaría que no se cuestionara sobre la respuesta obtenida; pero si no estuviera convencido de estar utilizando la fórmula apropiada podría recurrir a procedimientos alternativos, por ejemplo, dividir el hexágono en seis triángulos, calcular el área de uno de ellos y multiplicar por seis. Sin embargo, las respuestas de estos 18 estudiantes no proporcionan evidencia de que hayan experimentado con algún procedimiento alternativo para determinar el área del hexágono. Así, pareciera que su conocimiento sobre el área del hexágono está basado en el desarrollo de un procedimiento rutinario, en este caso, el uso de una fórmula, y no necesariamente en el entendimiento del concepto de área.

De las 17 respuestas con procedimientos correctos, diez estudiantes utilizaron la fórmula (p∙α)/2, pero los siete restantes utilizaron el procedimiento descrito en el párrafo anterior: dividieron el hexágono en seis triángulos, calcularon el área de cada uno mediante la fórmula (b∙h)/2 y multiplicaron por el número total de triángulos.

^{D’Amore y Fandiño (2007)} hacen referencia a las aportaciones de ^{Tierney et al. (1990)} sobre las concepciones que tienen docentes de educación primaria e indican que el área suele ser puesta en relación con las fórmulas que se utilizan para calcularla, más que con un concepto general.

De acuerdo con el contexto de la investigación, determinar áreas a partir de retículas se considera un procedimiento rutinario, puesto que es una tarea que se propone comúnmente en la escuela primaria, sin embargo, se identificaron diferencias significativas en las respuestas al determinar el área de un triángulo rectángulo y el área de un triángulo obtusángulo. Esto evidencia que los sujetos están familiarizados con el procedimiento de determinar áreas a través de una retícula, pero tienen problemas para identificar elementos como base y altura del triángulo. Para el triángulo rectángulo se registran 29 respuestas correctas, cuatro parcialmente correctas, cinco incorrectas y una omisión; para los triángulos obtusángulos se identifican 20 respuestas correctas, 15 incorrectas y cuatro omisiones.

Un aspecto destacable es que de los 19 estudiantes que presentaron errores u omisiones en determinar el área de los triángulos obtusángulos, 13 proporcionaron respuestas correctas o parcialmente correctas en el caso del triángulo rectángulo; esto confirma que, pese a la similitud de los reactivos, resulta más complicado determinar el área del triángulo obtusángulo que la del triángulo rectángulo. Con base en las respuestas analizadas, se consideran dos procedimientos principales para resolver este ejercicio y se asocia un posible desafío a cada uno de ellos.

Procedimiento 1. El futuro docente desea calcular el área contabilizando el número de cuadrados sombreados en la retícula.

Desafío: Contabilizar el número de unidades cuadradas enteras que se encuentran sombreadas. Si el futuro docente desea contabilizar el número de cuadrados sombreados en la figura se enfrentará al desafío de estimar qué fracciones se encuentran sombreadas en todos aquellos cuadrados que no están sombreados en su totalidad. En el triángulo rectángulo, todos los cuadrados se encuentran sombreados a la mitad o totalmente, lo que facilita determinar el área, sin embargo, en el triángulo obtusángulo del área total (9u²) sólo 4 cuadrados están sombreados completamente; además, se tienen 5 mitades, pero el resto de las fracciones son difíciles de determinar con precisión.

Procedimiento 2. El futuro docente desea calcular el área a partir del uso de la fórmula (b∙h)/2.

Desafío: identificar la altura del triángulo. En esta situación, si se asume que el docente conoce la fórmula sólo debería sustituir base y altura del triángulo, sin embargo, una posible complicación es determinar la altura, puesto que ésta no coincide con ninguno de los lados, y tampoco puede asociarse a un eje de simetría como en el triángulo rectángulo. Esta posible dificultad podría atribuirse a las características de los triángulos que se proponen usualmente para realizar ejercicios de área, mismas que predisponen a los sujetos no sólo a considerar que un triángulo posee una única base y una única altura, sino que también los lleva a relacionar la altura con:

Las dificultades identificadas destacan la importancia de variar los ejercicios que se proponen en todos los niveles educativos. Por ejemplo, en los problemas que se planteen a los futuros docentes se sugiere presentar triángulos isósceles, equiláteros y escalenos; rectángulos y oblicuángulos; evidenciar que rotar un polígono no modifica el área, además de enfatizar que cualquiera de los lados puede ser considerado como base del triángulo y que todo triángulo posee tres alturas no necesariamente iguales.

Con base en el análisis de las respuestas a las seis tareas descritas en esta sección, la evidencia sugiere que los sujetos son capaces de desempeñar con éxito tareas que requieren el uso de procedimientos rutinarios, sin embargo, se enfrentan a obstáculos al no recordar fórmulas o no identificar elementos de las figuras que necesitan sustituir en fórmulas conocidas. Una vez más, pareciera que las dificultades al enfrentar las tareas propuestas están sumamente vinculadas a una comprensión deficiente de los conceptos de área y perímetro.