Investigación

 

Complete solutions of the Hamilton-Jacobi equation and the envelope method

 

G.F. Torres del Castilloª and G.S. Anaya González^b

 

^a Departamento de Física Matemática, Instituto de Ciencias, Universidad Autónoma de Puebla, 72570 Puebla, Pue., México.

^b Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Universidad Autónoma de Puebla, Apartado postal 165, 72001 Puebla, Pue., México.

 

Received 20 June 2014.
Accepted 1 September 2014.

 

Abstract

It is shown that the parameters contained in any two complete solutions of the Hamilton-Jacobi equation, corresponding to a given Hamiltonian, are related by means of a time-independent canonical transformation and that, in some cases, a generating function of this transformation is given by the envelope of a family of surfaces defined by the difference of the two complete solutions. Conversely, in those cases, one of the complete solutions is given by the envelope of a family of surfaces defined by the sum of the other complete solution and the generating function of the canonical transformation. Some applications of these results to geometrical optics are also given.

Keywords: Hamilton-Jacobi equation; canonical transformations; envelopes; eikonal equation.

 

Resumen

Se muestra que los parámetros contenidos en cualesquier dos soluciones completas de la ecuación de Hamilton-Jacobi, correspondiente a una hamiltoniana dada, están relacionados por medio de una transformación canónica independiente del tiempo y que, en algunos casos, una función generatriz de esta transformación está dada por la envolvente de una familia de superficies definida por la diferencia de las dos soluciones completas. Recíprocamente, en esos casos, una de las soluciones completas está dada por la envolvente de una familia de superficies definida por la suma de la otra solución completa y la función generatriz de la transformación canónica. Se dan también algunas aplicaciones de estos resultados en la óptica geométrica.

Descriptores: Ecuación de Hamilton-Jacobi; transformaciones canónicas; envolventes; ecuación iconal.

 

PACS: 45.20.Jj; 42.15.Dp; 02.30.Jr

 

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References

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