Antecedentes

Indagar las ideas de los niños acerca de las relaciones entre área y perímetro (en adelante relaciones A-P) se justifica por ser un tema poco trabajado por los investigadores de la educación matemática. Continuar su indagación es pertinente, además, por ser un contenido inserto en el currículo de educación básica de muchos países y, sobre todo, por constituir un tema donde la medición y la geometría plantean retos interesantes que pueden favorecer la visualización, la elaboración y prueba de hipótesis, así como la argumentación, aspectos de la educación matemática reconocidos como fundamentales en el nivel internacional.

Fueron Piaget y sus colaboradores quienes iniciaron el estudio de estas relaciones (^{Vinh Bang, 1965a}, ^1965b; ^{Piaget et al, 1971}; ^{Piaget et al., 1973}; ^{Piaget e Inhelder, 1997}). Posteriormente, las francesas R. ^{Douady y M.J. PerrinGlorian (1983)} continuaron la indagación sobre el tema. Estas investigadoras estudiaron la variación del área y el perímetro cuando una superficie es sometida a ciertas transformaciones y constataron que, para los niños, existe una íntima relación entre estas magnitudes. Es decir, que predomina en ellos la siguiente idea: “si el perímetro de una superficie aumenta, su área también (y recíprocamente), y si dos superficies tienen el mismo perímetro, tienen la misma área (y recíprocamente)” (^{Douady y Perrin-Glorian, 1983}; ^{Perrin-Glorian y Douady, 1988}). Con base en tal constatación, estas investigadoras plantearon una secuencia didáctica cuyo objetivo fue favorecer que los alumnos lograran independizar: a) el área de la forma (dos superficies de formas diferentes pueden tener áreas iguales); y b) el área del perímetro (dos superficies pueden tener la misma área y perímetros diferentes) (^{Douday y Perrin-Glorian, 1983)}.

Algunas conclusiones obtenidas por los niños participantes en esta indagación -según reporte de las autoras- fueron las siguientes:

Posteriormente, ^{Corberán (1996)} obtuvo conclusiones sobre el mismo problema al solicitar a estudiantes de niveles educativos diversos, que trataran de transformar un rectángulo y un rombo dibujados en una hoja de papel, de manera que, al conservar o agrandar el perímetro, el área de las figuras fuera menor. Al respecto, la investigadora anota: “fueron muchos los estudiantes de todos los niveles los que no supieron modificar un rombo para transformarlo en otra superficie de menor área y mayor perímetro, o manifestaron que lo que se solicitaba era imposible” (^{Corberán, 1996: 130}). El experimento se replicó con un polígono cóncavo y se constató que los alumnos actuaron de la misma manera que con el rombo: muchos de los participantes en la investigación manifestaron que figuras de igual perímetro no pueden tener diferente área. Una reflexión que ^{Corberán (1996)} deriva de su trabajo es que los alumnos no podrán enfrentarse exitosamente a situaciones como las que se les plantearon mientras no acepten la independencia entre el área y el perímetro de una superficie.

Fuente: ^{Douady y Perrin-Glorian, 1983}.

Figura 1 Figura elaborada por niños participantes en el trabajo de Douady y Perrin-Glorian. 

Un trabajo más reciente, dedicado también a analizar las relaciones A-P, es el de ^{D’amore y Fandiño (2007)}. Estos autores recuperan los estudios de ^{Stavy y Tirosh (1996}), quienes mostraron que existe una fuerte relación de dependencia entre el área y el perímetro, del tipo

Si A y B son dos figuras planas, entonces: si el perímetro de A es mayor que el perímetro de B, el área de A es mayor que el área de B (lo mismo sucede con menor e igual), por lo cual dos figuras iso-perimétricas son necesariamente equi-extensas; y viceversa (^{D’Amore y Fandiño, 2007: 44}).

Sobre la base de tales ideas, estos autores buscaron responder a las siguientes cuestiones: “¿surge espontáneamente la idea de que, al aumentar el perímetro de una figura plana aumenta también el área?, ¿se necesita recurrir a construcciones cognitivas anteriores y a la propia experiencia, para convencerse que las cosas no son así?” (^{D’Amore y Fandiño, 2007: 47-48}).

Una vez identificadas las “convicciones iniciales” respecto de la relación A-P, D’Amore y Fandiño analizaron el cambio que se opera en ellas mediante la discusión con el investigador, y concluyeron que, después de haber trabajado las actividades propuestas, las ideas erróneas ligadas a la intuición mayor A, mayor P y sus variantes casi desaparecieron.

Metodología

Para recoger la información que permitiera responder las preguntas planteadas, trabajamos con 12 niños que cursaban cuarto, quinto y sexto grado de educación primaria (cuatro de ellos en cada grado) y cuyas edades oscilaban entre los 9 y los 12 años en el momento de la indagación. La decisión de trabajar con niños de estas edades se debió a dos razones: la primera es que, conforme a los datos aportados por Vinh ^{Bang (1965a}; ^1965b), su desarrollo cognitivo les haría accesibles en distintos niveles los problemas que plantearíamos; la segunda razón es que, conforme a los programas oficiales de educación primaria vigentes, los niños tendrían conocimientos escolares que les permitirían calcular tanto el perímetro de figuras planas de lados rectos, como el área del cuadrado y el rectángulo, conocimientos necesarios para abordar las situaciones elaboradas para esta investigación. Es por esto último que, como primera actividad, planteamos situaciones y preguntas que permitieran constatar que efectivamente tenían los conocimientos mencionados.

Once de los niños participantes asistían a una escuela pública con prestigio académico importante, y que estaba catalogada, por sus logros, sobre el primer cuartil de las escuelas de la Ciudad de México, según los resultados de exámenes nacionales aplicados en los últimos años (esta información fue proporcionada por la directora y los profesores del plantel). También incluimos las respuestas de un niño de quinto grado que asistía a otra escuela que participó cuando exploramos la viabilidad de las tareas propuestas. Al ser útiles e interesantes sus respuestas -y puesto que este niño asistía a una escuela de características similares que aquella en la que realizamos el estudio principal- decidimos incorporarlas en el análisis.

Aunque no era la intención inicial, debido a que los profesores de los grupos escogieron a los participantes (decisión que no pudimos refutar), los niños seleccionados tenían un desempeño escolar destacado en matemáticas. Esto lo constatamos cuando, al iniciar la actividad, todos comentaban que sus calificaciones en matemáticas iban del 9 al 10, que son las más altas que se otorgan en la educación primaria mexicana. Posteriormente, la directora de la escuela corroboró el desempeño destacado de los seleccionados.

Lo anterior debe tomarse en consideración al leer los resultados, pues se trata de niños que se encuentran por encima del promedio de sus pares mexicanos en cuanto a desempeño escolar en matemáticas. Aunque en esta investigación no buscamos evaluar ningún desempeño escolar, sino las ideas en torno a las relaciones entre área y perímetro, es probable que exista alguna relación entre ambos.

En el Cuadro 1 se anotan los datos generales de los niños. Las referencias posteriores a cada uno de ellos se harán con la inicial de su nombre ficticio, el grado que cursa y su edad. Por ejemplo, D6-11 refiere a Diana, de sexto grado y 11 años.

Para realizar la indagación elaboramos seis problemas que fueron planteados oralmente, a cada niño por separado. En el artículo se analizan sólo tres por razones de espacio. El problema “las dos plazas” (ver adelante) se planteó dos veces: al iniciar la actividad y al finalizarla, y constituye un instrumento de diagnóstico y de evaluación de los avances logrados durante el proceso de resolución de los problemas.

Se pusieron a disposición de los participantes materiales que eventualmente podrían utilizar: lápiz, tijeras, calculadora, hojas blancas y cuadriculadas, regla graduada, listones y “cuadrados-unidad”, así como las figuras correspondientes al planteamiento de algunos de los problemas, recortadas en cartón. Se trabajó en la biblioteca escolar cuando ésta no estaba en uso. La actividad, dependiendo de la habilidad de cada uno de los niños para resolver los problemas, duró entre 45 minutos y una hora. El proceso fue audio grabado, y se tomaron fotografías de las soluciones porque no se autorizó a video-grabar.

Al finalizar la resolución de cada problema se interrogaba al niño para que nos explicara el porqué de cada solución. También pedimos comprobar la validez de las respuestas y, cuando lo consideramos pertinente, incorporamos una contra-argumentación, en voz de niños supuestos, para obtener más elementos de interpretación de las soluciones y las ideas subyacentes a las mismas. Es decir que la base de la entrevista eran los problemas planteados y su solución y, a partir de ello, recurrimos al interrogatorio crítico (^{Piaget et al., 1973}) para dilucidar mejor el razonamiento de los niños acerca de las relaciones A-P.

Ahora bien, aunque en los estudios de tipo cualitativo y basados en el interrogatorio crítico, lo común es que el número de participantes sea reducido, dándose el caso de estudios basados en las respuestas de dos, tres o cinco niños, conviene mencionar que el total de 12 participantes en esta investigación fue decidido en función de lo que en ciencias sociales se denomina “saturación de la información”. Ésta refiere al punto en que, una vez realizado un cierto número de cuestionamientos o entrevistas, nuevos interrogatorios dejan de proporcionar datos diferentes a los ya recogidos. Así, cuando los interrogatorios comenzaron a arrojar datos similares a los ya colectados e identificamos ciertos patrones en las respuestas, cerramos la etapa de recolección de datos.

Para interpretar los datos utilizamos el enfoque inductivo general (GIA) de ^{Thomas (2006)} para organizar y analizar datos cualitativos. Este enfoque se concreta en cuatro etapas que en conjunto permiten reducir y analizar los datos, así como elaborar categorías con ellos:

Resultados

Respuestas

Todos los niños sostuvieron inicialmente la idea de que la plaza Benito Juárez (con mayor perímetro), tiene un área mayor. No obstante, hallamos una diferencia respecto de los resultados reportados por ^{Stavy y Tirosh (1996)}, pues no siempre la respuesta “a mayor P, mayor A” fue dada con base en la simple intuición. Varias de las respuestas muestran que la aceptación no es inmediata, y otras parecen “intermedias” entre la intuición y su abandono. Así, recogimos: a) respuestas sustentadas en la simple intuición; b) respuestas sustentadas en la intuición, que luego se tratan de justificar; c) respuestas que abandonan la aceptación inmediata. Veamos en seguida cada una de ellas.

En los tres casos clasificados aquí se considera que la situación planteada es problemática, que la respuesta no es obvia, y que debe producirse y recogerse evidencia para poder responder. Para colectar la evidencia se recurrió siempre al trazo de rectángulos y al cálculo de su área. Un ejemplo de respuesta es el siguiente:

E6-12: [dice pensativo]: “depende”, luego dibuja rectángulos con medidas diferentes y calcula el área y el perímetro de cada uno. Al hacerlo, intenta obtener evidencia para explorar alguna posible solución (Fig. 2).

Fuente: dibujo elaborado por E6-12.

Figura 2 Estrategia de E6-12 para explorar la validez de su hipótesis sobre la relación que plantea el problema “las dos plazas” 

Sin embargo, los casos que considera E6-12 no lo llevan a una conclusión clara sobre la relación posible entre área y perímetro, veamos por qué (Cuadro 3). Como se ve al comparar las figuras A y B dibujadas por este estudiante, el perímetro se conserva, pero en una de ellas el área es mayor; al comparar la figura C con la A y la B, el perímetro disminuye y el área también. En la figura D, el perímetro es menor que en las figuras A y B, e igual que en la C, el área es menor que en el resto de las figuras. No le es posible, entonces, concluir sobre la relación que analiza con base en casos cuyos resultados no conducen a mostrar que es posible que un perímetro menor pueda determinar un área igual o mayor. Las exploraciones de los otros dos niños ubicados en esta categoría son similares.

Ahora bien, utilizar rectángulos donde se hacen variar las medidas como camino para recoger evidencias es un método pertinente, sin embargo, “el espacio de prueba” generado tiene limitaciones: además de no ser sistemático se restringe a un cierto tipo y número de casos.

La conclusión que obtenemos de las respuestas iniciales al problema “las dos plazas”

Los tres corrales están cercados con alambre de púas, para que no se salgan los animales. ¿Tú crees que en todos se gastó la misma cantidad de alambre para cercarlo, o en cada uno se gastó distinta cantidad? es que, si bien algunos niños abandonan la aceptación inmediata y problematizan la situación, finalmente todos aceptan que “a mayor perímetro, necesariamente mayor área”. A ello contribuye que, quienes problematizan y exploran soluciones, generan pruebas que no los conducen a mostrar que la relación mayor P, mayor A, no es obligada. Es decir, que no es la intuición la que sustenta la respuesta, sino la calidad de la evidencia recogida.

El poder heurístico de las imágenes. Frente al problema “los tres corrales”

Una vez planteado el problema de “las dos plazas”, se plantearon otros cinco. Analizaremos tres de ellos, ya que es lo que el espacio nos permite. Comenzamos con “los tres corrales” (Fig. 3) que parece ser un punto de inflexión en el razonamiento de los niños.

Se plantea el problema: estas figuras representan corrales. Fíjate en ellas y luego contesta las preguntas que te haré:

a) ¿Crees que hay alguno en el que quepan más animales que en los otros, o no?

b) ¿Cómo lo sabes?

c) Los tres corrales están cercados con alambre de púas, para que no se salgan los animales. ¿Tú crees que en todos se gastó la misma cantidad de alambre para cercarlo, o en cada uno se gastó distinta cantidad?

d) ¿Cómo lo sabes?

Fuente: elaboración propia.

Figura 3 Problema “los tres corrales” 

Este problema tiene diferencias importantes con “las dos plazas”:

1. En “las dos plazas” era necesario imaginar la forma de las plazas. En “los tres corrales” se proporcionaron representaciones físicas de los corrales, por lo que su forma es perceptible, además de que dichas representaciones pueden manipularse y medirse.

2. En el problema “las dos plazas” se exploró la relación perímetro-área, y en “los tres corrales” se explora la relación áreaperímetro (específicamente la aceptación de la idea “igual A, diferente P”).

3. En “los tres corrales” las palabras área y perímetro no se mencionan. Se exploró si los niños relacionan estas nociones con la cantidad de animales que les cabe a los corrales y el alambre necesario para cercarlos.

En el Cuadro 4 se anotan los tres tipos de respuesta dados al problema.

Cuadro 4 Tipos de respuesta al problema “los tres corrales” 

Sostiene dependencia entre A y P	Declara la independencia entre A y P, con base en evidencia empírica (visualización o medición)	Declara independencia entre A y P por deducción operatoria
A4-10, D6-11, Z6-10	V5-10, J5-11, N4-10, C4-9	E6-12, F6-11, M5-11, K5-11, G4-9
3	4	5	Total: 12

Fuente: elaboración propia.

• a) Respuestas que sostienen dependencia entre área y perímetro. Aquí, el problema y su solución son evidentes en sí mismos. Por ejemplo, ante la pregunta c), una vez que se comprueba la igualdad de áreas, las respuestas respecto del perímetro son del tipo:

Yo digo que en todos [se gastó] lo mismo [de alambre], porque tienen la misma área [“¿Tú piensas eso?”, pregunta la investigadora].

Sí, yo digo [con certeza, como confirmando que esa es su opinión] (D6-11).

• b) Respuestas que declaran independencia A-P, basadas en evidencia empírica. Estas respuestas se caracterizan porque no se anticipan hipótesis; se hace necesario medir (recoger evidencia) para llegar a una conclusión. Un ejemplo de esto, habiéndose establecido la igualdad de las áreas, y también ante la pregunta

• c), es el siguiente:

Depende del perímetro [decide medir antes de ofrecer su respuesta; concluye]: éste necesita menos alambre [señala el rectángulo largo, por error de medición] (J5-11).

Al margen del error cometido, las respuestas clasificadas en este rubro reflejan que quienes las dan aceptan una posible independencia entre área y perímetro, pues si bien ya habían señalado que al rectángulo largo y al hexágono les cabía la misma cantidad de animales, no consideraron contradictorio que el corral representado por el rectángulo largo necesitara una diferente cantidad de alambre, pues ésta “depende del perímetro” y no del área.

• d) Respuestas que declaran independencia entre área y perímetro, por anticipación deductiva. A diferencia de lo que sucedió con el problema “las dos plazas”, en “los tres corrales” seis niños notaron, desde un principio, la independencia entre área y perímetro. Habiendo establecido la igualdad entre las áreas de las tres figuras, afirmaron que los perímetros eran distintos. Los argumentos fueron anticipatorios y se recurrió a elementos obtenidos por visualización como medio de argumentación de las respuestas, pero las variables de la situación que llevaron a esa deducción fueron distintas:

1. La mayor longitud (notablemente evidente) de dos de los lados de la figura en forma de rectángulo (3 veces).

2. El número de ángulos o de lados (3 veces).

3. La forma más próxima al cuadrado (una vez).

Una respuesta que ejemplifica el caso 2 es la siguiente:

Yo digo que puede cambiar… [el perímetro] tal vez en éstos sea igual [señala los dos rectángulos], pero éste [el hexágono] tiene aquí otro espacio sobrante, que ocuparía más cerca, porque éstos [el rectángulo ancho y el rectángulo largo] tienen cuatro lados, pero en este caso [el hexágono], tiene seis lados, es mayor perímetro, porque [el alambre] tendría que ocupar este espacio [señala los lados de la concavidad] (E6-12).

La siguiente respuesta integra argumentos del tipo 1 y 2. En este caso, el hexágono se sustituyó involuntariamente por el octágono (la herradura) del problema “dos corrales” (ver adelante). A pesar de esto, la insertamos por la claridad de los argumentos esgrimidos:

M5-11: yo digo que en estos dos gastaron más [señala el rectángulo largo y la “herradura”], ya que tienen un perímetro mayor estos dos.

Inv: ¿tienen un perímetro mayor?

M5-11: me imagino que sí tienen un perímetro mayor, éste simplemente por estar mil veces más largo que éste; y éste, por el hecho de tener que rodear así [señala la concavidad en la herradura], por lo tanto, en el que menos han de haber gastado ha de haber sido en éste [señala el rectángulo ancho].

Los dos corrales: aun frente a representaciones físicas de las figuras

Casi todos los niños a los que se planteó este problema (9 de los 12) establecieron la desigualdad de las áreas y notaron la independencia A-P. Cinco de ellos respondieron inmediatamente, sin recurrir a la medición, fijando la atención en la concavidad de uno de los corrales (G4-9, N4-10, M5-11, E6-12, Z6-10). Ejemplos de los argumentos vertidos en este caso, son:

Pues es lo mismo que en el problema anterior. Es que tiene “como entradas” (G4-9).

Si aquí le quisiéramos poner más alambre, le tendríamos que poner… esta parte se añade [señala los lados de 5 cm paralelos a los de 10 cm], porque acá [señala el lado de 15 cm del rectángulo] nada más está recto, y aquí esto se añade [señala de nuevo los lados de 5 cm paralelos a los de 10 cm] (Z6-10).

El resto de los niños (4) decidió medir antes de dar su respuesta.

Pregunta: estas dos guras representan corrales.

a) ¿A cuál de estos corrales les cabrán más [animales]?

b) ¿En cuál se gastará menos cantidad de alambre de púas para cercarlo?

Fuente: elaboración propia.

Figura 4 Problema “los dos corrales”  

Con base en las respuestas a este problema, observamos que la concavidad fue esencial para confirmar la independencia A-P, pues ayudó a percatarse de que hay figuras con mayor área, pero menor perímetro que otras; específicamente, se hizo evidente que (en este caso) el rectángulo tiene mayor área y que -en lo que parecería una paradoja- la concavidad aumentó el perímetro a la vez que disminuyó el área.

Dos corrales (imaginados) con perímetros iguales: ligero retroceso ante la falta de evidencia física Imaginar dos corrales para establecer relación entre su área y su perímetro

Los problemas donde se eliminaron las representaciones físicas para pensar la relación A-P constituyeron un punto crítico en el proceso hacia la deducción operatoria. Ilustramos este hecho con el siguiente problema:

Fuente: elaboración propia.

Figura 5 Problema “dos corrales (imaginados) de igual perímetro”  

Como se ve en el Cuadro 5, la mitad de las respuestas reflejan un retorno a la intuición “mayor P, mayor A”, que atribuimos a la ausencia de evidencia física.

Cuadro 5 Problema cinco: los dos corrales de igual perímetro 

Retorna a la dependencia entre A y P (igual P, igual A)		Retorna a la dependencia A-P, pero el interrogatorio ayuda a recuperar la idea de independencia P-A	Declara independencia entre P y A, por deducción operatoria
La respuesta al problema de nuevo es evidente en sí misma	Busca justificar
G4-9, V5-10, D6-11	N4-10	K5-11	A4-10, C4-9, J5-11, E6-12, F6, Z6-10, M5-11
3	1	1	6	Total: 12

Fuente: elaboración propia.

Las respuestas recabadas son, hasta cierto punto, reiterativas de las dadas en otros problemas, lo que parece constatar la validez de nuestra categorización. Veamos:

1. respuestas que retornan a la dependencia A-P, en este caso “igual P-igual A”;

2. respuestas con base en la dependencia A-P, que se tratan de justificar;

3. respuestas en las que el interrogatorio ayuda a restablecer la independencia P-A;

4. respuestas que declaran independencia A-P, producidas por deducción operatoria.

Veamos primero un ejemplo de respuesta tipo a) y uno de tipo b) ante el problema “dos corrales (imaginados) de igual perímetro”:

1. [Los dos corrales tendrán] la misma área, el mismo tamaño, porque como las dos figuras que hagas son del mismo perímetro, van a tener la misma área (V5-10).

2. Porque si hay un perímetro igual, también tiene que medir la misma área [trata de justificar utilizando dos listones de igual longitud para hacer un círculo y un triángulo isoperimétricos, pero después de unos momentos de reflexión no continúa porque no tiene elementos para medir sus áreas] (N4-10).

A continuación, insertamos algunas respuestas ubicadas en d), así como los razonamientos que las sustentan.

Respuestas que declaran independencia P-A por deducción operatoria. En este caso, los argumentos se basan en una anticipación (deductiva) de las transformaciones. Identificamos dos tipos de argumentos:

1. Las concavidades, o número de vértices o lados, provocan una variación en el área (3 niños).

2. A una variación en las medidas de rectángulos isoperimétricos corresponde una variación en el área; los rectángulos más próximos al cuadrado tienen mayor área (3 niños).

Los siguientes son ejemplos de 1).

Se señalan como prueba las figuras cóncavas elaboradas en problemas anteriores (A410), como se ve en la Fig. 6:

Fuente: elaboración propia.

Figura 6 Figuras que muestran que las concavidades provocan una variación en el área  

Con más esquinas quedaría el espacio reducido; [“dibuja” en el aire una figura en zigzag y luego dibuja una figura con muchas entrantes en el papel] (C4-9).

Hice dos figuras diferentes, y con esas dos figuras pude hacer mismo perímetro pero que en el área cupieran menos animales (J5-11).

Fuente: elaboración propia.

Figura 7 Figuras elaboradas para mostrar que las concavidades pueden disminuir el área y mantener el perímetro constante  

Ejemplos de respuestas tipo 2) son:

E6-12 y F6-11 usaron como argumento implícito de su respuesta que, entre un cuadrado y un rectángulo no cuadrado isoperimétricos, el cuadrado tiene un área mayor. Uno pensó en un rectángulo con medidas 30 x 10 y un cuadrado de lado 20; el otro, en un rectángulo de dimensiones 15 x 5 y un cuadrado de lado 10. Ambos mostraron que el perímetro es el mismo, pero las áreas son diferentes.

Z6-10 utilizó los argumentos mencionados en 1) y 2) para explicar su respuesta y luego extrajo la siguiente conclusión:

Pues saco [por conclusión] que no depende del perímetro cómo sea el área, y no depende del área cómo sea el perímetro, como en estos dos ejemplos… Porque haz de cuenta que aquí tienen el mismo área, pero no tienen el mismo perímetro, y aquí tienen el mismo perímetro, pero no tienen el mismo área [va señalando las figuras del problema “tres corrales” y luego las que hizo con los listones disponibles para resolver el problema] (Z6-10).

Respuestas que reconocen abiertamente la independencia área-perímetro

Este tipo de respuestas fueron las más numerosas. En quienes responden de este modo prevalecen algunas formas de razonamiento: la perspectiva sobre el área se ha vuelto totalmente dinámica, es decir que es posible anticipar transformaciones y elaborar respuestas a partir de estas anticipaciones. Una idea importante que aparece en quienes responden de esta manera es que hay transformaciones en el perímetro que afectan el área:

El área, depende de cómo esté organizado el perímetro (M5 -11).

Puede [ser] que la plaza que tiene menor perímetro tenga más área, por como se pueden acomodar las plazas (J5-11).

Otra idea poderosa que predomina entre quienes responden por deducción operatoria es la construcción de rectángulos isoperimétricos (o no isoperimétricos, según sea el caso), para tratar de explorar la relación entre las medidas de los lados y el área. Surgen aquí dos ideas-fuerza en los niños que podemos considerar como en un nivel más alto de comprensión de las relaciones área-perímetro: a) “el cuadrado tiene más área que un rectángulo” no cuadrado (F6-11); b) dados dos perímetros iguales, “un rectángulo ultra-largo y ultra-angosto” te asegura que el área sea más pequeña (M5-11).

Algunas ocasiones (cuatro) apareció la idea de elaborar polígonos con entrantes para disminuir el área, manteniendo el perímetro; es otra estrategia que permitió a los niños concluir: “[el área] depende de cómo esté acomodada la figura”, o “si [el perímetro] tiene más ‘vueltas’, puede disminuir [el área]” (A4-10).

Figura 8 Figura elaborada por J5-11 para mostrar cómo el área de la plaza depende de “cómo esté acomodada” 

Fuente: elaboración propia.

Figura 9 Rectángulo elaborado por M5-11 para mostrar la validez de su idea acerca de cómo un rectángulo “ultra-largo” y “ultra-angosto” tiene menos área que otro isoperimétrico con forma más cercana al cuadrado 

En general, entre quienes han reconocido independencia entre el área y el perímetro, hay un desprendimiento de los casos específicos, aunque se basan en ellos para obtener conclusiones del tipo: “la forma cambia el área” (F6-11), refiriéndose a que el área depende de las dimensiones de los rectángulos isoperimétricos, “saco [por conclusión] que no depende del perímetro cómo sea el área, y no depende del área cómo sea el perímetro, como en estos dos ejemplos (Z6-10)”. El dinamismo de las imágenes alcanzado por estos niños se ve también en expresiones como: “contesté mal [el problema la primera vez] porque no había pensado en la forma de las plazas” (E6-12), o “¡pues ya ni sé, porque resulta que a veces una figura tiene un perímetro grande y un área bien chiquita! Pueden ser las dos” (M5-11 se refiere a que puede cumplirse tanto la afirmación “mayor P, mayor A”, como “mayor P, menor A”).

Conclusiones

Esta investigación tuvo como primer objetivo conocer si un grupo de niños de entre 9 y 12 años acepta espontáneamente la regla “mayor perímetro, mayor área”. Una vez comprobado que éste era el caso, la intención fue evaluar si al proponer a los participantes una serie de problemas que implican diversas relaciones área-perímetro: a) abandonan la intuición expresada en esta regla durante el proceso de resolución de dichos problemas; y b) cuál es el proceso mediante el cual ocurre este abandono.

La indagación se realizó con 12 niños de alto desempeño escolar en matemáticas que cursaban cuarto, quinto y sexto grado de educación primaria. No obstante que los participantes estaban por encima del promedio en su desempeño matemático escolar, en su mayoría no habían reflexionado sobre las relaciones entre el área y el perímetro de figuras planas, o al menos no dieron muestra de ello. Todos sostuvieron inicialmente que “a mayor perímetro, mayor área” y, en su mayoría, mostraron una perspectiva estática del área, así como una convicción de que la relación enunciada entre área y perímetro es necesaria. No obstante, de manera distinta a como se ha afirmado en investigaciones como la de ^{Stavy y Tirosh (1996)}, identificamos tres niños que desde su primer acercamiento problematizaron la situación y trataron de obtener evidencias que sustentaran su respuesta dibujando rectángulos de dimensiones variadas y calculando y comparando sus áreas. Es debido a la falta de sistematicidad en las pruebas generadas por ellos mismos para explorar las relaciones A-P, que en su primer encuentro con estas relaciones concluyeron en el sentido que dicta la intuición.

No obstante, los datos muestran que con el diálogo derivado de la resolución de los problemas planteados -y habiendo mediado el apoyo de representaciones físicas de las figuras y su manipulación libre- la mayoría comprendió que las relaciones A-P no son obligadas. Es decir, aceptaron la independencia entre el área y el perímetro, aunque con distintos niveles de claridad y certeza. El proceso que antecedió a tal aceptación se describe en seguida, conforme a nuestras preguntas y objetivos de investigación.

El papel heurístico de las imágenes. Piaget sostuvo hace décadas que el papel heurístico de las imágenes es fundamental en el desarrollo de la deducción operatoria en geometría. En esta investigación constatamos dicho valor. Proporcionar a los alumnos representaciones físicas de las figuras referidas en algunos problemas fue un factor esencial para el abandono de la intuición “a mayor perímetro-mayor área” y sus variantes, incluso entre quienes desde el inicio problematizaron la relación. En efecto, el hecho de visualizar y manipular figuras donde se puso en evidencia la independencia A-P (problema “los tres corrales”) pareció favorecer la ruptura con la intuición “más A, más P”. En esta situación, la manipulación y la reflexión sobre ella dio a cuatro niños la posibilidad de identificar la independencia en el caso “igual área, distinto perímetro”. Mientras que, para otros cinco, proporcionó un medio para comprobarla.

Las figuras incluidas en el problema “los dos corrales” tuvieron un papel similar al anterior. En este caso, la concavidad en una de ellas jugó un rol fundamental para reconocer (o confirmar, en el caso de quienes desde el inicio desconfiaron de la intuición) que es posible la relación “mayor perímetro-menor área”. Lo anterior al hacerse evidente que es posible lo que parece una paradoja: la concavidad aumenta el perímetro a la vez que disminuye el área.

La anticipación y la prueba de hipótesis. ^{Bang (1965a}; ^1965b) afirma que las constataciones empíricas a través de manipulación de materiales sirven para verificar hipótesis elaboradas por los niños. En su opinión, la representación visual apoya de manera importante en el progreso hacia la deducción geométrica. En este estudio, como ya lo mencionamos, las representaciones físicas y su manipulación efectivamente favorecieron, tanto la reflexión sobre las relaciones implicadas, como la capacidad de elaborar hipótesis. Esto porque, como señalan ^{Piaget (1971)} y ^{Piaget e Inhelder (1997)}, el resultado de la acción se proyecta hacia el plano de las representaciones (mentales), y con ello favorece la capacidad de anticipar los resultados de posibles transformaciones, tanto sobre las figuras presentes, como sobre figuras imaginadas.

Estas hipótesis anticipatorias se observaron progresivamente en las tareas de resolución de los problemas y mostraron su funcionalidad en el progreso hacia la deducción operatoria en el caso específico de las relaciones A-P, puesto que constituyeron un instrumento que, como vimos, permite manipular y transformar las figuras y establecer relaciones A-P en el pensamiento sin que las figuras estén físicamente presentes, o sin que las transformaciones se realicen físicamente. Tal fue el caso de la producción de figuras con muchas entrantes para disminuir el área y aumentar el perímetro.

Conviene, empero, enfatizar que esta capacidad de generar hipótesis y anticipar resultados no es lineal. Ante los problemas en los que -ya avanzada la actividad- no se proporcionaron representaciones físicas de las figuras (por ejemplo, en el problema “corrales [imaginados] de perímetro igual”), cinco niños regresaron a la primera intuición, al perder de vista las distintas posibilidades en las relaciones A-P, cuestión que habían ganado con la manipulación física de las figuras.

A pesar de esta “recaída” observada en algunos niños, al finalizar la resolución de los problemas y haber establecido un diálogo reflexivo sobre las soluciones, la mayoría modificó su perspectiva inicial sobre las relaciones A-P.

Así, ante el segundo planteamiento del problema “las dos plazas”, actividad con la cual se cerró la secuencia que permitió identificar el proceso hacia la deducción operatoria, la mitad de los participantes mostró haber abandonado de manera franca la idea inicial para dar paso a otra más flexible y dinámica: las relaciones entre área y perímetro no son obligadas.

El valor de la anticipación y generación de hipótesis se constató, por ejemplo, en los acercamientos producidos para resolver el problema “las dos plazas” y otros similares:

La potencia de la anticipación y producción de hipótesis, y su impacto en el pensamiento, se observa especialmente en las respuestas de algunos niños: en el hecho de “hacer rectángulos ‘ultra largos’ y ‘ultra angos- tos’ para producir figuras ‘con mucho perímetro’ y área ‘bien chiquita’”, y en hacer figuras con múltiples entrantes para aumentar el perímetro y disminuir el área, o en sugerir plazas y parques con perímetros notablemente sinuosos.

¿En qué momento y ante qué situaciones se rebasan los límites de la imagen concreta y se actúa con base en la deducción operatoria? Al iniciar la investigación nos planteamos esta pregunta. Al finalizarla, nos damos cuenta que la respuesta, ni es fácil, ni es única. Algunos niños, nos parece, iniciaron la actividad con una reflexión importante sobre las figuras concretas; de ahí que no hayan respondido intuitivamente ni siquiera al problema de las dos plazas. Otros, en cambio, no habían hecho ninguna reflexión al respecto.

No obstante la dificultad mencionada, hay aspectos que es posible destacar. En el punto final de la secuencia, quienes reconocieron la independencia en la variación área-perímetro utilizaron la deducción operatoria, que en geometría se caracteriza por la capacidad de transformar las figuras en el pensamiento, de anticipar las transformaciones y sus consecuencias, de apartarse de las imágenes concretas e ir más allá de ellas para obtener conclusiones. Algunos niños, en cambio, sostuvieron sus ideas iniciales y otros titubearon, o señalaron la necesidad de contar con medidas precisas para poder establecer la relación con certeza. Pero aún este último tipo de respuestas nos parece un avance en el abandono de la intuición “mayor P, mayor A”, y en el camino hacia la deducción operatoria en geometría, porque las respuestas ya no reflejan el automatismo inicial, ni una concepción estática del área, sino una cierta reflexión que lleva a considerar necesario medir para poder responder.

Ahora bien, en muchos de los niños se observa la capacidad de resolver (con base en la deducción operatoria) los problemas donde los corrales ya no están presentes físicamente, mientras que, para otros, las manipulaciones físicas se mostraron como condición obligada para mantenerse alejados de la intuición y, por ello, fallaron en estos problemas.

En otras palabras, por ahora no es posible dar una única respuesta a nuestra pregunta. Los distintos niveles de progreso en la capacidad deductiva con que cada niño inició la secuencia parecen intervenir en ello. No obstante, reiteramos que la visualización y manipulación de figuras, en general, fueron fundamentales para hacer progresar hacia la deducción operatoria, sin importar el nivel que ésta hubiera alcanzado al momento de resolver los problemas.

Por último, un dato destacable es que la edad parece contar en alguna medida en el desarrollo de la deducción operatoria, pues es fácil observar que, a excepción de una niña de cuarto grado, los niños de 11 o 12 años son los que reflejan en sus respuestas un abandono franco de la intuición y la aceptación de la independencia A-P mediante deducción operatoria.