Revisión

 

Revisión de la teoría de perturbaciones en Relatividad General

 

Adolfo De Unánue

 

Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Autónoma de México México, D.F. 04510, México, C3 Centro de Ciencias de la Complejidad, Universidad Nacional Autónoma de México, Torre de Ingeniería, Circuito Exterior S/N Ciudad Universitaria, México D.F. 04510, México, e–mail: adolfo@nucleares.unam.mx.

 

Recibido el 4 de febrero de 2011
Aceptado el 19 de mayo de 2011

 

Resumen

Se inicia el artículo con una discusión sobre el porque de la dificultad de aplicar la teoría de perturbaciones a la Relatividad General. Se presenta una revisión de los diversos enfoques sobre la teoría de perturbaciones en Relatividad General, a saber: el formalismo Invariante de Norma (Gauge Invariant), la teoría 1+3 Covariante–Invariante de Norma (1+3 Covariant Gauge Invariant) y el enfoque estándar de fijar una norma (Gauge Fixing). Se desarrolla a detalle el enfoque Invariante de Norma, debido a que a diferencia de los otros dos enfoques, ya que cuenta con varias ventajas, entre las cuales se pueden mencionar que permite hacer desarrollos a ordenes perturbativos mayores al primero de una manera algorítmica, que aplica a teorías a las cuales se les exija que cumplan con el principio de covariancia general, y que puede aplicarse más de un parámetro perturbativo. Aunque este método es muy general, a manera de ejemplo se aplica a Cosmología.

Descriptores: Relatividad general; teoría perturbativa; cosmología.

 

Abstract

This work presents a review of the different approaches for perturbation theory in General Relativity: the Gauge Invariant formalism, the 1+3 Covariant Gauge Invariant theory and the traditional gauge fixing method. In particular, this review focuses in the Gauge Invariant formalism, due to it has a broader applicability (it applies not only to General Relativity but, to any theory that must fulfill the principle of general covariance) than the other two formalisms and because it has an algorithmic method for calculate the invariant variables to perturbation orders larger than the linear one. The article includes too, a brief discussion about the root of the problem of gauge–invariance in the perturbation theory in General Relativity. To help the reader, this last approach is applied to the cosmological scenario.

Keywords: General relativity; pertubation theory; cosmology.

 

PACS: 04.20.–q; 04.20.Cv; 04.25.Nx

 

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58. En el idioma original: "Space acts on matter, telling it how to move. In turn, matter reacts back on space, telling it how to curve" [23], pag. 5.

59. En realidad de las partículas de prueba, definidas como aquellas partículas que sienten el efecto del campo gravitacional pero no lo afectan de manera alguna.

60. Para ser más precisos, esta enunciación es conocida como el principio de equivalencia deíbil o Galileano. Existen otras dos formas conocidas del este principio, una de ellas la Einsteniana o semi–fuerte es: "Para cada evento del espacio–tiempo, existe una vecindad lo suficientemente pequem tal que, en cualquier marco local, en caída libre en esa vecindad, todas las leyes no gravitacionales de la física, obedecen las leyes de la relatividad especial". Si cambiamos en esta última expresión "todas las leyes no gravitacionales" por "todas las leyes de la física" obtenemos el principio de equivalencia fuerte. Ver Ref. 57.

61. Este principio es identificado en la literatura con la regla heurística "comma–goes–to–semicolon", es decir, de las ecuaciones no relativistas sustituir las derivadas (representadas con comas) por derivadas covariantes (representadas por puntos y comas) para obtener la versión relativista, además de sustituir η_µv con g_µv.

62. Por ejemplo, en Ref 24 menciona el principio de Mach –en realidad el principio de Mach está determinado por tres enunciados: (1) La distribución de materia determina la geometría, (2) Si no hay materia no hay geometría y (3) Un cuerpo en un universo vacío, no posee propiedades inerciales– dentro de los principios fundamentales, aunque reconoce que quizá sólo sirva como principio guía para la formulación de Relatividad General.

63. Como ejemplo, la expresió n del principio de equivalencia es diferente en Refs. 4,23 y 24; en [57 pags. 13–15] se mencionan tres variantes distintas de este principio.

64. Originalmente, Einstein expresó este argumento usando sistemas de coordenadas, de la siguiente manera, Sea G(x) el tensor métrico que satisface las ECE en el sistema de coordenadas x y G'(x') representa el mismo campo gravitacional en el sist. coordenado x'. Si suponemos covariancia general, entonces G(x') (piensese este cambio de coordenadas, unicamente en el sentido matematico, i.e. el cambio de x — x' no cambia el significado funcional de G, pero podríamos interpretarlo como un nuevo campo en x^'). A partir de esto, se puede demostrar que no hay manera de especificar la metrica afuera y en la frontera de un "agujero" pude determinar el campo dentro del agujero. Invalidando así, la utilidad de las ECE. Aunque Einstein planteó este argumento, como un problema de frontera, Hilbert lo planteó, como un problema de valores iniciales [25], relacionándolo así con el Problema de Cauchy de Relatividad General [4].

65. El problema de valores iniciales en Relatividad General es un tema de alta complejidad matemática, el lector interesado puede introducirse al tema en [4, cap. 10].

66. Einstein se defendió diciendo que el argumento de Kretsch–mann era falso, poniendo como ejemplo la teoría gravitacional de Newton ya que no podía escribirse de manera covariante. Poco tiempo después Cartan, escribió la teoría newtoniana en forma covariante [23].

67. Esta restricción no afectará las ecuaciones importantes del formalismo invariante de norma, ver Sec. 7

68. Notese que δ⁽⁰⁾ Q Q₀ y δ⁽¹⁾ Q = δQ

69. El nombre –claramente inapropiado– de constante de Hubble se reserva para el valor del parámetro de Hubble evaluado en este evento espacio–temporal (hoy, ahora), H₀ = H (t).

70. A veces en la literatura se denominan como variables de espín–0, espín–1 y espín–2, respectivamente.

71. Se agrego el factor de a² para simplificar calculos mas adelante.

72. Es conveniente decir en este punto que la nomenclatura de los símbolos con los cuales identificamos las perturbaciones dista de ser la estandar (salvo en el caso del 3—tensor, h^TT), de hecho no hay acuerdo en la literatura sobre como nombrar a las variables. En este artículo sigue las de [53].

73. Para mayor claridad sobre este punto y las condiciones de frontera apropiadas véase la discusió n abajo de la Ec. (77).

74. Esta característica es cierta solo a primer orden ya que a segundo orden todas las cantidades estarán acopladas, ver más adelante.

75. El que los observadores comóviles sigan geodésicas se puede comprobar usando la ecuación geodésica [la fórmula está en 4, pags. 46–47] con las condiciones de esta norma, llegando a que uⁱ = 0 es una geodesica.

76. Ignorar las perturbaciones vectoriales y tensoriales a segundo orden es inconsistente ya que, aún haciendo las perturbaciones vectoriales y tensoriales iniciales iguales a cero a primer orden, las perturbaciones a segundo orden servirán como fuente de estas perturbaciones lineales.

77. Esta situacion es analoga a hacer en electrodinamica = 0.

78. Es importante mencionar que la expansión armónica depende fuertemente no solamente de las simetrías locales del espacio–tiempo de fondo, si no también en la topología global de la subvariedad en la cual los armónicos escalares, vectoriales y tensoriales son definidos [51].