Materiales de los elementos estructurales

Los modelos se conforman de marcos de concreto reforzado con f´c = 300 kg/cm2 y un módulo de elasticidad E = 242,487 kg/cm².

Registro sísmico

Los modelos estructurales se sometieron simultáneamente a ambos registros horizontales del sismo del 18 de mayo de 1940 ocurrido en Imperial Valley, California (El Centro). Cada componente sísmica se aplicó a lo largo de las direcciones principales de la planta de la estructura.

En principio, interesa conocer las estadísticas de los parámetros de respuesta de los casos con torsión accidental, normalizados respecto a los modelos sin torsión accidental por lo que cualquier otro registro podría utilizarse. Este estudio se limita al uso de un solo registro sísmico como una primera aproximación para el estudio del problema de los efectos de la torsión accidental. Cabe mencionar que dicho registro corresponde a terreno firme.

En la figura 2 se muestran los periodos a torsión de los modelos, así como los espectros de respuesta de aceleraciones de ambas componentes sísmicas. Estos espectros corresponden a un amortiguamiento del 5% del crítico.

Figura 2 Espectro de aceleraciones de El Centro (NS-EO) y periodos a torsión de los modelos estudiados 

Variables aleatorias y sus parámetros

Las variables aleatorias consideradas en este trabajo para simular los efectos de la torsión accidental en los modelos son la magnitud y posición de la carga viva durante la ocurrencia de un sismo (carga viva instantánea), así como también las rigideces a flexión de trabes y columnas.

Cada variable aleatoria, se define a partir de su función de densidad de probabilidad (fdp). Para los parámetros de rigidez de los elementos estructurales (EI_t, EI_c) y la posición de la carga viva (GX, GY) se consideraron las referencias (^{Soriano y Ruiz, 2001}), (^{De la Colina, et al., 2011}; ^{García, 2015}). Para el valor de la media de la carga viva instantánea (WCVi) se siguieron las recomendaciones de la Norma ASCE (^{ASCE, 2010}) que indica que en las combinaciones de carga que incluyen cargas muertas, cargas vivas y sismo se utilice un factor de 0.5 para reducir la intensidad de la carga viva. En tal caso, la carga viva resulta en 122.01 kg/m² con un coeficiente de variación igual a 0.292 obtenido de las referencias (^{García, 2015}) y (^{De la Colina, et al., 2016}). La tabla 2 resume las variables aleatorias y los parámetros requeridos para definir sus respectivas fdp’s.

Justificación del número de simulaciones N

Los trabajos de ^{Díaz (1995)}, ^{García (2015)} y ^{De la Colina, et al., (2016)} han aportado criterios para la selección del número de simulaciones (N) en estudios relacionados con el MMC. Un primer criterio es la estabilidad de la media y de la desviación estándar de los parámetros de respuesta. Otro criterio se basa en las recomendaciones de (^{Hogg y Craig, 1995}) para calcular un intervalo de confianza para estimar una determinada probabilidad p. La proporción p corresponde a la probabilidad de excedencia de los parámetros de respuesta. Utilizando el criterio anterior, para un intervalo de confianza del 95%, p = 0.02 y considerando un error del 10% de p, N resulta igual a 9,604.

Mediante el criterio de la estabilidad de la media y de la desviación estándar, se calculó el valor promedio y la desviación estándar del momento flexionante en su extremo derecho (Mder), para todas las trabes del primer nivel del modelo M4C6. Estos resultados se grafican en la figura 3 contra el número de simulaciones N. Se observa que N ≈ 10, 000 permite la estabilización de los parámetros anteriores.

Figura 3 Efecto del número de simulaciones o realizaciones (N) sobre la media y desviación estándar en el parámetro Mder de trabes del 1er nivel del modelo M4C6 

Dada la naturaleza del MMC un mayor número de simulaciones conduce a mayor precisión en los resultados, por lo que N se seleccionó igual a 10,000.

Parámetros de respuesta seleccionados

Para determinar el factor de amplificación a usar en el procedimiento de diseño propuesto en este trabajo, se seleccionaron los parámetros de respuesta listados en las tablas 3, 4 y 5. La selección de los parámetros para trabes y columnas (ver tablas 3 y 4) obedece a que éstos proporcionan la información necesaria para su diseño. Nótese que estos parámetros se calculan para cada instante y al final del análisis se seleccionan los valores máximos.

Resultados de histogramas de factores A _ea para el modelo M4C6

En esta sección se muestran los resultados obtenidos del modelo M4C6. La figura 4 muestra este modelo en tres dimensiones y su marco Y1. Cada marco tiene doce trabes y dieciséis columnas. Se utiliza la misma configuración del marco Y1 para mostrar los resultados de los factores A _ea para cada parámetro de respuesta en cada elemento estructural. Aun cuando se obtienen histogramas de factores A _ea para cada parámetro de respuesta, se utilizan gráficas de línea para mostrar los resultados de varios parámetros de respuesta de un solo elemento estructural. Sin embargo, la palabra histograma se mantiene en las figuras siguientes para recordar la naturaleza de los datos obtenidos.

Figura 4 Modelo M4C6 en tres dimensiones y su marco Y1 

Las figuras 5 y 6 muestran los histogramas de frecuencia relativa de los factores A _ea para los tres parámetros de respuesta Mder, Mizq y VT de las doce trabes de los marcos X1 y Y1, respectivamente. Por claridad se grafican únicamente los valores de cada barra de cada histograma. El valor de los factores A _ea se identifica en el eje horizontal mientras que las frecuencias relativas en porcentaje en el eje vertical. Los valores máximos de A _ea para el marco X1 son del orden de 1.40, mientras que para el marco Y1 el valor máximo es de 1.60.

Figura 5 Histogramas de factores A _ea en trabes - Marco X1 del modelo M4C6 

Figura 6 Histogramas de factores A _ea en trabes - Marco Y1 del modelo M4C6 

En la figura 6 se observa que la cola derecha de los histogramas de los pisos superiores es más alargada que en los pisos inferiores, indicando que para un valor fijo de A _ea la probabilidad de exceder dicho valor es mayor en los pisos superiores que en los inferiores. Este resultado coincide con los de otros autores (^{De la Colina, et al., 2011}; ^{García, 2015} y ^{De la Colina, et al., 2016}), en el sentido de que, en un edificio, la torsión accidental es mayor para los entrepisos superiores que para los inferiores.

La figura 7 muestra los histogramas de A _ea para las 16 columnas del marco X1 del modelo M4C6 para los parámetros de respuesta Esf_N, VXC y VYC. Se observa que el valor máximo de A _ea para el parámetro VXC es 1.50, mientras que para los parámetros VYC y Esf_N es 1.25.

Figura 7 Histogramas de factores A _ea en columnas - Marco X1 modelo M4C6 

Las figuras 8 y 9 muestran los resultados para los parámetros de desplazamiento (Idmx e Idmy) del modelo M4C6. En dirección Y el valor máximo de A _ea es 1.20 mientras que en dirección X es 1.40. La forma de los histogramas indica que no existe el mismo efecto en los desplazamientos de entrepiso en las dos direcciones (X y Y). Lo anterior sugiere en principio que el registro sísmico seleccionado afecta a los factores de amplificación por torsión accidental.

Figura 8 Histogramas de factores A _ea parámetro de respuesta Idmy modelo M4C6 

Figura 9 Histogramas de factores A _ea parámetro de respuesta Idmx modelo M4C6 

Resultados de factores A _ea con p = 0.02 de modelos M4C6 y M4R6

Para aplicar el procedimiento simplificado propuesto en esta investigación se utiliza un factor de amplificación por excentricidad accidental A _ea2 . Este factor tiene una probabilidad de excedencia aproximada de 2% (p ≈ 0.02). Antes de obtener este factor se seleccionaron factores A _ea con probabilidad de excedencia igual a 2% (p = 0.02) para cada parámetro de respuesta.

Como ejemplo, en esta sección se muestran sólo los factores A _ea con p = 0.02 del modelo M4C6. Para un mejor entendimiento de las gráficas que se muestran en las figuras 10 a 15, se aclara lo siguiente: en la figura 10a se muestran los histogramas de factores A _ea correspondientes a cada trabe del marco Y1 y se indica con una flecha la selección de los factores A _ea con p = 0.02 de las trabes entre los marcos X2 y X3. En la figura 10b se grafican los factores A _ea con p = 0.02 de los tres parámetros de respuesta (VT, Mder y Mizq) para cada piso de las trabes entre los marcos X2 y X3. En la figura 10b se grafican los factores A _ea con p = 0.02 de los tres parámetros de respuesta (VT, Mder y Mizq) para cada piso de las trabes entre los marcos X2 y X3.

Figura 10 a) Marco Y1 y b) selección de factores A _ea con p = 0.02 de trabes entre marcos X2 y X3 para los parámetros de respuesta VT, Mder y Mizq 

Figura 11 Factores A _ea con p = 0.02 - Trabes marcos X del modelo M4C6 

Figura 12 Factores A _ea con p = 0.02 - Trabes marcos Y modelo M4C6 

Figura 13 Factores A _ea con p = 0.02 - Columnas modelo M4C6 

Figura 14 Factores A _ea con p = 0.02 del parámetro Idmx e Idmy del modelo M4C6 

Figura 15 Factores A _ea con p = 0.02 - Parámetro Idmy del modelo M10R8 

En las figuras 11 a 14 se muestran los resultados de los factores A _ea con p = 0.02 del modelo M4C6. Por claridad, se omiten las leyendas en las gráficas, siendo el eje X el valor de los factores A _ea con p = 0.02 y el eje Y el número de piso del modelo.

Se colocaron etiquetas adicionales para indicar el marco del que se muestran resultados, así como las trabes correspondientes. La figura 11 muestra que para los marcos X, la mayoría de los valores de A _ea oscilan entre 1.10 y 1.20. En la figura 12 se observa que para los marcos Y, la mayoría de los valores de A _ea oscilan entre 1.20 a 1.40.

Al igual que en los histogramas mostrados en la sección anterior, en las figuras 11 y 12 se observan valores distintos de los factores A _ea con p = 0.02 según la dirección de análisis.

La figura 13 muestra los resultados para columnas. Se observa que A _ea con p = 0.02 para VXC es del orden de 1.30 mientras que para VYC y Esf_N es de 1.15 a 1.20.

La figura 14 a y b muestra los resultados del modelo M4C6 de los parámetros de desplazamiento Idmx e Idmy con valores de A _ea con p = 0.02 que oscilan de 1.16 a 1.28 y de 1.02 a 1.14 respectivamente. La diferencia entre los resultados de Idmx e Idmy es aproximadamente del 12%.

De las figuras anteriores (11 a 14) se puede resumir lo siguiente: los A _ea con p = 0.02 para trabes de los marcos X tienen variaciones desde 1.10 hasta 1.26, para cualquiera de los parámetros de respuesta. Para trabes de los marcos Y, las variaciones son entre 1.21 y 1.43, y en cuanto a los resultados para columnas las variaciones son entre 1.10 y 1.42. Los resultados para desplazamientos relativos máximos de entrepiso llevan a factores mayores en la dirección X que en la dirección Y.

Resumen de factores A _ea con p = 0.02 de todos los modelos estudiados

La sección anterior muestra los factores A _ea con p = 0.02 del modelo M4C6. Para incluir los resultados de todos los modelos se calcularon valores estadísticos como: la media, la desviación estándar, el coeficiente de variación y la varianza. Adicionalmente, se reportan los valores mínimos y máximos de dichos factores. Lo resultados para todos los parámetros de respuesta seleccionados se muestran en las tablas 6 a 13. La nomenclatura utilizada en las tablas 6 a 13 es la siguiente:

A _ea min. - Corresponde a A _ea mínimo.

A _ea máx. - Corresponde a A _ea máximo.

A _ea media - Corresponde a A _ea promedio o media geométrica de los datos.

A _ea media* - Corresponde al mismo valor anterior pero redondeado a 2 decimales.

A _ea Desv. Std - Corresponde a la desviación estándar de A _ea .

A _ea Varianza - Corresponde a la varianza de A _ea .

A _ea Coef. Var. - Corresponde al coeficiente de variación de A _ea .

Para la interpretación de los resultados reportados en las tablas siguientes se aclara que:

Parámetros trabes MX y MY: Incluye los resultados de los factores A _ea con p = 0.02 de los parámetros estudiados en trabes (Mder, Mizq y VT) para todos los marcos en las direcciones X y Y respectivamente.

Parámetros columnas: Incluye los resultados de los factores A _ea con p = 0.02 de los parámetros estudiados en columnas (Esf_N, VXC y VYC).

Parámetros Idmx e Idmy: Incluye los resultados de los factores A _ea con p = 0.02 de los parámetros Idmx e Idmy respectivamente de todos los pisos del modelo.

En las tablas 6 a 13 se observa que los valores de A _ea media* oscilan entre 1.10 y 1.30 para los parámetros de trabes y de columnas. Para los parámetros Idmx e Idmy A_ea media* oscilan entre 1.05 y 1.10.

Los resultados de las tablas 6 a 13 muestran que el coeficiente de variación máximo es de 8.97% correspondiente al modelo M4R6. Debido a que este valor es menor al 10% se puede considerar que se tiene una precisión buena de los datos obtenidos de acuerdo con ^{DANE (2008)}. Además, en ningún caso la varianza se excede de 1%, indicando que la media es representativa de los datos obtenidos y que no existen grandes cambios entre los mismos.

Por otra parte, los valores máximos de A _ea con p = 0.02, se reducen conforme aumenta la altura de los modelos. Lo anterior, se ilustra en la figura 15 la cual muestra el parámetro Idmy del modelo M10R8. La figura 15, comparada con la figura 14 indica que se requieren factores A _ea con p = 0.02 mayores en modelos de baja altura (menos de 7 pisos).

En rigor parece necesario aplicar factores distintos de A _ea con p = 0.02 para cada modelo, cada elemento estructural y cada piso. Debido a lo anterior, se calcularon algunos parámetros estadísticos de A _ea con p = 0.02 para cada modelo y verificar que estadísticamente un valor promedio es representativo de todos los datos. Con el fin de aplicar dicho valor al procedimiento simplificado propuesto. De lo anterior, se obtuvieron valores que oscilan entre 1.05 y 1.30, sin embargo, la aplicación de estos valores no cubre a todos los de modelos, por lo que se realizó otro tratamiento estadístico similar al descrito con anterioridad a los datos de todos modelos, diferenciando los datos de los modelos cuadrados de los datos de los modelos rectangulares. Las tablas 14 y 15 muestran los resultados mencionados respectivamente y utilizan la misma nomenclatura que las tablas 6 a 13.

La tabla 14 corresponde a todos los modelos cuadrados y muestra A _ea media* igual a 1.20 para los parámetros de trabes y columnas. Por otro lado, para los parámetros cinemáticos IDMX e IDMY se obtiene A _ea media* igual a 1.10.

La tabla 15 corresponde a los datos de todos los modelos rectangulares y muestra A _ea media* igual a 1.20 para los parámetros de trabes y columnas. Por otro lado, para los parámetros cinemáticos Idmx e Idmy se obtiene A _ea media* igual a 1.10. Notar que el uso de las medias anteriores lleva a diferencias del 24% con respecto a los valores A _ea máximos.

De las tablas 14 y 15 se observa que A _ea máximo es de 1.514 para modelos cuadrados y de 1.577 para modelos rectangulares. En ambos casos el valor corresponde a alguno de los parámetros de columnas. Lo anterior, indica que los elementos estructurales más afectados por la excentricidad accidental son las columnas. El coeficiente de variación máximo tiene un valor de 7.06% para los modelos cuadrados y de 7.52% para los modelos rectangulares. Dados estos valores menores que 10%, A_ea media* igual a 1.20, es estadísticamente representativa de todos los datos. El resultado anterior se mantiene para los modelos rectangulares y para los modelos cuadrados sin importar la dirección de análisis. Por lo tanto, estadísticamente, a partir de los datos anteriores se puede decir, que no hay diferencias importantes debidas al registro sísmico utilizado. Considerando los valores máximos de A _ea listados en las tablas 14 y 15, en la tabla 16 se muestra la probabilidad de exceder dichos máximos y se comparan contra la probabilidad de exceder el valor de A _ea media* = 1.20. Como se puede observar, para los valores máximos en ningún caso se tienen probabilidades de excedencia mayores al 0.02%. Por otro lado, para A _ea media* las probabilidades de excederla en ningún caso son mayores de 2%.