1.Introducción

El estudio de Hamiltonianos efectivos en la física del estado sólido, derivados a partir de técnicas de promediacion temporal, ha adquirido reciente interés desde el punto de vista de la factibilidad de manipulación de los elementos de salto hopping en el modelo de enlace fuerte ^1,3,4. Dicha manipulación supone la supresión controlada de la interacción del electrón con sus primeros o segundos vecinos en la red, lo que da lugar a fenómenos interesantes tales como la oscilación de Bloch efectiva ¹. El método de promediación temporal que se usa en este trabajo es el que desarrolló originalmente P. L. Kapitza ^5,6 en el que la solución de las ecuaciones de movimiento se separa en una parte rápida con promedio nulo y una parte lenta cuyo promedio evoluciona según ecuaciones efectivas de movimiento. Una de las motivaciones para la deducción de Hamiltonianos efectivos es el hecho de que los algortimos numéricos para resolver las ecuaciones diferenciales que modelan los sistema físicos suelen presentar inestabilidades cuando la funciones oscilan rápidamente.

En el presente trabajo se aprovecha la analogía formal entre dos sistemas físicos diferentes, una red de estado sólido y un circuito cuántico con carga discreta, para aplicar el método de promediación temporal de Kapitza al segundo sistema, que consiste de un circuito LC en serie con una fuente rápidamente oscilante Fig. 1a. Asumiremos el marco conceptual de la teoría cuántica de circuitos con carga discreta ⁷ donde se supone que los autovalores del operador carga qˆ toman valores discretos nqe con n entero y q_e la carga del electrón. El operador conjugado correspondiente a qˆ es el operador flujo ϕˆ=-iℏ∂/∂q tal que vale el conmutador fundamental [qˆ,ϕˆ&]=iℏ. El operador ϕˆ se puede reemplazar por un operador de diferencias finitas cf., por ejemplo, ⁸; sin embargo, la forma directa usual de tomar en cuenta los efectos de la carga discreta es a través del cambio formal ϕˆ→2ℏ/qesinqeϕˆ/2ℏ tal como se hace, por ejemplo, en ^9,10. Los fenómenos físicos investigados en este tipo de sistemas han sido ampliamente reportados en la literatura; tales fenómenos comprenden, por ejemplo: bloqueo de Coulomb ¹¹, corrientes persistentes ⁷, magnificación de la corriente cuántica ¹². En estos casos se ha demostrado exitosamente la factibilidad de modelar la física de los dispositivos mesoscópicos a través del marco conceptual referido.

FIGURA 1 a Circuito LC cl´asico descrito por el Hamiltoniano 1. La carga del condensador es qt y la corriente de la malla es q˙t. b Circuito LC “efectivo” descrito por el Hamiltoniano 14. La carga del condensador es Qt y la corriente de la malla es Q t. Nótese que ya no aparece explícitamente la fuente externa fωt aunque sus efectos aparecen en la inductancia efectiva L _ef a través de los términos F₀ y e F~0. 

Para el propósito anunciado, este trabajo se organiza de la siguiente forma: en la Sec. 2 derivamos el Hamiltoniano efectivo independiente del tiempo del circuito LC, donde ya no aparece explícitamente la fuente fwt Fig. 1b. En la Sec. 3 describimos brevemente la analogía del transporte electrónico en una red de enlace fuerte y en un circuito LC; dicha analogía permitirá entender mejor la física asociada al concepto de “punto de bifurcación”. En la Sec. 4 se deducen dos fenómenos físicos asociados a la elección de los parámetros de control de la fuente AC, lo que permitiría, en principio, manipular la carga y la corriente efectivas del circuito. En la Sec. 5 se concluyen los aspectos más relevantes de este trabajo y se ofrece algunas perspectivas para futuras investigaciones.

2.Derivación del Hamiltoniano efectivo

Consideremos el circuito LC de la Fig. 1a con una fuente oscilatoria fωt de alta frecuencia. El Hamiltoniano clásico o función Hamiltoniana correspondiente es:

donde q es la carga eléctrica y ϕ=Lq̇ es el flujo magnético; ω0=1/LC es la frecuencia natural del circuito LC cuando fωt=0. La sustitución ϕ→2ℏ/qesinqeϕ/2ℏ referida en la Sec. 1 permite obtener el Hamiltoniano con carga discreta

donde se usó sin2x=1-cos2x/2. A continuación aplicaremos el formalismo semiclásico al Hamiltoniano a través de las ecuaciones clásicas de Hamilton

de donde se obtiene el sistema no-lineal de ecuaciones diferenciales acopladas

A continuación se invoca la transformación canónica ϕt=Φt-gt, con

gt≡∫0tfωtdt,

de forma que el sistema de Ecs. (4) se escribe ahora de manera más conveniente:

Para este sistema de ecuaciones se propone la solución

donde se definieron: t y τ≡ωt como los tiempos “lento” y “rápido”, Qt y Ψt como las “coordenadas lentas”, ξτ y ητ como las “coordenadas rápidas”. Reemplazando (6) en (5) se tiene

Utilicemos a continuación la definición usual del promedio temporal

⟨⋅⟩≡1/2π∫02π⋅dτ,

tal que las coordenadas rápidas tengan un promedio nulo en el intervalo [0,2π]: ⟨ξt⟩=0,⟨ηt⟩=0, y las coordenadas lentas varíen muy poco: ⟨Ψt⟩=Φt,⟨Qt⟩=Qt. Así, aplicando dicho promedio temporal al sistema de Ecs. (7), se tiene

Este es el sistema de ecuaciones de movimiento efectivas para las coordenadas lentas. De manera similar, (8) restando de (7), se obtiene el sistema de ecuaciones de movimiento efectivas para las coordenadas rápidas,

A continuación se introducen las series de potencias

donde ϵ≡t/τ=1/ω es el parámetro de pequeñez. Las expansiones subsecuentes se hacen de manera consistente hasta ϵ2 en el Apéndice A; allí se obtienen las ecuaciones efectivas de movimiento para Q̇t y Ψ̇t (cf. (A.17)),

Con este resultado se calculará el correspondiente Hamiltoniano efectivo HQ,Ψ. De (11) y (12) se obtienen el cociente Q̇/Ψ̇=dQ/dΨ y la ecuación diferencial -Ψ̇dQ+Q̇dΨ=0 que resulta ser exacta pues -∂Ψ̇/∂Ψ=∂Q̇/∂Q. Así, la función constante HQ,Ψ, cuya diferencial exacta es dHQ,Ψ=-Ψ̇dQ+Q̇dΨ=0, se deduce a partir de la teoría de ecuaciones diferenciales como

Sustituyendo (11) y (12) en (13) se tiene

que es finalmente la expresión buscada para el Hamiltoniano efectivo HQ,Ψ, a menos de una constante aditiva, con la misma estructura canónica de: Q̇=∂HQ,Ψ/∂Ψ, Ψ̇=-∂HQ,Ψ/∂Q; omitimos dicha constante ya que no contiene a las variables dinámicas Q,Ψ y por lo tanto resulta inmaterial en (11) y (12). Nótese que HQ,Ψ ya no contiene explícitamente el tiempo t ni la fuente externa que depende de t, pero su efecto se traduce en la aparición de una inductancia efectiva Lef. Así, HQ,Ψ representa al circuito LC “efectivo” para la carga lenta Qt Fig. 1 b. En el límite clásico se obtiene

pues F0=1+Oqe2 y F˜0=Oqe2 cf. Apéndice B, así que adopta la forma del Hamiltoniano clásico para el circuito LC sin fuente fωt=0, como debe ser.

3. Analogía del transporte electrónico en dos sistemas físicos: red de enlace fuerte y circuito LC cuántico

La dinámica de una partícula cargada que se traslada en una red unidimensional con constante de red a por el mecanismo de hopping en presencia de un campo estático arbitrario U(x) y de un campo uniforme rápidamente oscilante fwt, se puede describir aproximadamente por el Hamiltoniano de enlace fuerte

Hx,p=-2Acos⁡ap 

donde A, B son los elementos de hopping que caracterizan a las interacciones de la partícula con sus primeros y segundos vecinos en la red las interacciones con vecinos más distantes se suprimieron en debido a que sus elementos de hopping son pequeños comparados con 𝐴 y 𝐵; la frecuencia 𝜔 se considera mucho mayor que la del sistema físico en ausencia de la fuente fwt ¹³, por ejemplo, para el caso de la oscilación de Bloch cuando UX es lineal. La aplicación del método de Kapitza permite obtener el Hamiltoniano efectivo independiente del tiempo ¹

donde las coordenadas canónicas X,Y corresponden a las partes lentas de la posición x y del momentum desplazado y=p+g, con ġ=fωt. Para el caso particular de un potencial estático 𝑈𝑋 cuadrático, los coeficientes A˜,B˜,C˜,D˜ corresponden a los elementos efectivos de hopping que dependen de los parámetros de los campos externos estático y oscilante, tales que A˜→A, B˜→B, C˜→0, D˜→0, cuando ω→∞. En este caso, los Hamiltonianos HX,Y y HQ,Ψ en (14) son formalmente equivalentes después de establecer las identificaciones: X↔Q, Y↔qe/aℏΨ y B˜/A˜↔L˜/Lˆ.

La equivalencia formal de los problemas físicos descritos por sus correspondientes Hamiltonianos HX,Y en y HQ,Ψ en (17), permite la interesante posibilidad de asociar fenómenos en contextos físicos diferentes. En el caso que exploramos en este trabajo, invocaremos al “oscilador armónico en la red” descrito previamente por Gallinar y Chalbaud ², donde, entre otros resultados, se dedujo la existencia de dos regímenes dinámicos referidos por “régimen del continuo” y “régimen de Bloch”, en los que la partícula cargada e.g., el electrón oscila con periodos característicos diferentes, dependiendo de la posición inicial de la partícula X₀ en un potencial cuadrático desplazado de la forma UX=αX-β2+γ. La transición entre los regímenes dinámicos mencionados ocurre de manera súbita en un valor específico de X₀ que se caracteriza como un “punto de bifurcación”, pues la dinámica de la partícula es diferente en ambos regímenes. Este mismo comportamiento (desarrollado en detalle en la Sec. 4.1) debería verificarse experimentalmente en el caso de un circuito LC cuántico en vista de la analogía formal entre los dos sistemas referidos en esta sección.

4.1. Generación súbita de un voltaje DC

Consideremos la variación temporal de la corriente efectiva Q̇t en (11),

Q¨=1LF0cos⁡(qeℏΨ)+(ω0ω)2F~0cos⁡(2qeℏΨ)Ψ˙ (18)

De (14) se tiene la energía total del sistema,

E=Q22C-ℏ2qe2L[F0cosqeℏΨ+ω02ω2F˜0cos2qeℏΨ]. (19)

Para frecuencias ω altas, los términos entre corchetes en (18) y (19) son iguales entre sí hasta ω-2 Apéndice B, de tal forma que

Q̈=-qeℏ2Q32C2-QCE; (20)

esta ecuación se integra utilizando Q̈ =Q̇dQ̇/dQ con las condiciones iniciales Q̇0=0 y Q0≠0,

Q̇2=1Cqeℏ2Q02-Q2Q02+Q24C-E. (21)

Nótese que en el límite qe→0 con E=Eqe en la Ec. (20) se reduce a

Q̈+ω02Q=0, (22)

que describe a un oscilador armónico simple, como debe ser. La Ec. (21) se puede representar como un diagrama en el espacio de fases Q,Q̇ que se muestra en la Fig. 2a para el caso del campo externo fωt=2f1cosωt Apéndice B. Una característica peculiar de este tipo de diagramas es la transición súbita entre dos tipos diferentes de curvas: aquellas que oscilan en torno a Q=0 y las que oscilan en torno a Q≠0; la curva separatriz entre ambos tipos de curvas comprende al punto Q,Q̇=0,0 que en corresponde al valor inicial de la carga Q0=0. El “punto de bifurcación” que separa esos tipos de curvas es el valor especial de la carga inicial del condensador

Qˆ0=2ℏqeCLF0+ω02ω2F˜0, (23)

que se calcula estableciendo Q̇=0 en (21) para los casos Q02<Qˆ02 y Q02>Qˆ02; en el primer caso se obtiene que Q∈[-Q0,Q0], mientras que en el segundo caso se obtiene que

Q∈-Q0,-Q02-Qˆ02∪Q02-Qˆ02,Q0. (24)

Una simulación numérica de la solución de (21) para los mismos valores de la Fig. 2a se muestra en la Fig. 2b. Se observa los dos regímenes dinámicos característicos de la transición a través del punto de bifurcación: oscilaciones centradas en Q=0 Q0=±1,±2 y oscilaciones centradas en Q≠0 Q0=±3. Estas últimas son oscilaciones desplazadas que se pueden asociar al fenómeno físico de aparición súbita de un voltaje DC V_DC diferente de cero, como una consecuencia de la naturaleza discreta de la carga eléctrica q_e, pues se sabe que en el límite clásico qe→0, el valor de dicho voltaje a través del capacitor es VDC=0 caso de la Fig. 1a ⁱ .

La definición formal de V_DC corresponde al valor RMS de Vt = Qt del capacitor para un valor unitario de la capacitancia: VDC≡〈Q2⟩T', donde el promedio temporal ⟨⋅⟩T' se toma sobre el periodo T´ de Qt. Debe notarse, sin embargo, que dicha definición se aplica sólo a una componente de Fourier de la función periódica Qt. El caso que corresponde a Qt en la Fig. 2b comprende, ciertamente, varias componentes de Fourier, por lo que la definición del voltaje DC se debe extender como VDC≡∑i⟨Qi2⟩T'i, donde el índice i corresponde a cada componente de Fourier. Un procedimiento más simple para calcular un valor numérico del voltaje DC es proponer la definición alternativa

VDC≡∫0T'dt QQ̇2∫0T'dt Q̇2, (25)

que comprende de manera global a Q(t) y, por lo tanto, a todas sus componentes de Fourier. Esta re-definición de V_DC no es más que el centroide de las trayectorias en el diagrama del espacio fase. En el límite clásico qe→0 se conoce Qt de acuerdo a (25), así que se evalúa las integrales de V_DC en , de donde resultaVDC=0; esto se verifica sobre la base de la simetría de inversión inferida de (21) para la trayectoria en el espacio fase, pues limqe→0Qˆ0=∞ en (23) implica que cualquier valor finito de Q₀ será menor que Qˆ0, entonces la oscilación simétrica de Q(t) en torno a Q=0 necesariamente corresponde a VDC=0. Por la misma razón de simetría, cuando qe>0 la evaluación de (25) para las trayectorias centradas en Q=0 es VDC=0. La ventaja de utilizar esta definición de V_DC es que los valores de Q(t) y Q̇t que resultan de la solución numérica de (11) y (12) se incorporan de manera directa en la evaluación de (25) a través de una rutina numérica muy simple.

FIGURA 2 a Simulación numérica de 21 en el espacio fase Q˙;Q. Los valores de los paramétros físicos son: ω02ω2F~0F0=0.05 y valores unitarios de L;C;q _e y ℏ ~. Las trayectorias en líneas continuas corresponden a Q₀ = ±3; ±2; ±1. El valor Q₀ = 2:01 es apenas mayor que el del punto de bifurcación Q^0=2, así que su trayectoria línea segmentada se separa de la curva separatriz que indica la transición entre las trayectorias centradas en Q = 0 de aquellas centradas en Q ≠ 0. Las trayectorias en línea punteada corresponden a q _e = 0:9, por lo que Q^0>2; ahora la trayectoria para Q₀ = 2 se encuentra en el régimen centrado en torno a Q = 0, mientras que |V _DC | disminuye para las trayectorias correspondientes a Q₀ = ±3. b Simulación numérica de (11) y (12) para Qt con los mismos parámetros y constantes de la Fig. 2a. Las soluciones para Qt correspondientes a Q₀ = 1:99 y Q₀ = 2:01 están centradas en torno a Q = 0 línea continua y Q 6= 0 línea segmentada, respectivamente. De acuerdo a la definición 25 del voltaje efectivo, para Q₀ = 2:01 se obtiene numéricamente V _DC = 1:25 línea delgada, mientras que para Q₀ = 1:99, V _DC = 0. Éste es el fenómeno de generación súbita de un voltaje DC. 

4.2. Supresión de la corriente efectiva en la malla

Éste es otro fenómeno físico interesante cuya eventual observación se podría sugerir en un intervalo adecuado de valores del campo eléctrico fωt=2f1cosωt+2f2cos2ωt. Notemos que la expresión para Q̇ en (11) es cero si F₀ = 0 y F˜0=0 simultáneamente de acuerdo a (B.2) y (B.3). De manera equivalente, a partir de se demuestra que |Q̇max|=Qˆ02 qe/4ℏC para Q0≥Qˆ0, donde se verifica que |Q̇max|=0 cuando F0=F˜0=0. En la Fig. 3a se obtuvieron numéricamente las regiones en la que F0=0 curva continua y F˜0=0 curva segmentada, así que las intersecciones de dichas curvas corresponden a los valores del campo eléctrico que permitirían suprimir la corriente efectiva Q̇ de la malla. La condición F0=F˜0=0 implica que Qˆ0=0 y esto corresponde, según (21), al sitio geométrico en el espacio fase consistente de los puntos Q,Q̇=Q0,0 que yacen sobre el eje Q. En la Fig. 3b se aprecia la dependencia de |Q̇max| vs. f1,f2 de tal forma que se vea, por ejemplo, cuál sería la “ruta” óptima para suprimir la corriente de la manera menos abrupta posible. En el límite clásico del circuito LC se obtiene

limqe→0Q̇=ΨL (26)

en (11), de manera consistente con la relación entre el flujo magnético y la corriente, ϕ=Lq̇, en el Hamiltoniano clásico Fig. 1a donde no es posible suprimir la corriente.

FIGURA 3 a Simulación numérica de los parámetros del campo eléctrico fωt = 2f1 cosωt + 2f2 cos2ωt para los cuales F₀ = 0 curva continua y e F~0=0 curva segmentada, de acuerdo a (B7) y (B9); se tomaron valores unitarios de q _e y ~. Las intersecciones de dichas curvas determinan los valores de los parámetros para los que Q˙=0 en 11. Éste es el fenómeno de la supresión de la corriente efectiva en la malla. b Gráfico tridimensional de Q˙máx caso de Q0≥Q^0 cuyos ejes del plano horizontal son los de la Fig. 3a. Se tomó sólo el término dominante F₀ en (23); los puntos negros corresponden aproximadamente a las intersecciones de las curvas continua y segmentada de la Fig. 3a. 

5. Conclusiones

En este trabajo se utilizó el modelo semiclásico de la dinámica electrónica y la técnica de promediación temporal de Kapitza para obtener las ecuaciones de movimiento efectivas y de las variables dinámicas carga y flujo de un circuito LC de carga discreta y fuente arbitraria rápidamente oscilante, de donde se derivó un Hamiltoniano efectivo independiente del tiempo. A partir de dichas ecuaciones de movimiento fue posible inferir dos fenómenos interesantes como consecuencia directa de la naturaleza discreta de la carga eléctrica. El primero (Sec. 4.1) se refiere al régimen dinámico especial en el que la carga del condensador oscila en torno a un valor Q≠0; dicha oscilación desplazada Fig. 2b se puede asociar al fenómeno físico de la aparición súbita de un voltaje DC en el condensador. El segundo fenómeno (sección 4.2) es la supresión de la corriente efectiva de la malla, que ocurriría para valores adecuados de las amplitudes de la fuente Fig. 3a.

La analogía formal del transporte electrónico en dos sistemas físicos diferentes, la red de enlace fuerte y el circuito LC cuántico Sec. 3, nos lleva a sugerir que aquellos fenómenos dinámicos que serían difícilmente observables en la red por varias limitaciones experimentales, podrían ser observados de manera equivalente en un circuito LC cuántico, así como el fenómeno de “localización asintótica” predicho para la dinámica electrónica en una red de enlace fuerte ¹⁴ fue observado de manera equivalente en un arreglo de fibras ópticas¹⁵. Por ejemplo, en el caso del “oscilador armónico en la red” (Sec. 3) estudiado por Gallinar y Chalbaud ² se demostró la existencia de dos regímenes, “el régimen del continuo” y el “régimen de Bloch”, que están separados por un punto de bifurcación; en el caso del circuito LC cuántico, dicho punto de bifurcación separa los regímenes de carga continua VDC=0 y carga discreta VDC>0.