Dos problemas que resultan de considerar los términos “tautología” y “verdad necesaria” sinónimos intercambiables

La tesis de Ramsey de que las verdades geométricas son necesariamente verdades necesarias descansa en la premisa de que la geometría consiste en tautologías y en la premisa (putativa, para sus propósitos)⁴ de que las tautologías son verdades necesarias. Pongamos nuestra atención en la premisa putativa y preguntémonos: ¿es el caso que, para Ramsey, si bien las tautologías son necesariamente verdades necesarias, las verdades necesarias no son necesariamente tautologías? La respuesta a esta pregunta es un rotundo no porque, en lo que llamaremos la “teoría modal de Ramsey”, las tautologías equivalen a verdades necesarias, del mismo modo que las contradicciones equivalen a verdades imposibles. Esto significa, para la misma teoría, tres cosas más. En primer lugar, que una proposición tautológica concuerda con todas las posibilidades de verdad, mientras que una proposición contradictoria no concuerda con ninguna posibilidad de verdad⁵. En segundo lugar, que ni las proposiciones tautológicas ni las contradictorias son proposiciones genuinas, porque no dicen nada sobre los hechos del mundo. En tercer lugar, que la negación de una tautología implica una contradicción, y viceversa, independientemente de su grado de complejidad.

Así pues, si se considera un solo argumento, la tabla de verdad de “p V ￢p” es:

La tabla de verdad de “p ∧ ￢p” es:

Según lo anterior, la proposición “p ∨ ¬p” es tautológica (= concuerda con todas las posibilidades de verdad) porque es verdadera independientemente de la afirmación o de la negación de p, mientras que la proposición “p ¬p” es contradictoria (= no concuerda con ninguna posibilidad de verdad) porque es falsa independientemente de la afirmación o de la negación de p. Tanto p ∨ ¬p como p ∧ ¬p son proposiciones no genuinas (degeneradas, como las llama Ramsey) porque no sabemos nada sobre el mundo si lo único que sabemos es, o bien que llueve o no llueve (^{Wittgenstein 2009}, p. 84), o bien que ni llueve ni no llueve.

Estas tesis ramseyanas nos comprometen, en mi opinión, con dos posturas filosóficas. En primer lugar, con la postura según la cual no hay, y no puede haber, proposiciones matemáticas sintéticas, esto es, pro-posiciones matemáticas que nos den información sobre el mundo (esto se sigue del logicismo de Ramsey, según el cual todas las proposiciones matemáticas verdaderas son meras tautologías y todas las proposiciones matemáticas falsas son meras contradicciones). En segundo lugar, nos compromete con la postura según la cual no hay, y no puede haber, proposiciones a posteriori necesariamente verdaderas (esto se sigue de la intercambiabilidad sinonímica entre “tautología” y “proposición necesariamente verdadera”, así como entre “contradicción” y “proposición imposiblemente verdadera”).

Dos objeciones al primer compromiso

Llamemos compromiso analítico o sintáctico-lógico al compromiso con la postura filosófica según la cual no hay, y no puede haber, proposiciones matemáticas sintéticas. Este compromiso puede resumirse como sigue: ante la proposición “a = b”, si a y b son nombres de la misma cosa, entonces “a = b” es una tautología porque, en términos wittgensteinianos, decir que algo es idéntico a sí mismo es no decir absolutamente nada (^{Wittgenstein 2009}, p. 106), mientras que, en términos ramseyanos, “a = b” no dice nada genuinamente si a y b denotan lo mismo⁶. Según la filosofía matemática de Ramsey, si a = 2 + 2 y b = 4, a y b son símbolos equivalentes, porque las proposiciones “Tengo 2+ 2 x” y “Tengo 4 x” son la misma proposición en cuanto que son la misma función de verdad de proposiciones atómicas (i.e., afirman el mismo hecho). En cambio, si en la proposición “a = b” a y b son nombres de cosas distintas, “a = b” es una contradicción porque, en términos wittgensteinianos, es un absurdo decir que dos cosas son mutuamente idénticas (^{Wittgenstein 2009}, p. 106), mientras que, en términos ramseyanos, “a = b” no dice nada genuinamente si a y b denotan cosas distintas. Para el caso matemático, donde ahora, por ejemplo, a = 2 + 3 y b = 4, a y b no son símbolos equivalentes porque las proposiciones “Tengo 2 + 3 x” y “Tengo 4x” no son la misma proposición en cuanto que no son la misma función de verdad de proposiciones atómicas (i.e., no afirman el mismo hecho).

Según este compromiso filosófico, toda proposición matemática ver-dadera es una proposición tautológica, mientras que toda proposición matemática falsa es una mera contradicción. Ahora bien, ¿qué tan cierto es esto? Dejemos de lado las proposiciones de las matemáticas aplicadas (proposiciones cuya verdad, siguiendo a Russell 2010, pp. 108- 114, depende de algo más que de la forma de la proposición), así como las proposiciones falsas de las matemáticas puras (proposiciones que, siguiendo a ^{Rayo 2015}, p. 84⁷, tienen condiciones de verdad imposibles), y pongamos nuestra atención en las proposiciones verdaderas de las matemáticas puras.

Considerar a detalle la célebre “contradicción irresoluble” de ^{Poincaré 2001} (p. 9)⁸ sobre la mismísima posibilidad de las matemáticas,que posee el atributo de tener dicho nombre propio es idéntico al único objeto que posee el atributo de tener dicha descripción definida no es un conocimiento trivial. En cambio, para la teoría externista del significado (Kripkeel Putnam del realismo externo) dicho conocimiento sí puede llegar a ser trivial al momento de identificar el referente de un nombre propio. Así como lo que de ella puede seguirse, nos permite poner en seria duda la tesis ramseyana de que las proposiciones verdaderas de las matemáticas puras son meras tautologías. La “contradicción irresoluble” de Poincaré se sustenta en dos supuestos prima facie difícilmente controvertibles relativos a la naturaleza de las matemáticas (puras) y de sus proposiciones, a saber, que 1) las matemáticas son una ciencia deductiva sólo en apariencia (habida cuenta de la importancia fundamental de la inducción matemática en el razonamiento matemático)⁹ y que 2) las proposiciones matemáticas pueden derivarse en orden mediante las reglas de la lógica formal¹⁰. Ahora bien, si 1) es verdad, ¿cómo es que las matemáticas pueden alcanzar un “rigor perfecto” que no es desafiado por nadie? Por otra parte, si 2) es verdad, ¿cómo es que las matemáticas no se reducen a una “gigantesca tautología”, a una forma indirecta de decir que A = A? Ésta es la “contradicción irresoluble” de Poincaré con respecto a la mismísima posibilidad de las matemáticas.

Creo que una solución verosímil a esta contradicción pasa, cuando menos, por compatibilizar el hecho de que las matemáticas (puras) poseen un “rigor perfecto” indesafiable con el hecho de que las matemáticas (puras) no son una gigantesca tautología. Esta solución no es fácil, porque parecería que las proposiciones no sujetas a ningún tipo de desafío son los silogismos y las relaciones de identidad. Pero los silogismos son meras tautologías en al menos un sentido del término “tautología”: no nos dan información sobre el mundo, mientras que las relaciones de identidad son meras tautologías en al menos un sentido (el sentido de Ramsey) del término “tautología”: concuerdan con todas las posibilidades de verdad¹¹. Por otro lado, si las matemáticas no poseyeran un “rigor perfecto”, entonces el que no se reduzcan a una “gigantesca tautología” no supondría ningún misterio; si, en cambio, las matemáticas se redujeran a una “gigantesca tautología”, entonces el que posean un “rigor perfecto” no supondría ningún misterio.

Sin embargo, si conseguimos compatibilizar el hecho de que las matemáticas (puras) poseen un “rigor perfecto” indesafiable con el hecho de que las matemáticas (puras) no son una gigantesca tautología,¹² no sólo habremos mostrado que existen proposiciones matemáticas sintéticas que, no obstante, son perfectamente rigurosas, esto es, habremos mostrado que existen proposiciones matemáticas que nos dan información y que, no obstante, son virtualmente inmunes al desafío, sino también que es incierto que todas las proposiciones matemáticas verdaderas sean proposiciones tautológicas.

Para esto, digamos que un teorema matemático T es analítico¹³ si y sólo si de T se deduce una serie de teoremas U, V, W,. . . tales que T = U, T = V, T = W,. . . y tales que U = V, U = W, V = W,. . . y la verdad de T resulta de los significados de las palabras empleadas al establecerlo. Si no se cumple que U = V, U = W, V = W,. . ., entonces T no es un teorema analítico, incluso si se cumple que de T se deduzca una serie de teoremas U, V, W,. . . que repiten a T (o parte de T) en otros términos y que la verdad de T resulta de los significados de las palabras empleadas al establecerlo.

¿Es concebible algún caso en el que se cumpla que T = U, T = V, T = W,. . ., pero no que U = V, U = W, V = W,. . .? Respondo afirmativamente a esta pregunta: el teorema con infinitas proposiciones¹⁴ T=12+22+32+…+n2=16(n+1)(2n+1) es tal que, si tanto

como

como…etc.,

“repiten a T en otros términos”, entonces tales deducciones cumplen la condición de que T = U, T = V, T = W,. . ., pero no la condición de que U = V, U = W, V = W,. . ., ya que (para estas dos instancias) U=55,V=91.

El teorema T es, entonces, una proposición matemática sintética perfectamente rigurosa: por un lado, desde T son aritméticamente (¿lógicamente?) deducibles tanto U como V como. . ., etc., y, por otro lado, las infinitas proposiciones del teorema T=12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1) no están, según la terminología kantiana, pensadas ya en el pensamiento de nuestro teorema T.¹⁵

Todo esto quizá sería convincente para aquellos filósofos que acepten tanto la doctrina kantiana como la quineana con respecto a lo analítico y lo sintético (aunque los quineanos seguramente rechazarían, de tajo, que realmente exista tal distinción). Pero aquellos filósofos que otorgan, como ^{Putnam 1983} (pp. 5-19), un sentido (semántico) débil a la distinción entre lo analítico y lo sintético, así como aquellos filósofos que otorgan, como ^{Carnap 1998} (pp. 23-37), un sentido (lógico) fuerte a dicha distinción, aún tendrían que vérselas con lo siguiente: ¿quién aceptaría, si no fuera una especie de demonio matemático laplaciano o de dios matemático agustiniano,¹⁶ que el resultado numérico de

se encuentra ya pensado en el pensamiento de

Para este caso de un enunciado aritmético con infinitas proposiciones, el proceso de transformación tautológica, según el cual podemos cambiar la forma de la expresión sin alterar su significado, parece ser inútil: ¿quién osaría decir que

es intercambiable sinonímicamente con

Una segunda objeción a lo que aquí he llamado “compromiso analítico o sintáctico-lógico”, i.e., el compromiso con la postura filosófica según la cual no hay, y no puede haber, proposiciones matemáticas sintéticas, tiene que ver con una de las dos preocupaciones que, según ^{Benacerraf 1998}, han motivado algunas consideraciones sobre la naturaleza de la verdad matemática, a saber, la preocupación de que la exposición de la verdad matemática engrane con una epistemología razonable.

Esta preocupación señalada por Benacerraf se refiere, aunque quizá no exclusivamente, a las exposiciones analíticas o sintáctico-lógicas de las matemáticas: éstas no consiguen conectar las condiciones de ver-dad de las proposiciones matemáticas con un análisis de cómo estas condiciones de verdad asignadas son realmente condiciones de su verdad.¹⁷ Y no consiguen hacer esto porque “identifican” el significado con el sentido (en el sentido fregeano del término “sentido”). Éste es el caso, por ejemplo, de la tesis de Hempel con respecto a la naturaleza de la verdad matemática. Según Hempel, la proposición aritmética elemental de que 3 + 2 = 5 es verdadera por razones similares por las que la afirmación de que ningún sexagenario tiene 45 años es verdadera: ambas son verdaderas simplemente “en virtud de definiciones o de estipulaciones similares que determinan el significado de los términos clave involucrados” (Hempel 1998, p. 379). Esto significa que su validación no requiere evidencia empírica o, de manera equivalente, que su verdad depende solamente de un análisis del significado atribuido a los términos que tienen lugar en la proposición de que 3 + 2 = 5 y en la afirmación de que ningún sexagenario tiene 45 años. Ya que esta proposición y esta afirmación son enunciados analíticos, no transmiten información fáctica, y entonces pueden validarse sin recurrir a la evidencia empírica. (Existen serias dudas sobre todo esto. Primero, porque no hay evidencia suficiente a favor de la suposición de que haya un estrecha relación entre nuestra lógica y nuestro lenguaje natural (^{Williamson 2016}, pp. 73-182)¹⁸. Segundo, porque no hay evidencia suficiente a favor de la suposición de que entre nuestra lógica y nuestro conocimiento empírico exista una diferencia epistemológica suficiente-mente relevante.)¹⁹

Pero ahora surge la cuestión: si según la postura de Hempel (u otras relevantemente similares) el significado de una proposición matemá-tica tiene una íntima relación con su sentido, ¿qué relación tiene su sentido, su significatividad, con su verdad? Según Benacerraf, una relación cercana pero no íntima. (Yo digo que de la significatividad de una proposición p se sigue que p es verdadera o falsa, mientras que de la insignificatividad de p se sigue que p no es verdadera ni falsa.)

De esto da cuenta el hecho de que existen proposiciones matemáticas significativas que, no obstante, son falsas. Dos ejemplos de esto son la proposición “1 + 1 = 1”, que es una proposición significativa por-que, a pesar de su falsedad, comprendemos perfectamente qué quiere decirse con ella (a diferencia de proposiciones como “1+ →= 1” o “+ + 1 =→”, que son claramente insignificativas),²⁰ así como la proposición “para cualesquiera números x y y, x > y+1” que, no obstante ser falsa si, por ejemplo, x = 3, y = 4, es significativa en cuanto que, una vez más, comprendemos perfectamente qué quiere decirse con ella²¹.También puede haber oraciones que entendemos pero que no tienen ningún sentido, como “El número de páginas de este ensayo es el mismo que una solución de la ecuación x ³ + 2x − 3 = 0”.²²

Más aún, la suposición (que he hecho aquí) de que una proposición significativa es verdadera o falsa no es trivial para la lógica de la lógica matemática en cuanto que, en ella, se da por sentado que una oración tiene significado si es verdadera o falsa: si una proposición P expresa algo sobre un objeto x (entonces denotamos a dicha proposición con P(x)), puede suceder que P(x) tenga significado para todos los valores de x dentro del dominio z. Entonces, si x puede tomar valores arbitrarios en z, P(x) será una función proposicional (^{Skolem 1977},pp. 512-524).²³ Pero si x es sustituido por otro valor y, tendremos una proposición que será verdadera o falsa según las circunstancias (i.e., según las circunstancias que producirán que P( y) sea verdadera o falsa).

En este sentido, creo que, así como para las ciencias empíricas una buena advertencia metodológica es decir que “Si lo verdadero es lo que tiene fundamentos, el fundamento no es verdadero, ni tampoco falso” (Wittgenstein 2015, p. 28) (donde el fundamento es la evidencia de una proposición, de tal manera que las evidencias “hablan a favor de las pro-posiciones” y la justificación de la evidencia es la fundamentación de una proposición), para las ciencias no empíricas una buena advertencia metodológica es decir que “Si lo verdadero o lo falso es lo que tiene significatividad, la significatividad no es verdadera ni tampoco falsa”.

Una objeción al segundo compromiso

Toca el turno de discutir la postura filosófica según la cual no hay, y no puede haber, proposiciones a posteriori necesariamente verdaderas.²⁴ Este compromiso filosófico parte de la distinción lockeana entre necesidad de re y necesidad de dicto (o bien, entre esencia real y esencia nominal, o entre necesidad material y necesidad formal).²⁵ Los defensores de la necesidad de re sostienen que las cosas poseen esencias individuales independientemente de la manera como son designadas e incluso conocidas,²⁶ mientras que los defensores de la necesidad de dicto (como lo fue el propio Locke) sostienen que las esencias no son más que ideas abstractas a las que se han anexado distintos nombres generales (o alguna formulación equivalente). La tesis ramseyana de que “tautología” y “verdad necesaria” son sinónimos intercambiables implica un compromiso filosófico con las modalidades de dicto porque no puede ser el caso de que, si una proposición p es necesariamente verdadera, p pueda concordar con alguna posibilidad de verdad.

La objeción a esta postura es la siguiente: puede ser el caso de que, si una proposición p es necesariamente verdadera, ¬p pueda concordar con alguna posibilidad de verdad. Tomemos el clásico ejemplo de ^{Putnam 1984} (pp. 17-23): “El agua es H₂O”. Denotemos con p a esta proposición y con ¬p a la proposición de que “El agua no es H₂O”. Entonces es el caso de que p es necesariamente verdadera en sentido metafísico, pero contingentemente verdadera en los sentidos lógico y epistemológico. Esto porque, si el referente de agua es la fórmula química H₂O, y si identificamos el significado con la referencia, esto significa que una sustancia =H₂O no es realmente agua (aunque se denote como “agua”, aunque tenga todas las propiedades sensitivas del agua, etc.)²⁷. Pero p es una verdad lógica y epistemológicamente contingente porque ¬p no es ni lógica ni epistemológicamente imposible. En forma paralela, ¬p es una verdad lógica y epistemológicamente posible, pero metafísicamente imposible. Entonces p es necesariamente verdadera y, no obstante, ¬p concuerda con la posibilidad de verdad lógica y con la posibilidad de verdad epistemológica²⁸.

Según la “teoría modal de Ramsey”, el enunciado “El agua es H₂O” tendría que ser necesariamente verdadero porque concuerda con todas las posibilidades de verdad: con la posibilidad de verdad metafísica, lógica y epistemológica²⁹. Y, sin embargo, tal enunciado no es una tautología. En cambio, el enunciado “El agua no es H₂O” no concuerda con todas las posibilidades de verdad: concuerda con las posibilidades de verdad lógica y epistemológica, pero no con la posibilidad de verdad metafísica. Pero entonces dicho enunciado no es imposiblemente ver-dadero (contradictorio). Algo es metafísicamente necesario si y sólo si, cualquier cosa que fuese el caso (lógico, epistemológico, conceptual), aquello seguiría siendo el caso, mientras que algo es posible (lógica, epistemológica o conceptualmente) si y sólo si no es tal que no se daría en cualquier eventualidad (^{Williamson 2016}, p. 214).

¿El carácter peculiar de las proposiciones matemáticas es tal que uno sabe (a priori) que no pueden ser contingentemente verdaderas?

Ahora es tiempo de intentar responder negativamente a esta pregunta kripkeana. Para ello es necesaria sólo una cosa: que se acepte que las proposiciones geométricas pertenecen a la clase de las proposiciones matemáticas. Aceptado esto, consideremos el estatus modal que tienen, por ejemplo, las siguientes proposiciones:

a. La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180^◦ .

b. La proporción de la circunferencia de un círculo con respecto a su diámetro es igual a π.

¬a. La suma de los ángulos internos de un triángulo no es igual a 180^◦.

¬b. La proporción de la circunferencia de un círculo con respecto a su diámetro no es igual a π

Desde el punto de vista matemático, tanto a como b son verdaderas para la geometría euclidiana, pero falsas para la geometría hiperbólica (lobachevskiana) y para la geometría elíptica (riemanniana), donde, respectivamente, la suma de los ángulos internos de un triángulo es <180^◦ y >180^◦ , así como donde, respectivamente, la proporción de la circunferencia de un círculo con respecto a su diámetro es >π y <π.³⁰

Desde un punto de vista modal, tanto a como b son proposiciones falsas en algún posible estado del mundo (lo que hace que ¬a y ¬b sean proposiciones verdaderas en algún posible estado del mundo)³¹; tanto a como b son proposiciones cuyo contrario es posible (lo que hace que ¬a y ¬b sean proposiciones cuyo contrario es contingente);³² tanto a como b no concuerdan con alguna posibilidad de verdad (lo que hace que ¬a y ¬b concuerden con alguna posibilidad de verdad).³³ De manera similar, ni ¬a ni ¬b implican contrafácticamente una contradicción,³⁴ y ni ¬a ni ¬b implican contrafácticamente su propia negación.³⁵

Si de la manera habitual denotamos “necesariamente” con ■ y “posiblemente” con ♦, no puede ser el caso que “imposiblemente a”, porque entonces sería el caso que ■¬a. Tampoco puede ser el caso de que ■a, porque entonces sería el caso de que ■¬¬a. En realidad, son los casos de que “contingentemente a”, que equivale a ♦a ∧ ♦¬a, y de que “posiblemente no a”, que equivale a ♦¬no a ∧ ♦¬¬no a. Y lo mismo para el caso de b.

Así pues, parece que es cuando menos incierto que las proposiciones “La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180^◦ ” y “La proporción de la circunferencia de un círculo con respecto a su diámetro es igual a π” (y otras proposiciones euclidianas, como las relativas al número de paralelas o a la medida de curvatura) sean proposiciones tautológicas o proposiciones que no pueden ser contingentemente verdaderas.

“La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180 ^◦ ” como una proposición que puede ser a priori

Uno de los dogmas más firmemente arraigados en las discusiones epistemológicas y metafísicas, al menos desde Leibniz, es la máxima según la cual si algo es necesario, entonces se debe a un conocimiento a priori. Esta máxima tiene su contraparte natural: si algo es contingente, enton-ces se debe a un conocimiento a posteriori. (En terminología leibniziana: si algo es tal que su contrario es imposible, entonces se debe a una verdad de razón, mientras que si algo es tal que su contrario es po-sible, entonces se debe a una verdad de hecho.) Este dogma filosófico alcanzó su máxima expresión en la filosofía pura de Kant:³⁶si, según su doctrina, nuestro conocimiento está compuesto de lo que recibimos por medio de impresiones y de lo que nuestra propia facultad de conocer proporciona por sí misma, y si la experiencia sensible, por sí sola, no puede enseñarnos que algo no pueda ser de otro modo, entonces no sólo sucede que lo más que puede enseñarnos la experiencia son características o propiedades contingentes de las cosas, sino también que, ya que sí podemos pensar en proposiciones necesarias, el componente de nuestro conocimiento que nos permite hacer esto tiene que ser el referido a las categorías y a las intuiciones sensibles a priori. Este componente de nuestro conocimiento “se requiere para dar cuenta del carácter necesario y por lo tanto a priori de nuestro conocimiento del espacio tal como se materializa en la geometría. Dicho conocimiento no se deriva de la experiencia, y sin embargo nos dice cómo debe ser el espacio” (^{Stroud 1984}, p. 149).

Creo que existen dos salidas del dogma según el cual necesidad y aprioridad son sinónimos intercambiables. Las llamaré, respectivamente, la salida kripkeana y la salida fregeana.

La salida kripkeana

La salida kripkeana consiste en admitir que una proposición necesaria bien puede ser a priori, pero rechazar que, por el hecho de ser necesaria, tenga que ser a priori. Kripke ejemplifica esta afirmación con la conjetura de Goldbach (que dice que todo número par ≥4 es la suma de dos números primos). La verdad de esta conjetura no es cognoscible a priori, sino sólo a posteriori. Pero este conocimiento a posteriori, si llegara a mostrarnos la verdad de la conjetura, no podría, según Kripke, no informarnos ipso facto que es necesaria.

La salida fregeana

En las primeras páginas de Los fundamentos de la aritmética, Frege introdujo un criterio de distinción entre lo a priori y lo a posteriori según el cual dicha distinción no tiene que ver con el contenido de un juicio particular, sino con la justificación para hacer tal juicio: para que una verdad sea a priori, debe ser posible derivar su prueba exclusivamente de leyes generales que no necesitan o no admiten ninguna prueba (disyunción inclusiva), mientras que para que una verdad sea a posteriori debe ser imposible construir una prueba de ella sin incluir una apelación a los hechos (^{Frege 1980}, p. 5). Así, las verdades “8 × 7 = 56” y “La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180^◦ ” son a priori ya que es posible derivar su prueba de leyes generales que no necesitan prueba empírica alguna, aunque ello no significa que no admitan prueba empírica alguna: que 8 × 7 = 56 puede comprobarse empíricamente si contamos cuántas pelotas hay en 7 canastas que con-tienen, cada una, 8 pelotas; que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180^◦ puede comprobarse empíricamente si, siguiendo a Gauss, medimos empíricamente tales ángulos a fin de corroborar o refutar la creencia kantiana de que nuestra intuición no comete errores geométricos.

Podemos “traducir” esto como sigue: un juicio a priori es un juicio cuya verdad no requiere una demostración fáctica, mientras que un juicio a posteriori es un juicio cuya verdad requiere una demostración fáctica. Así pues, según esta concepción no interesan las condiciones psicológicas (o fisiológicas o físicas) de un juicio particular, sino la ausencia o presencia de un elemento fáctico en él. En pocas palabras: no interesa el contenido empírico de los juicios, sino la justificación empírica para hacerlos.

Considérese el enunciado “La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180^◦” a la luz de esta concepción fregeana. Incluso si se supone que la verdad o falsedad de este enunciado -y de los enunciados euclidianos en general- es una cuestión hipotética o de hecho, y no una cuestión necesaria o de razón,sigue siendo cierto que es un enunciado a priori según nuestra definición, es decir, es un enunciado cuya verdad no requiere una demostración fáctica porque es perfectamente posible dar cuenta de su verdad mediante procedimientos estrictamente racionales. (No es, dirían Gauss y Riemann, un enunciado a priori según la definición clásica, “estándar”, por así llamarle, de lo a priori, esto es, como independiente en un grado significativo de la experiencia sensible.) Pero del hecho de que pueda ser a priori no se sigue que tenga que ser a priori, porque uno puede demostrar a posteriori la verdad (o falsedad) del enunciado “La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180^◦ ” si lleva a cabo, como en su momento se dice que hizo Gauss, una investigación empírica sobre la estructura geométrica del espacio. Nótese que nuestra definición de lo a priori es compatible con la tesis kripkeana según la cual hay juicios que, a pesar de poder ser comprobados apriorísticamente, no tienen que ser comprobados apriorísticamente.

La relevancia epistemológica de la distinción entre lo a priori y lo a posteriori

Para algunos filósofos, la distinción entre lo a priori y lo a posteriori es epistemológicamente inútil porque resolver la cuestión de si una proposición particular es a priori o a posteriori “produce muy poco entendimiento”⁴⁴,es decir, oscurece patrones epistémicos más profundos, en cuanto que, por ejemplo, una proposición particular a la que se le haya designado como “a priori” puede contener experiencias olvidadas que, si bien no desempeñan un papel evidencial en la conformación de dicha proposición, sí desempeñan un papel habilitador.

Creo que esta sospecha sobre la significatividad epistemológica de la distinción entre lo a priori y lo a posteriori es válida para las definiciones clásicas, estándar, de lo a priori y lo a posteriori, pero no así para las definiciones no clásicas, no estándar, de lo a priori y lo a posteriori. En otras palabras, es válida para las definiciones (à la Kant) que ponen atención en los contenidos empíricos de las proposiciones, pero no para las definiciones (à la Frege) que ponen atención en las justificaciones empíricas de las proposiciones.

Para las definiciones que ponen atención en los contenidos empíricos, una proposición a priori es tal porque es independiente, en un grado significativo, de la experiencia sensible, mientras que una proposición a posteriori es tal porque es dependiente, en un grado significativo, de la experiencia sensible.

Pero, entonces, ¿cómo “determinar”, con respecto a la experiencia sensible, el grado de independencia o de dependencia de una proposición particular? Desde las definiciones clásicas o estándar de lo a priori y lo a posteriori, ¿“La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180^◦ ” es un enunciado a priori o a posteriori? Si alguien responde que es a priori, entonces puede replicársele que, para el conocimiento de la verdad de dicho enunciado, la experiencia sensible ha desempeñado un papel habilitador, aunque no evidencial. Y si alguien responde que es a posteriori, podría replicársele que, para el conocimiento de la verdad de dicho enunciado, la experiencia sensible ha desempeñado un papel evidencial, aunque no habilitador.

Este “problema de indeterminación” no tiene lugar en la concepción fregeana de lo a priori y lo a posteriori. Si alguien responde que el enunciado “La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180^◦ ” es a priori, le bastará con poder mostrar que la prueba de la verdad de este enunciado es derivable de leyes generales que por sí mismas no necesitan o no admiten ninguna prueba. El término “o” de este principio es más importante de lo que aparenta: si las leyes generales no necesitan pero sí admiten alguna prueba, entonces la verdad del enunciado podrá mostrarse apriorísticamente, pero no tendrá que mostrarse apriorísticamente. Si, por el contrario, alguien responde que el enunciado “La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180^◦” es a posteriori, le bastará con poder mostrar que la prueba de la verdad de este enunciado necesariamente incluye una apelación a los hechos. (Ante esta respuesta, un “apriorista fregeano” podría replicar que, si bien la prueba de la verdad de este enunciado puede incluir una apelación a los hechos -trazando, por ejemplo, un triángulo en una hoja y sumando sus ángulos internos-, también puede comprobarse mediante procedimientos estrictamente racionales.)

La distinción fregeana entre lo a priori y lo a posteriori no es epistemológicamente inútil porque, si el criterio para sostener que dicha distinción es epistemológicamente inútil es que oscurece algunos patrones epistémicos relevantes, la distinción fregeana no puede oscurecer patrones epistémicos relevantes sencillamente porque no pone atención en ninguno de ellos.

El hecho de que según la doctrina kantiana todos los juicios cien-tíficos sean juicios sintéticos a priori se debe a que Kant se ocupó del contenido de los juicios y no de la justificación para hacerlos, de la que sí se ocupó Frege. De acuerdo con la perspectiva fregeana, todos los juicios de las ciencias naturales son juicios sintéticos a posteriori.⁴⁵ Para el caso de los juicios de las matemáticas (puras) en general, la perspectiva fregeana es relevantemente similar a la perspectiva que adoptaría tiempo después el positivismo lógico: las proposiciones de la lógica y de las matemáticas no tienen el mismo estatus que las hipótesis empíricas porque su validez no se determina de la misma manera.⁴⁶