Introducción

Los códices mayas de Dresde y Madrid registran almanaques y tablas de 4 x 65 días (^{Aveni, Morandi y Peterson, 1995: tablas 1a y 1b}; ^{Vail y Aveni, 2004: tabla 8.1, 221s}; ^{Bricker y Bricker, 2011: 660-674}), cuya iconografía y estructura concuerdan con rituales agrícolas de agua y fuego descritos en textos coloniales (^{Rice, 2004: 245-248}; ^{Bricker, 2007: 37-39}; ^{Morales, 2014}). Las principales fechas solares que definen dichos intervalos rituales, según lo informan distintos estudios etnográficos, coinciden con puntos del horizonte hacia los que se orientan numerosas estructuras arquitectónicas prehispánicas (^{Sánchez y Šprajc, 2015: 89-105}; ^{Vail y Looper, 2015}; ^{Méndez, 2012}). De esta forma, las mismas fechas utilizadas en la Mesoamérica ancestral para delimitar las temporadas de lluvia y sequía, y para señalar los momentos propicios para la siembra, cosecha y recolección, habrían sido perpetuadas por medio de estas construcciones, o por otros elementos orientados hacia el cenit o el horizonte (^{Šprajc, 2017}; ^{Broda, 2016}; ^{Wood y Márquez, 2016}; ^{Galindo, 2015}; ^{Carter, 2014: 35-38}; ^{Aldana y Fash, 2014}; ^{Green, 2014}; ^{Aveni, 2013}; ^{Montero, 2013}; ^{Grofe, 2012}; ^{Zaro y Lohse, 2005}; ^{Aveni, Dowd y Vining, 2003}; ^{Espinosa, 2002}; ^{Morante, 2001}; ^{Soruco, 1991}; ^{Aveni y Hartung, 1986}, ¹⁹⁷⁶, ¹⁹⁷⁵; ^{Hohmann y Vogrin, 1982}; ^{Tichy, 1978}; ^{Drucker, 1977}; ^{Hartung, 1968}; ^{Morley, 1920}).

Estas efectivas técnicas de seguimiento solar no satisfacen, sin embargo, una importante conclusión extractada por la doctora Johanna ^{Broda (1971}, ¹⁹⁸³⁾ luego de observar la “correspondencia entre los ritos, los fenómenos climatológicos y la agricultura” (^{Šprajc, 2000: 135}): “debe haber existido algún método, aún desconocido, para mantener el calendario en concordancia con el año solar” (^{Broda, 1983: 145}). (Contrástese la posición de Broda con otros estudios sobre años solares de ^{Iwaniszewski, 2013}; ^{Šprajc, 2000}; ^{Bolles, 1990} y ^{Teeple, 1931}.)

La metodología aquí propuesta plantea una solución viable para los referidos problemas de sincronía, partiendo del análisis de estructuras de 4 x 65^d inscritas en códices prehispánicos y podría reflejar, por ende, algunos aspectos perdidos del conocimiento indígena atávico.

Justificación

La importancia de la sincronía entre fechas solares y ciclos calendáricos y astronómicos, se fundamenta principalmente en razones rituales y de subsistencia. Para los antiguos mayas (y demás culturas afines de Mesoamérica) resultaba conveniente establecer fechas canónicas de referencia coincidentes con fenómenos climatológicos periódicos que eran determinantes para los procesos agrícolas, como las temporadas de lluvia y sequía o los tiempos considerados propicios para sembrar y cosechar. Conscientes de que el calendario Jaab' y el año trópico carecían de concordancia permanente, y ante el riesgo que implicaba tener que regular sus actividades agrícolas esenciales dependiendo exclusivamente de observaciones astronómicas expuestas al albur de las condiciones atmosféricas, los antiguos habitantes de Mesoamérica habrían experimentado la necesidad de encontrar algún tipo de correspondencia solar a través de ciclos canónicos alternativos, como la cuenta ritual de 260^d, de hecho su opción más probable. Al respecto, ^{Šprajc (2000: 151 s.)} comenta y cita lo siguiente:

Asimismo parece significativo que en algunas comunidades indígenas que conservan las formas menos distorsionadas del calendario prehispánico, el año de 365 días tiene poca importancia para la regulación de los trabajos agrícolas; es el ciclo ritual de 260 días el que sirve para estos fines, en combinación con las observaciones astronómicas.¹

El agricultor, por su parte, ha de procurar que la quema se lleve a cabo antes de que lleguen las primeras lluvias, pues, de lo contrario, quedaría imposibilitado para hacerlo, perdiendo así la ocasión de usar el terreno talado. Para preservarse de este peligro, el milpero suele acudir a alguno de los dos escribas que hay en el cacicazgo, el cual, usando un almanaque impreso en Mérida, le puede anunciar la clase de tiempo que ha de hacer en cada uno de los meses venideros.

De ello podría colegirse que dicha combinación de técnicas rituales-astronómicas acabó por producir un método eficaz de seguimiento del año trópico fundamentado en el uso de la cuenta ritual de 260^d, u otro "ciclo maya" útil. Las observaciones astronómicas, por su parte, habrían cumplido una importante función adicional de calibración, necesaria para validar y optimizar la pretendida sincronía entre ciclos. Sin perjuicio de lo anterior, en siglos posteriores a la ocupación española los agricultores se habrían visto obligados a conciliar sus rituales ancestrales con doctrinas católicas impuestas, ejerciendo un conveniente sincretismo a través del cual determinados "días de Santos" establecidos en el calendario cristiano habrían pasado a desempeñar las funciones inherentes a su ciclo ritual (^{Méndez, 2012}; ^{Sánchez y Šprajc, 2015: 94-97, 100s}).

Conforme a los resultados obtenidos durante esta investigación, se infiere asimismo que la metodología aquí propuesta podría ser un instrumento útil para articular diversos modelos de representación e interpretación solar basados en el estudio de orientaciones astronómicas, cámaras cenitales y calendarios observacionales.

Fundamentos y métodos

Los métodos aquí desarrollados se inspiran en ciertos almanaques contenidos en los códices mayas de Dresde y Madrid que dividen la duración del ciclo ritual de 260^d en cuatro intervalos equivalentes de 65^d. Estas particiones pueden estar conformadas a su vez por trayectos o distancias menores, técnicamente denominadas "Números de Distancia".

Los almanaques de 4 x 65^d

La Figura 1 ilustra un almanaque típico de 4 x 65^d que se caracteriza por representar en cada una de sus particiones los cuatro rumbos y colores principales de la cosmovisión maya: rojo al oriente, blanco al norte, negro al occidente y amarillo al sur. Los respectivos textos jeroglíficos del almanaque, inscritos a doble columna, confirman dicha información y asocian estas cuatro direcciones cosmológicas con distintas manifestaciones de Chaak, el dios de la lluvia.

Figura 1 Almanaque D.30b-31b (Códice de Dresde). 

La estructura de este almanaque -delineado en el sector central de las páginas 30 y 31 del Códice de Dresde- se ilustra en la Tabla 1, en donde sendos intervalos de 65^d separan las fechas 8 Chikchan, 8 Ok, 8 Men y 8 Ajaw del ciclo ritual. El Número de Distancia de 65^d que, desde 8 Ajaw conduce hacia 8 Chikchan, representa el completamiento de un ciclo ritual de 260^d, a partir del cual, la secuencia descrita por la estructura del almanaque D.30b-31b podría repetirse ad infinitum. Para fines de diferenciación, las sucesivas fechas 8 Chikchan, así obtenidas, podrían registrase en renglones consecutivos, bajo una misma columna.

Tabla 1 Estructura de (4 x 65^d) x 260^d del almanaque D.30b-31b. 

A		B		C		D
8	+65	8	+65	8	+65	8	+65
Chikchan		Ok		Men		Ajaw
+260		+260		+260		+260
8	+65	8	+65	8	+65	8	+65
Chikchan		Ok		Men		Ajaw
+260		+360		+260		+260
8	+65	8	+65	8	+65	8	+65
Chikchan		Ok		Men		Ajaw

Autor: Carlos Barrera Atuesta.

Una estructura de estas características estaría conformada, en consecuencia, por intervalos horizontales de 65^d e intervalos verticales de 260^d, y se le podría denominar "estructura de 65^d x 260^d". Sobre un sistema reticular de tales características se fundamenta este proyecto.

El módulo aritmético

El módulo aritmético es una herramienta simple, pero poderosa, para el análisis de fenómenos cíclicos. Por definición, el módulo A de un número B es el residuo r que se obtiene al dividir B entre A, y su expresión matemática es B mod A = r

Una aplicación práctica de este operador aritmético podría ser la siguiente: supóngase que es domingo y se desea saber qué día de la semana será dentro de 40^d. Como la semana representa un período de 7^d, entonces todo múltiplo entero de 7^d conducirá de nuevo hacia un día domingo. Por tal motivo, después de transcurridos 5 x 7^d = 35^d, aún será domingo, y se requerirán 5^d adicionales para completar los 40^d pretendidos. Esto se traduce, por supuesto, en que 40^d después de un día domingo se alcanzará un día viernes. Habría bastado, por tanto, con avanzar únicamente 5^d desde el domingo de origen para conocer la respuesta; dato que hubiésemos obtenido directamente de haber efectuado la operación 40 mod 7 = 5.

Obsérvese ahora qué hubiese sucedido una semana después de aquel domingo situado a 5 x 7^d del origen. Los días transcurridos habrían sido 6 x 7^d = 42^d, y no los 35^d inicialmente considerados, así que los 40^d en cuestión se habrían celebrado tan solo un par de días antes del cumplimiento de la sexta semana. Con base en el anterior análisis se podría definir entonces que, en un contexto cíclico, existen dos direcciones válidas de solución, una positiva y otra negativa. La solución negativa (-2) se obtiene al sustraer el valor del módulo (7) de la solución positiva (5).

De forma un poco más técnica, el uso del operador módulo (mod) se podría describir en función de los siguientes elementos relacionados con la división de los números B/A: Dividendo (B), divisor (A), cociente (C) y residuo (r), por lo que la relación operacional se cumple del siguiente modo: B = (C x A) + r.

Para una secuencia cíclica y de modo genérico, el cociente C indica el número de ciclos completos, y el residuo r, el avance del número B dentro del ciclo siguiente. Por tanto, para poder conocer qué cantidad R falta para completar el ciclo siguiente, se requiere calcular R = A - r. Resulta más práctico, sin embargo, reformular dicha expresión en función de una cantidad erre prima (R’) de días, correspondiente a la ecuación R’ = r - A, para que el signo negativo del resultado indique que se trata de una posición anterior. Tenemos entonces que el módulo aritmético indica el orden dentro de algún ciclo, por lo que si B = 40 y A = 7 (datos del ejemplo inicial), se tendrá entonces que el residuo r = 5 indica el quinto día (viernes) después del día 0 (domingo).

Ahora bien, sabemos por inscripciones epigráficas que los mayas del período Clásico equiparaban la fecha del "fin de período" anterior con el "asiento" u origen del período en curso (ver Figura 2, donde la inscripción cronológica de Palenque 13.0.1.9.2 13 Ik’ homologaba la fecha 20 Mol del ciclo anterior con el origen 0 Ch’en del ciclo en curso).

Figura 2 Registro cronológico 13.0.1.9.2 13 Ik’ 0 Ch’en (asiento de Ch’en) inscrito en el panel del Templo de la Cruz de Palenque como 13.0.1.9.2 13 Ik’ 20 Mol (fin de Mol) (Según Linda Schele). 

Al aplicar este mismo criterio al día domingo de nuestro ejercicio, tenemos entonces que su posición puede ser representada como cero, pero también como siete. Es por esta razón que justificábamos la existencia de una "solución negativa" (más corta) que podríamos definir en función de una cantidad R’ (erre prima) de días, expresable mediante la ecuación R’ = r - A, cuya operación resultante (-2) indica la posición del día quinto (viernes) respecto del día séptimo (domingo).

En las Tablas 2 y 3 se relacionan los principales intervalos utilizados en el artículo, y la forma en que éstos se ven afectados por el operador aritmético “módulo” (mod), detallando para cada caso los elementos involucrados en el proceso. Los valores positivos de los intervalos se registran en la Tabla 2, y los valores negativos, en la Tabla 3. Nótese el intercambio de valores entre residuos (r) y complementos (R), así como la diferencia en el número de ciclos completos cuando un intervalo pasa de ser positivo a negativo (siendo el cociente C la función entero de B/A).

Tabla 2 Relación y análisis de los principales intervalos utilizados en el artículo, y detalle de los valores obtenidos para cada uno de los elementos que conforman el operador módulo. 

n	K	B=nK	A	C	r	R	R’
2	20	40	7	5	5	2	-2
56	65	3640	365.242253	9	352.819723	12.422530	-12.422530
59	65	3835	365.242275	10	192.577250	182.665025	-182.665025
112	65	7280	365.242253	19	340.397193	24.845060	-24.845060
118	65	7670	365.24.2275	20	365.154500	0.087775	-0.087775
236	65	15340	365.242275	41	365.066725	0.175550	-0.175550
292	65	18980	365.242253	51	352.645097	12.597156	-12.597156
360	65	23400	365.242253	64	24.495808	340.746445	-340.746445
472	65	30680	365.242253	83	364.893001	0.349252	-0.349252
584	65	37960	365.242253	103	340.047941	25.194312	-25.194312

Autor: Carlos Barrera Atuesta.

Tabla 3 Relación y análisis de los principales intervalos utilizados en el artículo, y detalle de los valores obtenidos para cada uno de los elementos implícitos del operador módulo. 

n	K	B=nK	A	C	r	R	R’
-2	20	-40	7	-6	2	5	-5
-56	65	-3640	365.242253	-10	12.422530	352,819723	-352.819723
-59	65	-3835	365.242275	-11	182.577250	182.577250	-182.577250
-112	65	-7280	365.242253	-20	24.845060	340.397193	-340.397193
-118	65	-7670	365.24.2275	-21	0.087775	365.154500	-365.154500
-236	65	-15340	365.242275	-42	0.175550	365.066725	-365.066725
-292	65	-18980	365.242253	-52	12.597156	352.645097	-352.645097
-360	65	-23400	365.242253	-65	340.746445	24.495808	-24.495808
-472	65	-30680	365.242253	-84	0.349252	364.893001	-364.893001
-584	65	-37960	365.242253	-104	25.194312	340.047941	-340.047941

El cociente C (ciclos completos) ha sido obtenido al aplicar la función entero (Z) a (B/A).

Autor: Carlos Barrera Atuesta.

En dichas tablas, el valor n indica el número (y la dirección) de las repeticiones aplicadas al factor K, que aquí describe intervalos múltiplos de 13^d y 20^d, pero que también podría ser utilizado para representar otros múltiplos reconocidos de 7^d y 9^d.

Desarrollo de estructuras de 65^d x 260^d

A partir del solsticio de invierno de diciembre 21 -la referencia natural de origen más probable del calendario solar maya- (^{Bricker, 1982}; ^{Tichy, 1991}; ^{Sánchez y Šprajc, 2015: 89 s.}), se adicionan y sustraen intervalos múltiplos de 65^d, procediendo a registrar las fechas solares obtenidas dentro de un sistema coordenado en donde cada unidad básica de desplazamiento representa 65^d en la escala horizontal, y 260^d en la escala vertical (Figura 3). Bajo este tipo de ordenamiento, el avance del tiempo se define siguiendo la direccionalidad de la lectura (de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo). La distribución simétrica de celdas en torno al solsticio de referencia facilita la identificación de patrones de distancia.

Figura 3 Desarrollo inicial de una estructura de 65^d x 260^d. Solsticio de referencia: diciembre 21 de 599, según el calendario gregoriano proléptico. Autor: Carlos Barrera Atuesta. 

En un sistema reticular de estas características, cada fecha solar registrada será obtenida nuevamente después de transcurridos 118 desplazamientos horizontales consecutivos (cf.Tablas 2 y 3), en virtud de que:

Donde r y R’ representan las soluciones positiva y negativa del sistema, es decir, las posiciones en adelanto y en atraso del intervalo (B) múltiplo de 65^d, respecto del año trópico real (A). Estos resultados indican, por tanto, que han transcurrido 20 años solares (C), más la fracción 365.1545^d (r), y que tan solo falta -pues así lo indica el signo negativo del valor de R’- una fracción de 0.087775^d para completar el ciclo siguiente (el vigésimo primero).

Por ende, la diferencia acumulada entre 21 años trópicos del período Clásico (conforme era su duración para finales del siglo VI; ^{Meeus y Savoie, 1992: 42}) y 118 repeticiones de 65^d, corresponde a 0.087775^d (2 horas, 6 minutos y 23.76 segundos). Sin embargo, la sincronía entre el ciclo ritual de 260^d y el calendario solar se obtiene únicamente tras recorrer 236 celdas horizontales (ver Tablas 2 y 3), en cuyo momento la diferencia entre 42 años solares y 59 ciclos rituales es de 0.175550^d (4 horas, 12 minutos y 47.52 segundos) ya que:

Por tal motivo, la precisión del modelo (establecida en ±1 día) será suficiente para efectuar proyecciones confiables en un rango de ±239.248077 años (ya que se acumula un error de ±1^d por cada ±42/0.175550 años), tiempo suficiente para anticipar las condiciones climatológicas generales que determinarán los ciclos agrícolas y rituales de las siguientes nueve o diez generaciones.

Como consecuencia de las restricciones impuestas por estos sistemas de retículas que reflejan una de las formas más comunes en que los antiguos mayas estructuraban el tiempo (^{Aveni, Morandi y Peterson, 1995: tablas 1a y 1b}), la separación existente entre los solsticios de invierno y verano, y entre las demás fechas opuestas-complementarias del sistema, será de 59 x 65^d = 3835^d.

Grosso modo, el intervalo de 3835^d representa el cumplimiento de 10½ años trópicos (ver Tabla 2), ya que ½ x 365.242275^d = 182.6211375^d, mientras que:

La estructura deducida a partir del Códice de Dresde indica, por lo tanto, que, en el contexto de un mismo ciclo solar, la separación existente entre los solsticios de invierno y verano dista muy poco de ser simétrica y mutuamente equidistante.

Conjuntos de fechas de enlace

El intervalo de separación de 3835^d entre fechas opuestas-complementarias puede ser establecido con facilidad a través de dos conjuntos de "fechas de enlace" distanciadas por 7 x 260^d = 5 x 364^d = 1820^d, del entorno inmediato de ambos solsticios (o de las demás fechas que conforman el sistema).

Estos grupos de enlace (Figura 4a) se caracterizan por vincular, de forma consecutiva y alternada, fechas rituales y solares significativas coincidentes con reconocidos modelos de representación e interpretación solar basados en el estudio de orientaciones astronómicas, cámaras cenitales y calendarios de horizonte, así:

Figura 4 a) Transición entre diciembre 21 (de 599) y junio 22 (de 610). 

Febrero 12 y abril 30 pertenecen, por ejemplo, a los esquemas 1 y 2 de ^{Šprajc (2004: 92, tabla 1)}, al igual que las fechas agosto 13 y octubre 30, obtenidas a partir de un segundo grupo de fechas de enlace (Figura 4b) que opera como sigue:

Las demás fechas, por su parte, pertenecen a estructuras identificadas en almanaques del Códice de Dresde, coincidentes con referencias solares registradas en manuscritos coloniales como el de Juan de Rodas (^{Bricker, 1982: 102}), en donde diciembre 28 es equiparado con la fecha 1 Tzun del calendario Tzotzil, y también con estudios más recientes de ^{Sánchez y Šprajc (2015)} que contemplan estructuras arquitectónicas orientadas hacia abril 24 y agosto 20 (Champerico, Estr. 15-a; El Tigre, Estr. 1, Edificio Superior; Tikal, Templo III; Yaxnohcah, Estr. A-1; cf.Figuras 4a y 4b), o hacia febrero 18 y octubre 23 (Tikal, Templo IV; cf.Figuras 4a y 4c).

Autor: Carlos Barrera Atuesta.

Figura 4c Transición entre junio 21 (de 589) y diciembre 21 (de 599). 

En ese orden de ideas, la distancia que separa los solsticios de invierno y verano (Figura 4a) será de 1820^d + 3(65^d) + 1820^d = 3835^d, debido a que:

Distancia igual a la comprendida entre los solsticios de verano e invierno (Figura 4b):

De esta forma, se cumple un primer ciclo de 2 x 3835^d = 7670^d = 21 años solares, entre dichos solsticios de invierno (de 599 y 620). El solsticio de invierno de 599 ha sido seleccionado para ilustrar estas estructuras porque representa el punto medio del desarrollo del período Clásico comprendido, en términos generales, entre los años 250-950. Sin embargo, cualquier solsticio elegido arbitrariamente como referencia habrá de generar resultados similares.

Las secuencias del tipo "junio 22 vs. diciembre 21" representan las transiciones más comunes para solsticios distanciados por intervalos de 3835^d. No obstante lo anterior, y por motivos asociados a la forma en que opera el calendario gregoriano, la fecha diciembre 21 también puede ser obtenida eventualmente a partir de junio 21, como efectivamente acontece 3835^d antes de diciembre 21 de 599 (Figura 4c).

A propósito, nótese la correspondencia existente entre las respectivas fechas de enlace -expresadas en función del calendario gregoriano proléptico- que preceden por 1820^d al entorno de diciembre 21 de 599 (junio 15, agosto 19, octubre 23 y diciembre 27 de 594) y aquellas obtenidas para el año 1170 en la columna D del almanaque D.15b-16b (Figura 5; Tabla 4), que en este estudio siguen la solución de ^{Bricker y Bricker (1992: 61, 64)}, pero aplicando la constante de correlación 584285 (número de días transcurridos desde las 12:00 horas de enero 1 de 4713 a.C., del calendario juliano proléptico, hasta alcanzar la Fecha Era maya 13.0.0.0.0 4 Ajaw 8 Kumk’u en septiembre 8 de 3114 a.C. del calendario juliano proléptico, equivalente a agosto 13 de 3114 a.C. del calendario gregoriano proléptico).

Figura 5 Almanaque D.15b-16b de 4 x 65^d (Códice de Dresde). 

Obsérvese asimismo la concordancia existente entre las respectivas fechas de enlace del año 605 que preceden por 1820^d al entorno de junio 22 de 610 (Figura 4a), y aquellas registradas en la columna A del almanaque D.15b-16b (abril 24, junio 28, septiembre 1 y noviembre 5 de 1170).

Respecto a estas configuraciones, existen algunos aspectos de interés que ameritan ser comentados en virtud de la importancia que reviste su contexto cultural.

El almanaque D.15b-16b y su relación con otras estructuras de 65^d y 1820^d

El período de siembra es el tema principal del almanaque D.15b-16b, conforme lo insinúan sus escenas figurativas y lo confirman sus textos jeroglíficos. Los elementos iconográficos del almanaque, así como la postura singular de Chaak, asociada por los ^{Bricker (1992)} con el ‘doblez del año’ y la fecha 0 Yax, permitieron sugerir a dichos académicos un modelo de solución en ‘tiempo real’ que en su trabajo adopta la constante de correlación 584283.

En la versión propuesta por Victoria y Harvey Bricker, la iconografía del almanaque concuerda exclusivamente con la primera fila de la estructura (fechas comprendidas entre abril y junio de 1170), lo que excluye de su "instantánea" (en su acepción de "fotografía") a otras componentes del almanaque.

La identificación de un sistema de fechas solares que, de manera análoga a la fecha "asiento de Yax", alias 0 Yax, también representa un punto de inflexión situado a medio camino entre solsticios de tipo opuesto distanciados por 3835^d permite ofrecer aquí una visión más amplia de la escena, y esclarecer un poco más su relación con otras estructuras similares.

La así denominada Tabla del Agua, comprendida entre las páginas 69 y 74 del Códice de Dresde, incluye en su sección inferior (D.70b-73c) una tabla de múltiplos de 1820^d conformada por segmentos internos de 65^d. Aparte de sus evidentes propiedades matemáticas que permiten sincronizar siete ciclos rituales de 260^d con cinco "años computacionales" de 364^d, poco más podía decirse acerca de las potenciales funciones de este ciclo de 1820^d.

En el contexto del almanaque D.15b-16b, sendos intervalos -negativo y positivo- de 1820^d vinculan las fechas solares abril 24 y noviembre 5 (Tabla 4) -localizadas al inicio y al final de la columna A de la estructura- con las fechas canónicas abril 30 y octubre 30 (cf.Figuras 4a y 4b; Tablas 5 y 6) -que designan el inicio y el final de la temporada de lluvias en extensas regiones de Mesoamérica- estableciendo de esta forma una relación de afinidad con el argumento central de la Tabla del Agua. Nótese la correspondencia cercana respecto a las proyecciones de 1820^d y 65^d de ^{Bricker y Bricker (2011: 398s)} -donde 9.16.18.4.7 es mayo 1 de 769- y ^{Vail y Hernández (2013: 155s)} -donde 9.5.6.7.7 es octubre 28 de 540-, así como la concordancia iconográfica de la cifra 5.1.0 de 1820^d en el agua vertida por Chak Chel desde su cántaro durante la temporada de lluvias (^{Códice de Dresde, 74}).

Por su parte, los datos obtenidos en la columna D de la estructura (Tabla 4) enlazan el solsticio de verano del año 1165 (localizado 1820^d antes de junio 15 de 1170; Tabla 5), con el solsticio de invierno del año 1175 (localizado 1820^d después de diciembre 27 de 1170; cf.Tabla 6), mediante un intervalo de 1820^d + 3(65^d) + 1820^d = 3835^d, generándose de este modo una relación de correspondencia entre pares opuestos-complementarios (Figura 4c).

Los registros cronológicos del sitio clásico de Machaquilá, Petén, Guatemala

Una serie de inscripciones cronológicas del asentamiento arqueológico de Machaquilá -situado en la región suroriental de Petén, Guatemala- conmemoran la culminación de períodos ho’tuun de 5 x 360^d, y evidencian el seguimiento simultáneo de los tres principales ciclos solares mayas (360^d, 364^d y 365^d) mediante el registro de intervalos de 1800^d, 1820^d y 1825^d (^{Iwaniszewski, 2013: 300}, Tabla 6).

En las estelas bajo estudio (Tabla 7), el cumplimiento de los intervalos de 5 x 364^d = 7 x 260^d = 1820^d coincide con fechas de dedicación 1 Ajaw de la cuenta ritual, y los ciclos de 5 x 365^d = 1825^d concuerdan con registros 13 Kumk’u del calendario Jaab’. Para facilitar su identificación en la Tabla 7, las fechas 1 Ajaw han sido destacadas en rojo, y las dataciones 13 Kumk’u, en verde.

Otros intervalos representativos comprendidos entre las inscripciones cronológicas de Machaquilá están constituidos por ciclos mayas reconocidos no contemplados en estudios previos que, en último análisis, inducen a reconsiderar la forma en que pudo haber sido establecida la sincronía entre ciclos rituales y solares.

Las fechas 6 Ajaw de las Estelas 18 y 5 -en color púrpura- representan una transición de 23400^d, conformada por cinco repeticiones del intervalo maya de 4680^d (^{Códice de Dresde, 58b y 59c}) utilizado para proyectar eclipses de tipo opuesto, y para rastrear los movimientos sinódicos de Venus y Mercurio. Dicho intervalo de separación de 23400^d, se encuentra sugerido además entre el fin de k’atun 9.17.0.0.0 -a partir del cual se habrían efectuado sendas transiciones de 1800^d y 1820^d hacia la Estela 18- y la fecha 10.0.5.0.0 de la Estela 6.

La convergencia de ciclos de 1820^d y 1825^d sobre la fecha de dedicación de la Estela 3 resalta la importancia que habría tenido la Rueda Calendárica 1 Ajaw 13 Kumk’u para los antiguos habitantes de Machaquilá. Por tal motivo, resulta lógico suponer que los integrantes de su élite practicaran el seguimiento de dichas componentes rituales y Jaab’ a través del ciclo de 73 x 260^d = 52 x 365^d = 18980^d, atestiguado en las páginas 65-72,73b del Códice de Madrid (^{Vail y Aveni, 2004: 172s}), y asociado en otros contextos culturales de la antigua Mesoamérica con las ceremonias del Fuego Nuevo.

Otro período notable, esta vez establecido de manera explícita entre las respectivas fechas de dedicación de las Estelas 3 y 8, describe una duración de 2 x 1820^d = 3640^d (^{cf. Códice de Dresde, 45a, 64a y 71e}). En tanto que las Estelas 4 y 5, dedicadas con veinte años de diferencia, se correlacionan con la misma fecha solar de enero 1. Este hecho sugiere, tal y como lo había inferido ^{Broda (1983)}, que en la antigua Mesoamérica ya existían métodos para estimar la duración del año solar en, al menos, 365¼^d (resultado que se obtiene al analizar el intervalo de 7305^d comprendido entre las fechas de dedicación de las Estelas 4 y 5 de Machaquilá), y que este conocimiento pudo haber sido aplicado para intentar la coordinación entre ritos, fenómenos climatológicos periódicos y ciclos agrícolas.

La orientación de estructuras arquitectónicas hacia puntos específicos del horizonte habría resuelto efectivamente las dificultades para fijar fechas solares, pero no el asunto de la sincronía entre ciclos solares y rituales. Se concluye, por tanto, que “otro método, aún desconocido”, debió ser utilizado, y que se requiere revisar con atención la información aquí argüida para procurar dilucidarlo.

Ciclos rituales-solares

De la discusión anterior, podría extraerse lo siguiente:

Los antiguos mayas eran astrónomos avezados, así que debieron proceder a registrar la posición del sol en el horizonte para la fecha de dedicación de la Estela 3 (enero 8, según la información suministrada por la Tabla 7). La fecha de dedicación de la Estela 8, conforme consta en la Tabla 7, es equivalente a diciembre 26 (según el calendario gregoriano proléptico); punto que los antiguos astrónomos mayas también habrían señalado en el horizonte.

Resta por establecer entonces la fecha solar alcanzada después de transcurridos 18980^d desde la fecha de dedicación de la Estela 3. Para este fin, podríamos fijar un módulo aritmético de 365.242253^d (duración del año trópico para mediados del siglo IX; ver Tabla 2; cf.^{Meeus and Savoie, 1992: 42}), así:

Por lo tanto, se requiere retroceder 12.597156^d desde enero 8 (fecha de dedicación de la Estela 3) para conocer la fecha que habrían atestiguado los antiguos mayas en el horizonte una vez completada la siguiente Rueda Calendárica 1 Ajaw 13 Kumk’u. La sustracción preliminar de 12.0^d desde enero 8 conduce hacia diciembre 27, así que la sustracción de la fracción restante de día (0.597156) -que aproximaremos a 1.0 porque los antiguos mayas solo manejaban números enteros- habría conducido en consecuencia hacia diciembre 26. Es decir, hacia la misma posición solar registrada en la inscripción de la Estela 8.

Para sorpresa del astrónomo ancestral que hubiese efectuado estas observaciones, no solo habrían coincidido las respectivas posiciones del sol en el horizonte para la recién obtenida Rueda Calendárica y para la fecha de dedicación de la Estela 8, sino que también habrían coincidido sus respectivos componentes rituales. Un importante intervalo de sincronía entre ciclos solares y rituales había sido descubierto, y su duración era inferior a la expectativa de vida de muchos gobernantes mayas de la época (^{Martin y Grube, 2000}), de tal suerte que el cumplimiento de dos de estos ciclos consecutivos de sincronización bien pudo haber sido atestiguado por un mismo individuo, y por sus descendientes directos.

El intervalo obtenido corresponde en consecuencia a 18980^d - 3640^d = 15340^d, y puede ser expresado en función, tanto del ciclo ritual, como del año solar, a través de la relación de correspondencia 59 x 260^d = 42 años solares.

Para facilitar los cómputos cronológicos, las Figuras 6-9 incorporan un identificador único de fechas técnicamente denominado ‘día juliano’ (DJ), que representa la cuenta correlativa de días transcurridos desde el mediodía de enero 1 de 4713 a.C., según el calendario juliano proléptico. De esta forma, el lector podrá adicionar o sustraer los intervalos indicados de sus respectivos días julianos. Debe tenerse presente, sin embargo, que las demás fechas ilustradas en dichas imágenes continúan siendo expresadas en función del calendario gregoriano.

Autor: Carlos Barrera Atuesta

Figura 6 Proyección de la fecha diciembre 26 de 825 (cf.Tabla 7) a través de un ciclo ritual-solar de 15340^d = 18980^d - 3640^d. 

Autor: Carlos Barrera Atuesta

Figura 7 Obtención de ciclos rituales-solares de 30680^d a partir de estructuras básicas de 7280^d, 23400^d y 37960^d (cf.Tabla 7). 

Autor: Carlos Barrera Atuesta

Figura 8 Proyección de la fecha abril 11 de 1180 (cf.Tablas 4, 8 y 9) a través de un ciclo ritual-solar de 15340^d = 18980^d - 3640^d. 

Autor: Carlos Barrera Atuesta

Figura 9 Estructuras simétricas de tiempo vinculadas a septiembre 1 de 1180 a través de intervalos congruentes de 2080^d y 32760^d (cf.Tabla 8: columna B). 

El análisis de los intervalos ilustrados en la Figura 6 desvela una propiedad inédita de los múltiplos de 1820^d que se traduce en su capacidad para anticipar los efectos que genera la Rueda Calendárica sobre la posición del sol en el horizonte y, por consiguiente, en la fijación de fechas solares. Por tal motivo, la fecha obtenida después de transcurridos 52 ciclos de 365^d, i.e. 18980^d, será la misma fecha obtenida después de cumplidos tan solo 10 ciclos de 364^d, i.e. 3640^d = 2 x 1820^d.

Por extensión, los mayas habrían podido deducir entonces que el efecto solar generado por 104 ciclos de 365^d, i.e. 37960^d, equivalentes a 65 ciclos canónicos de Venus de 584^d (Códice de Dresde, 24, 46-50), era el mismo generado por tan solo 20 ciclos de 364^d, i.e. 7280^d, equivalentes a 4 ciclos de 1820^d (Códice de Dresde, 64), y que, en último análisis, esto era debido a que la diferencia entre sus respectivas duraciones concordaba con el cumplimiento de 84 años solares, es decir, con dos ciclos rituales-solares de 15340^d (ver Figura 7).

Es en este punto del análisis donde adquiere sentido práctico el intervalo de 23400^d identificado entre las inscripciones cronológicas de las Estelas 18 y 5 de Machaquilá, ya que dicho período (equivalente a 65 ciclos de 360^d) puede ser complementado con una veintena de ‘años computacionales’ de 364^d para producir, nuevamente, 84 años solares (Tabla 7; Figura 7).

Esto explicaría, además, por qué resultaba esencial para la antigua élite de Machaquilá realizar el seguimiento simultáneo de los ciclos solares fundamentales de 360^d, 364^d y 365^d.

Intervalos congruentes

La revisión de los casos anteriores permite proponer un procedimiento sencillo para obtener intervalos canónicos congruentes, es decir, intervalos que generan desplazamientos similares respecto del ciclo anual, tal y como acontece con los intervalos de 7280^d, 37960^d y -23400^d (ver Tablas 2 y 3).

El procedimiento en cuestión consiste en adicionar o sustraer múltiplos consecutivos de 118 x 65^d = 7670^d a partir de un ciclo maya reconocido hasta lograr obtener otro intervalo canónico significativo. Para el caso aquí referido, los intervalos de 37960^d y -23400^d habrían sido sintetizados a partir del ciclo de 7280^d = 28 x 260^d = 20 x 364^d = 4 x 1820^d, de la siguiente forma:

Se considera que los intervalos de 37960^d y 23400^d son significativos porque, al igual que el intervalo de 7280^d, pueden ser expresados en función de ciclos mayas reconocidos, como 117^d, 260^d, 360^d, 365^d, 584^d y 585^d. Condición que aquí se cumple, ya que 37960^d es función de 260^d, 365^d y 584^d; mientras 23400^d es función de 117^d, 360^d y 585^d (ver Figura 7).

Por otra parte, los intervalos múltiplos de 7670^d fueron estudiados bajo diferentes circunstancias por al menos cinco investigadores, que aportaron evidencia y sustento teórico. En ^{1981, Robert D. Peden2} propuso un sistema de enclavamiento de ciclos celestes en donde 42 años trópicos eran equiparados con 59 ciclos rituales de 260^d; en ^{1995 Elzbieta Siarkiewicz} deduce a partir de códices no mayas que 42 años trópicos son equivalentes a 15340^d; en ^{2000, Simon Martin y Nikolai Grube} advierten que sendas inscripciones epigráficas registradas en los Monumentos 161, 3, 29, 111 y 134 de Toniná (^{Mathews, 2001}) se encuentran distanciadas por 59 ciclos rituales de 260^d que describen 42 años solares; y en 2011, el autor descubre que el intervalo de 30680^d representa la sincronía entre 84 años solares, 118 ciclos rituales y 83 períodos sinódicos de Urano (el planeta más distante aún detectable a simple vista desde la Tierra bajo condiciones atmosféricas óptimas).

El intervalo de 30680^d = 11960^d + 2(9360^d) también posee el potencial necesario para vincular durante su trayecto diversas zonas de eclipses, conforme se deduce de la anterior identidad expresada en función de ciclos mayas de 11960^d y 9360^d, usados para describir dicho tipo de eventos.

Utilidad práctica

El sentido práctico de los métodos desarrollados podrá ser apreciado con mayor claridad si se considera su aplicación sobre la estructura del almanaque agrícola D.15b-16b. Para los efectos, se reproducen los intervalos ilustrados en la Figura 6, partiendo del origen 10.17.5.1.2 1 Ik’ 0 Yax, abril 24 de 1170 (ver Tabla 4), conforme se ilustra en la Figura 8. Las Tablas 8 y 9 describen en detalle las estructuras obtenidas para cada una de las fechas alcanzadas (abril 11 de 1180, y abril 11 de 1222). Al respecto, debe tenerse presente que la validez efectiva del almanaque D.15b-16b estará dada en términos de la fecha solar abril 24 y la componente Jaab’ 0 Yax, en el sentido de que ambas deben seguir perteneciendo al intervalo de 13^d comprendido entre los límites rituales (inclusivos) 1 Ik’ y 1 Men si se desea conservar la concordancia iconográfica.

La estructura del almanaque D.15b-16b obtenida al avanzar 3640^d desde abril 24 de 1170, inicia en 10.17.15.3.2 1 Ik’ 10 Ch’en, y se correlaciona con la fecha solar abril 11 de 1180 (Tabla 8; Figura 8). 10 Ch’en precede por 10^d a 0 Yax, y abril 11 precede por 13^d a abril 24. Por consiguiente, 10.17.15.3.12 11 Eb 0 Yax, y 10.17.15.3.15 1 Men 3 Yax (abril 24 de 1180), siguen perteneciendo al intervalo de 13^d delimitado por las fechas rituales 1 Ik’ y 1 Men, y como consecuencia de ello la estructura del almanaque agrícola D.15b-16b continúa siendo válida.

La proyección de 18980^d a partir de 10.17.5.1.2 1 Ik’ 0 Yax conduce, por su parte, hacia una estructura con origen en 10.19.17.14.2 1 Ik’ 0 Yax (Tabla 9; Figura 8), en la que abril 24 de 1222 se sitúa sobre el extremo opuesto 1 Men del intervalo de 13^d, indicando que se ha alcanzado la vigencia máxima del almanaque.

Arqueológicamente hablando, los registros 10.17.5.1.2 1 Ik’ 0 Yax (abril 24 de 1170) y 10.19.17.14.15 1 Men 13 Yax (abril 24 de 1222) establecen el terminus post quem y el terminus ante quem para la operación práctica del almanaque agrícola D.15b-16b, en lo que concierne a su primer elemento iconográfico.

El efecto más evidente del cumplimiento de una Rueda Calendárica es, por consiguiente, la respectiva migración de 13^d hacia las columnas B y A de la estructura desarrollada para el año 1222 (Tabla 9), de las fechas de enlace que originalmente pertenecían a las columnas A y D del año 1170 (Tabla 4). Este mismo efecto se observa, por su parte, entre las estructuras de los años 1170 y 1180 (cf.Tablas 4 y 8; Figura 8), en virtud de la capacidad predictiva del intervalo de 2 x 1820^d = 3640^d. ^{Gemelli Careri (1927)} aseveraba que los indios de la Nueva España mantenían la correspondencia con el año trópico en el siglo XVII adicionando 13^d al fin de ‘siglo’ de 52 años (entendido como una Rueda Calendárica) para que el primer día del nuevo ‘siglo’ diera inicio siempre un 10 de abril (cf.Tablas 4 y 9; Figura 8).

Concordancia etnohistórica

En su obra Relación de las cosas de Yucatán, Diego de ^{Landa (1864)} establece la correspondencia entre el primer día del año maya, y julio 26 de 1553 del calendario gregoriano proléptico (julio 16 del calendario juliano), hecho que permite fijar la culminación del ‘mes’ Mak y sus respectivos rituales agrarios de fuego y agua (cf.^{Morales, 2014}) para abril 11. Esta fecha se encuentra en concordancia con el primer registro solar obtenido para el almanaque agrícola D.15b-16b, luego de aplicar sobre su estructura del año 1170 (Tabla 4) sendos intervalos de 3640^d y 18980^d (Tablas 8 y 9; Figura 8). Abril 11 también pertenece al Grupo 4 de orientaciones de Šprajc que suelen enfilar hacia el oeste (^{Sánchez y Šprajc, 2015: 74}, Tabla 7).

Conforme se argumenta en la sección titulada "módulo aritmético", la culminación en abril 11 del mes yucateco Mak -caracterizado por los procesos agrícolas de roza, tumba y quema- debió coincidir con el origen del período siguiente, dedicado al acopio de semillas, la remoción y siembra del terreno, actividades que se habrían prolongado durante dos trecenas más de días (cf.Tablas 4, 8 y 9), finalizando en mayo 7, poco después del inicio de la temporada de lluvias. Mayo 7, por su parte, pertenece al Grupo 9 de orientaciones astronómicas de Šprajc que suelen enfilar hacia el oeste (^{Sánchez y Šprajc, 2015: 74}, Tabla 7). La iconografía asociada al siguiente período de 31^d en la estructura del calendario D.15b-16b (ver Figura 5; Tabla 4) parece simbolizar en la figura de Jun Ajaw el tiempo de transformación durante el cual la semilla "muere" para brotar o "renacer" como planta.

Obsérvese asimismo la inscripción cronológica 9.19.15.0.0 1 Ajaw 3 Sek en la Estela 8 de Machaquilá (Tabla 7), correlacionada con abril 10 de 825 (cf. Inicio del nuevo ‘siglo’ según ^{Gemelli, 1927}) y precedida de abril 11 de 783 (9.17.12.7.0 1 Ajaw 13 Sotz’) por 15340^d (Figura 8; Tablas 8 y 9: columna A), así como el registro 9.19.10.0.0 8 Ajaw 8 Xul de mayo 6 de 820 en la Estela 4 de Machaquilá (Tabla 7), precedido de mayo 7 de 778 (9.17.7.7.0 8 Ajaw 18 Sek) por 59 ciclos rituales de 260^d (cf.Tabla 4: columna B).

Coherencia cronológica

En julio de 2012, Christian Prager circuló una breve nota epigráfica donde examinaba la posible datación y procedencia del Códice de Dresde mediante la comparación de registros paleográficos de distintas secciones del manuscrito y un fragmento de vasija hallado en la Estructura R-87 de Mayapán, en los que se nombra al dios D de Schellhas -Itzamná- utilizando estilos caligráficos casi idénticos. Una inscripción calendárica 10 Ajaw 8 Ajaw proveniente de los fragmentos de una escultura de tortuga hallada en la superficie de la Ofrenda 3 y la datación por radiocarbono de otras muestras halladas en el mismo sitio permitieron establecer un marco cronológico comprendido entre 10.18.0.0.0 (10 Ajaw) y 10.19.0.0.0 (8 Ajaw), que se correlaciona con los años cristianos 1185 al 1204. Por consiguiente, la datación establecida por ^{Prager (2012)} concuerda con el contexto cronológico del almanaque D.15b-16b, utilizado para fines agrícolas y rituales entre los años 1170 y 1222 (Tablas 4 y 9).

Proyecciones simétricas

Los estudios que involucran estructuras orientadas hacia abril 11-12 y agosto 31-septiembre 1 (cf.Tablas 8 y 9: columnas Ay B) se remontan a 1916, año en el que Robert Wheeler Willson escribe a Sylvanus Griswold Morley para informarle que, de acuerdo con sus cómputos sobre Copán y según podía observarse desde la Estela 12, el Sol tendría que ocultarse tras la Estela 10 “20.3 días después del equinoccio de primavera y 20.6 días antes del equinoccio de otoño” (^{Carter, 2014: 35}).

Diversas investigaciones desde entonces han confirmado la validez general de las orientaciones hacia abril 11 y septiembre 1, y su relación aproximada con los equinoccios o con los “días de cuarto del año” (marzo 22-23, septiembre 20-21), considerando márgenes de error de ±1^d (^{Sánchez y Šprajc, 2015}: Tabla 7; ^{Aldana y Fash, 2014: 34}; ^{Martz y Pérez, 2014: cuadro 2}; ^{Green, 2014: Tablas 1.1 y 1.2}; ^{Aveni, 2013: 343s}; ^{Grofe, 2012: 56s}; ^{Aveni y Hartung, 1976};^{Hohmann y Vogrin, 1982}; ^{Tichy, 1978}; ^{Drucker, 1977}; ^{Hartung, 1968}; ^{Morley, 1920}).

Los métodos aquí presentados establecen relaciones de simetría respecto a los solsticios, usando intervalos múltiplos de 65^d y 260^d y algunos principios de congruencia (ya tratados) que proyectan en el tiempo referencias solares similares. En la Tabla 8, columna B, septiembre 1 de 1180 se encuentra precedido por ocho ciclos rituales de 260^d del solsticio de invierno (+1^d) del año 1174 (cf.Figura 4a). En virtud de esta pequeña desviación solar, diciembre 22 de 1174 coincide con la efeméride de 819^d 10.17.9.14.5 1 Chikchan 18 Sip, un hecho que facilita la proyección simétrica de los pares solares abril 11-12 vs. agosto 31-septiembre 1, por medio de intervalos congruentes de 2080^d y 32760^d que son función de diversos ciclos mayas, como 117^d, 260^d, 360^d, 520^d, 585^d, 780^d y 819^d (Figura 9).

Coordinaciones astronómicas

Las múltiples correspondencias calendáricas, canónicas y astronómicas descritas por los ciclos congruentes facilitan en gran medida la proyección de fechas y eventos que los mayas pudieron haber considerado como significativos. Valórese el caso del registro 10.19.18.0.0 obtenido para el almanaque agrícola D.15b-16b (Tabla 9: columna B) en donde la componente ritual 1 Ajaw sugiere su asociación con el primer día en que Venus es visible como lucero del alba (^{Códice de Dresde, 24, 46-50}), y la fecha de enlace junio 28 (de 1222) se sitúa 1820^d antes de un solsticio de verano (cf.Figura 4a). La transición de 1820^d comprendida entre 10.19.18.0.0 1 Ajaw 18 Mak y 11.0.3.1.0 1 Ajaw 13 Mak conduce de facto hacia el mismo registro de junio 22 de 1227 obtenido por Floyd Glenn ^{Lounsbury (1983)} para el primer día de visibilidad de Venus como lucero del alba. Podemos intuir, por tanto, que existe una vinculación viable entre el almanaque agrícola D.15b-16b y la Tabla de Venus del ^{Códice de Dresde}.

Un análisis de la estructura de 65^d x 260^d del almanaque agrícola D.15b-16b revela de hecho que los registros situados 520^d antes y 65^d después de 10.19.18.0.0 1 Ajaw 18 Mak deberían corresponder con los primeros días de visibilidad de Venus como lucero del alba. El primero de estos registros (10.19.16.10.0 1 Ajaw 3 Xul) precede por 2340^d a 11.0.3.1.0 1 Ajaw 13 Mak, en conformidad con la ecuación diofántica lineal ‘z = 37960x - 2340y’ que rige las estructuras de la Tabla de Venus (^{Lounsbury, 1978}). Esta importante ecuación lineal del tiempo es aún utilizada de forma implícita en modernas investigaciones que combinan operaciones de múltiplos anómalos (9100^d, 33280^d, 68900^d y 185120^d) con distintas repeticiones del ciclo de 37960^d de la Tabla de Venus (^{Aldana, 2016}; ^{Bricker y Bricker, 2007}; ^{2011: 163s}).

El registro 10.19.18.3.5 1 Chikchan 3 K’ayab’ (Tabla 9: columna B) coincide, por su parte, con el primer día de visibilidad de Venus de septiembre 1 de 1222 (cf.Figura 4a) y representa la primera de cuatro transiciones de 585^d que conducen hacia 11.0.3.1.0 1 Ajaw 13 Mak, desde 10.19.16.10.0 1 Ajaw 3 Xul. La segunda transición de 585^d, a partir de 10.19.16.10.0 1 Ajaw 3 Xul, no solo conduce hacia el primer día de visibilidad de Venus de 10.19.19.14.10 1 Ok 18 Ch’en en abril 8 de 1224, sino que también sitúa al operador de la tabla en una zona de eclipses vinculada -a través de intervalos de 520^d- con otras regiones similares.

^{Teeple (1931: 38)} consideraba que la equivalencia aproximada entre 520^d y tres períodos de eclipses de 173,31^d no era intencional sino accidental. Hoy día, sin embargo, resulta difícil cuestionar la intencionalidad de intervalos mayas de eclipses como el de 7280^d = 14 x 520^d (^{Códice de Dresde, 64}) y 4680^d = 9 x 520^d (^{Códice de Dresde, 58b y 59c}). En consecuencia, nótese que la primera transición de 520^d a partir de 10.19.19.14.10 1 Ok 18 Ch’en conduce hacia la víspera de un eclipse solar ocurrido en la fecha juliana septiembre 4 de 1225 (11.0.1.4.10 1 Ok 13 K’ayab’ + 1^d), que se encuentra situada 7280^d antes y 4680^d después de sendos eclipses lunares acontecidos en agosto 9 de 1245 y noviembre 10 de 1212 del calendario juliano (11.1.1.8.10 1 Ok 13 Pax y 10.19.8.4.10 1 Ok 13 Wo).

Conclusiones

El artículo examina las semejanzas estructurales existentes entre almanaques rituales de 4 x 65 días en códices mayas, las inscripciones calendáricas de algunos monumentos y un conjunto de fechas pertenecientes a modelos de representación e interpretación solar basados en el estudio de orientaciones astronómicas, cámaras cenitales y calendarios observacionales. Elementos iconográficos en almanaques rituales del Códice de Dresde alusivos a fenómenos climáticos periódicos, relacionados con el ciclo de la siembra, y la vinculación de sus registros con fechas canónicas que delimitan las temporadas de lluvia y de sequía han permitido inferir el uso por parte de los antiguos mayas de intervalos múltiplos de 1820^d y 3835^d, como 3640^d, 7670^d, 7280^d y 15340^d, con capacidad suficiente para proyectar a través del tiempo y de forma coordinada las mismas fechas rituales y solares.

Los registros cronológicos del sitio clásico de Machaquilá, Guatemala, exhiben asimismo fechas de dedicación distanciadas por múltiplos de 1800^d, 1820^d y 1825^d, así como otras inscripciones en las que se registran Ruedas Calendáricas y se describen intervalos de 23400^d, que evidencian el seguimiento simultáneo de los ciclos solares básicos de 360^d, 364^d y 365^d en sincronía con el ciclo ritual de 260^d.

En el ámbito metodológico, el artículo contribuye con dos aspectos que ameritan ser considerados: la aplicación de la aritmética modular en el análisis de fenómenos cíclicos y el desarrollo del concepto de congruencia entre intervalos, fundamental para la síntesis de ciclos rituales-solares. Como consecuencia de ello, ha sido posible determinar que el segundo múltiplo de 1820^d pronostica con 42 años de anticipación la fecha solar que será obtenida al término de una Rueda Calendárica.

La estructura del almanaque D.15b-16b presenta concordancias importantes con fechas solares características del ciclo agrícola maya -como abril 11 y mayo 7- que coinciden con los Grupos 4 y 9 de orientaciones astronómicas definidos por ^{Sánchez y Šprajc (2015: 74, tabla 7)} para la arquitectura de Mesoamérica.

La Relación de las cosas de Yucatán de Diego de Landa permite establecer que la culminación del ‘mes’ Mak, asociado con el sistema de roza, tumba y quema, y los rituales agrarios mayas del fuego y del agua (^{Morales, 2014}), aconteció precisamente en abril 11 de 1553 y 1554, justo antes del inicio de la siembra y las primeras lluvias, evidenciando la concordancia etnohistórica adicional entre dichas crónicas y las fechas obtenidas a partir de la estructura del almanaque D.15b-16b.

Con base en este y otros análisis practicados, se concluye finalmente que las fechas solares registradas por distintas estructuras arquitectónicas orientadas hacia el cielo o el horizonte pudieron haber sido determinadas teóricamente -incluso con siglos de anticipación- mediante la coordinación de reconocidos intervalos mayas, manteniendo un apropiado nivel de precisión, y sin haber tenido que recurrir a controvertidos ‘métodos de ajuste’ (como los ‘días intercalares’ o los ‘años bisiestos’), que hubiesen terminado por afectar la continuidad y la integridad de sus múltiples ciclos calendáricos sincrónicos -períodos cronológicos o dimensiones de cómputo ritual, calendárico, canónico y astronómico que se desarrollan en perfecta correspondencia temporal con otros procesos o causas-.