Cálculo de la probabilidad de falla

El cálculo de las probabilidades de falla de los elementos con sus propiedades originales (sin considerar el daño acumulado en las escuelas debido a sismos anteriores) se realiza a través de simulaciones de Monte Carlo que se basa en los valores medios de las respuestas máximas y los coeficientes de variación tomados de la literatura. El índice de confiabilidad β se usa de modo aproximado, aun cuando las variables no sean Gaussianas, como es el caso en este trabajo. El índice de confiabilidad β óptimo para escuelas, al igual que para construcciones muy importantes, esta entre 3.8 y 4.3 (The Eurocode, 2002) dependiendo del costo de las consecuencias de falla, aquí, las demandas y las resistencias se consideran como variables aleatorias log normales.

Para las trabes, se sigue una formula cerrada, ecuación 1, para el índice de confiabilidad de vigas. Para las columnas, se aplican procesos MCS (simulación de Monte Carlo) para obtener las probabilidades de falla originales y reacondicionadas. La incertidumbre se considera en la demanda sísmica y las resistencias estructurales y la actuación y resistencia se consideran lognormales. La probabilidad de falla, por ejemplo, para la flexión se calcula a través de ecuación 1. El índice de confiabilidad β se expresa en términos de la mediana del momento actuante, Ma~ , y del momento resistente Mr~ , y los coeficientes de variación para momento resistente CV _Mr =0.15 y para momento actuante CV _Ma =0.3, los coeficientes de variación para la fuerza cortante actuante CV _a =0.3 y fuerza cortante resistente CV _r =0.1, respectivamente (^{De León y Guadarrama, 2020}).

En el cual a = actuante, r = resistente; M es el momento. Las medianas de los actuantes y resistentes son:

donde los valores medios de momentos actuantes y resistentes, E(M _a ) y E(M _r ), respectivamente, se toman como las respuestas y resistencias en flexión para la trabe en cuestión.

El índice de confiabilidad β, está relacionado con la probabilidad de falla a través de la distribución de Gauss acumulada Φ∙ (^{Nowak y Collins, 2012}). Cuando las variables no son normales, se aproxima la probabilidad de falla mediante:

La probabilidad de falla de una estructura se considera como la falla del marco crítico, y la probabilidad de falla del marco se define aquí como la probabilidad de que un efecto de carga o efecto de combinación de carga exceda la resistencia de los miembros estructurales críticos.

Cuando se identifican los miembros críticos, la probabilidad de falla del marco puede expresarse como el producto de la probabilidad condicional de falla del marco, dada la probabilidad de falla de los miembros críticos, asumiendo que estos eventos son independientes.

donde F1 ∩ F2 ∩ ...Fn constituye el fallo del conjunto "s" de n miembros, que implican el fallo del marco global.

Cálculo de costos esperados

El costo esperado del ciclo de vida se expresa en función del costo de reparación, C _r, y el valor actual de los costos futuros esperados, E(C _F ), (^{Ang y De León, 1997}).

Los costos futuros previstos E(C _F ) se expresan como:

donde PFV es el factor de valor presente:

r es la tasa de interés anual neta y T es la vida útil de la escuela. Además, los componentes del costo futuro (C _F ) son los costos de las pérdidas por falla o colapso de la escuela, (fatalidades, instalaciones y muebles, costo de la estructura, costo de traslado de funciones escolares a otro lugar, etc.) (^{De León y Ang, 1994}).

donde A es el área de la planta del edificio.

Las estimaciones anteriores son condicionales a la ocurrencia del colapso del edificio. Por ello, el costo esperado de lesiones y fatalidades se obtienen multiplicando estas cantidades por la probabilidad de falla, que representa el colapso del edificio. En otros estudios, se presentan funciones de costo que dependen del nivel de daño y allí sí es pertinente el establecer coeficientes de variación o rangos de dispersión. En este caso, la incertidumbre asociada con estos valores condicionales depende de la aproximación en las cifras de la ecuación 14 y lo reducido de la muestra de 30 edificios colapsados en el temblor de 1985 (Ang y ^{De León, 1994}), empleados para estimar la tasa de lesiones entre el área de las plantas de los mismos. De acuerdo con los datos de esos edificios se estima un rango de variación de ± 40%.

Descripción de las escuelas

Se analizaron 2 escuelas en el Estado de Morelos ya que son tipo U2C de 2 niveles, este tipo de escuelas son escuelas tipo que se encuentran en zonas sísmicas B, C y D, a base de marcos rígidos de concreto reforzado y muros de mampostería. Estas escuelas son de las pocas donde existen reportes fotográficos de los daños causados por el sismo del 2017. Además, dichas escuelas sufrieron una variedad de tipos de daños, desde daños en columnas, hasta daños moderados en trabes, losas y muros. Para la investigación, convenían estos tipos de daños para aplicar las diferentes propuestas de reparación. Si se hubieran tenido sólo daños menores, se ocuparía una reparación no estructural, y se requería edificios con daño en elementos estructurales y en muros.

Yautepec

Los daños a la infraestructura educativa conforme a un comunicado oficial emitido por la Secretaría de Educación Pública (SEP), reportó 906 escuelas con daños menores que solo requerían reparaciones por daños menores como aplanados, caída de plafones, vidrios rotos. En la escuela aparentemente no se aprecian daños estructurales importantes, sin embargo, por alguna decisión gubernamental, la escuela fue demolida para ser construida nuevamente (^{García y otros, 2018}), (figura 2).

Figura 2 Escuela en Yautepec con daños 

Yautepec se encuentra en el Estado de Morelos. La escuela consta de marcos de concreto reforzado de f´c=250 kg/ cm² con muros de mampostería de 12 cm de espesor, con losa maciza de 12 cm, y área de cada planta de 432.48 m², con 12 crujías del lado largo de 3.19 m, y una de 4 m (figura 3), en las figuras 4, 5, 8, 9 se muestran con líneas punteadas los muros que son de mampostería de 12 cm de espesor.

Figura 3 Vista de elevación, dirección transversal 

Figura 4 Vista de elementos estructurales. Planta baja 

Figura 5 Vista de elementos estructurales. Planta alta 

Tlatenchi

En Tlatenchi, Estado de Morelos, a 15 minutos aproximadamente del centro de Jojutla, se encuentra la escuela primaria “Ignacio Zaragoza”, la cual sufrió daños después del sismo del 19 de septiembre del 2017. Se trata de un prototipo U2C, se reportó con daños moderados, os daños presentados corresponden a fallas por tensión diagonal en muros y fallas por corte en columnas, la estructura fue demolida y ya estaba en construcción una nueva con el mismo prototipo, pero con normas vigentes (figura 6).

Figura 6 Escuela en Tlatenchi con daños 

La escuela constaba de marcos de concreto reforzado de f´c=250 kg/ cm² con muros de mampostería de 12 cm de espesor, con losa maciza de 12 cm, y área de cada planta de 301.92 m², con 8 crujías del lado largo de 3.19 m, y una de 4 m (figura 7). Asimismo, en las figuras 8 y 9 se muestran con líneas punteadas los muros que son de mampostería de 12 cm de espesor.

Figura 7 Vista de elevación, dirección transversal 

Figura 8 Vista de elementos estructurales. Planta baja 

Figura 9 Vista de elementos estructurales. Planta alta 

En la tabla 2 se muestran las dimensiones de las secciones de las columnas y de las trabes, así como el espesor de los muros de mampostería (MM).

Se procesaron los datos de las escuelas, como dimensiones en planta, secciones de los elementos, el análisis de carga viva y muerta, y posteriormente, se identificó el registro sísmico más cercano a la escuela para el sismo del 19 de septiembre del 2017. En este caso, para ambos, fue un registro sísmico en YAUTEPEC (figura 10), con una distancia epicentral a la estación de 63.16 km. La distancia que existe entre la estación sísmica y la escuela de Yautepec es de 31.5 km y para Tlatenchi de 24.72 km. La duración de la fase intensa es de aproximadamente 50 s y la aceleración pico es aproximadamente 0.2 g. El espectro de respuesta como se ve en la figura 11. Para conocer cómo se comportó la estructura durante el sismo, después, se modeló en el Programa PERFORM- 3D. Los registros acelerográficos proporcionados han sido producto de las labores de instrumentación y procesamiento de la unidad de instrumentación Sísmica del Instituto de Ingeniería de la UNAM (^{II-UNAM, 2021}).

Figura 10 Acelerograma estación YAUTEPEC (Canal -2, N00E). Dirección longitudinal 

Figura 11 Espectro de respuesta, estación YAUTEPEC 

Posteriormente, se realiza el análisis no lineal de la estructura a partir de registro sísmico de Yautepec. En la figura 12 se muestra un ejemplo de los diagramas momento - curvatura que se tuvieron que obtener para el análisis no lineal. Se usó el modelo histerético trilineal ya que presenta una mejor aproximación de las características de rigidez sometidos a flexión, en cambio con el modelo bilineal no considera la degradación de la rigidez en la etapa de descarga (figura 13). Para las columnas se analizó la fuerza combinada bajo flexión biaxial, con carga axial, para secciones rectangulares, hay soluciones basadas en capacidades de la sección sobre los ejes principales (^{Furlong y Hsu, 2004}), y que está publicado en (ASCE 41-13, 2019).

Figura 12 Sección transversal y diagrama momento curvatura 

Figura 13 Modelo trilineal 

Posteriormente, se obtienen las probabilidades de falla de las columnas y trabes. En las tablas 3, 4, 5 y 6, se muestra una parte de los índices de confiabilidad de las columnas y trabes de ambas escuelas.

Una vez identificados los refuerzos, se procedió a realizar el análisis de la respuesta de las escuelas, con el espectro de respuesta, para obtener los elementos mecánicos y, de ahí, las probabilidades de falla e índices de confiabilidad. Las tablas 3 y 4 muestran los resultados para columnas de Yautepec y Tlatenchi, respectivamente. Las tablas 5 y 6 para las trabes de Yautepec y Tlatenchi, respectivamente. En el caso de las columnas, el índice β se obtuvo, como se describió antes, de simulaciones de Monte Carlo con el estado límite que incluye la interacción entre flexión y compresión y simulando variables lognormales. Para trabes, se usaron las ecuaciones 1 a 4. En todos los casos, para la probabilidad de falla de la estructura, se consideraron las probabilidades de falla locales, o de los miembros, de acuerdo con las ecuaciones 5 a 9.

Las tablas anteriores muestran qué elementos fueron los más dañados, en este caso son los que tengan un índice de confiabilidad menor. Después de haber identificado los elementos se procede a las opciones de reparación de las escuelas.

Encamisado de concreto

Se comienza con las columnas con mayor probabilidad de falla de ambas escuelas (figura 14). A continuación, se muestra el ejemplo de una columna que tuvo daño. Se usó como apoyo la guía técnica para la rehabilitación sísmica de edificios escolares de la Ciudad de México (^{INIFED, 2021})

Figura 14 Columna dañada 

Posteriormente, se procedió a la alternativa de refuerzo que es mediante el encamisado de columnas (figura 15), en este caso se modeló en Sap 2000, en “Section Designer”. Como se ve a continuación, a la sección se le aumentó 10 varillas #5 aparte de las que tenía originalmente, y f´c de (200 kg/cm²), ya que, con este armado, el índice de confiabilidad ya supera al permisible de acuerdo con el Eurocódigo.

Figura 15 Columna analizada en SAP con concreto reforzado (cotas en cm) 

Se obtuvieron los diagramas de interacción, para los 2 sentidos, M3 y M2, como se muestra en las figuras 16 y 17.

Figura 16 Diagrama interacción M3 

Figura 17 Diagrama interacción M2 

En las tablas 7 y 8 se muestran los resultados de la alternativa para columnas de concreto reforzado. Nuevamente, se empleó el espectro de respuesta para cada sitio, con las nuevas dimensiones en los elementos reparados.

Se continua ahora, con el encamisado de las trabes más dañadas como se muestra en la figura 18. La guía técnica para la rehabilitación sísmica de edificios escolares de la ciudad de México (^{INIFED, 2021}) menciona los recubrimientos mínimos, y armados del acero para la sección compuesta.

Figura 18 Encamisado de trabe de concreto reforzado (Instituto de Ingeniería UNAM, 2019) 

Después de consultar la guía técnica, se muestra a continuación el ejemplo de una trabe dañada. Se llegó a las dimensiones y refuerzo del acero mostradas en la figura 19 de forma que cumpla con el índice de confiabilidad permisible.

Figura 19 Encamisado de trabe (concreto reforzado, cotas cm) 

En las tablas 9 y 10, se muestran los resultados de la alternativa 1 para trabes de concreto reforzado. Como se ha descrito, el índice de confiabilidad para trabes se obtiene de las ecuaciones 1 a 3.

Encamisado con ángulos y soleras de acero

Se comienza con las columnas con mayor probabilidad de falla de ambas escuelas. A continuación, se muestra el ejemplo de una columna que tuvo daño, se usó la guía técnica para la rehabilitación sísmica de edificios escolares de la Ciudad de México. Posteriormente, se procedió a la alternativa de refuerzo mediante el encamisado con ángulos y soleras de acero, como se ve en la figura 20. A la sección se le aumentaron 4 ángulos LI 44 mm × 8 mm, así como soleras de 40 mm de ancho × 6 mm de espesor @ 15 cm. Se usó el acero A992 grado 50, se llegó a estas dimensiones para que se cumpliera con la normativa del Eurocódigo.

Figura 20 Columna encamisada con ángulos y soleras 

Se obtuvieron los diagramas de interacción, para los 2 sentidos, M3 y M2 (figuras 21 y 22, respectivamente), de la sección compuesta, tal como se muestra a continuación.

Figura 21 Diagrama interacción M3 

Figura 22 Diagrama interacción M2 

En las tablas 11 y 12 se muestran los resultados de la alternativa de encamisado con ángulos y soleras de acero para columnas.

En la figura 23 se muestra un ejemplo del encamisado de trabes (^{Alcocer y otros, 2019}).

Figura 23 Trabe encamisada con ángulos y soleras 

Después de consultar la guía técnica, se muestra a continuación el ejemplo de una columna dañada. Se llegó a las dimensiones y refuerzo del acero mostradas en la figura 24.

Figura 24 Encamisado de trabe 

En las tablas 13 y 14 se muestran los índices de confiabilidad de la alternativa de refuerzo con perfiles de acero para trabes. El cálculo sigue los pasos mencionados para la alternativa 1.

Muros de concreto

Se comienza con la demolición de muros de mampostería existentes, y se introducen muros de concreto reforzado de 3000 psi o f´c= 210 kg/cm² y un módulo de elasticidad de E=219,499 kg/cm² con acero de refuerzo del #3, @ 20 cm, en ambas caras (figura 25).

Figura 25 Armado muro concreto 

En las figuras 26, 27, 28 y 29 se muestra en que parte se colocaron muros de concreto de 15 cm de espesor (color negro) y los muros de mampostería de 12 cm (líneas punteadas), para ambas escuelas.

Figura 26 Ubicación de muros de concreto. Yautepec, planta baja 

Figura 27 Ubicación de muros de concreto. Yautepec, primer nivel 

Figura 28 Ubicación de muros de concreto. Tlatenchi, planta baja 

Figura 29 Ubicación de muros de concreto. Tlatenchi, primer nivel 

En las tablas 15, 16, 17 y 18 se muestran los resultados arrojados por esta alternativa, para columnas y trabes.

Después de tener los índices de confiabilidad para todas las alternativas se procede al cálculo de la probabilidad de falla global (PFG) de cada alternativa. Este proceso consiste en identificar el marco más crítico, es decir las 2 columnas (F1 y F2) y la trabe (F3) que tienen las probabilidades de falla locales mayores, se utilizan las expresiones 6, 7, 8 y 9, y finalmente se sustituyen en la expresión 5. Los resultados se resumen en las tablas 19, 19.1, 20 y 20.1.

Costo de reparación y daños

Se procede a calcular los costos de las reparaciones de cada alternativa así, como las consecuencias económicas, haciendo uso de las ecuaciones 10, 11, 12 y 13. Los resultados se resumen en la tabla 21. El factor de valor presente se calcula en términos de la tasa de interés neta que es, 9%, y la vida útil de la escuela, que es de 50 años. Se observa en la Tabla 21, que el costo por pérdida de vidas es el más crítico. Estos costos se obtienen como se describió en la sección de cálculo de costos esperados.

Los costos esperados en el ciclo de vida se calculan con las ecuaciones 10, 11 y 12. Ver las tablas 22 y 23 para Yautepec y Tlatenchi, respectivamente, con las 3 alternativas de reparación.