Principales hipótesis

La principal hipótesis en que se basa el procedimiento propuesto considera que el comportamiento idealizado del oscilador cuyas propiedades dinámicas corresponden al modo de mayor contribución a la respuesta de la estructura, denominado sistema de referencia de 1GDL (SR1GDL) se puede extrapolar, considerando la contribución de los modos superiores mediante análisis modales espectrales (AME), para obtener la también idealizada relación cortante basal-desplazamiento lateral de la azotea, denominada como curva de capacidad (CC) de una estructura de VGDL.

La segunda hipótesis consiste en aceptar como válida la aplicación del AME para calcular la respuesta inelástica de estructuras de VGDL. Las aproximaciones que hacen posible la aplicación del AME a sistemas inelásticos son bien conocidas: (1) ignorar el acoplamiento de las respuestas de los "osciladores modales" debido a la fluencia de la estructura, y (2), considerar aplicable el uso de una regla de combinación modal para superponer las "contribuciones modales" y obtener la respuesta total de la estructura.

En un estudio preliminar ^{Chopra y Goel (2001}) desarrollaron un procedimiento de análisis simplificado denominado análisis de la historia dela respuesta modal desacoplada (UMRHA), por sus siglas en inglés, para estudiar el efecto de ignorar el acoplamiento de los modos durante la respuesta inelástica de estructuras. La comparación de las deformaciones laterales de las estructuras estimadas con este procedimiento con las obtenidas por medio de análisis dinámicos inelásticos paso a paso, indica que el efecto del acoplamiento de los modos en la estimación de este parámetro de respuesta no es significativo, incluso para un grado moderado de comportamiento inelástico. Los errores obtenidos son aceptables para fines de análisis y diseño estructural. Más aún, la aplicación de alguna regla de combinación para estimar la respuesta de sistemas inelásticos carece de bases teóricas. Sin embargo, la similitud entre las deformaciones laterales estimadas con el UMRHA y con el denominado "análisis pushover modal" (^{Chopra y Goel, 2001}), el cual ignora el acoplamiento de la misma forma que el UMRHA pero obtiene la respuesta de una estructura mediante una regla de combinación modal, sugiere que el uso de éstas no incrementa la magnitud de los errores debidos a ignorar el acoplamiento de los modos.

Consideraciones y aproximaciones adicionales para implementar el procedimiento de análisis sísmico

El procedimiento de análisis sísmico propuesto es análogo al considerado en los denominados "pushover adaptables". El análisis inelástico se lleva a cabo en dos etapas, cada una correspondiente a una rama de la CC de la estructura. Los extremos finales de la primera y segunda rama de la CC representan los estados de daño correspondientes al EFI y ELPC, respectivamente. En cada etapa se determinan las denominadas propiedades dinámicas "instantáneas" dela estructura, y en función de éstas y del espectro y/o registro que define la acción sísmica de diseño, se obtienen las fuerzas laterales estáticas equivalentes y las demandas deformación lateral de la estructura en cada etapa. El principal aspecto en que difiere el análisis propuesto de los análisis pushover adaptables, es la forma en la que se determinan las demandas sísmicas de diseño en cada etapa, lo cual se discutirá con detalle posteriormente.

Postulación de una distribución de daño global en la estructura, aceptable para el estado límite de prevención del colapso

En este trabajo el daño se define por la formación de articulaciones plásticas en las secciones críticas de un miembro estructural, que en el caso de las columnas, son sus secciones extremas. Cuando las acciones sísmicas imponen mayores esfuerzos que las gravitacionales, las secciones críticas de las vigas también son sus secciones extremas, Fig. 3a.

Figura 2 a) Distribución de daño representativa de la formación del mecanismo de colapso columna fuerte-viga débil y b) Condición en la que las vigas de ciertos entrepisos no deben fluir. 

Figura 3 Modelo elástico aproximado para representar la inelasticidad en las secciones críticas de los elementos estructurales 

Para el análisis y diseño en el ELPC se postula una distribución de daño en la estructura congruente con un estado de daño representativo de este estado límite. Una posible y deseable distribución de daño con esta característica, la cual se muestra en la Fig. 2a, corresponde al inicio del mecanismo de colapso que buscan inducir los reglamentos mediante los criterios de diseño por capacidad, conocido como mecanismo de columna fuerte-viga débil.

Con base en resultados de estudios analíticos, algunos autores (^{Park y Paulay, 1975}; ^{Sullivan et al., 2008}), muestran que durante la respuesta de estructuras reticulares de baja altura, en las cuales comúnmente rige la contribución del modo fundamental, puede haber instantes en los que las articulaciones plásticas de todas las vigas se desarrollen simultáneamente. En estructuras de mayor altura, en las que usualmente la contribución de los modos superiores es más significativa, las articulaciones en vigas se desarrollan por grupos de entrepisos. Cabe mencionar, sin embargo, que el desarrollo de las articulaciones en todas las vigas de un entrepiso dado solo será posible si la máxima distorsión de dicho entrepiso es mayor que la asociada a su fluencia incipiente (γ_fluencia). Esta situación se ilustra en la Fig. 2b, donde se muestra un típico perfil de las máximas distorsiones de entrepiso en el ELPC de un marco rígido regular en altura y en distribución de masas, en el que todas sus vigas tienen el mismo peralte. Se observa que las vigas en las que no se desarrollarían articulaciones plásticas, son las ubicadas en los entrepisos en los que su distorsión es menor al valor correspondiente a fluencia incipiente.

En este trabajo se establece la aproximación de que independientemente de la magnitud de contribución de los modos superiores, todas las articulaciones plásticas, tanto en las vigas como en las columnas que deban de fluir, se desarrollarán simultáneamente. La correspondiente distribución de daño caracterizará la mínima rigidez lateral posible que una estructura presentará durante su repuesta, por lo que esta aproximación permite formular un modelo analítico para determinar su máxima respuesta de desplazamiento.

Al aplicar esta aproximación en estructuras en las que la contribución del modo fundamental sea predominante, es posible que se caracterice adecuadamente su rigidez lateral en la máxima respuesta de desplazamiento. En estructuras reticulares hasta de mediana altura, para las cuales se ha determinado que aún es económicamente factible el uso de este sistema estructural (^{García et al., 1996}), se espera que al aplicar esta aproximación se obtenga un límite inferior razonable de su rigidez lateral en su máxima respuesta, con lo que se puede obtener un límite superior aceptable de sus deformaciones laterales máximas.

Modelación simplificada del daño estructural

La inelasticidad a lo largo de un elemento estructural se representa de forma análoga al conocido modelo del elemento discreto (^{Otani, 2002}), en el cual el elemento se subdivide en segmentos de línea, a cada uno de los cuales se le asigna un comportamiento histerético fuerza-desplazamiento elástico lineal o inelástico. En el presente estudio, los elementos estructurales se dividen en tres segmentos de línea.

Los segmentos extremos representan las articulaciones plásticas, las cuales se caracterizan de manera simplificada mediante: (1), una longitud equivalente de plastificación (lp), cuyo valor se toma de manera conservadora como h/2, donde h es el peralte de la sección. (2), cierta rigidez de posfluencia a flexión constante a lo largo de lp, expresada en función de una fracción β, de la rigidez a flexión efectiva inicial del elemento estructural (EI_eff ). E es el módulo de elasticidad del concreto e I_eff es el momento de inercia efectivo del elemento estructural que presenta en el EFI.

El segmento central representa la porción del miembro que permanece elástica y se le asigna una EI_eff constante en toda su longitud. En la Fig. 3a se muestra un esquema del modelo de daño simplificado propuesto. De acuerdo con un estudio paramétrico en secciones de vigas y columnas de concreto reforzado realizado por los autores (Barradas, 2013), el valor de β obtenido a partir de diagramas momento-curvatura de sus secciones varía entre 1% y 4%. Para vigas y columnas se sugiere usar 2% y 4%, respectivamente, valores que pueden ser suficientemente aproximados para fines prácticos; sin embargo, en la implementación del procedimiento se pueden usar los que se consideren más adecuados.

En el modelo analítico de la estructura para la primera etapa del análisis se asigna una rigidez EI_eff a todas las secciones de los elementos estructurales, mientras que en el modelo analítico para la segunda etapa, la rigidez a lo largo de los elementos se define de acuerdo al modelo simplificado discutido en la presente sección. Mediante estas consideraciones se busca representar en las secciones críticas un comportamiento cíclico idealizado ante cargas reversibles que no presenta degradación de rigidez ni de resistencia, como se muestra en la Fig. 3b.

Necesidad de diseñar las columnas por capacidad

Debido a que en el modelo elástico simplificado de la estructura para el análisis sísmico en el ELPC se considera que todas las articulaciones plásticas se desarrollan simultáneamente, no se pueden considerar algunos aspectos del comportamiento dinámico de estructuras debidos al desarrollo gradual de las articulaciones. Entre estos aspectos se encuentran el cambio instantáneo de sus propiedades dinámicas y la correspondiente distribución de las fuerzas de inercia, así como la redistribución de los momentos flexionantes de las vigas y columnas. Como consecuencia, se subestiman de ligera a significativamente, las resistencias a flexión y a cortante de las columnas necesarias para garantizar que su comportamiento ante la acción sísmica correspondiente al ELPC sea elástico.

Para reducir la posibilidad de que se desarrollen articulaciones plásticas en los extremos de todas las columnas a excepción de los extremos inferiores de las columnas de la base, sus resistencias de diseño se deben calcular aplicando los criterios de diseño por capacidad que indican los reglamentos. Estos criterios se han desarrollado para su implementación en el procedimiento de diseño sísmico basado en fuerzas, el cual considera que el comportamiento global ante fuerzas laterales de una estructura es elastoplástico. Debido a esto, las fuerzas internas a considerar para aplicar los criterios de diseño por capacidad, son las obtenidas en la primera etapa del análisis.

Aproximación de la resistencia de fluencia y ductilidad de desplazamiento de los modos superiores

En el procedimiento de análisis, al definir las propiedades y parámetros de respuesta del SR1GDL, paralelamente se definen los correspondientes de los modos superiores. Para determinar los parámetros de respuesta Rmax/m y Sdmax de los osciladores que representan a los modos superiores, es necesario determinar primero su ductilidad de desplazamiento, µ, la cual es función de sus propiedades α y Ry/m. En la Fig. 4a se muestra la típica tendencia creciente del parámetro α con los modos de vibrar de una estructura en la que se propuso una distribución de daño como la mostrada en la Fig. 2a. Esta tendencia indica que los modos superiores presentan una mayor rigidez de posfluencia que el modo fundamental.

Figura 4 Parámetros que influyen en la resistencia y ductilidad de osciladores de 1GDL 

Por medio de estudios analíticos se ha mostrado (^{Rodríguez et. al 2002}; ^{Sullivan et al., 2008}) que la respuesta de los modos superiores es afectada en menor medida por el desarrollo de inelasticidad (ductilidad), que la respuesta del modo fundamental.

Para obtener una aproximación de la Ry/m y por tanto de la µ de los modos superiores, en el presente estudio se acepta, en principio, que estos modos han de desarrollar ductilidades menores a la del modo fundamental, por lo que la Ry/m de dichos modos debe ser como mínimo, la requerida para desarrollar la ductilidad del SR1GDL. Sin embargo, al tener estos modos una mayor rigidez de posfluencia y dependiendo de la región espectral en la que se ubiquen sus periodos, desarrollarán ductilidades menores, similares o incluso mayores a la del SR1GDL, como a continuación se discute en referencia a la Fig. 4b. En esta figura se muestran tres grupos de espectros con Ry/m constantes e iguales a 1.5, 2.0 y 2.5 m/s2 para valores del parámetro α de 5%, 15% y 25%. Cabe mencionar que para el cálculo de estos espectros se consideró que los osciladores no presentan degradación de rigidez ni de resistencia. Además, estos espectros corresponden a un registro en suelo blando del Valle de México. Cabe mencionar, sin embargo, que dichos espectros presentan características similares en suelos con distintos grados de firmeza.

En estos espectros se pueden distinguir tres regiones: En la primera región comprendida de 0.0 a aproximadamente 1.3 s, entre mayor rigidez de posfluencia posea un oscilador con una Ry/m dada, su demanda de ductilidad será, en general, menor. En la segunda región comprendida entre 1.3 y 3.5 s, por el contrario, entre mayor rigidez de posfluencia posea un oscilador, su demanda de ductilidad será, en general, mayor. En la tercera región, comprendida de 3.5 s en adelante, independientemente de la rigidez de posfluencia que tenga el oscilador, desarrollará prácticamente la misma ductilidad. Además de las observaciones anteriores se pueden hacer las siguientes: (1) No existe una tendencia claramente consistente en las ductilidades que se puedan desarrollar en las dos primeras regiones espectrales, ya que dentro de ellas, existen subregiones en las que se presentan tendencias contrarias. (2), Conforme se incrementa Ry/m, menores son las diferencias en las ductilidades desarrolladas por osciladores con distintos valores de α. (3), El periodo exacto que delimita estas regiones depende del coeficiente de resistencia, y el periodo que delimita las dos primeras regiones comúnmente es menor que el periodo dominante del movimiento del terreno.

En la aplicación práctica del procedimiento propuesto mediante el uso de espectros inelásticos de diseño, para calcular la ductilidad de los modos superiores a partir de su Ry/m y α conocidos, se pueden usar las relaciones de desplazamiento inelástico (C_R ) desarrolladas por ^{Ruiz-García y Miranda (2003} y ²⁰⁰⁶). C_R se define como el desplazamiento inelástico máximo (Δ_inelastico), dividido entre el desplazamiento elástico máximo, Sd, de un oscilador de 1GDL, Ec. 1:

En la ecuación anterior Δ_inelastico se calcula en osciladores con una relación (R) constante de resistencia requerida para mantener al oscilador elástico (mSa), a resistencia de fluencia (Fy), es decir, Ec. 2:

donde m y Sa son, respectivamente, la masa y la aceleración espectral elástica del oscilador.

Una vez calculado C_R en función de R con ayuda de las gráficas o ecuaciones que se presentan en ^{Ruiz-García y Miranda (2003} y ²⁰⁰⁶), se puede estimar Δ_inelastico. Con el valor conocido del desplazamiento espectral de fluencia (Δ_y ) se calcula la ductilidad del oscilador. Mediante la Ec.3 tomada de ^{Ruiz-García y Miranda (2006}), se puede determinar el valor de C_R

donde T es el periodo de vibración, Tg es el periodo dominante del movimiento del terreno y θ₁ ,θ₂ ,θ₃ ,θ_4,θ₅ , son parámetros cuyos valores dependen del tipo de suelo, y se muestran en la Tabla 1.

Alcances del procedimiento

En la etapa de desarrollo actual, el procedimiento solo puede aplicarse para el diseño estructuras bidimensionales conformadas por marcos rígidos de concreto reforzado, en las que se pueda ignorar los efectos de la interacción suelo estructura.

Diseño para el Estado Límite de Servicio

El criterio de desempeño para este estado límite es que la estructura y sus componentes no estructurales no presenten daño ante la acción sísmica de diseño correspondiente. El control del daño estructural requiere que la respuesta de la estructura sea elástica, mientras que el control del daño no estructural se logra limitando la máxima distorsión de entrepiso (γ_max ) a la permisible para el ELS (γ_ELS ). El procedimiento inicia dimensionando las secciones transversales de los elementos para proporcionarle a la estructura la rigidez lateral necesaria para que γ_max sea aproximadamente igual a γ_ELS . Las dimensiones y relaciones de aspecto de las secciones deben estar dentro de los intervalos establecidos por el reglamento. Para considerar la pérdida de rigidez en los miembros debida al agrietamiento se recomienda usar en vigas: I_eff=0.7I_g y en columnas: I_eff=I_g , donde I_g es el momento de inercia de la sección transversal bruta de concreto. El dimensionamiento se lleva a cabo de forma iterativa mediante una serie de AME, considerando el espectro elástico representativo de la acción sísmica de diseño correspondiente al ELS. El proceso iterativo termina cuando γ_max es aproximadamente igual a γ_ELS.

Caracterización preliminar del estado de fluencia estructural incipiente.

Estudios recientes (^{Priestley, 1998}), muestran que una vez definidas la configuración geométrica y las dimensiones de los miembros de estructuras de concreto reforzado, queda definido también un valor aproximado de la distorsión de entrepiso correspondiente a la fluencia incipiente del sistema. Dicho valor está dado por la Ec. 4, la cual es una expresión semi-empírica propuesta por ^{Priestley (1998)}, cuyos resultados mostraron buena correlación con los de pruebas experimentales.

Debido a que en el ELPC se fomenta el desarrollo del mecanismo de colapso columna fuerte-viga débil, en el estado límite de fluencia incipiente solo las vigas estarán en dicha condición, por lo que presentarán una pérdida de rigidez mayor a la estimada en condiciones de servicio. Para considerar dicha pérdida se recomienda usar I_eff=0.5I_g , caracterizar nuevamente el modelo analítico de la estructura y realizar un análisis de valores característicos para obtener sus nuevas propiedades dinámicas.

Para el diseño de la estructura en este estado se debe disponer de su correspondiente acción sísmica caracterizada por un espectro de diseño elástico. Sin embargo, puesto que en los actuales reglamentos comúnmente no se estipula esta demanda sísmica, se recomienda el siguiente procedimiento:

Se obtiene una estimación preliminar de la configuración de distorsiones de entrepiso correspondiente a este estado, considerando solo la contribución del modo fundamental. Para este fin, del análisis de valores característicos previamente realizado se toma el vector correspondiente a la forma del modo fundamental, que define la configuración de los desplazamientos laterales correspondientes a dicho modo. De esta configuración se obtiene γ_max..Posteriormente se calcula la distorsión de fluencia (γ_y ) en el entrepiso donde se presentó γ_max mediante la Ec. 4:

dónde: ε_y , es la deformación unitaria a tensión del acero de refuerzo de las vigas, h_b es su peralte total y l_b su longitud eje a eje de columnas.

Los desplazamientos laterales de los niveles se escalan en una cantidad, fe, tal que γ_max sea igual a γ_y. A partir del desplazamiento escalado en la azotea (Δazoteafe) se obtiene el desplazamiento de fluencia del SR1GDL (Sd_y1 ) mediante la Ec.5.

donde FP1 ^azotea es el producto del factor de participación del modo fundamental de la estructura, por la amplitud de su forma modal en la azotea.

Cabe notar que con la Ec. 4 se obtiene un valor total de la distorsión, por lo que la aplicación de esta ecuación es justificable solo sien el entrepiso donde se presenta γ_max la contribución de los modos superiores no es significativa (como criterio, que incremente la distorsión en menos de 10%).Si se espera que esta condición no se cumpla, es recomendable establecer un dimensionamiento de las vigas y columnas de tal forma que en el estado elástico de la estructura su máxima distorsión se ubique en los entrepisos inferiores, en los cuales la contribución de dichos modos es menor. Se recomienda además aplicar la Ec. 5 en el primer nivel, considerando FP₁ ^{nivel 1} y Δnivel 1

Una vez calculado el valor de Sd_y1 se obtiene su correspondiente aceleración espectral (Sa_y1 ) mediante la Ec. 6.

donde ω_1E es la frecuencia natural del modo fundamental de la estructura en el estado de fluencia incipiente.

La relación expresada en la Ec. 6 se basa en la suposición de que la señal es armónica simple, sin embargo, los errores debidos a dicha suposición generalmente no son significativos (^FIB-2003).

Diseño para el Estado Límite de Prevención del Colapso

La mayoría de los reglamentos de diseño sísmico internacionales, incluido el RCDF-2004, estipulan que para que una estructura presente un razonable margen de seguridad contra el colapso se le debe proporcionar: (1) una resistencia de fluencia talque su máxima demanda de ductilidad global sea menor o igual a su capacidad dúctil. (2), una rigidez lateral suficiente para limitar la máxima distorsión de entrepiso inelástica a un valor permisible. El procedimiento a seguir para el diseño en este estado límite es el siguiente:

Se propone una distribución de daño factible de presentarse en la estructura, para lo cual es necesario determinar si la distorsión de cada uno de los entrepisos será mayor que su correspondiente γ_y. Para este efecto, en un primer tanteo se propone una distribución de daño como la mostrada en la Fig. 2a, y a partir de ésta se formula un modelo elástico de la estructura. Se le efectúa un análisis de valores característicos para obtener algunas propiedades dinámicas correspondientes al modo fundamental: periodo en su estado dañado (T_1D ), configuración de desplazamientos laterales de los niveles y la máxima distorsión correspondiente a dicha configuración, (γ_1max ). Con los periodos del modo fundamental de la estructura en sus estados de fluencia incipiente (T_1E ) y con daño, T_1D , se calcula el parámetroα correspondiente al SR1GDL mediante la Ec. 7:

Se propone un valor preliminar de la máxima distorsión correspondiente al modo fundamental (γ_ELPC1 ), cercano al máximo permisible indicado por el reglamento, y los desplazamientos de los niveles obtenidos en el paso anterior se escalan en una cantidad, fe, tal que el valor de γ_max1 sea igual a γ_ELPC1 .A continuación se comparan las distorsiones estimadas para cada uno de los entrepisos con sus correspondientes γ_y. Si la distorsión de algún entrepiso es menor a su γ_y , no fluirán las vigas, por lo que no se debe considerar daño en ellas y se tendrá que modificar la distribución de daño propuesta. La definición de una distribución de daño factible puede requerir varias iteraciones.

Una vez definida la distribución de daño, a partir del desplazamiento escalado en la azotea (Δ₁ ^azoteafe ) se obtiene el desplazamiento del SR1GDL correspondiente al ELPC (Sd_ELPC1) mediante la Ec. 8. El cociente de este desplazamiento entre Sd_y1 define la demanda de ductilidad (μ₁ ) del SR1GDL.

A partir del espectro elástico que caracteriza el nivel de diseño sísmico correspondiente al ELPC, se calcula su espectro inelástico de resistencia por unidad de masa correspondiente a los valores de μ₁, α₁, y a una fracción de amortiguamiento crítico, ξ=5%. En este espectro se lee la ordenada correspondiente aT_1E , (Ry/m₁ ). Si Ry/m₁ presenta una diferencia de hasta ±5% con respecto a Sa_y , el valor de μ₁ se considera apropiado. Si la diferencia es mayor, se deberá proponer otro valor de γ_ELPC1 , con la finalidad de adecuar µ₁ , de tal forma que Ry/m₁ sea aproximadamente igual a Sa_y.

En las distorsiones de entrepiso que se obtienen en esta etapa se considera únicamente la contribución del modo fundamental. Al final del procedimiento, cuando se considera la contribución de todos los modos, se deberá revisar si las distorsiones de los entrepisos que se consideraron no fluirían son mayores a sus correspondientes γ_y . En este caso se deberá modificar la distribución de daño propuesta e iniciar esta etapa del diseño.

La aceleración del SR1GDL correspondiente al ELPC (Sa_ELPC ) se obtiene por medio de la Ec. 9. En esta etapa están definidos todos los parámetros de respuesta de la curva de comportamiento del SR1GDL.

Caracterización definitiva del estado de fluencia estructural incipiente

Conocidos los parámetros µ₁ y α₁ , se caracteriza el estado de fluencia incipiente de la estructura. Para esto se desarrolla un AME considerando el espectro inelástico de resistencia previamente calculado, sus propiedades de rigidez correspondientes a fluencia incipiente y las cargas gravitacionales actuantes, Fig. 5a. De este análisis se obtienen los parámetros de respuesta correspondientes a la fluencia incipiente de la estructura: desplazamientos laterales de sus niveles y distorsiones de entrepiso, resistencias de diseño de las vigas y columnas que deben fluir, así como parte de la resistencia de las vigas que no deben fluir. Se obtienen también las resistencias básicas para la aplicación del procedimiento de diseño por capacidad para las columnas en las que no deben desarrollarse articulaciones plásticas. De este análisis quedan definidas las primeras ramas de las curvas de comportamiento modales y la primera rama de la curva de capacidad.

Figura 5 Modelo estructurales para el cálculo de la respuesta elástica y complementaria de una estructura 

Caracterización de la curva de capacidad de la estructura

La contribución del modo j a los parámetros de interés de la respuesta elástica máxima de la estructura, por ejemplo, al cortante basal de fluencia (Vby_j ) y al desplazamiento lateral de la azotea asociado (Δy_j ^azotea) , se obtienen de analizar la estructura sin cargas gravitacionales y con propiedades de rigidez correspondientes a fluencia incipiente. En análisis se lleva a cabo para un patrón de fuerzas laterales estáticas equivalentes asociadas a dicho modo, Fig. 5b, definido por el siguiente vector, Ec. 10.

donde: Γ_jE y{φ_jE} son el factor de participación y el vector de amplitudes del modo j de la estructura en su estado de fluencia incipiente,[m] es la matriz de masa y Ry/m_j es la resistencia de fluencia por unidad de masa del modo j leída del espectro inelástico calculado para los valores de μ₁ y α₁.

A continuación se calcula la contribución del modo j a estos parámetros de la respuesta complementaria de la estructura: cortante basal complementario (Vbcomp_j ) y el desplazamiento lateral de la azotea asociado (Δcomp_j ^azotea ), procediendo de la siguiente manera. A partir de las Ry/m_j definidas en el paso anterior y los correspondientes valores del parámetro α_j, calculados en forma análoga a la del SR1GDL, se determinan sus ductilidades de desplazamiento, μ_j , recurriendo al uso de las Ecs. 1, 2 y 3. Con el conjunto de parámetros previamente calculados se determinan las resistencias complementarias por unidad de masa mediante la Ec. 11:

Con estas resistencias se calcula para cada modo en su estado dañado, un patrón de fuerzas laterales estáticas equivalentes definido por el siguiente vector, Ec. 12,

donde: Γ_jD y {φ_jD} son respectivamente, el factor de participación y el vector de amplitudes del modo j de la estructura en su estado dañado.

Con cada vector de fuerzas se realiza un análisis estático a la estructura con la distribución de daño postulada, y sin las cargas gravitacionales, como se muestra en la Fig. 5c.

Se calcula la contribución del modo j a estos parámetros de la respuesta inelástica máxima de la estructura: cortante basal máximo (Vbmax_j ) y el desplazamiento lateral de la azotea asociado (Δmax_j ^azotea ), sumando las contribuciones modales obtenidas en los análisis anteriores, Figs. 5b y ^5c .

Finalmente, el valor total de estos parámetros de la respuesta inelástica máxima de la estructura: cortante basal máximo (Vbmax), y el desplazamiento lateral de la azotea asociado (Δmaxazotea), se obtienen superponiendo las contribuciones de todos los modos obtenidas en el paso anterior. Si se considera que la regla de combinación modal de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados es apropiada, el valor de Vbmax se calculará de acuerdo a lo expresado en la Ec. 13.

La máxima distorsión de entrepiso resultante será la de diseño para el ELPC (γ_ELPC ). Mediante el diseño estructural de las secciones se verifica si éstas son adecuadas para albergar la cantidad de refuerzo requerida cumpliendo con los requisitos reglamentarios pertinentes. En caso de no ser posible, se deberán modificar las dimensiones de las secciones, lo que implicaría iniciar el procedimiento.

En la ^Fig.6 se muestra un diagrama de flujo del procedimiento de diseño propuesto.

Figura 6 Diagrama de flujo del procedimiento propuesto 

Modelos estructurales considerados

Se diseñan las estructuras cuyas configuraciones geométricas se muestran en la Fig. 7. Se trata de marcos momento-resistentes de concreto reforzado con un sistema de piso a base de losas macizas construidas monolíticamente con las trabes de soporte. Dos marcos son verticalmente regulares, uno de 17 niveles y otro de 8, y representan estructuras de moderada y baja altura, respectivamente. Los otros dos marcos son de 12 niveles y verticalmente irregulares, y representan estructuras de moderada altura. Uno de estos marcos representa un típico caso práctico, conocido como estructura con el primer entrepiso "suave", el cual al tener una altura considerablemente mayor a los entrepisos superiores, presenta un rigidez lateral menor.

Figura 7 Configuraciones geométricas de los marcos a diseñar 

Las cargas gravitacionales de diseño muertas y vivas instantáneas consideradas son las estipuladas en el RCDF-2004 para uso de oficinas. La carga muerta total y viva instantánea en entrepisos son 630 kgf/m²y 180 kgf/m², respectivamente. La carga muerta total y viva instantánea en azotea son 455 kgf/m², y 70kgf/m², respectivamente. El área tributaria de los elementos estructurales se obtuvo considerando que las crujías perpendiculares a los marcos tienen la misma longitud. Las propiedades mecánicas de los materiales usados son las recomendadas por el RCDF-2004 para el diseño sísmico de estructuras dúctiles, y son: concreto con un peso volumétrico de 2400kgf/m³ y resistencia a la compresión de 250kgf/cm² y acero de refuerzo con un esfuerzo de fluencia de 4200kgf/cm².

Los índices de desempeño estipulados por el RCDF-2004 para estructuras conformadas por marcos de concreto reforzado son: para el ELS distorsiones de entrepiso comprendidas entre 0.2 y 0.4%., para el ELPC: distorsiones de entrepiso comprendidas entre 1.5% y 3%, y valores del factor de comportamiento sísmico de 1 a 4. Estos últimos se tomarán como referencia de la capacidad dúctil de estructuras que establece el RCDF-2004. Todas las estructuras se diseñaron para satisfacer el criterio de diseño columna fuerte-viga débil, aplicando el procedimiento de diseño por capacidad para columnas estipulado en el RCDF-2004.

Se utilizó el modelo de amortiguamiento de Rayleigh para modelar el amortiguamiento viscoso de las estructuras .Por tratarse de estructuras de concreto reforzado, se juzgó apropiado consideraren los análisis fracciones del 5% del amortiguamiento crítico, aplicadas en el primer modo y en un modo para el cual la masa participante acumulada excede el 90 %. Esto con la finalidad de que los modos superiores cuya contribución pueda ser potencialmente significativa, no estén sobre-amortiguados. Los valores de los parámetros lp y β considerados en el modelo elástico simplificado de la estructura dañada son respectivamente, h/2 y 2%. En los análisis se ignoraron los efectos de la interacción suelo-estructura.

Acciones sísmicas de diseño

El procedimiento propuesto requiere del cálculo de espectros inelásticos de resistencia para los valores requeridos del parámetro α .Debido a que los espectros inelásticos estipulados en los reglamentos de diseño sísmico comúnmente se obtienen considerando comportamiento elastoplástico, en el presente estudio se usan como acciones sísmicas de diseño registros acelerográficos obtenidos en algunos sitios en particular, y sus correspondientes espectros elásticos e inelásticos de respuesta.

Se consideran dos tipos de acciones sísmicas, registros acelerográficos característicos de suelo blando y de suelo firme. Para suelo blando la demanda sísmica considerada como representativa de los movimientos sísmicos asociados al ELPC de estructuras ubicadas en el Valle de México, es la componente este-oeste del registro acelerográfico obtenido en la estación SCT durante el sismo del 19 de septiembre de 1985. Este registro se muestra en la Fig. 8a, y sus espectros de respuesta elásticos de seudoaceleración (Sa) y desplazamiento (Sd) se muestran en la Fig. 8b. La demanda sísmica representativa de los movimientos sísmicos asociados al ELS, es la componente este-oeste del registro acelerográfico obtenido en la misma estación durante el sismo del 25 de abril de 1989. Este registro se muestra en la Fig. 8c, y sus espectros de respuesta elásticos de Sa y Sd, se muestran en la Fig. 8d. Todos los espectros de respuesta se calcularon para una fracción del amortiguamiento crítico del 5%.

Figura 8 Registros acelerográficos y correspondientes espectros de respuesta elásticos de los niveles de diseño sísmico considerados en la estación SCT del Valle de México. 

Como demanda sísmica característica de suelo firme se considera la componente norte-sur del registro acelerográfico obtenido en El Centro, California, durante el sismo de Imperial Valley, del 18 de Mayo de 1940.Lasdemandas sísmicas de diseño asociadas a los ELPC y ELS se obtienen escalando el registro de El Centro, de tal forma que la máxima ordenada de su espectro de respuesta elástico de seudoaceleración sea igual a las correspondientes ordenadas de los espectros de los registros de los sismos del 19 de septiembre de 1985 y del 25 de abril de 1989, respectivamente. Los registros acelerográficos así escalados y sus espectros de respuesta elásticos de Sa y Sd se muestran en la Fig. 9.

Figura 9 Registros acelerográficos escalados y correspondientes espectros de respuesta elásticos para los niveles de diseño sísmico considerados en el sitio El Centro. 

Descripción y discusión de los ejemplos de aplicación

El marco de 17 niveles y el 12 niveles verticalmente irregular se diseñaron para el par de demandas sísmicas registradas en la estación SCT y se denominan ejemplos de aplicación 1 y 2 (marco E1 y marco E2). Los marcos de 12 niveles con el primer entrepiso "suave" y el de 8 niveles se diseñaron para el par de demandas sísmicas correspondientes al sitio de El Centro, y se denominan como los ejemplos de aplicación 3 y 4 (marco E3 y marco E4).

Para el diseño de estos marcos se siguió el procedimiento descrito anteriormente, haciendo las siguientes consideraciones adicionales

En la Tabla 2 se muestran las dimensiones requeridas para las secciones transversales de los elementos estructurales, y en la Tabla 3 algunas propiedades dinámicas y parámetros de diseño de los marcos estudiados. En estas Tablas T_1S es el periodo fundamental de las estructuras en el ELS. En la Tabla 4 se muestran algunas propiedades dinámicas de los tres primeros modos de las estructuras diseñadas, así como algunas de sus propiedades globales. En la Fig. 13 se muestran las distribuciones de daño propuestas para las estructuras estudiadas. En las Figs. 10 y ¹⁶ se muestran, respectivamente, las curvas de comportamiento de los tres primeros modos de las estructuras diseñadas y sus curvas de capacidad.

Tabla 2 Dimensiones de las secciones transversales de los elementos estructurales de los marcos 

Tabla 3 Algunas propiedades dinámicas y parámetros de diseño de los marcos  

Tabla 4 Propiedades y parámetros de respuesta modales y globales de los marcos 

Figura 10 Curvas de comportamiento de los tres primeros modos de los marcos 

Figura 11 Distorsiones de entrepiso modales de diseño correspondientes a los estados límite de fluencia incipiente y de prevención del colapso. 

Figura 12 Espectros de respuesta elásticos de seudoaceleración de los registros acelerográficos ajustados y usados para validar el procedimiento. 

Figura 13 Comparación de la distribución de articulaciones plásticas propuesta para cada marco con la respectiva de las desarrolladas ante el sismo de diseño asociado al ELPC. 

Figura 14 Comparación de los desplazamientos laterales de diseño de los niveles para ELPC, con el promedio de los máximos demandados ante la correspondiente ante la correspondiente acción sísmica. 

Figura 15 Comparación de las distorsiones de diseño para ambos estados límite con el promedio de las máximas demandas ante sus correspondientes acciones sísmicas. 

Figura 16 Curvas de capacidad de diseño y respuestas promedio en el tiempo: cortante basal-desplazamiento de azotea. 

En la Figs. 10a y ^10b se observa que los desplazamientos de fluencia de los modos superiores de los marcos E1 y E2 son considerablemente menores que los de sus modos fundamentales. Esto se debe a que la rama ascendente del espectro de desplazamiento del acelerograma registrado en la estación SCT, en la que se ubican los periodos elásticos de todos los modos de ambas estructuras, presenta una pendiente pronunciada. Como consecuencia, la contribución de los modos superiores al valor total de las distorsiones de entrepiso en el EFI es mínima, Figs. 11a y ^11b . Por el contrario, en la Figs. 10c y ^10d se observa que los desplazamientos de fluencia de los modos superiores de los marcos E3 y E4 son fracciones significativas del desplazamiento correspondiente a su modo fundamental. Esto se debe a que la rama ascendente del espectro de desplazamiento del acelerograma registrado en el sitio El centro, en la que también se ubican los periodos elásticos de todos los modos de ambas estructuras, presenta una pendiente poco pronunciada. Como resultado, la contribución de los modos superiores al valor total de las distorsiones de entrepiso en el EFI es considerable, Figs. 11c y ^11d .

La comparación de la magnitud en que contribuyen los modos superiores a las distorsiones de entrepiso de, por ejemplo, los marcosE1 y E4 indican que dicha contribución depende esencialmente de la magnitud relativa de las ordenadas de desplazamiento correspondientes a los distintos modos, más que de la altura de la estructura. En la Tabla 4 se observa que las ductilidades desarrolladas por los modos superiores son menores a la del modo fundamental, y que los factores de participación modales de las estructuras en su estado dañado son ligeramente menores a los que presenta en su estado elástico. Debido a esto, la contribución de los modos superiores a las distorsiones de entrepiso en el ELPC son moderadamente menores que en el EFI.

Registros acelerográficos considerados

Con la finalidad de igualar el escenario sísmico de diseño, los acelerogramas usados para obtener los ajustados fueron registrados en la misma estación, y corresponden a sismos de magnitudes similares provenientes de la misma fuente del sismo cuyo acelerograma se usó como sismo de diseño para el estado límite considerado. De acuerdo a los valores de los periodos T_E de las estructuras diseñadas mostrados en la Tabla 4, se consideró apropiado un intervalo de periodos de 0.20 a 4 s para obtener los acelerogramas ajustados. Seis de los acelerogramas que contiene el conjunto, son señales reales ajustadas con el método de las ondoletas propuesto por ^{Abrahamson (1992}) y ^{Hancock et al. (2006}) e implementado en el programa SeismoMatch (^{Seismosoft, 2012}). El séptimo acelerograma del conjunto es el que se usó como acción sísmica de diseño para el estado límite correspondiente. En la Fig. 12 se muestra que el promedio de los espectros de respuesta elásticos se seudoaceleración de estos registros, calculados para una fracción del 5% del amortiguamiento crítico, es aproximadamente igual al espectro del registro usado como acción sísmica de diseño para cada estado límite considerado.

Modelos matemáticos de las estructuras para los análisis dinámicos inelásticos paso a paso

En los modelos matemáticos de las estructuras sobre los que se realizan los análisis inelásticos se utilizan los mismos valores de los parámetros EI_eff, lp y β considerados en el diseño. Además se consideró que las articulaciones plásticas presentan un comportamiento histerético bilineal sin degradación de rigidez ni resistencia, y las resistencias asignadas a las vigas y a las columnas de la base son exactamente iguales a las obtenidas del análisis. La razón de estos criterios se debe a que si consideran los valores más aproximados de dichas propiedades obtenidos de los diagramas momento-curvatura de las secciones diseñadas, se modificarían los periodos y los cortantes basales resistentes de las estructuras obtenidos del análisis, y consecuentemente los valores de todos los parámetros de diseño. Las resistencias asignadas a las columnas de todos los niveles a excepción de las del primero, son las obtenidas al diseñarlas por capacidad. Se utilizó el modelo de Rayleigh proporcional a las matrices de masa y rigidez inicial para modelar el amortiguamiento de las estructuras. Las fracciones de amortiguamiento y los modos en los que éstas se aplican, son las mismas que se consideraron en el diseño. Los análisis no lineales paso a paso se realizaron con el programa de análisis inelástico de estructuras bidimensionales Ruaumoko-2D (^{Carr, 2000}).

Presentación y examen de resultados

Los errores relativos en los parámetros de desempeño cuantificables se calculan mediante la Ec. 14:

donde: PD_diseño es el parámetro de desempeño de la estructura obtenido del diseño para un estado límite, y PD_demandado es el promedio de los máximos parámetros de desempeño, obtenidos de los ADIPP de la estructura sujeta al conjunto de acelerogramas representativos de la demanda sísmica de diseño correspondiente a cada estado límite.

Distribuciones de daño

En la Fig. 13 se compara la distribución de articulaciones plásticas propuesta en cada marco, con la representativa de las desarrolladas en el ELPC. Se observa que en todas las estructuras se desarrollaron las articulaciones plásticas propuestas en las vigas. Al diseñar por capacidad las columnas delos marcos E1, E2 y E3 se logra que solo se desarrollen articulaciones plásticas en las columnas de la base. En algunas columnas de los niveles superiores del marco E4, sin embargo, se presenta una limitada fluencia.

Desplazamientos laterales de los niveles

El desplazamiento lateral máximo de los niveles de un edificio es el parámetro de desempeño usado para evitar el impacto entre edificios adyacentes, y aunque no es el parámetro de referencia para el diseño, se muestra la precisión con la que el procedimiento propuesto puede estimar sus valores. En la Fig. 14 se comparan los desplazamientos de diseño de los niveles para el ELPC, con los correspondientes máximos demandados, los cuales generalmente ocurren en diferentes tiempos. Se observa que los desplazamientos de los marcos E1, E2 y E3 se sobrestiman ligeramente, mientras que los del marco E4 se subestiman. Estos resultados son consistentes con el hecho de que en los marcos E1, E2 y E3 se desarrollaron las distribuciones de daño propuestas, por lo que los desplazamientos de diseño definen un límite superior razonable de las máximas demandas de deformación lateral. Mientras que en el marco E4 se desarrollaron un mayor número de articulaciones plásticas que las propuestas, conduciendo a que los desplazamientos demandados fueran mayores a los de diseño. Los errores relativos en los desplazamientos de la azotea varían de -15% a 13%.

Distorsiones de entrepiso

En la Fig. 15 se comparan las distorsiones de entrepiso de diseño para ambos estados límite, con las correspondientes máximas demandadas, las cuales generalmente ocurren en diferentes tiempos. En la misma figura también se muestran la γ_y de cada uno de los entrepisos. De esta figura pueden hacerse las siguientes observaciones: (1), tanto el perfil de distorsiones como la máxima distorsión demandada en el ELS son razonablemente similares a los estimados en el diseño. (2), las tendencias que se presentan en el perfil de distorsiones de entrepiso en el ELPC son, en general, consistentes con las del perfil de desplazamientos laterales de los niveles, es decir, las distorsiones de entrepiso de los marcos E1, E2 y E3 se sobrestiman ligeramente, mientras que las del marco E4 se subestiman moderadamente. El error relativo en la máxima distorsión de diseño de los marcos E1, E2 y E3 en el ELPC, se encuentran entre ±8%, mientras que en el marco E4 es de-22%. (3), en el marco E3 las distorsiones demandadas en los entrepisos superiores, en los cuales la contribución de los modos superiores es más significativa, son mayores a las diseño. Además, las mayores deferencias entre las distorsiones demandadas y las de diseño en el marco E4 se presentan en los entrepisos superiores. Estos hechos indican que mediante la aplicación del procedimiento propuesto se subestiman moderadamente las demandas de deformación en los entrepisos en los que la contribución de los modos superiores es significativa. (4), en la Fig. 15a la máxima distorsión demandada en el entrepiso superior del marco E1 es menor que su γ_y , lo que indica que las vigas de dicho entrepiso no fluirán.

Curvas de capacidad

En la Fig. 16 se comparan las curvas de capacidad de diseño de los cuatro marcos, con sus respuestas promedio en el tiempo cortante basal-desplazamiento lateral de la azotea. Se puede observar que el cortante basal de diseño y el desplazamiento máximo de la azotea asociado representan razonablemente bien la envolvente en el tiempo de los correspondientes parámetros de respuesta. Los errores relativos de los máximos cortantes basales de diseño de los marcos E1, E2, E3 y E4 son, respectivamente: 1.88%, -11.38%, -13.47% y -20.32%, los cuales se pueden considerar aceptables. En la décima columna de la Tabla 4se muestran los valores de los cocientes Vbmax/Vby, los cuales indican que de no considerarse el cortante basal complementario dado por la rigidez de posfluencia de la estructura, los errores en la estimación de Vbmax pueden ser inaceptables.